TEMA 5. FUNCIONES. a) Mediante una grafica. Es la forma en la que mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función.

TEMA 5. FUNCIONES

1. INTRODUCCIÓN

Las funciones estudian la relación existente entre dos variables. Para expresar esta relación, las funciones se pueden presentar de diferentes formas:

a) Mediante una grafica. Es la forma en la que mejor se puede apreciar el comportamiento global de una función.

Ejemplo:

b) Mediante un enunciado. De esta forma, la idea que nos hacemos del comportamiento global de la función suele ser poco precisa.

Ejemplo:

Esta función describe el recorrido de Alberto desde su casa hasta el colegio, en función del tiempo: “De casa salió a las 8:30 y fue hasta casa de su amigo Iker. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. Cuando ya estaban llegando, se dio cuenta de que se había dejado la cartera en el banco y volvió corriendo, la recogió y llegó al colegio a las 9 en punto”.

c) Mediante una tabla de valores.

Ejemplo:

Mientras ascendíamos por una montaña medimos la temperatura y obtuvimos los siguientes datos:

Altura (m) 0 360 720 990

Temperatura (ºC) 10 8 6 4.5

d) Mediante su expresión analítica o fórmula. Es la forma más precisa de dar una función, aunque requiere su estudio posterior.

Ejemplo: f(x) = 2x – 3

A partir de la fórmula podemos obtener una tabla de valores, representarla gráficamente y sobretodo, calcular todas las características importantes de la función.

2. DEFINICIÓN

Una función relaciona dos variables, la x y la y, siendo: x la variable independiente

y la variable dependiente

La función, que se denota y = f(x), asocia a cada valor de x un único valor de y. Ejemplo:

Si y = 3x – 2, para x = 2, y = f(2) = 3·2 – 2 = 4. Diremos que 4 es la imagen por f de 2.

La representación gráfica de una función se realiza sobre unos ejes cartesianos, que no son más que dos rectas perpendiculares que se cortan en el punto (0, 0). En el eje horizontal o eje de abcisas representamos el valor de la variable x, y sobre el eje vertical (o de ordenadas) el valor de la y.

Nota: Al valor de la x no le puede corresponder más de un valor de la y, por lo tanto, la gráfica siguiente no es una función:

3. DOMINIO y RANGO.

Se llama dominio de definición de una función f, y se designa por Dom f, al conjunto de valores de x para los cuáles existe la función, es decir, para los cuáles hay un f(x).

Las funciones polinómicas se pueden hallar para cualquier valor de x, por lo que su dominio es el conjunto de todos los números (R); pero el dominio puede quedar restringido por muchas razones. Entre ellas, destacamos:

- Denominadores: Los valores que anulan el denominador no pertenecen al dominio de definición. Ejemplo: Si f(x) = 4 x 1  , Dom f = R – {4}

- Raíces cuadradas: Recordemos que no existe la raíz cuadrada (o de índice par) de un número negativo.

- Contexto real de la función.

Ejemplo: Si f(x) representa el área de un cuadrado en función de la medida de su lado, al dominio tan sólo pueden pertenecer los números positivos, ya que el lado de un cuadrado no puede ser negativo o cero.

Se llama rango, recorrido o imagen de una función al conjunto de valores de y que son imagen de algún elemento del dominio. Se representa por Im f.

Ejemplo: Si f(x) = x2, Im f = [0, +[, ya que no existe ningún número que al elevarlo al cuadrado nos de un resultado negativo.

4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES.

Para realizar cualquier representación gráfica de una función hemos de seguir los pasos siguientes:

1) Realizar una tabla de valores de la función. Para ello, damos los valores de x que nos interesen y calculamos sus correspondientes valores de y.

Ejemplo: Para la función y = 3x - 1

x y -1 0 1 -4 -1 2

2) Dibujar en unos ejes cartesianos los puntos obtenidos.

3) Para finalizar, hemos de saber la forma que tiene la gráfica que estamos dibujando para poder unir de forma correcta los puntos que hemos dibujado.

5. PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN.

PUNTOS DE CORTE CON LOS EJES

Para representar una función es interesante conocer los puntos en que ésta corta a los ejes. Veamos cómo se calculan:

- Corte con el eje Y: Es el punto en que x = 0. Ejemplo: f(x) = 3x – 6

x = 0 → f(0) = -6 → P(0, -6)

- Corte con el eje X: Son los puntos en los que y = 0. Para calcularlos hemos de resolver la ecuación f(x) = 0.

Ejemplo: 3x – 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2 → P(2, 0)

CONTINUIDAD

La idea de función continua es la de que puede representarse de un solo trazo (es decir, sin levantar el lápiz del papel).

Puede haber varias razones por las que una función no es continua: - Presenta un salto (finito o infinito):

- No está definida en un punto o hay un punto “desplazado”:

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Para estudiar las variaciones de una función hemos de mirar su gráfica de izquierda a derecha y ver cómo varía la y cuando aumentamos la x.

Diremos que una función es creciente cuando al aumentar la x, la y también aumenta.

Diremos que una función es decreciente cuando al aumentar la x, la y disminuye.

Cuando la y no varía diremos que la función es constante.

También existen funciones que tienen trozos dónde son crecientes y otros dónde son decrecientes.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

Diremos que una función tiene un máximo en un punto cuando éste es el punto más alto de los que le rodean, es decir, cuando su ordenada es mayor que la de los puntos de su alrededor.

A la izquierda del máximo, la función es creciente y a su derecha es decreciente.

La función presenta un mínimo en un punto cuando este punto es el más bajo de los que le rodean, es decir, cuando su ordenada es menor que la de los puntos de su alrededor.

A la derecha de un mínimo, la función es decreciente, y a su derecha, creciente.

PERIODICIDAD

Una función es periódica cuando su comportamiento se repite cada cierto intervalo. La longitud de ese intervalo se llama periodo.

Ejemplo: En la siguiente gráfica se representa la altura de la cesta de una noria a medida que ésta da vueltas.

6. OPERACIONES CON FUNCIONES.

Las funciones se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir de la misma forma que las expresiones algebraicas. También se pueden realizar con ellas operaciones como la potenciación y la radicación.

Ejemplo: Sean las funciones f(x) = x + 3 y g(x) = 2x + 1 f(x) + g(x) = (x + 3) + (2x + 1) = 3x + 4 f(x) – g(x) = (x + 3) – (2x + 1) = - x + 2 f(x) · g(x) = (x + 3) · (2x + 1) = 2x2 + 7x + 3 f(x) / g(x) = 1 x 2 3 x   COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g, se llama función compuesta de f y g, y se designa por g_f a la función que transforma x en g(f(x)).

f g x → f(x) → g(f(x)) En general, la función g_f ≠ f_g Ejemplo: Si f(x) = x y g(x) = x 1 , entonces g_f (1) = g(f(1)) = g(1) = 1 g_f (4) = g(f(4)) = g(2) = ½ g_f (x) = g(f(x)) = g( x ) = x 1

Ejemplo: Si f(x) = x2 – 5x y g(x) = x 1 , entonces g_f (1) = g(f(1)) = g(-4) = -1/4 g_f (3) = g(f(3)) = g(-6) = -1/6 g_f (x) = g(f(x)) = g(x2 – 5x) = x 5 x 1 2 

FUNCIÓN INVERSA O RECÍPROCA

Se llama función inversa o recíproca de f a una función f -1 que cumpla que: f _ f -1 (x) = f -1_ f (x) = x

Para calcular la función inversa intercambiamos las variables x e y, despejamos la y y la función obtenida es la inversa.

Ejemplo: y = 2x – 3 x = 2y – 3  y = 2 3 x   f -1 (x) = 2 3 x 

7. FUNCIONES LINEALES. LA RECTA.

Las funciones lineales corresponden a funciones polinómicas de primer grado, por lo que son del tipo y = mx + n y su representación gráfica es una recta.

Hay distintos tipos de funciones lineales:

- Función constante ( y = n): Es una recta horizontal, paralela al eje de abcisas, que pasa por el punto (0, n).

Ejemplo: y = -2

- Función lineal (y = mx): Son funciones en las que las dos variables son proporcionales, como por ejemplo la cantidad de manzanas que compramos y el precio que nos cuesta la compra.

