Unidad 3: Ecuaciones.
3.1 Despejes.
Dada una fórmula o expresión algebraica despejar una incógnita es representarla en términos de los demás elementos mediante operaciones inversas.
Ejemplos:
1.- Al despejar ℎ de la fórmula 𝑉 =𝜋𝑟2ℎ
3 se obtiene:
a) 3𝜋ℎ
𝑟2 b) 3𝑉
𝜋𝑟2 c) 𝜋𝑟2
3𝑉 d) 𝜋𝑉
3𝑟2
Solución:
▪ En el segundo miembro el término 𝜋𝑟2
3𝑉 se encuentra multiplicando a ℎ, por tanto, el primer miembro efectuará una división, entonces:
𝑉 =𝜋𝑟2ℎ
3 → 𝑉 𝜋𝑟2
3
= ℎ → ℎ = 3𝑉 𝜋𝑟2
2.- Al despejar 𝑎 de la fórmula 𝑣𝑓2= 𝑣02+ 2𝑎𝑑, se obtiene:
a) 𝑣02−𝑣𝑓2
2𝑑 b) −𝑣𝑓2−𝑣02
2𝑑 c) 𝑣𝑓2−𝑣02
2𝑑 d) 𝑣𝑓2+𝑣02
2𝑑
Solución:
▪ Los elementos que no contengan 𝑎 se ponen al primer miembro con signo contrario:
𝑣𝑓2= 𝑣02+ 2𝑎𝑑 𝑣𝑓2− 𝑣02= 2𝑎𝑑
▪ Por último, aquellos que la multiplican efectuarán una división en el primer miembro:
𝑣𝑓2− 𝑣02 2𝑑 = 𝑎
3.- Al despejar 𝑟 de la fórmula 𝐴 = 𝜋𝑟2, se obtiene:
a) √𝐴
𝜋 b) √𝜋
𝐴
c) √𝜋𝐴 d) 𝐴
𝜋
Solución:
𝐴 = 𝜋𝑟2 → 𝑟2=𝐴
𝜋 → 𝑟 = √𝐴 𝜋
3.2 Ecuaciones de primer grado con una incógnita.
Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expresiones que involucran constantes y una incógnita, cuyo grado es 1 y está formada por dos miembros:
1𝑒𝑟 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜 = 2𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜
Al resolver una ecuación de primer grado con una incógnita se obtiene el valor de la incógnita que cumple con la igualdad dada.
3.2.1 Enteras.
Ejemplos:
1.- El valor de 𝑥 que cumple con la igualdad 6𝑥 − 7 = 3𝑥 + 2 es:
a) 𝑥 = 1 b) 𝑥 = −3 c) 𝑥 = 3 d) 𝑥 = −1
Solución:
▪ Se agrupan los términos que contienen a la incógnita en alguno de los miembros y los términos independientes en el otro miembro:
6𝑥 − 7 = 3𝑥 + 2 → 6𝑥 − 3𝑥 = 2 + 7
3𝑥 = 9 𝑥 =9 𝑥 = 3 3
2.- Al resolver la ecuación 7 − 4𝑥 + 2𝑥 = 9 + 3𝑥 + 8, el valor de 𝑥 es:
a) 𝑥 = −1 b) 𝑥 = −2 c) 𝑥 = 2 d) 𝑥 = 1
Solución:
7 − 4𝑥 + 2𝑥 = 9 + 3𝑥 + 8 → −4𝑥 + 2𝑥 − 3𝑥 = 9 + 8 − 7
−5𝑥 = 10 𝑥 = 10 𝑥 = −2 −5
La solución de 4𝑥 − (3 + 5𝑥) = 2(𝑥 − 1) + 1 es:
a) 2
3 b) −1
3 c) 1
3 d) −2
3
Solución:
▪ Se eliminan los signos de agrupación y se despeja la incógnita:
4𝑥 − (3 + 5𝑥) = 2(𝑥 − 1) + 1 → 4𝑥 − 3 − 5𝑥 = 2𝑥 − 2 + 1 4𝑥 − 5𝑥 − 2𝑥 = −2 + 1 + 3
