1 Determinantes
Definición: A cada matriz 𝐴 de tamaño 𝑛 × 𝑛 se le asigna un escalar particular denominado determinante de 𝐴 y su notación es 𝑑𝑒𝑡(𝐴), o bien, escribir entre barras verticales a la matriz 𝐴, |𝐴|.
El determinante de una matriz tiene muchas interpretaciones. Geométricamente, el determinante representa la longitud del vector de una matriz 1 × 1, el área del paralelogramo que se forma con los vectores de una matriz 2 × 2, el volumen del paralelepípedo que se forma con los vectores de una matriz 3 × 3 y, el momento que se determina con el poliedro que se forma con los vectores de una matriz de mayor tamaño.
También, el determinante es fundamental para analizar la solución de un sistema de ecuaciones lineales con 𝑛 ecuaciones y 𝑛 incógnitas. Entre muchas otras aplicaciones.
A continuación se presentan las estrategias formales para calcular determinantes.
Determinante de una matriz de tamaño 𝟏 × 𝟏:
Sea 𝐴 = (𝑎11), det(𝐴) = 𝑎11
Ejemplo
𝐴 = (5), det(5) = 5
El resultado de este determinante representa la longitud de una vector que tiene pendiente cero (vea la figura de la izquierda). Por tanto, el resultado es 5𝑢 de longitud.
Determinante de una matriz de tamaño 𝟐 × 𝟐:
Sea 𝐴 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22), det(𝐴) = 𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21 Ejemplo
𝐴 = (1 2
3 0), det(𝐴) = det (1 2
3 0) = (1)(0) − (2)(3) = −6
El resultado de este determinante representa el área del paralelogramo que se forma con los vectores 𝑎⃗ y 𝑏⃗⃗ (vea la figura de la izquierda). Por tanto, el resultado es 6𝑢2 de área.
Se sabe que det(𝐴) = 𝑎11𝑎22− 𝑎12𝑎21. El estudiante puede seguir una estrategia visual para recordar cómo calcular el determinante de una matriz 2 × 2:
Si 𝐴 = (𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22) entonces det(𝐴) = |𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22|, el resultado es la multiplicación de las componentes de la diagonal principal menos la multiplicación de las componentes de la diagonal secundaria.
0 2 4 6
Recta
numérica
2 Determinante de una matriz de tamaño 𝟑 × 𝟑:
Sea 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33),
det(𝐴) = 𝑎11𝑎22𝑎33+ 𝑎12𝑎23𝑎31+ 𝑎13𝑎21𝑎32− 𝑎13𝑎22𝑎31− 𝑎11𝑎23𝑎32
− 𝑎12𝑎21𝑎33
Ejemplo 𝐴 = (
−1 4 0
5 2 0
0 0 3
),
det(𝐴) = det (
−1 4 0
5 2 0
0 0 3
)
= (−1)(2)(3) + (4)(0)(0) + (0)(5)(0) − (0)(2)(0)
− (−1)(0)(0) − (4)(5)(3) = −66
El resultado de este determinante representa el volumen del paralelepípedo que se forma con los tres vectores (vea la figura de la izquierda). Por tanto, el resultado es 66𝑢3 de volumen.
El estudiante puede seguir una estrategia visual para recordar cómo calcular el determinante de una matriz 3 × 3:
Si 𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33), la estrategia visual para calcular el determinante sigue el siguiente algoritmo:
1. Escribir las componentes con la notación entre barras.
2. A la derecha del arreglo reescribir las primeras dos columnas.
3. Trazar tres diagonales principales y tres diagonales secundarias.
4. Sumar los productos de las componentes de las diagonales principales y restar los productos de las componentes de las diagonales secundarias.
det(𝐴) = |
𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33|
𝑎11 𝑎21 𝑎31
𝑎12 𝑎22 𝑎32 Ejemplo
Calcule los determinantes de las siguientes matrices:
1. 𝐴 = (4 −6 2 5 )
det(𝐴) = |4 −6
2 5| = (4)(5) − (−6)(2) = 20 + 12 = 32𝑢2
2. 𝐵 = (
3 5 −1
2 −2 4
5 3 3
) det(𝐵) = |
3 5 −1
2 −2 4
5 3 3
| 3 2 5
5
−2 3
= (3)(−2)(3) + (5)(4)(5) + (−1)(2)(3) − (−1)(−2)(5) − (3)(4)(3) − (5)(2)(3) = 0𝑢3 No hay paralelepípedo, esto sucede cuando dos vectores o más son colineales.
3 Determinante de una matriz de tamaño superior:
Sólo los determinantes de arreglos 2 × 2 y 3 × 3 tienen estrategias visuales formales. El estudiante puede consultar otras estrategias visuales en otras fuentes; sin embargo, es conveniente advertir que en internet existen registros mal fundamentados y falsos, el estudiante debe revisar que la fuente sea confiable.
