Cambios de Sabor en el sector Down de los Quarks en modelos U(1)’ x
Jhon Jairo Basto Vega
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Departamento de Física
Ciudad Bogota D.C, Colombia Año 2022
Cambios de Sabor en el sector Down de los Quarks en modelos U(1)’ x
Jhon Jairo Basto Vega
1Tesis o trabajo de grado presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Física
Director:
PhD. Roberto Enrique Martínez Martínez2
Línea de Investigación:
Física Teórica en Altas Energías Grupo de Investigación:
Grupo de Física en Altas Energías
Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Departamento de Física
Ciudad Bogota D.C, Colombia Año 2022
Agradecimientos
Agradezco el apoyo del profesor Roberto Martínez, quien con su tiempo, conocimiento y asesoría me ayudo al desarrollo del trabajo de grado, que con bastante dedicación y es- fuerzo logre culminar. Agradezco a mi familia y amigos por el apoyo moral y emocional que constantemente me brindaron en este proceso. Igualmente agradezco a los profesores de la Universidad Nacional de Colombia que hicieron parte de mi crecimiento intelectual y profesional como Físico. Por ultimo me gustaría destacar mi esfuerzo ante las dificultades que se presentaron en este camino hacia mi título de Maestría como Físico.
Índice general
1. Resumen 5
2. Introducción 7
3. Modelo Estándar y Rompimiento espontáneo de la simetría 10
3.1. Estructura del modelo Estándar . . . 10
3.1.1. Bosón de Higgs . . . 11
3.2. Teoría de Gauge y Modelo electrodébil . . . 12
3.2.1. Invarianza de Gauge . . . 12
3.2.2. Inavarianza de Gauge Abeliana . . . 14
3.2.3. Teoría de Gauge en el Modelo Estándar . . . 15
3.2.4. Lagrangiana del modelo electrodébil . . . 16
3.3. Rompimiento espontáneo de la simetría (SSB) . . . 16
3.3.1. Ruptura de simetría . . . 17
4. Sector de Bosones y Fermiones del Modelo Estándar 20 4.1. Sector Bósonico . . . 20
4.1.1. Ruptura de la simetría local SU (2)LN U (1)Y . . . 20
4.1.2. Lagrangiano cinético de los campos escalares . . . 22
4.2. Sector Fermiónico . . . 25
4.2.1. Lagrangiano de Yukawa . . . 25
4.2.2. Lagrangiano Fermiónico . . . 27
4.2.2.1. Sector de los Quarks . . . 28
5. Texturas de masa en el sector de los Quarks 32 5.1. Matriz Cabibbo-Kobayashi-Maskawa . . . 32
5.1.1. Parametrización Chau-Keng . . . 33
5.1.2. Resultados experimentales . . . 33
5.1.3. La violación (CP) y el Invariante de Jarlskog . . . 34
5.2. Texturas de masa o Zero-Texture . . . 35
5.2.1. Textura de masa de 6 ceros . . . 35
5.2.2. Textura de masa con 5 ceros . . . 38 1
2
6. Modelo No Universal U(1)’x 45
6.1. Modelo U(1)’x . . . 45
6.2. Anomalías en el modelo U(1)’x . . . 47
6.3. Lagrangiano cinético de los bosones Guage neutros . . . 49
7. Sector de los Quark con el modelo U(1)’x 53 7.1. Lagrangiano de los Quarks con U(1)’x . . . 53
7.2. Sector Up de lo Quarks con el modelo U(1)’x . . . 56
7.2.1. Corrección radiativa en el Sector Up de los Quarks . . . 59
7.3. Sector Down de lo Quarks con el modelo U(1)’x . . . 63
7.3.1. Corrección radiativa en el Sector Down de los Quarks . . . 65
8. Conclusiones 69
A. Simetrías rotas y no rotas 71
B. Tabla de los números cuánticos del MS 72
C. Invarianza de la carga o número cuántico x 73
D. Invarianza de la simetría interna Z2 75
E. Matrices de Masa en el sector de los Quarks 77
F. Diagonalización de matrices por bloques 79
Bibliografía 81
Índice de cuadros
3-1. Tabla de las propiedades de los Quarks . . . 10
3-2. Tabla de las propiedades de los Leptones . . . 11
3-3. Tabla de las propiedades de los Bosones . . . 11
5-1. Tabla de ajustes de datos . . . 43
5-2. Tabla de errores porcentuales de los elementos de la matriz de mezcla y el invariante Jarlskog . . . 44
