Vibración libre de vigas de material isotrópico utilizando el método de elementos finitos

Vibración libre de vigas de material isotrópico

utilizando el método de elementos finitos

Authors Balarezo Salgado, José Illarick; Corilla Arroyo, Edgard Cristian

Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)

Rights info:eu-repo/semantics/openAccess; Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International

Download date 08/09/2021 05:03:42

Item License http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

1

UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS

FACULTAD DE INGENIERÍA

PROGRAMA ACADÉMICO DE INGENIERÍA CIVIL

VIBRACIÓN LIBRE DE VIGAS DE MATERIAL ISOTROPICO UTILIZANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

TRABAJO DE INVESTIGACION

Para optar el grado de bachiller en Ingeniería Civil

AUTOR(ES)

Balarezo Salgado, José Illarick (0000-0002-4564-4913) Corilla Arroyo, Edgard Cristian (0000-0001-7693-0974)

ASESOR

Arciniega Alemán, Román Augusto (0000-0001-8179-1307)

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"El peor enemigo del conocimiento no es la ignorancia, es la ilusión del conocimiento"

STEPHEN HAWKING

DEDICATORIA

A mis padres Edgar y Doris, mi hermana Nataly, mis abuelos, familiares, por las enseñanzas y apoyo a lo largo de mi vida para el desarrollo de mis objetivos.

- 2 - AGRADECIMIENTOS

En primera instancia, a Dios por guiar por el camino correcto y permitir pese a las adversidades que viene aconteciendo el mundo concluir con el objetivo.

En segunda instancia, al profesor Román Arciniega Alemán, persona de gran vocación por compartir conocimientos, valores, aptitudes quien se ha esforzado por ayudar a encontrarse aquí, gracias al conocimiento compartido y la confianza depositada, se ha logrado el importante objetivo como la culminación del trabajo de investigación.

A Kurt Soncco, por el apoyo brindando y la motivación para la culminación del objetivo. Al CEIE UPC, por permitir ser parte de ello, donde se cultivó y se fortaleció la pasión por la rama de ingeniería estructural. Más aún, el compromiso de la labor que se tiene con la sociedad.

A los profesores David Álvarez, Guillermo Huaco, Freddy Duran y Edisson Moscoso por cada lección emprendida y las enseñanzas de vida en mejora a mi formación profesional. Asimismo, a mis amigos del CEIE UPC, por su apoyo y motivación para el crecimiento profesional y personal.

- 3 - RESUMEN

Esta investigación se enfoca en el análisis de vibración libre de vigas de material isotrópico utilizando el método de elementos finitos. Se desarrolla el modelo utilizando el principio de Hamilton y la teoría de vigas Timoshenko que incluye deformaciones por corte. Se asume interpolaciones de alto orden para la aproximación de las variables fundamentales. Los materiales para emplear son isotrópicos. Se implementa un programa para estos materiales en MATLAB. Se comparan resultados con otros obtenidos en la literatura para validar el modelo. Se realiza un estudio paramétrico con una misma longitud y diferentes esbelteces. Se verifica que la formulación sea bastante precisa con resultados muy satisfactorios

Palabras clave: Teoría de viga Timoshenko, Principio de Hamilton, Elementos Finitos,

- 4 - ABSTRACT

Free vibration of Timoshenko beams using the finite element method

This research focuses on the free vibration analysis of isotropic beams using the finite element method. The model is developed using the Hamilton principle and the Timoshenko beam theory that includes shear deformations. high order interpolations are assumed for the approximation of the fundamental variables. The materials to be used are isotropic. A program for these materials is implemented in MATLAB. Results are compared with others obtained in the literature to validate the model. A parametric study is carried out with the same length and different slenderness. It is verified that the formulation is quite precise with satisfactory results to the investigation.

Keywords: Timoshenko beam theory, Hamilton's principle, Finite Elements, MATLAB,

- 5 -

TABLA DE CONTENIDO

CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN ... 9

1.1 ANTECEDENTES ... 10

1.2 REALIDAD PROBLEMÁTICA ... 11

1.3 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ... 11

1.4 HIPÓTESIS ... 11

1.5 OBJETIVO GENERAL ... 11

1.6 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 12

1.7 LIMITACIONES ... 12

1.8 JUSTIFICACIÓN ... 12

CAPITULO 2.- FORMULACIÓNTEÓRICA ... 13

2.1 DESCRIPCIÓNDEUNMATERIALISOTROPICOS ... 13

2.1.1 RELACIÓN CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL ISOTROPICO ... 14

2.2 TEORÍADEVIGAS ... 16

2.2.1 TEORÍA DE TIMOSHENKO ... 16

2.3 PRINCIPIODEHAMILTON ... 19

2.4 FORMULACIÓNVARIACIONAL ... 20

CAPITULO 3.- MODELODEELEMENTOSFINITOS ... 25

3.1 FORMULACIÓNDEELEMENTOSFINITOS ... 25

3.1.1 CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO ... 25

3.1.2 CALCULO DE LA MATRIZ DE MASA DEL ELEMENTO ... 27

3.1.3 VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS ... 28

3.2 PROGRAMACIÓNDEMATLAB ... 29

3.2.1 ELABORACIÓN DEL CÓDIGO ... 29

3.2.2 SUBRUTINAS ... 29

CAPITULO 4.- RESULTADOS ... 31

4.1 PROBLEMASDEVERIFICACIÓNCONOTROSMODELOS ... 31

4.2 ESTUDIOPARAMÉTRICO ... 34

CAPITULO 5.- CONCLUSIONESYRECOMENDACIONES ... 38

- 6 -

ÍNDICE DE TABLAS

Tabla 1,- Relaciones Entre Constantes Elásticas (Material Isótropo Lineal). ... 14 Tabla 2.- Tabla de número de constantes ... 15 Tabla 3.-Vibración libre comparación para casos isotrópicos de material hecho de acero con diferente número de elementos para una viga libre en ambos lados con P = 4. ... 32 Tabla 4.-Vibración libre comparación para casos isotrópicos de material hecho de acero con diferente número de elementos para una viga empotrada libre con P= 4. ... 32 Tabla 5.-Vibración libre comparación para casos isotrópicos de material hecho de acero con diferente número de elementos para una viga empotrada en ambos lados con P = 4. ... 33 Tabla 6.- Frecuencia natural de la viga por cada modo de vibración w con condición de borde empotrado-libre con P=8 y N=4. ... 34

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ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Campo de desplazamientos de Timoshenko. Elaboración propia ... 16

Figura 2.Vibración de modo 1 de viga Euler - Bernoulli con diferentes esbelteces.

Elaboración propia. ... 35

Figura 3. Vibración de viga Euler - Bernoulli los tres primeros modos con H = 0.003 m. Elaboración propia. ... 35 Figura 4. Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.003 m. Elaboración

propia ... 36

Figura 5. Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.0025 m. Elaboración

propia. ... 36

Figura 6. Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.002 m. Elaboración

propia. ... 37

Figura 7. Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.001 m. Elaboración

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LISTA DE SÍMBOLOS

-Constante relacionada con las propiedades del material, a partir de la deformación axial.

-Esfuerzo resultante

-Coeficientes de rigidez

-Módulo de Young en la dirección

-Módulo elástico transversal en el plano ij

-Componente lineal de la deformación.

-Coordenadas en el campo de desplazamiento de Timoshenko -Energía de deformación elástica

-Energía cinética del sistema -Trabajo Virtual Interno

-Desplazamiento de la superficie de referencia

-Coordenadas principales -Densidad del material

9 Capitulo 1.- INTRODUCCIÓN

Es importante describir el comportamiento dinámico de las estructuras para diseñar elementos resilientes, resistentes y duraderos. La teoría de la resistencia a la flexión y la rigidez de las vigas se desarrolló durante casi 400 años, con varios giros, vueltas y callejones sin salida en el camino. A Galileo Galilei a menudo se le atribuye la primera teoría publicada sobre la resistencia de las vigas en la flexión por su libro “Diálogos sobre dos nuevas ciencias” (Galilei, 1945).