−3𝑥 = 2 𝑥 = −2
3
3.2.2 Fraccionarias.
Ejemplos:
1.- El valor de 𝑥 en 𝑥
4+2
3= 𝑥 −1
6 es;
a) −10
9 b) 9
10 c) 10
9 d) − 9
10
Solución:
▪ Cada miembro de la igualdad se multiplica por el mínimo común múltiplo de los denominadores:
𝑚𝑐𝑚 (4, 3, 6) = 12 𝑥
4+2
3= 𝑥 −1 6
→ (12) (𝑥
4+2
3) = (12) (𝑥 −1 6) 12𝑥
4 +24
3 = 12𝑥 −12 6
▪ Se convierte en una ecuación de primer grado entera:
3𝑥 + 8 = 12𝑥 − 2 3𝑥 − 12𝑥 = −2 − 8
9𝑥 = −10 𝑥 =−10
−9 =10 9
2.- El valor de 𝑥que cumple con la ecuación 5
2𝑥+ 3 =6
𝑥− 2 es:
a) 𝑥 = − 7
10 b) 𝑥 =10
7 c) 𝑥 = −10
7 d) 𝑥 = 7
10
Solución:
▪ Se multiplica la ecuación por el mínimo común múltiplo:
5
2𝑥+ 3 =6
𝑥− 2 →
(2𝑥) (5
2𝑥+ 3) = (2𝑥) (6 𝑥− 2) 10𝑥
2𝑥 + 6𝑥 =12𝑥 𝑥 − 4𝑥 5 − 6𝑥 = 12 − 5
10𝑥 = 7 𝑥 = 7
10
3.2.3 Problemas que se resuelven al plantear una ecuación de primer grado.
Para resolver este tipo de problemas se replantea el enunciado en lenguaje algebraico y así se obtiene una ecuación con una incógnita.
Ejemplos:
1.- El modelo matemático que resuelve el problema: “la suma de dos números es 47, el mayor excede al menor en 7” es:
a) 𝑥 + (𝑥 − 7) = 47 b) 𝑥 + (7 + 𝑥) = 47 c) 𝑥 + (47 + 𝑥) = 7 d) 𝑥 + (47 − 𝑥) = 7
Solución:
▪ Se establecen los números con una sola incógnita:
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 ∶ 𝑥 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝑥 − 7
▪ Se plantea la ecuación que resuelva el problema:
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 47 𝑥 + (𝑥 − 7) = 47
2.- Si tres números consecutivos suman 78, entonces el mayor de ellos es:
a) 28 b) 25 c) 26 d) 27
Solución:
▪ Se establecen los números con una sola incógnita:
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟: 𝑥 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜: 𝑥 − 1 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟: 𝑥 − 2
▪ Se plantea la ecuación que resuelve el problema:
𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 + 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 + 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 = 78 𝑥 + (𝑥 − 1) + (𝑥 + 2) = 78
3𝑥 − 3 = 78 3𝑥 = 81
𝑥 =81 3 𝑥 = 27
3.- Tábata tiene 13 años y Tania 36, ¿dentro de cuántos años Tania tendrá el doble de años que Tábata? Un posible planteamiento que resuelva el problema es:
a) 36 + 𝑥 = 2(13 + 𝑥) b) 2(36 + 𝑥) = 13 + 𝑥 c) 36 − 𝑥 = 13 − 2𝑥 d) 36 − 2𝑥 = (13 + 𝑥)
Solución:
Edad actual Dentro de x años
Tábata 13 13 + 𝑥
Tania 36 36 + 𝑥
▪ Se establece la ecuación que resuelve el problema:
𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑇𝑎𝑛𝑖𝑎 = 2(𝐸𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑇á𝑏𝑎𝑡𝑎) 36 + 𝑥 = 2(13 + 𝑥)
3.3 Ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado tiene la forma 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∊ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0.
3.3.1 Clasificación.
3.3.2 Métodos de solución.
▪ Fórmula general: 𝑥 =−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 .
▪ Factorización.
▪ Completado trinomio cuadrado perfecto.
3.3.2.1 Propiedades del discriminante de la fórmula general.
▪ Si 𝑏2+ 4𝑎𝑐 = 0, la ecuación tiene una solución.
▪ Si 𝑏2+ 4𝑎𝑐 < 0, las raíces son imaginarias.