6-1. Tabla de cargas X, Z2, Q e Y para los fermiones del modelo estandar y las partículas exóticas . . . 46
6-2. Tabla del número cuántico X no universal y Z2para los bosones de Higgs. . . . 46
B-1. Tabla de los números cuánticos Y (Hipercarga) y Q (Carga). . . 72
3
Índice de figuras
3-1. Función potencial del Lagrangiano escalar [1] . . . 18
7-1. Corrección a un loop a la masa para el Sector Up de los Quarks . . . 59
7-2. Momentos para el diagrama de Feynman . . . 59
7-3. Corrección a un loop a la masa para el Sector Down de los Quarks . . . 65
4
Capítulo 1 Resumen
Cambios de Sabor en el sector Down de los Quarks en modelos U(1)’
xEn el presente proyecto se realiza un estudio detallado del modelo estándar, en el que se tuvo en cuenta el Lagrangiano fermionico, bosonico y Yukawa para la descripción de la respectivas interacciones que ocurren en la naturaleza, y posteriormente con el uso del rompimiento espontáneo de la simetría y el mecanismo de Higgs para explicar la obtención de la masa de las partículas elementales. Además se analiza que al rotar el Lagrangiano fermionico, en este caso el sector de los Quarks, y llevarlo al estado base de masa aparece la matriz de mezcla (CKM) que explica los cambios de sabor [1], y también se consigue el invariante de Jarlskog que es una medida de la violación (CP) [2].
Uno de los objetivos de este trabajo es comprender la fenomenología detrás de la mezcla de Quarks y la violación (CP), para ello se usa las texturas de masa tipo Fritzsch, donde se demuestra que las matrices con textura de seis ceros no fueron compatibles [3] con los resultados experimentales por tener un elemento fijo, sin embargo las de cinco ceros propuestas por Ramond y colaboradores [4] logran tener resultados favorables, ya que los elementos de la matriz de mezcla están muy cercanos a los valores experimentales, y el invariante Jarlskog para cada tipo de textura de ceros se encuentra dentro del intervalo experimental, los cuales son presentados en la DPG [5].
Otro objetivo es la explicación de la jerarquía de masas de los fermiónes en especial para los Quarks, siendo la más indicadas para describir este fenómeno, las extensiones Abelianas no universales del MS. Para lo cual se utiliza el modelo U(1)’x quiral libre de anomalías y que es propuesto por [6], en el que aparecen unas ciertas consecuencias, las cuales son: Un nuevo bóson exótico Z’ que tiene efectos directos en los cambios de sabor, también aparecen tres nuevos Quarks pesados (J1), (J2) y (T) debido a la diagonalización por bloques de las matrices de masa de los sectores Up y Down de los Quarks, sin embargo algunas partículas elementales como el Quark up (u), down (d) y strange (s) quedan sin masa por lo que se recurre a la corrección radiativa para resolver este problema.
5
6 CAPÍTULO 1. RESUMEN Palabras Clave:Modelo estándar, Quarks, Textura de masa, Partículas exóticas, Modelo U(1)’x, CKM, Invariante de Jarlskog y Anomalías quirales.
Abstract
Flavor Changes in the Down Sector of Quarks in U(1)’
xModels
In the present project a detailed study of the standard model is carried out, in which the fermionic, bosonic and Yukawa Lagrangian was taken into account for the description of the respective interactions that occur in nature, and later with the use of the spontaneous sym- metry breaking and the Higgs mechanism to explain the obtaining of the mass of elementary particles. It is also analyzed that by rotating the fermionic Lagrangian, in this case the Quark sector, and bringing it to the ground state of mass, the mixing matrix (CKM) appears, which explains the flavor changes [1], and also the Jarlskog invariant is obtained, which is a measure of the violation (CP) [2].