Los materiales isotrópicos son cuando tienen las mismas propiedades en todas las direcciones, por ejemplo, caucho, aluminio y acero. Para aclarar, el caucho de silicona fue validado con un comportamiento mecánico elástico lineal e isotrópico con resultados experimentales con un modelo numérico de elementos finitos (Isaza, 2013). Estos materiales son usados en proyectos en el campo de la ingeniería civil y mecánica por sus ventajas de ductilidad y resiliencia. Además, se establece que los edificios de materiales isotrópicos como el acero tuvieron una respuesta satisfactoria antes cargas dinámicas (Tapia-Hernández, 2020).

La formulación de desplazamiento de campo se basa en la teoría de vigas de Timoshenko para un modelo de elementos finitos. Además, las propiedades del material de la viga isotrópico varían a lo largo del espesor considerando una masa para tres condiciones de contorno diferentes: soporte simple, soporte en ambos lados y libre - libre. Los resultados numéricos y la precisión de la formulación se han comparado y validado con otras investigaciones basadas en la literatura.

Para el presente trabajo la pregunta central es ¿Con la utilización de la teoría de Timoshenko, el Principio Hamilton y el método de elementos finitos en el análisis del modelo se puede describir mejor el comportamiento de vibración libre de una viga de material isotrópico? La hipótesis central es que la teoría de Timoshenko brinda una mejor descripción del comportamiento de una viga de material isotrópico. El objetivo central es desarrollar un modelo computacional que describa, calcule y analice la vibración libre de vigas de materiales isotrópicos.

Para llevar a cabo el estudio, el trabajo se ha estructurado en cinco capítulos. En el capítulo I “Introducción” se efectúa como la hipótesis, antecedentes, formulación problemática y objetivos. Posteriormente, se introduce en el capítulo II “Formulación Teórica” que se ha estructurado con cuatro subcapítulos; en el subcapítulo I “Materiales Isotrópicos” se detalla los tipos de materiales isotrópicos. Consecuentemente, en el

10 subcapítulo II “Teoría vigas” se efectúa primeramente la teoría de Euler-Bernoulli, la cual es la más usada en estos tiempos, que permitan comprender su comportamiento en estos elementos estructurales. Seguidamente, se presenta la teoría de Timoshenko donde se considera la deformación por corte dentro de la viga que permitan comprender mejor su comportamiento. Además, en el subcapítulo III “Principio de Hamilton” se efectúa del comportamiento dinámico de la viga y el análisis energético (Vibración Libre). en el subcapítulo IV “Formulación Variacional” se realiza la formulación final a partir de los principios y teorías antes mencionadas. Consecuentemente, en el capítulo III “Modelo de elementos finitos” se ha estructurado con tres subcapítulos, en el subcapítulo I “Introducción” se describe el método de elementos finitos, sus antecedentes y sus principios. Asimismo, en el subcapítulo II “Formulación de Elementos Finitos” a partir de la implementación del método de elementos finitos en las ecuaciones resultantes de la formulación variación se obtiene la matriz de rigidez y masa. Además, en el subcapítulo III “Programación de MATLAB “se efectúa el programa implementado en el software. Después, se realizará el capítulo IV “Resultados” se describe la hipótesis central si es que es verídico. Finalmente, en el capítulo V “Conclusiones y Recomendaciones”.

1.1 Antecedentes

En la literatura, existen excelentes contribuciones a los estudios de vibración libre de una viga con la teoría mejorada de primer orden. (Meirovitch,2010) analizó la vibración libre de una viga con condiciones de borde empotrado – libre. Desarrollo un modelo de elementos finitos basado en la teoría de Euler – Bernoulli. Se empleó el principio de Hamilton para la formulación variacional dinámica. (Rao,2007) calcularon las frecuencias de una vibración libre para la Teoría de Euler – Bernoulli para diferentes condiciones de borde. (Rao,2007) obtuvo las ecuaciones de los modos de vibración para diferentes condiciones de borde utilizando la teoría de vigas Euler – Bernoulli y Timoshenko. (Kanakaraj, U., & Lhaden, T ,2015), obtuvieron la frecuencia de una viga de vibración libre utilizando ecuaciones de gobierno de Lagrange, basada en elementos finitos con una sección rectangular. Los autores consideraron la deformación por cortante en su formulación, donde el factor de corrección es igual k= 5/6. Los autores concluyeron que el efecto de los parámetros geométricos y las condiciones de contorno juegan un papel muy importante en el análisis de vibraciones.

Después del italiano en su aporte aproximadamente 40 años después de la publicación de “Diálogos sobre dos nuevas ciencias”. Robert Hooke (1636-1703), publicó su ley de

11 deformación para resortes elásticos en 1678. Distingue entre los esfuerzos de tensión, compresión y flexión. Con respecto a esto último, estableció que las fibras están parcialmente extendidas, en parte acortadas. En otras palabras, declaró indirectamente la existencia del eje neutro y, al final, a través de su ley lineal, haciendo posible la superposición (Zimmermann, 1987).

De acuerdo con lo anterior, las teorías de vigas que tienen en cuenta esta deformación se pueden clasificar en dos grupos: Teoría de viga de Timoshenko y teorías de alto orden con deformación por cortante. Estas últimas emplean diferentes funciones como campo de desplazamiento, como pueden ser: polinómicas, trigonométricas, hiperbólicas, exponenciales.

1.2 Realidad problemática

Existen materiales convencionales como el concreto y el acero que tiene una considerable esbeltez, pero estos no generan un porcentaje considerable de deformación de corte. Sim embargo, los materiales elásticos homogéneos e isótropos son los que presentan el mismo comportamiento mecánico para cualquier dirección de estiramiento alrededor de un punto. Por lo tanto, la teoría de Timoshenko es aplicable para estos casos. Por un lado, estos materiales son muy usados en la construcción. Por otro lado, se requiere conocer sus frecuencias naturales de vibración libre de estos materiales. La importancia de estos es comprender el comportamiento vibratorio, ya que es importante para el diseño.

1.3 Formulación del problema

¿Con la utilización de la teoría de Timoshenko, el Principio Hamilton y el método de elementos finitos en el análisis del modelo se puede describir mejor el comportamiento de vibración libre de una viga de material isotrópico?

1.4 Hipótesis

La teoría de Timoshenko brinda una mejor descripción del comportamiento de vibración libre de una viga de material isotrópico.

1.5 Objetivo General

Desarrollar un modelo computacional que describa, calcule y analice la vibración libre de vigas de materiales isotrópicos.

12 1.6 Objetivos Específicos

- Modelar el comportamiento de vibración libre de vigas de materiales isotrópicos utilizando la teoría de Timoshenko

- Resolver el modelo analítico utilizando el método de elemento finitos bajo el principio de los trabajos virtuales implementando un programa en MATLAB 1.7 Limitaciones

- Se aplica a vigas isotrópicas.

- Se está utilizando la teoría de Timoshenko.

- Se analiza la vibración libre que es aplicable a materiales isotrópicos. 1.8 Justificación

Debido al avance del desarrollo de alta tecnología en los materiales isotrópicos es necesario proponer modelos refinados que tomen en cuenta el comportamiento por cortante de los elementos estructurales como las vigas, siendo el modelo complejo para situaciones analíticas se propone usar el método de elementos finitos para el análisis de vibración libre de las vigas. Se fundamenta en los principios de la mecánica.

13 Capitulo 2.- FORMULACIÓN TEÓRICA

En el presente capitulo, se presenta el marco teórico de la formulación de viga de material isotropico. En primer lugar, se explica el comportamiento de los materiales isotrópicos. En segundo lugar, se detalla las teorías de vigas que nos ayudaran a entender el comportamiento de este tipo viga. Posteriormente, se estudia el principio de Hamilton, el cual nos ayudara para obtener la matriz masa. Finalmente, se analiza un caso de estudio donde nos ayuda a entender el cálculo de las frecuencias de vibración y las variables necesarias para su obtención.

