• Ley de Hooke generalizada.

(Ley de comportamiento)

(Ley de comportamiento)

• Introducción.

• El ensayo de tracción monoaxial.

• Ley de Hooke generalizada.

• Módulo de cizalladura.

• Ley de comportamiento en unas coordenadas cualesquiera.

• El problema elástico.

• Condiciones de contorno.

• El problema térmico.

• Energía de deformación.

• Principio de Saint-Venant.

El problema elástico El problema elástico

F(x,y,z) u(x,y,z)

ε (x,y,z)

Rel. cinemáticas

Comportamiento Equilibrio

σ (x,y,z) ? ?

L _o

D _o

* máquina de ensayos del Laboratorio de Resistencia de Materiales - UMA

* probeta cilíndrica tipo – recreación gráfica

L _o

α σ

ε

Thomas Young

13/06/1773 (Somerset, Inglaterra)- -10/05/1829 (Londres)

tg( α )=E > 0 σ = ε E

* fuente: wikipedia

σ

ε

Rígido

σ

ε

σ

ε

σ

ε σ

ε

Elástico lineal

σ

ε

Elástico no lineal

Rígido plástico Elasto-plástico

sin endurecimiento Elasto-plástico con endurecimiento

σ

σ

ε

Rígido

σ

ε

σ

ε σ

ε

σ

ε σ

ε

Elástico lineal

σ

ε

Elástico no lineal

Rígido plástico Elasto-plástico

sin endurecimiento Elasto-plástico con endurecimiento

Rígido plástico con endurecimiento

Elasto-plástico con endurecimiento

(bilineal)

Descarga-recarga

σ

ε

σ

ε _t ε _t ε _t

ε _t

Simeón Denis Poisson

21/06/1781 (Pithiviers, Francia)- -25/04/1840 (Sceaux, Francia)

ε = − ε ν

* fuente: wikipedia

σ

σ ε _n

ε _n

ε _t

ε _t ε _t

ε _t

σ _III

σ _II σ _I

III

II I

¿Cómo pasamos al caso

tridimensional?

Robert Hooke

18/07/1635 (Freshwater, Inglaterra)- -03/03/1703 (Londres)

* fuente: wikipedia

σ _II σ _I

II I

III III III

σ _III

+ +

Principio de

superposición

III

II I

III

II I

III

II I

σ _I

σ _III

σ _II

(a) (b) (c)

III III III

σ _III

I I

I

II I

I

III I

E

E E ε = σ

ε = −νε = −ν σ

ε = −νε = −ν σ

III

II I

III

II I

III

II I

σ _I

σ _III

σ _II

(a) (b) (c)

I I

I

II I

I

III I

E

E E ε = σ

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ

II

I II

II II

II

III II

E E

E ε = −νε = −ν σ ε = σ

ε = −νε = −ν σ

III

I II

III

II II

III III

E E E

ε = −νε = −ν σ

ε = −νε = −ν σ

ε = σ

III III III

σ _III

I I

I

II I

I

III I

E

E E ε = σ

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ

II

I II

II II

II

III II

E E

E ε = −νε = −ν σ ε = σ

ε = −νε = −ν σ

III

I II

III

II II

III III

E E E

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ ε = σ

+ +

III

II I

III

II I

III

II I

σ _I

σ _III

σ _II

(a) (b) (c)

I I

I

II I

I

III I

E

E E ε = σ

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ

II

I II

II II

II

III II

E E

E ε = −νε = −ν σ ε = σ

ε = −νε = −ν σ

III

I II

III

II II

III III

E E E

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ ε = σ

+ +

( )

I II III

I E

σ − ν σ + σ

ε =

III III III

σ _III

I I

I

II I

I

III I

E

E E ε = σ

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ

II

I II

II II

II

III II

E E

E ε = −νε = −ν σ ε = σ

ε = −νε = −ν σ

III

I II

III

II II

III III

E E E

ε = −νε = −ν σ ε = −νε = −ν σ ε = σ

+ +

( )

II I III

II E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

I II III

I E

σ − ν σ + σ

ε = ^III ( ^{I II} )

III E

σ − ν σ + σ

ε =

σ _III

σ _II σ _I

III

II I

Principio de superposición

( )

II I III

II E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

I II III

I E

σ − ν σ + σ

ε = III ( I II )