One of the objectives of this work is to understand the phenomenology behind Quark mixing and violation (CP), for this we use the Fritzsch-type mass textures, where it is shown that the six-zero textured matrices were not compatible with the experimental results because they have a fixed element, however, those with five zeros proposed by Ramond and collaborators [4] achieve favorable results, since the elements of the mixing matrix are very close to the experimental values, and the Jarlskog invariant for each type of texture of zeros is within the experimental range, which are presented in the DPG [5].
Another objective is the explanation of the mass hierarchy of the fermions, especially for the Quarks, being the most indicated to describe this phenomenon, the non-universal Abelian extensions of the DM. For which the anomaly-free chiral U(1)’x model proposed by [6] is used, in which certain consequences appear, which are: A new exotic boson Z’ which has direct effects on the flavor changes, also appear three new heavy Quarks (J1), (J2) and (T) due to the block diagonalization of the mass matrices of the Up and Down sectors of the Quarks, however some elementary particles as the Quark up (u), down (d) and strange (s) remain without mass so we resort to the radiative correction to solve this problem.
Keywords:Standard Model, Quarks, Mass Texture, Exotic Particles, U(1)’xModel, CKM, Jarls- kog Invariant and Chiral Anomalies.
Capítulo 2 Introducción
En el desarrollo de la ciencia se ha generado una gran variedad de interrogantes respecto a los bloques fundamentales de la materia, han existido diferentes modelos los cuales mejoran su comprensión, al mismo tiempo del desarrollo experimental histórico. Actualmente se encuentra el Modelo Estándar (MS) de Partículas, donde este propone cómo las partículas fundamentales interactúan entre sí, de tal manera que la mayoría de los fenómenos observa- dos pueden ser explicados y que logran predecir con alta precisión [7]. A pesar de que este modelo durante su trayectoria ha tenido grandes éxitos, tiene varias dificultades, una de estas es que no puede explicar la observación de oscilaciones de neutrinos, las cuales han sido confirmadas por muchos experimentos [8, 9], otro es el no poder describir el origen de las masas y de las matrices de mezcla entre los fermiones [6], también se recalca los ángulos de mezcla, la violación (CP), la explicación acerca de la estructura de tres familias, y el problema con mayor investigación en el área de Altas Energías y que es actualmente un problema abierto, la explicación de la jerarquía de masas, ya que experimentalmente se ha observado que el Quark top (t) es 70.000 veces más pesado que el Quark up (u) [10], y así con las demás partículas en este sector. Para ello se ha buscado soluciones tentativas, y una forma es proponer ceros en las matrices de masas de las regiones Up y Down de tal forma que al diagonalizar se encuentren los autovalores que respeten estas jerarquías.
Las matrices de textura de masa que se muestra en [11], parten de matrices de masa de Quarks arbitrarios y haciendo una adecuada transformación de base débil (WB), se pueden obtener algunos de estos conjuntos de ceros, para ello se analizó las implicaciones físicas de catorce texturas, de las que cabe resaltar la estructura de cuatro zero-texture, que mostraron que podían explicar con éxito no sólo el sector de los Quarks sino también el sector de Leptones, en particular las masas de leptones y neutrinos cargados [12]. En [13] , explica mediante una matriz de textura y el mecanismo see-saw tipo I como adquieren masa los neutrinos.
Entonces [4] menciona que por medio de una identificación de las matrices de los quarks, se logra acceder a una investigación en la cual se puede reconocer las diferentes matrices de masa que puede contener el modelo. Se dice que de los diferentes estudios que se han
7
8 CAPÍTULO 2. INTRODUCCIÓN realizado solo uno logra evidenciar las cinco soluciones posibles que pueden distinguirse por las mediciones mejoradas de los elementos de la matriz de mezcla (CKM) y que pueden ampliarse fácilmente para incluir las masas de leptones con la textura de Georgi Jarlskog. Lo realmente importante consiste en que estos parámetros que se utilizan para especificar las matrices de masa, esta limitada por el requisito de que haya una cantidad máxima de ceros.
[14, 15]. Por ejemplo el número limite de ceros en las matrices de masa para cada sector de los Quarks, es de seis [11].