2.1 DESCRIPCIÓN DE UN MATERIAL ISOTROPICOS

Un material isotrópico es aquel en el que todas sus propiedades son idénticas en todas las direcciones. Existen materiales que debido a las diferencias del arreglo atómico en los planos y direcciones dentro de un cristal varían sus propiedades, cuando las propiedades varían por su dirección se denomina material anisotrópico

Un sólido elástico lineal e isótropo queda caracterizado sólo mediante dos constantes elásticas. Aunque existen varias posibles elecciones de este par de constantes elásticas, las más frecuentes en ingeniería estructural son el módulo de Young y el coeficiente de Poisson (otras constantes son el módulo de rigidez, el módulo de compresibilidad, y los coeficientes de Lamé).

Los materiales elásticos homogéneos e isótropos son los que presentan el mismo comportamiento mecánico para cualquier dirección de estiramiento alrededor de un punto. Así por ejemplo dado un ortoedro de un material homogéneo e isótropo, el módulo de Young y el coeficiente de Poisson son los mismos, con independencia de sobre qué par de caras opuestas se ejerza un estiramiento. Debido a esa propiedad puede probarse que el comportamiento de un material elástico homogéneo isótropo queda caracterizado por sólo dos constantes elásticas. (Bravo,2014)

En diversos campos son comunes las siguientes elecciones de las constantes:

 En ingeniería estructural. La elección más frecuente es el módulo elástico longitudinal y el coeficiente de Poisson (E, ν) [a veces también se usa la elección equivalente (E, G)].

 En termodinámica de sólidos deformables resulta muy útil escoger el par (K, G) formado por el módulo de compresibilidad (isotérmica) K y el módulo elástico transversal G.

14

 Coeficientes de Lamé (λ, μ) que también aparecen en el desarrollo de Taylor de la energía libre de Helmholtz.

Así tenemos un total de seis constantes elásticas comúnmente usadas: E, ν, K, G, λ y μ. Dos cualesquiera de ellas caracterizan completamente el comportamiento elástico, es decir, dado cualquier parámetro elástico de un material puede expresarse como función de dos cualesquiera de los parámetros anteriores. Obviamente, todos estos pares de constantes elásticos están relacionados entre sí, como se resume en la siguiente tabla:

Tabla 1 𝑬: 𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒀𝒐𝒖𝒏𝒈 𝝊: 𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒐𝒏 𝑲: 𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑮: 𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛 𝝀: 𝟏°𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒎é 𝝁: 𝟐°𝑪𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝑳𝒂𝒎é (𝑬, 𝝊) --- 𝐾 = 𝐸 3 ∗ (1 − 2𝜐) 𝐺 = 𝐸 2 ∗ (1 + 𝜐) 𝜆 = 𝜐 ∗ 𝐸 (1 + 𝜐)(1 − 2𝜐) 𝜇 = 𝐸 2 ∗ (1 + 𝜐) (𝑲, 𝑮) 𝐸 = 9𝐾𝐺 3𝐾 + 𝐺 𝜐 = 3𝐾 − 2𝐺 2 ∗ (3𝐾 + 𝐺) --- 𝜆 = 𝐾 −2𝐺 3 𝜇 = 𝐺 (𝝀, 𝝁) 𝐸 =𝜇 ∗ (3𝜆 + 2𝜇) 𝜆 + 𝜇 𝜐 = 𝜆 2 ∗ (𝜆 + 𝜇) 𝐾 = 𝜆 +2 ∗ 𝜇 3 𝐺 = 𝜇 ---

Nota: Relaciones Entre Constantes Elásticas (Material Isótropo Lineal). Elaboración propia. 2.1.1 RELACIÓN CONSTITUTIVA DE UN MATERIAL ISOTROPICO

Tensor de Elasticidad

La ley de Hooke generalizada que relaciona las tensiones con las deformaciones, al ser expresa en la notación de Voight se puede escribir mediante la siguiente expresión:

𝜎_𝑖 = 𝐶_𝑖𝑗𝜀_𝑗

(1) donde 𝜎_𝑖 son los componentes de la tensión, 𝐶_𝑖𝑗 es la matriz de rigidez y 𝜀_𝑗 son los componentes de la deformación. La relación tensión-deformación y la correspondiente

15 matriz de rigidez para el anisotrópico o triclínico (sin planos de simetría para las propiedades del material) caso elástico lineal se muestran a continuación.

[ 𝜎₁₁ 𝜎₂₂ 𝜎₃₃ 𝜎₂₃ 𝜎₁₃ 𝜎₁₂] = [ 𝐶₁₁ 𝐶₁₂ 𝐶₂₁ 𝐶₂₂ 𝐶₁₃ 𝐶₁₄ 𝐶₂₃ 𝐶₂₄ 𝐶₁₅ 𝐶₁₆ 𝐶₂₅ 𝐶₂₆ 𝐶31 𝐶32 𝐶₄₁ 𝐶₄₂ 𝐶₃₃ 𝐶₃₄ 𝐶₄₃ 𝐶₄₄ 𝐶₃₅ 𝐶₃₆ 𝐶₄₅ 𝐶₄₆ 𝐶₅₁ 𝐶₅₂ 𝐶61 𝐶62 𝐶₅₃ 𝐶₅₄ 𝐶63 𝐶64 𝐶₅₅ 𝐶₅₆ 𝐶65 𝐶66][ 𝜀11 𝜀22 𝜀33 2𝜀₂₃ 2𝜀₁₃ 2𝜀12] (2)

Donde la propia matriz de rigidez es simétrica, lo que implica que solo 21 de las 36 son constantes elásticas independientes. Según el tipo de material, se producen diferentes grados de simetría de las propiedades del material y se observa una reducción posterior en el número de constantes elásticas en la matriz de rigidez. Uno de ellos es la matriz de rigidez que se muestra a continuación, que describe el caso de las relaciones tensión-deformación en coordenadas alineadas con las direcciones principales del material, es decir, las direcciones que son paralelas a las intersecciones de los tres planos ortogonales de la simetría de las propiedades del material. (Arciniega, 1997).

Para el caso de estudio se considera el análisis de materiales isotrópicos generales el cual posee un numero de constantes e independientes. (Ver Tabla 2).

Tabla 2

Tabla de número de constantes

Tipo de material # Constantes no nulas # Constantes independientes Tridimensional Anisotrópico 36 21 Ortotrópico general 36 9 Isotrópico 12 2 Bidimensional Anisotrópico 9 6 Ortotrópico general 9 4 Isotrópico 5 2

Nota: Constantes de elasticidad para diferentes tipos de materiales. Elaboración propia.

Para el caso de materiales isotrópicos los cuales presentan el mismo comportamiento mecánico en cualquier dirección del estímulo alrededor de un punto, la matriz se reduce

16 aún más, quedando solo 3 constantes independientes, por lo tanto, la matriz será de la siguiente forma: 𝐶𝑖𝑗𝑘𝑙 = [ 𝐶₁₁ 𝐶₁₂ 𝐶₁₂ 𝐶₁₁ 𝐶₁₂ 0 𝐶₁₂ 0 0 0 0 0 𝐶12 𝐶12 0 0 𝐶₁₁ 0 0 𝐶44 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝐶₄₄ 0 0 𝐶44] (3) 2.2 TEORÍA DE VIGAS 2.2.1 TEORÍA DE TIMOSHENKO

Esta teoría brinda mejores resultados en vigas poco esbeltas. Está teoría considera la deformación por corte, que no contempla en el modelo Bernoulli-Euler. Asimismo, las secciones planas permanecerán planas, pero ya no perpendicular al eje del elemento, como se puede visualizar en la (Ver Fig. 2), (Timoshenko, 1921; Wang, C. M, Wang, C. Y. & Reddy, 2005).