El método de “Expansión de Cofactores” es el método formal para calcular el determinante de una matriz 𝑛 × 𝑛. Es conveniente que para los arreglos pequeños (2 × 2 y 3 × 3) se use una estrategia visual; y para matrices de mayor tamaño usar la expansión de cofactores.
Expansión de cofactores
Sea 𝐴 una matriz 𝑛 × 𝑛, la expansión del primer renglón de 𝐴 es:
det(𝐴) = 𝑎11𝐴11+ 𝑎12𝐴12+ 𝑎13𝐴13+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝐴1𝑛 Donde
𝑎𝑖𝑗 es la componente ubicada en el renglón 𝑖 y en la columna 𝑗.
𝐴𝑖𝑗 es el cofactor correspondiente a la componente 𝑎𝑖𝑗.
Antes de calcular el determinante se debe conocer que es un cofactor.
El cofactor es un escalar con signo, que se obtiene a partir de la fórmula 𝐴𝑖𝑗= (−1)𝑖+𝑗|𝑀𝑖𝑗|, donde 𝑀𝑖𝑗 se llama “menor”.
El menor 𝑀𝑖𝑗 es una matriz que tiene un tamaño de un orden menor que 𝐴. El menor se obtiene a partir de 𝐴, eliminando el renglón 𝑖 y la columna 𝑗.
Ejemplos 1. Sea 𝐴 = (
3 −2 −2
4 0 5
1 6 9
), determine los menores 𝑀13, 𝑀21 y 𝑀32.
Para determinar al menor 𝑀13 se elimina el renglón 1 y la columna 3 de la matriz 𝐴, las componentes que quedan son las componentes del menor:
(
3 −2 −2
4 0 5
1 6 9
) , 𝑀13= (4 0 1 6)
Para determinar al menor 𝑀21 se elimina el renglón 2 y la columna 1 de la matriz 𝐴, las componentes que quedan son las componentes del menor:
(
3 −2 −2
4 0 5
1 6 9
) , 𝑀21= (−2 −2 6 9 )
Para determinar al menor 𝑀32 se elimina el renglón 3 y la columna 2 de la matriz 𝐴, las componentes que quedan son las componentes del menor:
(
3 −2 −2
4 0 5
1 6 9
) , 𝑀32= (3 −2 4 5 )
La matriz 𝐴 es de tamaño 3 × 3, tiene 9 menores, un menor por cada componente, estos son sólo tres ejemplos.
4 2. Sea 𝐴 = (
3 −2 −2
4 0 5
1 6 9
), determine los cofactores 𝐴13, 𝐴21 y 𝐴32.
El cofactor 𝐴13 se obtiene por 𝐴13 = (−1)1+3|𝑀13|, donde |𝑀13| es el determinante del menor 𝑀13 que ya fue calculado:
𝐴13= (−1)4|4 0
1 6| = +[(4)(6) − (0)(1)] = 24
El cofactor 𝐴21 se obtiene por 𝐴21= (−1)2+1|𝑀21|, donde |𝑀21| es el determinante del menor 𝑀21
que ya fue calculado:
𝐴21= (−1)3|−2 −2
6 9 | = −[(−2)(9) − (−2)(6)] = 6
El cofactor 𝐴32 se obtiene por 𝐴32= (−1)3+2|𝑀32|, donde |𝑀32| es el determinante del menor 𝑀32
que ya fue calculado:
𝐴32= (−1)5|3 −2
4 5 | = −[(3)(5) − (−2)(4)] = −23
La matriz 𝐴 es de tamaño 3 × 3, tiene 9 cofactores, un cofactor por cada componente, estos son sólo tres ejemplos. Calcular cofactores es sencillo, sin embargo se suelen tener errores con los signos.
El estudiante debe considerar hasta este punto que una matriz de mayor tamaño tiene más menores y cofactores. Entre más grande sea la matriz más cálculos serán necesarios.
Volviendo a la expansión de cofactores que se mostró de modelo
det(𝐴) = 𝑎11𝐴11+ 𝑎12𝐴12+ 𝑎13𝐴13+ ⋯ + 𝑎1𝑛𝐴1𝑛
Corresponde a la expansión del primer renglón; sin embargo, para calcular el determinante se puede escoger la expansión de cualquier renglón, o incluso, la expansión de cualquier columna de 𝐴.
Ejemplos
Calcular los determinantes de las siguientes matrices:
1. 𝐴 = (
1 3
0 −1
5 2 2 1 3 4
3 2
9 6 4 8
)
La expansión de cofactores puede ser de cualquier renglón o columna de𝐴. A continuación se muestran algunas expansiones que pueden usarse para calcular el determinante:
det(𝐴) = 𝑎11𝐴11+ 𝑎12𝐴12+ 𝑎13𝐴13+ 𝑎14𝐴14𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 det(𝐴) = (1)𝐴11+ (3)𝐴12+ (5)𝐴13+ (2)𝐴14
det(𝐴) = 𝑎21𝐴21+ 𝑎22𝐴22+ 𝑎23𝐴23+ 𝑎24𝐴24𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 det(𝐴) = (0)𝐴21+ (−1)𝐴22+ (3)𝐴23+ (4)𝐴24
5 det(𝐴) = 𝑎11𝐴11+ 𝑎21𝐴21+ 𝑎31𝐴31+ 𝑎41𝐴41𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎
det(𝐴) = (1)𝐴11+ (0)𝐴21+ (2)𝐴31+ (3)𝐴41
Para calcular el determinante es necesario hallar a los cofactores de la expansión. Conviene usar la expansión del segundo renglón o la expansión de la primera columna porque éstas tienen una componente cero que multiplica a un cofactor, por tanto, no es necesario calcular a ese cofactor.