Estas funciones se representan gráficamente mediante una recta que pasa por el punto (0, 0), y matemáticamente se escriben mediante la fórmula y = mx, dónde m es la constante de proporcionalidad, a la que llamaremos pendiente de la

recta y determina la inclinación de ésta (a mayor pendiente, más inclinada estará la recta).

En el ejemplo anterior, si un Kg. de manzanas cuesta 1,2 €, la función que describiría el precio (y) en relación a la cantidad de manzanas que compramos (x) sería y = 1,2x.

Si la pendiente es un número positivo, la recta será creciente. Si es un número negativo, será decreciente y si es cero, la recta será constante, es decir, horizontal.

- Función afín (y = mx + n): Es una función que se representa mediante una recta con las siguientes características:

- Su pendiente es m.

- Su ordenada en el origen es n. Es decir, corta al eje Y en el punto (0, n)

CÁLCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA

Vamos a calcular la pendiente de una recta, m, a partir de dos puntos de ésta, mediante la siguiente fórmula:

Sean los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2)

m = x la de Variación y la de Variación x x y y 1 2 1 2   

Ejemplo: Sean los puntos A(2, 3) y B(4,7), entonces m = 2 2 4 2 4 3 7    

ECUACIÓN DE LA RECTA CONOCIDO UN PUNTO Y LA PENDIENTE

Supongamos que sabemos que una recta pasa por el punto P(x0, y0) y que tiene por

pendiente m. Para calcular su ecuación, utilizaremos la fórmula: y = y0 + m (x – x0)

En el ejemplo anterior, un punto podría ser A(2, 3) y la pendiente m = 2. y = 3 + 2 (x – 2) = 3 + 2x – 4 = 2x – 1

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

A partir de los dos puntos que nos dan, calcularemos la pendiente y utilizaremos la fórmula del apartado anterior para averiguar la ecuación de la recta.

Ejemplo: Dados los puntos P(3, 1) y Q(4, 5), calculamos m = . Ahora cogemos un punto, por ejemplo el P(3, 1) y m = 4 y aplicamos la fórmula anterior:

8. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Es frecuente encontrarse con funciones cuyas gráficas están formadas por trozos de otras funciones. En este tema vamos a estudiar las formadas por trozos de rectas.

Para describirlas, se dan las ecuaciones de los diversos tramos indicando en cada uno de ellos, los valores de x para los que la función está definida.

Ejemplo:                    5 x si 1 5 x 3 si 12 x 2 3 x 1 si 5 . 4 x 5 . 0 1 x si 4 ) x ( f

Para representar este tipo de funciones gráficamente, dibujaremos cada tramo por separado, calculando en cada uno de ellos el valor de la función en los puntos extremos del mismo (pertenezcan o no al intervalo. Si no pertenecen, los representaremos con un punto blanco o vacío).

Ejemplo:

- Tramo 1: Los puntos extremos son (-3, 4) y (-1, 4). Éste último no pertenece, es punto blanco.

- Tramo 2: (-1, 4) y (3, 6). Ambos pertenecen. - Tramo 3: (3, 6) y (5, 2). Ninguno pertenece.

9. FUNCIONES CUADRÁTICAS. LA PARÁBOLA.

La función polinómica de segundo grado o función cuadrática es del tipo y = ax2 + bx + c

y su representación es una parábola, que es una curva que cumple las siguientes propiedades:

- Es una función continua y definida en todos los números reales. - Tiene un eje de simetría paralelo al eje Y.

- Tiene un vértice que está sobre el eje de simetría y que es un máximo o un mínimo.

- Tiene dos ramas, una creciente y una decreciente.

- Su forma (hacia arriba o hacia abajo) depende del coeficiente de x2  Si a>0 tiene las ramas hacia arriba

 Si a<0 tiene las ramas hacia abajo

- Cuánto mayor sea |a|, más estilizada será la parábola.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

1. Ver el valor del coeficiente a para conocer la forma de la parábola Ejemplo: y = x2 – 3x - 4

Como a = 1, será abierta para arriba (  )

2. Obtención del vértice. El valor de la abcisa del vértice viene dado por la fórmula Vx =

a 2

b 

Después de calcular la abcisa, hallaremos su ordenada. Ejemplo: Vx = 2 3 = 1’5, Vy = (1’5)2 - 3·(1’5) – 4 = - 6’25 El vértice es el punto (1’5, -6’25) 3. Puntos de corte con los ejes.