III E

σ − ν σ + σ

ε =

y τ γ

¿Qué ocurre con las componentes tangenciales

( )

II I III

II E

σ − ν σ + σ ε =

( )

I II III

I E

σ − ν σ + σ ε =

( )

III I II

III E

σ − ν σ + σ ε =

σ _III

σ _II σ _I

III

II I

Relaciones

tensión/deformación

normales

MISMO

estado tensional utilizando un

sistema de referencia diferente

σ x

σ

σ

σ

0 0

0 0

0 0 0

σ

σ

−

 

 

=  

 

 

σ

0 0

' 0 0

0 0 0

σ σ

 

 

=  

 

 

σ

σ

σ σ

x y’ x’

σ

σ σ

σ

σ

σ σ

σ

σ

O A

A’

B B’

4 2 x

π γ +

(1 )

x E E

−σ − νσ σ

ε = = − + ν

x

O A A’

B B’

4 2 x

π γ +

1 1 (1 ) /

tg 4 2 1 1 (1 ) /

y x

E E π γ + ε + + ν σ

 

+ = =

 

+ ε − + ν σ

 

( ) ( )

( ) ( )

tg / 4 tg / 2 1 / 2 tg 4 2 1 tg / 4 tg / 2 1 / 2

π + γ

π γ + γ

 

+ = ≈

 

− π γ − γ

 

(1 )

2 E : 2 G

γ = + ν σ = σ

2(1 ) G = E

( ¹ ) + ν

1 1 (1 )

dx

x

dx dx

E E

+ ε =

−σ − νσ σ

   

=  +  =  − + ν 

    ^Nota: G > 0

σ

x

σ

y

σ

z

σ

xy

σ

xz

σ

yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

Dirección principal deformación

Dirección principal tensión

=

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1)+(2)+(3)

( )

x y z 2 x y z

x y z

E

σ + σ + σ − ν σ + σ + σ

ε + ε + ε = 1 2 ¹

e I

E

= − ν

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1)+(2)+(3)

( )

x y z 2 x y z

x y z

E

σ + σ + σ − ν σ + σ + σ ε + ε + ε =

0 0

0 0

0 0

P P

P

−

 

 

=  − 

 − 

 

σ

3 1 2

V P

V E

∆ = − − ν ^{P = − 3 1 2} ( ^{− ν E} ) ^{∆ V V}

1

e 1 2 I E

= − ν

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1)+(2)+(3)

( )

x y z 2 x y z

x y z

E

σ + σ + σ − ν σ + σ + σ ε + ε + ε =

−

Módulo de rigidez volumétrica

1

e 1 2 I E

= − ν

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1)+(2)+(3)

0 0

0 0

0 0

P P

P

−

 

 

=  − 

 − 

 

σ ^{P = − 3 1 2} ( ^{− ν E} ) ^{∆ V V K = 3 1 2} ( ^{− ν E} )

Módulo de rigidez volumétrica

1

e 1 2 I E

= − ν

0 K >

Nota:

1 / 2

ν = V cte

1 2 − ν > 0 1 / 2 > ν 0 < ν < 1 / 2

K = ∞ ^{V P 0}

V K

∆ = − =

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1) ^x ( ^{x y z} ) ^x

x E

σ − ν σ + σ + σ + νσ

ε = 1 ₁

x x I

E E

+ ν ν

ε = σ −

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1) ^x ( ^{x y z} ) ^x

x E

σ − ν σ + σ + σ + νσ

ε = 1 ₁

x x I

E E

+ ν ν ε = σ −

1 (1 2 )(1 )

x x

E E

 ν e 

σ =  ε + 

+ ν − ν + ν

 

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1) ^x ( ^{x y z} ) ^x

x E

σ − ν σ + σ + σ + νσ

ε = 1 ₁

x x I

E E

+ ν ν ε = σ −

x x

E E

 ν e 

σ =  ε + 

+ ν − ν + ν

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y ^z ( ^{x y} )

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

(1) ^x ( ^{x y z} ) ^x

x E

σ − ν σ + σ + σ + νσ ε =

1 (1 2 )(1 )

x x

E E

 ν e 

σ =  ε + 

+ ν − ν + ν

 