Figura 1. Campo de desplazamientos de Timoshenko. Elaboración propia

a) Campo de desplazamiento:

En un punto cualquiera se puede describir este fenómeno.

𝑢1(𝑥1, 𝑥3) = 𝑢0(𝑥1) − 𝜑1(𝑥1). (𝑥3)

𝑢2(𝑥1, 𝑥3) = 0

𝑢3(𝑥1, 𝑥3) = 𝑤0(𝑥1) donde:

17 φ1; menciona la hipótesis de Timoshenko que la viga no permanece perpendicular

b) Campo de deformaciones cinemáticas o relación de deformación – desplazamiento

El tensor de deformaciones de Green – Lagrange es dado por la siguiente expresión, donde la componenete no lineal se desprecia ( Ver ecuación ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia.).

Reemplazando el campo de desplazamiento en las ecuaciones anteriores resulta lo siguiente: 𝜀₁₁= 𝑑𝑢1 𝑑𝑥₁ = 𝑑𝑢₁0 𝑑𝑥₁ + 𝑥3 𝑑𝜑 𝑑𝑥₁ 𝜀31 = 𝜀13 = 1 2( 𝑑𝑢₁ 𝑑𝑥₃+ 𝑑𝑢₃ 𝑑𝑥₁) = 1 2(𝜑 + 𝑑𝑢₃0 𝑑𝑥₁) c) Resultante de Esfuerzos

Las resultantes de esfuerzos se definen como la sumatoria de los esfuerzos que actúan paralelamente al plano que la resiste en una sección alrededor de la dirección del peralte del elemento estructural. Debido a esta simplificación, se puede obtener resultantes de fuerzas y de momentos.

Primero se define el campo de desplazamiento general como se muestra a continuación. υ = u + φ(𝑥₃) + 𝜓(𝑥3)2+ ⋯

(4) Seguidamente, se expresa un tensor mediante la serie de Taylor en la vecindad de un punto, donde el punto es una superficie de referencie o eje neutro, se representa en la siguiente expresión.

𝜀 = 𝜀(0)_{+ (𝑥}

3)𝜀(1)+ (𝑥3)2𝜀(2)+ ⋯

(5) Esta expresión se puede presentar de una forma resumida utilizando los valor de i,j como se presenta a continuación.

𝜀_𝑖𝑗 = 𝜀_𝑖𝑗(0)+ (𝑥₃)𝜀_𝑖𝑗(1)+ (𝑥₃)2_𝜀 𝑖𝑗 (2)

18 𝜀𝑖𝑗 = ∑(𝑥3)𝑟 𝑛 𝑟=0 𝜀_𝑖𝑗(𝑟) (6)

Teniendo en cuenta el tensor de deformación podemos calcular los esfuerzos resultantes, el cual tiene la siguiente forma:

𝑁_𝑖𝑗(𝑟)= ∑ 𝐶_{𝑖𝑗𝑘𝑙}(𝑟+𝑠)𝜀_𝑘𝑙(𝑠) 𝑛

𝑠=0

= 𝐶_{𝑖𝑗𝑘𝑙}(𝑟)𝜀_𝑘𝑙(0)+ 𝐶_{𝑖𝑗𝑘𝑙}(𝑟+1)𝜀_𝑘𝑙(1)+ 𝐶_{𝑖𝑗𝑘𝑙}(𝑟+2)𝜀_𝑘𝑙(2)+ ⋯

Al realizar la expansión del esfuerzo resultante se considera la linealidad del tensor de deformaciones resultando la expansión de la siguiente forma:

𝑁₁₁(0) = 𝐶₁₁₁₁(0) 𝜀₁₁(0)+ 𝐶₁₁₁₃(0) 𝜀₁₃(0)+ 𝐶₁₁₃₁(0) 𝜀₃₁(0)+ 𝐶₁₁₁₃(1) 𝜀₁₃(1)+ ⋯ 𝑁₁₁(1) = 𝐶₁₁₁₁(1) 𝜀₁₁(0)+ 𝐶₁₁₁₃(1) 𝜀₁₁(0)+ 𝐶₁₁₃₁(1) 𝜀₁₁(0)

𝑁₁₃(0)= 𝐶₁₃₁₁(0) 𝜀₁₁(0)+ 𝐶₁₃₁₃(0) 𝜀₁₃(0)+ 𝐶₁₁₃₁(0) 𝜀₃₁(0)+ 𝐶₁₃₃₁(0) 𝜀₃₁(0)+ 𝐶₁₃₁₁(1) 𝜀₁₁(1)+ 𝐶₁₃₁₃(1) 𝜀₁₃(1)+… Asimismo, al tener en cuenta el campo de desplazamientos en los tensores de deformación, podemos verificar que algunos coeficientes de los esfuerzos resultantes son igual a cero. Siguiendo esta consideración la expresión de los esfuerzos resultante es la siguiente.

𝑁₁₁(0) = 𝐶₁₁₁₁(0) 𝜀₁₁(0)+ 2𝐶₁₁₁₃(0) 𝜀₁₃(0)+ 𝐶₁₁₁₃(1) 𝜀₁₃(1)

Para la simplificación de la expresión se utiliza la simplificación de Voight, obteniendo la siguiente ecuación:

𝑁₁(0)= 𝐶₁₁(0)𝜀₁(0)+ 2𝐶₁₅(0)𝜀₅(0)+ 𝐶₁₁(1)𝜀₁(1) (7) Finalmente, el esfuerzo resultante queda expresado de la siguiente forma:

𝑁₁(0)= 𝐴11𝜀1 (0) + 𝐵11𝜀1 (1) 𝑁₁(1)= 𝐵11𝜀1 (0) + 𝐷11𝜀1 (1)

Al expresar matricialmente, se obtiene la matriz del elemento como se presenta a continuación. [𝑁1 (0) 𝑁₁(1)] = [ 𝐴11 𝐵11 𝐵₁₁ 𝐷₁₁] [ 𝜀₁(0) 𝜀₁(1)] (8)

19 donde [𝐴11 𝐵11

𝐵₁₁ 𝐷₁₁] depende de la propiedad de los materiales y secciones.

El valor de 𝐴₁₁ , 𝐵₁₁, 𝐷₁₁ se obtiene de la siguiente forma:

𝐴₁₁ = 𝐸𝑏ℎ = 𝐸𝐴 (9) 𝐷11= 𝐸𝑏ℎ3 12 = 𝐸𝐼 𝐴55 = 𝐺𝐴 2.3 PRINCIPIO DE HAMILTON

El principio de Hamilton establece que es más conveniente operar con magnitudes energéticas, el cual establece que la función del desplazamiento u(t) que es solución exacta, y por ende que satisface las ecuaciones del movimiento (Doyle, 1991). Para analizar el problema de vibración libre esta componente se hace igual a cero. Posteriormente, se aterriza a un problema de autovalores y autovectores, cuya característica es que el termino cinético lo reemplazamos por una solución armónica que cumple con la condición.

∫ 𝐽 𝑑𝑡 = 0

(10)

donde:

𝐽 = (T − U ) +  W (11)

donde  denota la variación producida por un desplazamiento virtual (infinitésimo) a partir de la solución exacta u(t); T es la energía cinética del sistema; U es la energía de deformación elástica, y  W es el trabajo virtual que realizan las fuerzas no conservativas en la variación de la función u(t). Los límites de la integral son dos instantes distintos, en los cuales dicha variación es nula ( u  0 en t  t1 y t  t2). Al expandir la ecuación resulta lo siguiente.