▪ Si 𝑏2+ 4𝑎𝑐 > 0, las raíces son reales.
3.3.2.2 Fórmula general.
Ejemplos:
1.- Una solución de la ecuación 6𝑥2+ 11𝑥 − 10 = 0 es:
Ecuación de 2do. grado
Completa: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Incompleta
Mixta: 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑥 = 0, 𝑐 = 0
Pura: 𝑎𝑥2+ 𝑐 = 0, 𝑏 = 0
a) 3
2 b) 5
2 c) −2
3 d) 2
3
Solución:
▪ Se identifican los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 en la ecuación y se sustituyen en la fórmula general:
𝑎 = 6, 𝑏 = 11 𝑦 𝑐 = −10
▪ Entonces:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 =−11 ± √(11)2− 4(6)(−10)
2(6) =−11 ± √121 + 240
12 =−11 ± √361
12
−11 ± 19 12
▪ Las raíces de la ecuación están dadas por:
𝑥1 =−11 + 19
12 = 8
12=2
3 ; 𝑥2=11 − 19
12 =−30 12 = −5
2
2.- Una solución de 3𝑥2− 9𝑥 = 0 es:
a) 3 b) -3 c) 6 d) -6
Solución:
▪ Se determinan los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐:
𝑎 = 3, 𝑏 = −9 𝑦 𝑐 = 0
▪ Se sustituye en la fórmula general:
𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2− 4𝑎𝑐
2𝑎 =−(−9) ± √(−9)2− 4(3)(0)
2(3) =−(−9) ± √81
6 =9 ± 9
6
▪ Las raíces o soluciones están dadas por:
𝑥1 =9 + 9 6 =18
6 = 3 ; 𝑥2=9 − 9 6 =0
6= 0
3.3.2.3 Factorización y despeje.
Ejemplos:
1.- las raíces de la ecuación 𝑥2− 9𝑥 + 20 = 0 son:
a) -5, 4 b) 4, 5 c) -5, -4 d) -4, 5
Solución:
▪ Se factoriza el trinomio:
𝑥2− 9𝑥 + 20 = 0 → (𝑥 − 5)(𝑥 − 4) = 0 𝑥 − 5 = 0, 𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 5, 𝑥 = 4
2.- Una solución de la ecuación 3𝑥2− 4𝑥 = 0 es:
a) −4
3 b) 2
3 c) 4
3 d) −2
3
Solución:
▪ Se factoriza la expresión:
3𝑥2− 4𝑥 = 0 → 𝑥(3𝑥 − 4) = 0 𝑥 = 0, 3𝑥 − 4 = 0
𝑥 = 0, 𝑥 =4 3
3.- La solución a la ecuación 4𝑥2− 9 = 0 es:
a) ±2
3 b) ±3
2 c) ±9
4 d) ±5
2
Solución:
▪ La ecuación a resolver es cuadrática pura, por tanto, se despeja 𝑥.
4𝑥2− 9 = 0 → 4𝑥2= 9 →
𝑥2=9 4 𝑥 = ±√9
4 𝑥 = ±3
2
3.3.2.4 Completando trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos:
1.- Una de las soluciones de la ecuación 𝑚2− 8𝑚 − 20 = 0 es:
a) -10 b) 6 c) -2 d) 4
Solución:
▪ Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
𝑚2− 8𝑚 − 20 = 0 → 𝑚2− 8𝑚 = 20 →
𝑚2− 8𝑚 + (8 2)
2
= 20 + (8 2)
2
𝑚2− 8𝑚 + 16 = 20 + 16 (𝑚 − 4)2= 36 𝑚 − 4 = ±√36 𝑚 − 4 = ±6
▪ De esta expresión se obtienen las soluciones de la ecuación:
𝑚 − 4 = 6 𝑚 = 6 + 4 𝑚 = 10
; 𝑚 − 4 = −6 𝑚 = −6 + 4
𝑚 = −2
3.- Al completar el trinomio cuadrado perfecto en 𝑥2+ 6𝑥 + 5 = 0 se obtiene:
a) (𝑥 − 3)2= 4 b) (𝑥 + 6)2= 31 c) (𝑥 − 6)2 = 31 d) (𝑥 + 3)2= 4
Solución:
▪ Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
𝑥2+ 6𝑥 + 5 = 0 → 𝑥2+ 6𝑥 = −5 →
𝑥2+ 6𝑥 + (6 2)
2
= −5 + (6 2)
2
𝑥2− 6𝑥 + 9 = −5 + 9 (𝑥 + 3)2= −5 + 9
(𝑥 + 3)2= 4
3.- Una expresión que permite encontrar las raíces de 𝑥2+ 3𝑥 − 10 = 0 es:
a) (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 0 b) (𝑥 +3)2=49 c) (𝑥 −3)2=49 d) (𝑥 + 10)(𝑥 − 1) = 0
Solución:
Se completa el trinomio cuadrado perfecto:
𝑥2+ 3𝑥 − 10 = 0 → 𝑥2+ 3𝑥 = 10 →
𝑥2+ 3𝑥 + (3 2)
2
= 10 + (3 2)
2
(𝑥 +3 2)
2
= 10 +9 4 (𝑥 +3
2)