Eje Y → (0, c)

Eje X → Hemos de resolver la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0. Podemos obtener:

- 2 soluciones: la parábola corta al eje de abcisas en dos puntos. - 1 solución, que coincide con el vértice.

- Ninguna solución: la parábola está toda por encima del eje X (si a>0) o por debajo (si a<0)

Ejemplo: Eje Y → (0, -4)

Eje X → x2 - 3x – 4 = 0 → x = -1 y x = 4 → (-1, 0) y (4, 0) 4. Obtención de algunos puntos próximos al eje. Aparte del vértice y de los puntos

de corte con los ejes, completamos la tabla de valores calculando la función en otros puntos próximos al vértice.

Para ello, tendremos en cuenta que los valores a la misma distancia del eje de simetría (y = Vx) tienen el mismo valor.

Ejemplo: En este caso el eje de simetría es y = 1’5, por lo que los valores simétricos serán 1 y 2, 0 y 3, -1 y 4…

x 1’5 0 -1 4 3 1 2

y -6’25 -4 0 0 -4 -6 -6 5. Con los puntos obtenidos, representaremos la parábola.

10. FUNCIONES RACIONALES. LA HIPÉRBOLA.

d cx b ax  

se representan gráficamente por una hipérbola, que es de la siguiente forma:

También son funciones de este tipo las de la forma y = e + h gx f  . Ejemplos: y = x 6 , y = 3 + x 2 , y = x 5 2 x 3  

Como características fundamentales de esta función cabe destacar:

- Hay un valor de x para el que no está definida la función, por lo que no pertenece al dominio. Este punto es el que anula el denominador.

Para representar estas funciones gráficamente, lo primero que haremos será calcular el dominio.

Ejemplo: y =

x 6

→ Dom f = R – {0}

- La hipérbola tiene dos ramas infinitas llamadas asíntotas, una horizontal y otra vertical. Las asíntotas son rectas a las que se aproxima la función aunque nunca llega a tocarlas.

Para calcular las asíntotas, seguiremos los siguientes pasos: o Asíntota Vertical: Es la recta x = punto que falla del dominio o Asíntota Horizontal: Es la recta y =

c a

Si la ecuación de la hipérbola viene dada de la forma y = e + h gx

f

 , la ecuación de la asíntota horizontal es y = e

Ejemplo: y =

x 6

AV: x = 0 AH: y = 0

Para representar gráficamente estas funciones, hemos de conocer el dominio, las asíntotas y dar algunos puntos para saber por dónde va la función

Ejemplo: y =

x 6

x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6

y -1 -2 -3 -6 6 3 2 1

Las funciones del tipo y =

x k

son hipérbolas cuyo dominio es siempre R – {0}, y sus asíntotas son los ejes coordenados. Se llaman funciones de proporcionalidad inversa.

11. FUNCIONES RADICALES

Las funciones y = x , y = - x se pueden representar gráficamente dando lugar a gráficas que son mitades de parábolas sobre el eje de las X.

Las funciones que veremos en este tema son del tipo y = a cxb La forma que tienen estas funciones es:

x

 x

Para representarlas gráficamente, los primero que tenemos que conocer es el dominio y su forma (si va hacia la derecha o hacia la izquierda y si va hacia arriba o hacia abajo). Seguidamente, daremos una tabla de puntos y la dibujaremos.

Ejemplo: y = 4 - 2 x  1 Dom f = [1, +  [

Como la raíz es negativa, va hacia abajo, y como la x de dentro de la raíz es positiva, va hacia la derecha

x 1 2 5 10

y 4 2 0 -2

12. FUNCIONES EXPONENCIALES

Se llaman funciones exponenciales a las que tienen por ecuación y = ax, siendo la base a un número real positivo distinto de cero.

Son funciones contínuas, definidas en todo R, y siempre pasan por los puntos (0, 1) y (1, a).

Si a > 1, son crecientes. Si a < 1, son decrecientes.