20 ∫  (T − U ) +  Wdt = 0 𝑡2 𝑡1 (12) Luego: 𝛿 [∫ [𝐾 − (𝑈 + 𝑉)] 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡] = 0 ∫ [𝛿𝐾 − (𝛿𝑈 + 𝛿𝑉)] 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = 0 donde: 𝛿𝑈 = 𝛿𝑊𝑖 𝛿𝑉 = −𝛿𝑊_𝑒 Remplazando en la ecuación resulta lo siguiente.

∫ [𝛿𝐾 − 𝛿𝑊𝑖 + 𝛿𝑊𝑒)] 𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡 = 0 (13)

2.4 FORMULACIÓN VARIACIONAL

Por un lado, por medio de la teoría de Timoshenko, se procede a utilizar el Principio de Trabajo Virtual, el cual tiene las siguientes ecuaciones:

∫ 𝑊𝑇 = ∫ 𝑊𝐼− ∫ 𝑊𝐸 = 0 (14) ∫ 𝑊_𝐸 = ∫ 𝑞δ𝜔𝑑𝑥1 𝑋1 + ∫ 𝐹δu𝑑𝑥1 𝑋1 ∫ 𝑊_𝐼 = ∫ 𝜎_𝑖𝑗δ𝜀_𝑖𝑗𝑑𝑉 𝑉

Para el desarrollo de este trabajo de investigación nosotros estudiaremos el caso de vibración libre, por lo tanto, no se considera el efecto de las cargas externas. En consecuencia, no existe trabajo externo por lo tanto la energía total será por efecto de la energía interna.

21 Para el trabajo interno es necesario realizar la expansión de índices donde las variables que cambian serán 𝝈_𝒊𝒋, 𝜀_𝑖𝑗 por los valor de i, j=1,2, 3… , quedando las ecuaciones de la siguiente forma: δ𝑾_𝑰 = ∫ ∑ ∑ 𝐶_{𝑖𝑗𝑘𝑙}(𝑟+𝑠)𝜀_𝑘𝑙(𝑠) 𝑛 𝑠=0 𝑛 𝑟=0 δ𝜀_𝑖𝑗(𝑟)𝑑Ω 𝛀 (15)

De las ecuaciones de deformación observamos que solo 2 términos son diferentes de cero por ello al simplificar la ecuación resulta lo siguiente.

∫ 𝑾_𝑰= ∫(𝝈_𝟏𝟏δ𝜀₁₁+ 𝟐𝝈_𝟏𝟑δ𝜀₁₃)𝑑𝑉

𝑽 (16)

Al reemplazar los valores de las deformaciones 𝜀₁₁𝑦 𝜀₁₃ en la ecuación anterior resulta lo siguiente: ∫ 𝑾_𝑰= ∬(𝝈_𝟏𝟏δ 𝑿𝑨 (𝑑𝑢1 0 𝑑𝑥₁ − 𝒙𝟑 𝑑2_𝑢 3 0 𝑑𝑥₁2) + 𝟐𝝈𝟑𝟏δ (φ + 𝑑𝑢₃0 𝑑𝑥₁))𝑑𝐴𝑑𝑥 ∫ 𝑾_𝑰= ∬((𝝈_𝟏𝟏 𝑿𝑨 𝑑δ𝑢₁0 𝑑𝑥₁ − 𝝈𝟏𝟏𝒙𝟑 𝑑2_𝑢 30 𝑑𝑥₁2 ) + 𝛾31(𝛿φ + 𝑑𝑢₃0 𝑑𝑥₁))𝑑𝐴𝑑𝑥 Los esfuerzos resultantes para el caso de Timoshenko son las siguientes:

𝑁1 = 𝐴11𝜀1 (0) + 𝐵11𝜀1 (1) (17) 𝑀1 = 𝐵11𝜀1 (0) + 𝐷₁₁𝜀₁(1) (18) 𝑄5 = 𝐾_𝑆(𝐴₅₅𝜀₅(0)+ 𝐴₅₅𝜀₅(0)) (19) Donde 𝐾_𝑠 es el factor de Corte = 5/6 para una viga rectangular

Reemplazando el esfuerzo resultante en la ecuación de trabajo interno se obtiene:

∫ 𝑾_𝑰= ∫ [𝑁(𝑥₁)𝑑δ𝑢1 0 𝑑𝑥₁ + 𝑀(𝑥) 𝑑2𝑢₃0 𝑑𝑥₁2 + 𝑄(𝑥)(𝛿φ + 𝑑δ𝑢₃0 𝑑𝑥₁ ] 𝑥 𝑑𝑥

22 ∫ 𝑾_𝑻 = ∫ 𝑾_𝑰= ∫ [𝑁(𝑥₁)𝑑δ𝑢1 0 𝑑𝑥₁ + 𝑀(𝑥) 𝑑2_𝑢 3 0 𝑑𝑥₁2 + 𝑄(𝑥)(𝛿φ + 𝑑δ𝑢₃0 𝑑𝑥₁ ] 𝑥1 𝑑𝑥₁ Finalmente, el trabajo virtual queda expresada del siguiente modo:

∫ 𝑾𝑻 = ∫ 𝑾𝑰 = 𝟎 (20) ∫ 𝑾𝑰 = ∫ [[𝐴11𝜀1 (0) 𝛿𝜀₁(0)+ 𝐷11𝜀1 (1) 𝛿𝜀₁(1)+ 𝐵11𝜀1 (0) 𝛿𝜀₁(0)+ 𝐵11𝜀1 (1) 𝛿𝜀₁(1) 𝑥1 + 4𝐾_𝑆𝐴₅₅𝜀₅0𝛿𝜀₅(0)]] En términos de desplazamientos 0 = ∫ {[𝐴₁₁ 𝑑𝑢 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝑢 𝑑𝑥₁ + 𝐷11 𝑑𝜑1 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝜑1 𝑑𝑥₁ + 𝐵11 𝑑𝑢 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝑢 𝑑𝑥₁ 𝒙𝟏 + 𝐵₁₁𝑑𝜑1 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝜑₁ 𝑑𝑥₁ + 𝐾𝑆𝐴55𝜑1𝛿𝜑1+ 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝑤 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝑤 𝑑𝑥₁ + 𝐾_𝑆𝐴₅₅𝑑𝑤𝛿𝜑1 𝑑𝑥₁ + 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝑤 𝑑𝑥₁𝜑1]} 𝑑𝑥1 (21)

Por otro lado, a partir de la ecuación obtenida en el Principio de Hamilton, se analiza cada uno de los términos.

∫ [𝛿𝐾 − 𝛿𝑊_𝑖 + 𝛿𝑊_𝑒)] 𝑡2

𝑡1

𝑑𝑡 = 0

(22)

En primer lugar, se analiza el primer término:

∫ [𝛿𝐾]𝑑𝑡 = ∫ 𝛿 [1 2∫𝜌. 𝑢̇. 𝑢̇𝑑𝑣_𝑣 ] 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 𝑡2 𝑡1 = ∫ 𝛿 [1 2∫ 𝜌_𝑣 0. 𝑢̇. 𝑢̇𝑑𝑣0 0 ] 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 (23) donde, 𝑢̇ representa a la velocidad, 𝜌 representa la masa y 𝑣 representa el volumen. Al integrar por partes la ecuación anterior se obtiene la siguiente expresión:

∫ 𝜌0. 𝑢̇. 𝛿𝑢̇𝑑𝑣0 𝑣0

= 𝑑

23 Asimismo, se debe tener en cuenta la siguiente consideración:

∫ 𝑈(𝑡₂) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑈(𝑡1)𝑑𝑡 = 0 (24) ∫ 𝜌₀. 𝑢̇. 𝛿𝑢̇𝑑𝑣₀ 𝑣0 𝑡₂ 𝑡₁ = 0 (25) ∫ [𝑑 𝑑𝑡∫ 𝜌_𝑣0 0. 𝑢̇. 𝛿𝑢̇𝑑𝑣0] 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 = 0 Luego: ∫ [𝛿𝑘] 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = ∫ [∫ 𝜌₀. 𝑢̇. 𝛿𝑢̇𝑑𝑣₀ 𝑣0 ] 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 = ∫ [∫ 𝜌₀. 𝑢̈. 𝛿𝑢𝑑𝑣₀ 𝑣0 ] 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1