2
=49 4
3.3.2.5 Dadas las raíces, hallar la ecuación.
Si las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado son:
𝑥1= 𝑎 𝑦 𝑥2= 𝑏 La ecuación es:
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) = 0 𝑜 𝑥2− (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 0 Ejemplos:
1.- La ecuación cuyas raíces son: 𝑥1= 2 y 𝑥2= 5 es:
a) 𝑥2− 7𝑥 + 10 = 0 b) 𝑥2+ 7𝑥 + 10 = 0 c) 𝑥2− 7𝑥 − 10 = 0 d) 𝑥2+ 7𝑥 − 10 = 0
Solución:
𝑥2− (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 0 → 𝑥2− (2 + 5)𝑥 + (2)(5) = 0 𝑥2− 7𝑥 + 10 = 0
2.- La ecuación cuyas raíces son 𝑥1= 3 y 𝑥2= −7, es:
a) (𝑥 + 3)(𝑥 − 7) = 0 b) (𝑥 + 3)(𝑥 + 7) = 0 c) (𝑥 − 3)(𝑥 − 7) = 0 d) (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) = 0
Solución:
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏) = 0 → (𝑥 − (3))(𝑥 − (−7)) = 0 (𝑥 − 3)(𝑥 + 7) = 0
3.- La ecuación cuyas raíces son 𝑥1= −1
2 , 𝑥2=1
3 es:
a) 6𝑥2− 𝑥 − 1 = 0 b) 6𝑥2+ 𝑥 + 1 = 0 c) 6𝑥2− 𝑥 + 1 = 0 d) 6𝑥2+ 𝑥 − 1 = 0
Solución:
▪ La ecuación resulta de:
(𝑥 − (−1
2)) (𝑥 −1
3) = 0 →
(𝑥 +1
3) (𝑥 −1 3) = 0 𝑥2+1
2𝑥 −1 3𝑥 −1
6= 0
▪ Al multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores:
6 (𝑥2+1 2𝑥 −1
3𝑥 −1
6) = 6(0) 6𝑥2+ 3𝑥 − 2𝑥 − 1 = 0
6𝑥2+ 𝑥 − 1 = 0
3.3.3 Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado.
Ejemplos:
1.- Un rectángulo tiene un área de 60 cm2. Si el largo excede en 7 cm a su ancho, ¿cuál es la longitud de largo del rectángulo?
a) 5 cm b) 12 cm c) 10 cm d) 20 cm
Solución:
A = 60 cm2
x + 7
x
Planteamiento:
á𝑟𝑒𝑎 = (𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜)(𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜)
60 = 𝑥(𝑥 + 7) → 60 = 𝑥2+ 7𝑥
𝑥2+ 7𝑥 − 60 = 0 (𝑥 + 12)(𝑥 − 5) = 0
𝑥 = −12, 𝑥 = 5
▪ Se toma la cantidad positiva, entonces:
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜: 𝑥 + 7 = 5 + 7 = 12 𝑐𝑚 ; 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜: 𝑥 = 5 𝑐𝑚
2.- Un rectángulo tiene un área de 108 cm2. Si el largo se disminuye en 6 cm, el ancho se aumenta en 9 cm y el área no cambia, ¿cuáles son las dimensiones del nuevo rectángulo?