EJERCICIOS

1) Se suelta un globo que se eleva y, al alcanzar cierta altura, estalla. La siguiente gráfica representa la altura, con el paso del tiempo, a la que se encuentra el globo hasta que estalla.

a) ¿A qué altura estalla? ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos? b) ¿Qué variables intervienen? ¿Cuál es el dominio de definición de la función? c) ¿Qué altura gana el globo entre el minuto 0 y el 4? ¿Y entre el 4 y el 8? ¿En cuál

de estos dos intervalos crece más rápidamente la función?

2) Para medir la capacidad expiatoria de los pulmones, se hace una prueba que consiste en inspirar al máximo y después espirar tan rápido como se pueda. Esta curva indica el volumen de aire que entra y sale de los pulmones.

a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial? b) ¿Cuánto tiempo duró la observación?

c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona? d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba? 3) Esta es la gráfica que indica cómo se recorrió una etapa cicloturística.

b) ¿En qué tramo van más deprisa y en cuál más despacio? ¿Dónde crees que está la cima?

4) En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve la cantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día.

a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana? b) ¿A qué hora es el recreo? ¿Cuánto dura?

c) El puesto se cierra a mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa. ¿Cuáles fueron los ingresos de esta mañana?

d) ¿Cuál es el horario de tarde en el colegio? e) ¿Es una función continua o discontinua

5) Carmen, Gonzalo, Elena y Luís comentan cómo han ido al colegio:

o Carmen: Vine en moto, pero se me olvidó un trabajo que tenía que entregar y tuve que volver a casa. Luego corrí todo lo que pude hasta llegar al colegio. o Gonzalo: Mi madre me trajo en conche, pero nos encontramos con un atasco

a mitad de camino.

o Elena: Me encontré en el portal de mi casa con un amigo que va a otro colegio. Hicimos juntos una parte del camino, y cuando nos separamos tuve que darme prisa porque se me hacía tarde.

o Luís: Salí de casa muy deprisa porque había quedado con María y llegaba tarde. Después hicimos el camino juntos con más calma.

Cada una de estas gráficas muestra la trayectoria que han llevado desde la salida de su casa hasta el colegio.

a) ¿Cuál es la gráfica que corresponde a la descripción que ha hecho cada uno? b) ¿Quién vive más cerca del colegio?

c) ¿Quién tardó menos en llegar?

6) Hallar el dominio de las siguientes funciones: a) 8 x 2 x 1 y ₂    b) y x5 c) 8 x 2 x 1 y ₂    d) y x5 e) 15 x 5 1 y   f) 1 x 3 y ₂    g) ₂ x x 4 1 y   h) 6 x x x 1 y ₂     i) y 2x7 j) y 2x k) y x l) y x2 5x6

7) Observa la gráfica de la siguiente función y responde:

a) ¿Cuál es su dominio de definición?

b) ¿Tiene máximo y mínimo? En caso afirmativo, ¿cuáles son? c) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes?

d) ¿Para qué valores de x es creciente y para cuáles es decreciente?

8) Observa las cuatro gráficas siguientes:

a) Di cuáles son sus puntos de discontinuidad y su dominio de definición. b) ¿en qué intervalos son crecientes y en cuáles decrecientes?

c) Di los puntos de corte con los ejes. d) Calcula máximos y mínimos.

9) Dadas las funciones f(x) = 3x + 5 y g(x) = x – 4, calcula: a) g _ f (x)

b) f _ g (x)

c) f _ f (x) d) g _ g _ f (x) 10) Calcula las inversas de las siguientes funciones:

a) f(x) = 5x – 7

b) g(x) = -3x + 1 c) h(x) = ₂

7 x 3 

d) p(x) = x – ½

11) Halla en cada caso, la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados: a) A(0, 3) B(4, -3)

b) A(17, 25) B(-3, 15)

c) A(-4, 5) B(1, 5/4) d) A(2’75, 8) B(4’25, 3’5) 12) Halla la pendiente de las siguientes rectas obteniendo dos de sus puntos:

a) y = 2x – 5

b) y = -3x c) y = ₄ 1

x 3



Comprueba en cada caso, que coincide con el coeficiente de la x (puesto que la y está despejada).