Asimismo, se asume un movimiento periódico:

𝑢(𝑥𝑗_{, 𝑡) = 𝑢}0_(𝑥𝑗_)𝑒𝑖𝜔𝑡 (26) donde, 𝑖 = √−1 𝑢̈ = −𝜔2𝑢 𝑢̈ = −𝜔2𝑢0𝑒𝑖𝜔𝑡 𝛿𝑢 = 𝛿𝑢0_𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑢̈. 𝛿𝑢 = −𝜔2𝑒2𝑖𝜔𝑡𝑢0𝛿𝑢0 (27) Al reemplazar en la ecuación de energía cinética se obtiene:

∫ 𝛿𝑘 𝑡2 𝑡1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒2𝑖𝜔𝑡[∫𝜌𝜔2𝑢0𝛿𝑢0𝑑𝑉 𝑣 ] 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 (28) Donde,∫ 𝑒𝑡2 2𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡

𝑡1 es diferente de cero y es factorizado de la ecuación (28);

24 donde: 𝑢 =𝜔. 𝑑𝑤 𝐼(𝑗) = ∫ ∫ 𝜌(𝑥3)𝑗𝑑𝑥3𝑑𝑥2 𝑥3 𝑥2 ₍₃₀₎ 𝐼(𝑗)_{= 0 𝑓𝑜𝑟 𝑗 = 1,3,5 …} 𝐼(1) _{= 0} 𝐼(3) = 0 𝐼(5) = 0 Los demás números son 0, cuando “𝜌” es constante:

La expresión del Principio de Hamilton`s queda de la siguiente forma: ∫𝜌. 𝜔2_{. 𝑢}0_𝛿𝑢0_𝑑𝑣 𝑣 − ∫𝜎_𝑖𝑗. 𝛿𝜀_𝑖𝑗𝑑𝑣 𝑣 + ∫ 𝑞𝜔𝑑𝑥1 𝑥1 + ∫ 𝑓𝛿𝑢𝑑𝑥1 𝑥1 = 0 (31)

Para nuestro caso, la energía externa será igual a 0, por la condición de vibración libre. Finalmente ,la ecuacion ((31)) del principio de Hamilton se reduce en la siguiente forma:

∫𝜌. 𝜔2_{. 𝑢}0_𝛿𝑢0_𝑑𝑣 𝑣 − ∫𝜎_𝑖𝑗. 𝛿𝜀_𝑖𝑗𝑑𝑣 𝑣 = 0 (32)

Al expandir la ecuación resulta lo siguiente: ∫𝜌.𝜔2. 𝑢0_𝛿𝑢0_𝑑𝑣 𝑣 =𝜔2. ∫ [(𝑢𝛿𝑢)𝐼(0)+ (𝑢. 𝛿𝜑₁+ 𝜑₁𝛿𝑢)𝐼(1)+ (𝜔𝛿𝜔)𝐼(2)]𝑑𝑥1 𝑥1 (29) 𝑤2. ∫ [(𝑢𝛿𝑢)𝐼(0)+ (𝑢. 𝛿𝜑1+ 𝜑1𝛿𝑢)𝐼(1)+ (𝛿𝑤)𝐼(2)]𝑑𝑥1 𝑥1 − ∫ {[𝐴₁₁ 𝑑𝑢 𝑑𝑥₁. 𝑑𝛿𝑢 𝑑𝑥₁ + 𝐷11 𝑑𝜑1 𝑑𝑥₁. 𝑑𝛿𝜑1 𝑑𝑥₁ 𝑥1 + 𝑘_𝑠𝐴₁₃𝜑₁𝛿𝜑₁+ 𝑘_𝑠𝐴₁₃𝑑𝑤 𝑑𝑥₁. 𝑑𝛿𝑤 𝑑𝑥₁ + 𝑘𝑠𝐴13 𝑑𝑤 𝑑𝑥₁𝛿𝜑1 + 𝑘_𝑠𝐴₁₃𝑑𝑤 𝑑𝑥₁𝜑1]} 𝑑𝑥1 = 0 (33)

25 Capitulo 3.- MODELO DE ELEMENTOS FINITOS

3.1 FORMULACIÓN DE ELEMENTOS FINITOS

La formulación de elementos finitos, para vigas isotrópicas, se basa en el principio de trabajos virtuales.En esta sección, cinco variables se aproximan utilizando la función de interpolación de Lagrange para discretizar el desplazamiento y las rotaciones.

3.1.1 CALCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO El dominio del modelo que se está analizando se discretiza en elementos que se denominan elementos finitos de la siguiente forma:

Ω = ⋃ Ω𝑒 𝑛

𝑒=1 (34)

La interpolación de las variables fundamentales son las siguientes:

𝒖 ≈ 𝒖𝒉 = ∑ 𝒖𝒊𝝍𝒊(𝑥1) 𝒑+𝟏 𝒊=𝟏 (35) 𝒘 ≈ 𝒘_𝒉= ∑ 𝝎_𝒊𝝍_𝒊(𝑥₁) 𝒑+𝟏 𝒊=𝟏 (36) 𝜑𝟏≈ 𝜑𝟏𝒉 = ∑(𝜑𝟏)𝒊𝝍𝒊(𝑥1) 𝒑+𝟏 𝒊=𝟏 (37) P: polinomio de grado 𝝍_𝒊: función de forma

A partir de la ecuación resultante (29) de la Teoría de Timoshenko mediante el principio de trabajo virtual presentada en la formulación teórica, se procede a reemplazar los valores obtenidos del método de Elementos finitos.

26 0 = ∫ {[𝐴₁₁ 𝑑𝑢 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝑢 𝑑𝑥₁ + 𝐷11 𝑑𝜑₁ 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝜑₁ 𝑑𝑥₁ + 𝐵11 𝑑𝑢 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝑢 𝑑𝑥₁ 𝑥1 + 𝐵₁₁𝑑𝜑1 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝜑₁ 𝑑𝑥₁ + 𝐾𝑆𝐴55𝜑1𝛿𝜑1+ 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝜔 𝑑𝑥₁ 𝑑𝛿𝜔 𝑑𝑥₁ + 𝐾_𝑆𝐴₅₅𝑑𝜔𝛿𝜑1 𝑑𝑥₁ + 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝜔 𝑑𝑥₁𝜑1]} 𝑑𝑥1 (38)

Al discretizar e interpolar la ecuación (38) se obtiene los elementos de la matriz de rigidez: 𝐾_𝑖𝑗(11) = ∫ 𝐴11 𝑑𝝍_𝒊 𝑥1 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 𝑑𝑥1 𝐾_𝑖𝑗(13) = ∫ 𝐵11 𝑑𝝍_𝒊 𝑥1 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 𝑑𝑥1 𝐾_𝑖𝑗(22) = ∫ 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝝍_𝒊 𝑥1 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 𝑑𝑥1 𝐾_𝑖𝑗(23) = ∫ 𝐾_𝑆𝐴₅₅𝑑𝝍𝒊 𝑥₁ 𝝍𝒋 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑑𝑥₁ 𝐾_𝑖𝑗(13) = ∫ 𝐵₁₁𝑑𝝍𝒊 𝑥1 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 𝑑𝑥₁ 𝐾_𝑖𝑗(32) = ∫ 𝐾_𝑆𝐴₅₅𝑑𝝍𝒋 𝑥₁ 𝝍𝒊 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑑𝑥₁ 𝐾_𝑖𝑗(33) = ∫ (𝐾_𝑆𝐴₅₅𝝍_𝒊𝝍_𝒋+ 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝐷₁₁𝑑𝝍𝒊 𝑥1 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 )𝑑𝑥₁

27 𝐾 = [ 𝐴₁₁𝑑𝝍𝒊 𝑥1 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 0 𝐵11 𝑑𝝍_𝒊 𝑥1 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 0 𝐾_𝑆𝐴₅₅𝑑𝝍𝒊 𝑥₁ 𝑑𝝍𝒋 𝑥₁ 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝝍𝒊 𝑥₁ 𝝍𝒋 𝐵11 𝑑𝝍_𝒊 𝑥1 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 𝐾𝑆𝐴55 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 𝝍𝒊 (𝐾𝑆𝐴55𝝍𝒊𝝍𝒋+ 𝐷11 𝑑𝝍_𝒊 𝑥1 𝑑𝝍_𝒋 𝑥1 ) ] (39)

3.1.2 CALCULO DE LA MATRIZ DE MASA DEL ELEMENTO Se repite la metodología de las ecuaciones (34) a (37).

A partir de la ecuación resultante (33) del Principio de Hamilton presentada en la formulación teórica se procede a reemplazar los valores obtenidos del método de Elementos Finitos.