La recomendación para calcular un determinante de una matriz es escoger la expansión del renglón o columna que tenga más ceros, así se hacen menos operaciones.
Eligiendo la expansión del segundo renglón se calculará el determinante de 𝐴:
det(𝐴) = 𝑎21𝐴21+ 𝑎22𝐴22+ 𝑎23𝐴23+ 𝑎24𝐴24𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 det(𝐴) = (0)𝐴21+ (−1)𝐴22+ (3)𝐴23+ (4)𝐴24
Entonces se deben calcular los cofactores 𝐴22, 𝐴23 y 𝐴24, no es necesario calcular 𝐴21 porque se va a multiplicar por cero.
𝐴22= (−1)2+2|𝑀22| 𝐴22= (−1)4|
1 5 2 2 9 6 3 4 8
|
𝐴22= (−1)4|
1 5 2 2 9 6 3 4 8
| 1 2 3
5 9
= +[(1)(9)(8) + (5)(6)(3) + (2)(2)(4) − (2)(9)(3) − (1)(6)(4) − (5)(2)(8)]4
= 20 𝐴23= (−1)2+3|𝑀23| 𝐴23= (−1)5|
1 3 2 2 1 6 3 2 8
|
𝐴23= (−1)5|
1 3 2 2 1 6 3 2 8
| 1 2 3
3 1 2
= −[(1)(1)(8) + (3)(6)(3) + (2)(2)(2) − (2)(1)(3) − (1)(6)(2) − (3)(2)(8)]
= −4 𝐴24= (−1)2+4|𝑀24| 𝐴24= (−1)6|
1 3 5 2 1 9 3 2 4
|
𝐴24= (−1)6|
1 3 5 2 1 9 3 2 4
| 1 2 3
3 1
= +[(1)(1)(4) + (3)(9)(3) + (5)(2)(2) − (5)(1)(3) − (1)(9)(2) − (3)(2)(4)]2
= 48 El determinante de 𝐴 es
det(𝐴) = (0)𝐴21+ (−1)𝐴22+ (3)𝐴23+ (4)𝐴24
6 det(𝐴) = 0 + (−1)(20) + (3)(−4) + (4)(48)
det(𝐴) = 160
2. 𝐵 = (
2 3
0 −3
4 5
7 −8 0 0
0 0
5 6 0 4
)
Las expansiones que convienen desarrollar son
det(𝐵) = 𝑏11𝐵11+ 𝑏21𝐵21+ 𝑏31𝐵31+ 𝑏41𝐵41𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 det(𝐵) = (2)𝐵11+ (0)𝐵21+ (0)𝐵31+ (0)𝐵41
det(𝐵) = 𝑏41𝐵41+ 𝑏42𝐵42+ 𝑏43𝐵43+ 𝑏44𝐵44𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜𝑟𝑒𝑛𝑔𝑙ó𝑛 det(𝐵) = (0)𝐵41+ (0)𝐵42+ (0)𝐵43+ (4)𝐵44
Eligiendo la expansión de la primera columna se calculará el determinante de 𝐵:
det(𝐵) = 𝑏11𝐵11+ 𝑏21𝐵21+ 𝑏31𝐵31+ 𝑏41𝐵41𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 det(𝐵) = (2)𝐵11+ (0)𝐵21+ (0)𝐵31+ (0)𝐵41
Entonces se deben calcular sólo el cofactor 𝐵11, no es necesario calcular 𝐵21, 𝐵31 ni 𝐵41 porque se van a multiplicar por cero.
𝐵11= (−1)1+1|𝑀11| 𝐵11= (−1)2|
−3 7 −8
0 5 6
0 0 4
|
𝐵11= (−1)2|
−3 7 −8
0 5 6
0 0 4
|
−3 0 0
7 5
= +[(−3)(5)(4) + (7)(6)(0) + (−8)(0)(0)— 8)(5)(0)— 3(6)(0) − (7)(0)(4)] = −600
El determinante de 𝐵 es
det(𝐵) = (2)𝐵11+ (0)𝐵21+ (0)𝐵31+ (0)𝐵41 det(𝐵) = (2)(−60)
det(𝐵) = −120
El estudiante no debe confundir la componente 𝑎𝑖𝑗 con el cofactor 𝐴𝑖𝑗, la diferencia en la notación es que la componente es con letra minúscula y el cofactor con letra mayúscula.