2G

Constante de Lamé

1

1

x x I

E E

+ ν ν ε = σ −

Nota: 0

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y z

( )

z x y

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ ε =

(1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(7)

x 2 G x e

σ = ε + λ

y 2 G y e

σ = ε + λ

(8) (9)

Ecs. de Hooke

Ecs. de Lamé

( )

z x y

z E

σ − ν σ + σ ε =

( )

y x z

y E

σ − ν σ + σ ε =

( )

x y z

x E

σ − ν σ + σ

ε = (1 )

xy xy

E ε = + ν σ

(1 )

xz xz

E ε = + ν σ

(1 )

yz yz

E ε = + ν σ

yx 0

xx zx X

x y z

∂σ + ∂τ + ∂τ + =

∂ ∂ ∂

xy yy zy 0

x y z Y

∂τ ∂σ ∂τ

+ + + =

∂ ∂ ∂

yz 0

xz zz Z

x y z

∂τ + ∂τ + ∂σ + =

∂ ∂ ∂

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 1 2 1 2

xz x z

yz y z

x y y x

x z z x

y z z y

∂ ∂  ∂ ∂ 

 

∂ ε ∂ ∂ =   ∂ ε ∂ + ∂ ε ∂  

 

∂ ε =  ∂ ε + ∂ ε 

∂ ∂  ∂ ∂ 

2

2

2

xy yz

x xz

y yx yz zx

zy xy

z zx

y z x y z x

z x y z x y

x y z y x z

∂ε ∂ε

 

∂ ε = ∂ ∂ε  + − 

∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ 

∂ ε = ∂   ∂ε + ∂ε − ∂ε  

∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ 

∂ε ∂ε

 

∂ ε = ∂ ∂ε  + − 

∂ ∂ ∂  ∂ ∂ ∂ 

F(x,y,z) u(x,y,z)

ε (x,y,z)

Ecs. compatibilidad

Comportamiento Equilibrio

σ (x,y,z)

y

x

P

Naturales (tensión)

Esenciales (desplazamientos)

Mixtas y

x

xy 0 τ =

y 0 u =

x 0 u =

y 0 u =

x P

σ =

xy 0

τ = P

y 0 σ =

xy 0

τ =

0

0 0

l l T

l l

∆ α ∆ ε = =

x T

ε = α∆

y T

ε = α∆

z T

ε = α∆

( ) α ≠ f T

Si

0 0

0 0

0 0 ^T

T

T

α∆

α∆

 

 

=  α∆ 

 

 

ε

0

0 0

l l T

l l

∆ α ∆ ε = =

x T

ε = α∆

y T

ε = α∆

z T

ε = α∆

Si no hay restricciones al movimiento

( ) α ≠ f T

Si

0

0 0 0 0 0 0 0 0

 

 

=  

 

 

σ

0 0

0 0

T

T

α∆

α∆

 

 

=  α∆ 

 

ε

0

0 0

l l T

l l

∆ α ∆ ε = =

x T

ε = α∆

y T

ε = α∆

z T

ε = α∆

Si no hay restricciones al movimiento

( ) α ≠ f T

Si

( , , )

T = T x y z

σ z

x

y

σ z

dx dz

dy

z z / E

ε = σ σ z

z z

l dz

∆ = ε

z z

F = σ dxdy

⇔

⇔

1 1 1

2 ^z 2 ^{z z} 2 ^{z z}

dW = F l ∆ = σ ε dxdydz = σ ε dV

z

z z

l dz dz

E

∆ = ε = σ F

z z

F = σ dxdy

d dW

1

2 _{z z} :

dW U

dV = σ ε =

Energía unitaria de

deformación

Energía de

deformación

por unidad de volumen

Energía de deformación

( )

1

2 ^{x x y y z z xy xy xz xz yz yz}

U = σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

( )

1

2 ^{x x y y z z xy xy xz xz yz yz}

U = σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

1

0 6

U = eI

1

1

1 0 0 0 1 0 3 0 0

I  

 

=  

 

 

σ

1

1 0 0 0 1 0 3 0 0

e  

 

=  

 

 

ε

Energía

de cambio

de volumen

( )

1

2 ^{x x y y z z xy xy xz xz yz yz}

U = σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

1

0 6

U = eI

1

1

1 0 0 0 1 0 3 0 0

I  

 