𝑤2. ∫ [(𝑢𝛿𝑢𝐼(0)) + (𝑢. 𝛿𝜑1+ 𝜑1𝛿𝑢)𝐼(1)+ (𝜔𝛿𝜔)𝐼(2)]𝑑𝑥1

𝑥1 ₍₄₀₎

Al discretizar e interpolar la ecuación anterior se obtiene los elementos de la matriz de masa: 𝑀_𝑖𝑗(11) = ∫ 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(0)𝑑𝑥₁ 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑀_𝑖𝑗(22) = ∫ 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(0)𝑑𝑥₁ 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑀_𝑖𝑗(13) = ∫ 𝝍𝑖𝝍𝑗𝐼(1)𝑑𝑥1 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑀_𝑖𝑗(31) = ∫ 𝝍𝑖𝝍𝑗𝐼(1)𝑑𝑥1 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑀_𝑖𝑗(31) = ∫ 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(2)𝑑𝑥₁ 𝑥𝑏 𝑥𝑎 𝑴 = [ 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(0) 𝟎 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(1) 𝟎 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(0) 𝟎 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(1) 𝟎 𝝍_𝑖𝝍_𝑗𝐼(2) ] (41)

28 Finalmente, arribamos a un problema de autovectores y autovalores de la siguiente forma:

𝜔2[𝐾]𝑛{𝑢} = [𝐾]{𝑢} (42) donde: {𝑢1} = { 𝑢 𝑤 𝜑₁} (43)

Esta matriz representa a los grados de libertad por nodo.

Mediante esta ecuación podemos calcular las frecuencias y modos de vibración del caso de estudio.

3.1.3 VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS

Utilizando el método de elementos finitos llegamos a la siguiente ecuación de matriz [𝐾]{𝑢} = 𝜔2_[𝑀]{𝑢}

(44) donde:

𝜔 es la frecuencia natural (rad/seg) Problema general de autovectores. Obtenemos:

𝜔2{𝑢} = [𝑀]−1_{𝑢} Presentaremos el siguiente caso

𝜆𝑥 = 𝐴𝑥 𝜆𝑥 − 𝐴𝑥 = 0 [𝜆𝐼 − 𝐴]𝑥 = 0 donde: 𝜆: 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥: 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝜆

El vector trivial x es una solución de la ecuación anterior. Nosotros estamos viendo para un vector no trivial x, Por lo tanto:

[𝜆𝐼 − 𝐴] Luego vemos lo siguiente:

29 El polinomio está en función de "𝜆",las raíces de la ecuación son los valores propios y x esta respecto a los autovectores.

Para una matriz de 3x3

𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐴) = 𝑎₃𝜆3+ 𝑎₂𝜆2+ 𝑎₁𝜆 + 𝑎₀ = 0 𝑃(𝜆) = 0

3.2 PROGRAMACIÓN DE MATLAB

En el subcapítulo anterior, se detalló la implementación presentada en textos anteriores. Por consiguiente, se describirá las subrutinas para los cálculos presentado. No obstante, el pre - procesador; que viene hacer la entrada de datos que viene hacer las condiciones de borde, densidad, propiedades del material y la generación de malla de elementos finitos. De este modo, el procesador, que viene hacer la lectura de datos. Para finalizar con lo propuesto, el post – procesador, que viene hacer y el cálculo la matriz de rigidez global, el vector de fuerzas globales, vector de masa, cálculo de la convergencia y gráficas de modos.

3.2.1 ELABORACIÓN DEL CÓDIGO

Se describe como un proceso principal interno en un programa, en la que se genera datos procesados.

Rutina BEAM

Genera la conexión entre las subrutinas principalmente STIFF, NLSYMBNDRY . Dentro del análisis, se considera el ingresa de datos.

3.2.2 SUBRUTINAS

Se describe como un subproceso del proceso principal interno en un programa, en la que se genera datos procesados. Su uso tiene una mejor manejabilidad del programa.

a) Subrutina MESH

Genera la malla de elementos finitos (Malla de 1D). En otras palabras, la discretización del elemento en partes finitas y, así obteniendo el número de nodos en el elemento. Se incluye el origen, luego cuanto va a valer cada elemento su interpolación y este depende del grado de interpolación a incluir.

30 b) Subrutina STIFF

Calcula las matrices globales de rigidez y masa para la viga. Se obtiene datos por cada elemento. Esta subrutina se compone principalmente por las subrutinas COEFMASS, COEFTIM NELEM y ASSEMBLY.

c) Subrutinas COEFFMASS y COEFTIM

Calcula los coeficientes de las matrices locales de masas y rigidez de cada elemento. Se encuentran las formulaciones de elementos finitos dentro de COEFTIM, mientras que, en COEFMASS se encuentra el principio de la mínima acción. Esta subrutina depende de los resultados de las funciones GAUSS y SPH1D para el cálculo de las funciones de forma.

d) Subrutina GAUSS

Calcula los puntos de Gauss que depende del grado de aproximación del elemento "P". De este modo, calcula sus respectivos pesos de los puntos de cuadratura.

e) Subrutina SPH1D

Calcula las funciones de forma de Lagrange normalizadas para un determinado grado de polinomio de aproximación “P”.

f) Subrutina ASSEMBLY

Ensambla los coeficientes de las matrices locales de masas y rigidez en las matrices globales del modelo.

g) Subrutina NELEMNT

Calcula el índice de identificación del elemento para que sea ensamblado por la subrutina ASSEMBLY. De este modo, el índice se calcula a partir de una iteración de filas y columnas para conocer su posición en la matriz global.

h) Subrutina SYMBNDRY

Realiza la imposición de las condiciones de borde en la matriz de rigidez y en la matriz de masa. Es esencial, mencionar que existen tres tipos de condiciones de borde: Condiciones de Borde esenciales o condiciones primarias, son las que directamente modifican las variables esenciales, para aclarar, los desplazamientos. De este modo, estas condiciones imponen los grados de libertad restringidos en sus apoyos.

31 Capitulo 4.- RESULTADOS

En el presente capitulo se propone problemas y ejercicios aplicativos que siguen los principios anteriormente desarrollados, con el objetivo de precisar el comportamiento de vibración libre de vigas Timoshenko utilizando el método de elementos finitos.

Para verificar la exactitud del modelo desarrollado, es necesario corroborar el modelo mediante problemas físicos comprobados por la comunidad científica para inspeccionar la precisión física de los resultados que el modelo presenta. Por lo tanto, el primer punto a estudiar es Los presentes resultados de la investigación se comparan con resultados similares generados por otras metodologías y / o técnicas alternativas incluyendo soluciones aproximadas analíticas y exactas para validar el presente programa de elementos finitos. Los resultados obtenidos se comparan para vigas isotrópicas. La teoría de Euler – Bernoulli no toma en consideración el efecto de la deformación por cortante. Por lo tanto, para vigas no delgada o tipo sándwich, la fórmula ya no es válida.