13) Di cuál es la pendiente de las siguientes rectas observando el coeficiente de la x: a) y = x – 4 b) y = -x c) y = - 4 d) y = 2 5 x 4  e) y = 4 x 2 3  f) y = 7/3 14) Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos:

a) A(5, 0) B(0, 3) b) A(-4, 1) B(-2, 5)

c) A(2, -3) B(-1, 2) d) A(1/2, 3) B(-2, -3/2)

15) Escribe, en cada caso, la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto P(-2, -3) a) y = 3x – 5 b) y = 3 c) x – 2y + 4 = 0 d) 5y – 2x – 3 = 0 16) Representa gráficamente: a) y = -2x b) y = -x c) y = - 5 d) y = x -5 17) Escribe la ecuación de las siguientes rectas:

a) Su pendiente es m = -2/3 y pasa por el punto P(-1, 2) b) Su pendiente es m = 5 y su ordenada en el origen es -4 c) Es paralela a 2x – y + 4 = 0 y pasa por el punto P (-3, 2) 18) Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes rectas:

a) y = -3 + 2 (x – 1) b) y = 3x + 15

c) –x + 4y = -2 d) x – y = 0

19) Halla el valor que debe tener s para que el punto A (s, 5) esté sobre la recta que pasa por (3, -2) y (-5, 1)

20) En el recibo mensual de la luz pagamos un coste fijo de 10 €. Además pagamos 0,2€ por cada kw-h consumido.

a) Escribe la función que nos da el importe del recibo según los kw-h consumidos y represéntala

b) Si el recibo del mes de enero fue de 35€, ¿cuántos kw-h consumieron?

21) En las llamadas telefónicas interurbanas, el tiempo que dura un paso del contador depende de la hora de la llamada:

De 8 h. a 14 h. ... 12 segundos De 14 h. a 20 h. ... 18 segundos De 20 h. a 8 h. del día siguiente ... 24 segundos

a) Representa gráficamente la función que da la duración del paso del contador según la hora de la llamada para un día completo.

b) Busca la expresión analítica de esa función

22) Una casa de reprografía cobra 5 céntimos por fotocopia. Ofrece también un servicio de multicopia por el que cobra 50 céntimos fijos por el cliché y 1,5 céntimos por cada copia de un mismo ejemplar

a) Haz, para cada caso, una tabla de valores que muestre lo que hay que pagar según el número de copias realizadas. Representa las funciones obtenidas.

b) ¿Tiene sentido unir los puntos en cada una de ellas? c) Obtén la expresión analítica de cada función.

d) ¿A partir de cuántas copias es más económico utilizar la multicopista? 23) Un fontanero cobra 18€ por el desplazamiento y 15€ por cada hora de trabajo.

a) Haz una tabla de valores de la función tiempo-coste y represéntala gráficamente. b) Si ha cobrado por una reparación 70,5€, ¿cuánto tiempo ha invertido en la

reparación?

24) Mientras ascendíamos por una montaña, medimos la temperatura y obtuvimos los datos de esta tabla:

Altura (m) 0 360 720 990

Temperatura (ºC) 10 8 6 4.5

a) Representa la función altura-temperatura y busca su expresión analítica. b) ¿A partir de qué altura es menor que 0ºC?

25) Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos:

a)              6 x 1 6 x 3 13 x 2 3 x 4 x ) x ( f b)             5 x 2 5 x 0 3 x 0 x 3 ) x ( f

26) Representar gráficamente las siguientes funciones: a) y = 3x2 – 5x + 7 b) y = -2x2 + 5x – 2 c) y = x2 – 4 d) y = - x2 + 2 e) y = x2 – 2x + 3 f) y = x2 – 6x + 5 g) y = ¼ x2 + x – 2 h) y = - 2x2 + 10x - 8 27) Representa gráficamente: a) y = 3 x 1  b) y = 4 x 3   c) y = 2 x 5 x 3   d) y = 1 x 3 x   e) y = 1 x 2 x 3   28) Representa gráficamente: a) y = x 2 b) y = 2  x c) y = - 2 x d) y = 3x e) y = 4 x 29) Representa gráficamente: a) y = 3 2x b) y = 2x/5 c) y = 2x +3 d) y = 1 – 3x e) y = 2x-2 f) y = x 3 1       g) y = 1 x 2 1       