=  

 

 

σ

1

1 0 0 0 1 0 3 0 0

e  

 

=  

 

 

ε

Energía de cambio de volumen

Energía de cambio de forma

( )

1

2 ^{x x y y z z xy xy xz xz yz yz}

U = σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ

Energía potencial

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

En ausencia de

fenómenos disipativos

( )

1

2 ^{x x y y z z xy xy xz xz yz yz}

U = σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ

Energía potencial

σ x

σ y

σ z

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

En ausencia de fenómenos disipativos

( )

1

p 2 x x y y z z xy xy xz xz yz yz

E = ∫ σ ε + σ ε + σ ε + τ γ + τ γ + τ γ dV

Energía potencial total

σ x

σ y

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

( )

z x y

z E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

y x z

y E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

x y z

x E

σ − ν σ + σ ε =

(1 )

xy xy

E

ε = + ν σ (1 )

xz xz

E

ε = + ν σ (1 )

yz yz

E ε = + ν σ

0 0

0 0 0

x xy

xy y

σ σ

 

 

= σ  σ 

 

 

σ

( ) ^/

0 0

0 0

_{x y}

x xy

xy y

−ν σ + σ E ε ε

 

 

= ε  ε 

 

 

Tensión ε

Plana Deformación

Plana ⇔ σ = −σ x y

σ x

σ y

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

( )

z x y

z E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

y x z

y E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

x y z

x E

σ − ν σ + σ ε =

(1 )

xy xy

E

ε = + ν σ (1 )

xz xz

E

ε = + ν σ (1 )

yz yz

E ε = + ν σ

0 0

0 0 0

x xy

xy y

σ σ

 

 

= σ  σ 

 

 

σ

( ) ^/

0 0

0 0

_{x y}

x xy

xy y

−ν σ + σ E ε ε

 

 

= ε  ε 

 

 

Tensión ε

Plana Deformación

Plana ⇔ σ = −σ x y

σ x

σ y

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

( )

z x y

z E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

y x z

y E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

x y z

x E

σ − ν σ + σ ε =

(1 )

xy xy

E

ε = + ν σ (1 )

xz xz

E

ε = + ν σ (1 )

yz yz

E ε = + ν σ

0 0

0 0 0

x xy

xy y

σ σ

 

 

= σ  σ 

 

 

σ

( ) ^/

0 0

0 0

_{x y}

x xy

xy y

−ν σ + σ E ε ε

 

 

= ε  ε 

 

 

Tensión ε

Plana

Deformación Plana

0 0

0 0 0

x xy

xy y

ε ε

 

 

= ε  ε 

 

 

ε

0 0

0 0 ( )

x xy

xy y

x x

σ σ

 

 

= σ  σ 

 λ ε + ε 

 

σ

Deformación

Plana σ = −σ x y

Tensión

Plana ε = −ε x y

⇔

⇔

x 2 G x e

σ = ε + λ σ = _y 2 G ε + λ _y e σ = _z 2 G ε + λ _z e

xy 2 G xy

σ = ε σ = _xz 2 G ε _xz σ = _yz 2 G ε _yz

Ecs. de Lamé

σ x

σ y

σ xy

σ xz

σ yz

x

y

( )

z x y

z E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

y x z

y E

σ − ν σ + σ

( ) ε =

x y z

x E

σ − ν σ + σ ε =

(1 )

xy xy

E

ε = + ν σ (1 )

xz xz

E

ε = + ν σ (1 )

yz yz

E ε = + ν σ

0 0

0 0 0

x xy

xy y

σ σ

 

 

= σ  σ 

 

 

σ

( ) ^/

0 0

0 0

_{x y}

x xy

xy y

−ν σ + σ E ε ε

 

 

= ε  ε 

 

 

Tensión ε

Plana

Deformación Plana

0 0

x xy

xy y

ε ε

 

 

= ε  ε 

 

ε

0 0

x xy

xy y

σ σ

 

 

= σ  σ 

 λ ε + ε 

σ

Deformación

Plana σ = −σ x y

Tensión

Plana ε = −ε x y

⇔

⇔

equivalentes

Zona en la que la solución es diferente

Sistemas de carga

mecánicamente equivalentes dan resultados iguales

suficientemente lejos de las cargas

P

P

Idéntica solución