En el segundo caso de estudio, es la determinación de la aproximación requerida para conseguir resultados óptimos a través de un estudio paramétrico del grado de esbeltez mediante un ejercicio de una viga sometida a la condición de borde Empotrado – Libre (CF).y la variación del grado de esbeltez.

4.1 PROBLEMAS DE VERIFICACIÓN CON OTROS MODELOS

Los presentes resultados de FE (Método de Elementos Finitos) se comparan con resultados similares generados por otras FE y / o técnicas alternativas incluyendo soluciones aproximadas analíticas y exactas para validar el presente programa de FE. Los ejercicios presentados son una viga isotrópica hecha de acero con la diferente condición de borde: Libre– Libre (FF), Empotrado – Libre (CF), Empotrado – Empotrado (CC), respectivamente. La longitud de la viga es de 0.45 metros, con un ancho unitario de 0.02 m, una altura de 0.003 m. Para el análisis se considerará un grado de interpolación P=4 y con diferentes números de elementos como 5, 10, 15 y 25. El material por el que está compuesto tiene los siguientes módulos de elasticidad 𝐸 = 2.1𝑥1011_𝑁/𝑚2 _{, y 𝜌 =} 7.85𝑥103_{𝑘𝑔. 𝑠}2_{. 𝑚}−4_{.El factor de corrección de corte k es igual a 5/6.}

32 Nota: Vibración libre comparación para casos isotrópicos de material hecho de acero con diferente número de elementos para una viga libre en ambos lados con P = 4. Elaboración propia. Tabla 3 Omega Teoría Números de elementos 5 10 15 25 1 Euler-Bernoulli [20] 494.892 494.892 494.892 494.892 Presente Timoshenko 494.815 494.811 494.811 494.811 2 Euler-Bernoulli [20] 1364.188 1364.188 1364.188 1364.188 Presente Timoshenko 1363.714 1363.552 1363.551 1363.55 3 Euler-Bernoulli [20] 2674.354 2674.354 2674.354 2674.354 Presente Timoshenko 2673.971 2671.932 2671.906 2671.904 4 Euler-Bernoulli [20] 4420.843 4420.843 4420.843 4420.843 Presente Timoshenko 4430.502 4414.335 4414.161 4414.149 Tabla 4 Teoría Números de elementos 5 10 15 25 Euler-Bernoulli [20] 77.773 77.773 77.773 77.773 Euler-Bernoulli [16] 77.773 77.773 77.773 77.773 Presente Timoshenko 77.771 77.771 77.771 77.771 Euler-Bernoulli [20] 487.398 487.398 487.398 487.398 Euler-Bernoulli [16] 487.298 487.298 487.298 487.298 Presente Timoshenko 487.279 487.277 487.277 487.277

33 Nota: Vibración libre comparación para casos isotrópicos de material hecho de acero con diferente número de elementos para una viga empotrada libre con P= 4. Elaboración propia.

Euler-Bernoulli [20] 1364.727 1364.727 1364.727 1364.727 Euler-Bernoulli [16] 1364.789 1364.789 1364.789 1364.789 Presente Timoshenko 1364.039 1363.925 1363.924 1363.924 Euler-Bernoulli [20] 2674.354 2674.354 2674.354 2674.354 Euler-Bernoulli [16] 2674.279 2674.279 2674.279 2674.279 Presente Timoshenko 2673.021 2671.432 2671.413 2671.411 Tabla 5 Omega Teoría Números de elementos 5 10 15 25 1 Euler-Bernoulli [20] 494.892 494.892 494.892 494.892 Presente Timoshenko 494.74 494.74 494.74 494.74 2 Euler-Bernoulli [20] 1364.188 1364.188 1364.188 1364.188 Presente Timoshenko 1363.283 1363.215 1363.214 1363.21 3 Euler-Bernoulli [20] 2674.354 2674.354 2674.354 2674.354 Presente Timoshenko 2672.138 2670.998 2670.985 2670.984 4 Euler-Bernoulli [20] 4420.842 4420.842 4420.842 4420.842 Presente Timoshenko 4424.058 4412.308 4412.204 4412.196

34 Nota: Vibración libre comparación para casos isotrópicos de material hecho de acero con diferente número de elementos para una viga empotrada en ambos lados con P = 4. Elaboración propia.

4.2 ESTUDIO PARAMÉTRICO

El ejercicio presentado es una viga isotrópica hecha de acero con la condición de borde: Empotrado – Libre (CF). La longitud de la viga es de 0.45 metros, con un ancho unitario de 0.02 m, con alturas variables. Para el análisis se considerará un grado de interpolación P=8 y N = 4. El material por el que está compuesto tiene los siguientes módulos de elasticidad 𝐸 = 2.1𝑥1011𝑁/𝑚2 , y 𝜌 = 7.85𝑥103𝑘𝑔. 𝑠2. 𝑚−4.El factor de corrección de corte k es igual a 5/6. Tabla 6 # Modo ESBELTEZ Diferentes H Teoría 0.003 0.025 0.002 0.001 1 Euler-Bernoulli [20] 77.773 64.8112 51.849 25.9245 Presente Timoshenko 77.771 64.8096 51.848 25.9244 2 Euler-Bernoulli [20] 1364.18 406.1647 324.93 162.465 Presente Timoshenko 1363.21 406.0950 324.89 162.461 3 Euler-Bernoulli [20] 2674.35 1136.823 909.45 454.729 Presente Timoshenko 2670.99 1136.807 909.58 454.879

Nota: Frecuencia natural de la viga por cada modo de vibración w con condición de borde empotrado-libre con P=8 y N=4.Elaboración propia.

Asimismo, hemos realizado una gráfica descriptiva para los diferentes grados de esbeltez para este caso se describe la proximidad de las frecuencias de vibración por cada modo al variar el grado de esbeltez.

35 Figura 2.Vibración de modo 1 de viga Euler - Bernoulli con diferentes esbelteces. Elaboración propia.

Figura 3. Vibración de viga Euler - Bernoulli los tres primeros modos con H = 0.003 m. Elaboración propia.

36 .

Figura 4.Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.003 m. Elaboración propia

37 Figura 6.Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.002 m. Elaboración propia.

Figura 7.Vibración de viga Timoshenko los tres primeros modos H=0.001 m. Elaboración propia.

38 Capitulo 5.- CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1 Conclusiones

En el presente estudio, se desarrolló una formulación para calcular la vibración libre de viga isotrópicas. La teoría de viga de Timoshenko se utilizó para desarrollar un modelo de elementos finitos basado en el principio de trabajo virtual. Se utilizó el principio de Hamilton para análisis dinámico. La formulación proporciona resultados ligeramente superiores a la teoría de Euler – Bernoulli debido a que las restricciones impuestas para la deformación por cortante hacen que el modelo sea más consiste para casos isotrópicos. Además, sirve para estudiar el comportamiento de las vibraciones libre de vigas Timoshenko.

La fórmula clásica de vigas no toma en consideración la deformación por cortante. Sin embargo, la formulación de Timoshenko toma en cuenta la deformación por cortante que produce el problema de locking para mitigar este fenómeno se utiliza elementos con interpolación de alto orden. El estudio comparativo con respecto a otras literaturas encontradas, muestran que la formulación es satisfactoria y precisa.

5.2 Recomendaciones

Como contribución a trabajos a futuros a desarrollar a partir de la presente tesis. Se tiene lo siguiente:

1. Utilizar la presente formulación para estudiar nuevos materiales de construcción. 2. Realizar un estudio más detallado para estudiar el problema transiente con

vibración forzada de viga Timoshenko con materiales compuestos 3. Incorporar en la formulación el comportamiento no lineal de material.

4. Implementar formulaciones más detallada de alto orden como la Teoría Mejorada de la Deformación por Corte de Primer Orden (IFSDT siglas en inglés)

39 REFERENCIAS

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