a) 2 x 54 cm b) 12 x 9 cm c) 6 x 18 cm d) 4 x 27 cm
Solución:
▪ Se disminuye el largo en 6 cm y se aumenta el ancho en 9 cm, el nuevo rectángulo tiene un área de 108 cm2:
A = 108 cm2
x - 6
108 𝑥
x - 6
A = 108 cm2 108
𝑥 + 9
Planteamiento:
á𝑟𝑒𝑎 = (𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜)(𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜) 108 = (𝑥 − 6) (108
𝑥 + 9) 108 = 108 + 9𝑥 −648
𝑥 − 54 𝐴𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑥,
108𝑥 = 108𝑥 + 9𝑥2− 648 − 54𝑥 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒 𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛:
9𝑥2− 54𝑥 − 648 = 0 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 9.
𝑥2− 6𝑥 − 72 = 0 → (𝑥 − 12)(𝑥 + 6) = 10 → 𝑥 = 12, 𝑥 = −6
▪ Por consiguiente, las dimensiones del nuevo rectángulo son:
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜:108
𝑥 + 9 =108
12 + 9 = 9 + 9 = 18 𝑐𝑚 ; 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜: 𝑥 − 6 = 12 − 6 = 6 𝑐𝑚
3.- Álvaro excede en 3 años a María Elena y la suma de los cuadrados de sus edades es 65. ¿Qué edad tiene Álvaro?
a) 7 años b) 4 años c) 6 años d) 3 años
Solución:
▪ Se establecen las edades con una sola variable:
𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 Á𝑙𝑣𝑎𝑟𝑜 = 𝑥 ; 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑟í𝑎 𝐸𝑙𝑒𝑛𝑎 = 𝑥 − 3
▪ Se plantea la ecuación que resuelve el problema:
𝑥2+ (𝑥 − 3)2= 65 →
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 2
𝑥2+ 𝑥2− 6𝑥 + 9 = 65 2𝑥2− 6𝑥 + 9 − 65 = 0
2𝑥2− 6𝑥 − 56 = 0 𝑥2− 3𝑥 − 28 = 0 (𝑥 − 7)(𝑥 + 4) = 0 𝑥 = 7, 𝑥 = −4
▪ La edad de Álvaro es: 𝑥 = 7.
La edad de Héctor excede en 11 años a la de Fernando, si la suma de los cuadrados de sus edades es 1573, un posible planteamiento que resuelva el problema es:
a) (𝑥 + 11)2− 𝑥2 = 1573 b) (𝑥 − 11)2+ 𝑥2= 1573 c) (𝑥 − 11)2− 𝑥2 = 1573 d) (𝑥 + 11)2+ 𝑥2= 1573
Solución:
▪ Se establecen las edades con una sola incógnita:
𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐻é𝑐𝑡𝑜𝑟 = 𝑥 + 11 ; 𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝐹𝑒𝑟𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜 = 𝑥
▪ Se plantea la ecuación:
(𝑥 + 11)2+ 𝑥2= 1573
5.- Se tiene un cuadrado con 196 cm2 de área. Si se disminuye en 7 cm uno de los lados, el otro se aumenta en 14 cm y el área no se altera, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo resultante?
a) 14 x 14 cm b) 2 x 98 cm c) 7 x 28 cm d) 4 x 49 cm
Solución:
▪ Sea 𝑥 el lado del cuadrado, entonces, si uno de los lados se disminuye en 7 cm y el otro se aumenta en 14 cm, el área es de 196 cm2.
(𝑥 − 7)(𝑥 + 14) = 0 → 𝑥2+ 7𝑥 − 98 = 196 𝑥2+ 7𝑥 − 98 − 196 = 0
𝑥2+ 7𝑥 − 294 = 0 (𝑥 + 21)(𝑥 − 14) = 0
𝑥 = −21, 𝑥 = 14
▪ Por con siguiente las dimensiones del rectángulo resultante son:
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜: 𝑥 + 14 = 14 + 14 = 28 𝑐𝑚 ; 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜: 𝑥 − 7 = 14 − 7 = 7 𝑐𝑚