Fritzsch [16, 17, 18] propone que para reducir el número de parámetros libres, de 36 a 18 y posteriormente al número de observables, se debe utilizar texturas en las matrices de masa, que son acordes a las masas de los Quarks y a los parámetros de mezcla de sabor, también permite encontrar evidencias que aporten hacia la dinámica de generación de masas de los Quarks y la violación (CP) [3, 19]. No obstante, las texturas de masa tipo Fritzsch con seis ceros no funcionan [20], ya que no coincide los resultados teóricos con los datos experimentales, mientras que las texturas de cinco ceros de Fritzsch, cuatro ceros y las tipo no Fritzsch se pueden utilizar, debido a que se obtienen parámetros de ajuste que logran tener una alta precisión [21].
Es posible describir algunas características de la jerarquía de masas asumiendo matrices zero-texture [22, 23, 24]. La forma en que se describen estos ceros en las matrices de masas es por ejemplo las zero-texture matrices de masa de Fritzsch, que puede describir el espectro de masa en el sector de los Quarks y con el invariante de Jarlskog la violación (CP). Una forma de escribirla en la base U = (u0, c0, t0):
− 〈LY ,U〉0= UL
0 k 0
k∗ 0 l ∗ 0 l ∗ n
UR+ h.c.
Sin embargo hay modelos con simetría de Gauge o simetrías globales donde se consiguen dichos ceros como consecuencia de la simetría. Estos modelos tienen una serie de ventajas fenomenológicas y teóricas en la parte de la física del sabor, neutrinos, la materia oscura, entre otros aspectos [25], una de estas aplicaciones se muestra en [26], en el que pretenden buscar una solución al problema de la jerarquía de masas por medio de la extensión de un modelo extra U(1)’ no universal, el cual concluye que los tres Quarks up (u), down (d) y strange (d) obtuvieron masas en la escala (MeV) mientras que los otros tres partículas en la escala (GeV). Por consiguiente se realizara un estudio en un modelo U(1)’xno universal presentado en [6] , siendo este libre de anomalías tanto en los sectores de los Quarks como en los Leptones, centrándose en este trabajo en la región Down y Up.
También es importante mencionar que al añadir una extensión de la simetría no universal, se involucra un nuevo bosón neutro Z’, el cual es necesario para obtener una teoría libre de
9 anomalías, y que implica una gran cantidad de deducciones fenomenológicas a bajas y altas energías [27, 28]. Igualmente, este bosón con lleva un cambio de sabor en el sector de los Quarks debido a la no universalidad de las cargas de Z’ y también del Z del MS cuando se incluye la mezcla Z-Z’ según lo mostrado en [29].
Capítulo 3
Modelo Estándar y Rompimiento espontáneo de la simetría
3.1. Estructura del modelo Estándar
El Modelo Estándar (MS) de Glashow, Weinberg y Salam (GWS) fue desarrollado entre los años de 1970 y 1973, la cual tiene como fin describir la estructura de la materia y como interactúa la misma [30]. Esto se explica mediante dos tipos de partículas: las partículas de materia que son los fermiones (componen la materia), formados por seis Quarks y seis Leptones (Ver tabla (3-1) y (3-2)) agrupados en tres familias, y también se encuentran las mediadoras de las interacciones de las cuales hay tres tipos de partículas diferentes (Ver tabla (3-3)) cómo el fotón mediador de la interacción electromagnéticas que actúa entre partículas eléctricamente cargadas, tres bosones vectoriales que median la interacción débil y son las causantes de los fenómenos como la desintegración radioactiva y ocho gluones que intervienen en la interacción fuerte que actúa entre los quarks y mantiene unidos los hadrones[31].
QUARKS
Up(u) Charm(c) Top(t) Down(d) Strange (s) bottom(b)
Masa 2.3 1.275 173.07 4.8 95 4.18
MeV /c2 GeV /c2 GeV /c2 MeV /c2 MeV /c2 GeV /c2
Carga 2/3 -1/3
Spin 1/2
Cuadro 3-1: Tabla de las propiedades de los Quarks
Además, el MS es una teoría de Gauge que se fundamenta en el grupo de simetrías SU (3)C N SU (2)LN U (1)Y, cuya base matemática descansa en los grupos de Lie. Este grupo se carac- teriza por ser de matrices unitarias, determínate igual a uno, y el término que se encuentra
10
3.1. ESTRUCTURA DEL MODELO ESTÁNDAR 11 LEPTONES
Electrón(e) Muon(µ) Tau(τ) Neutrino (νe) Neu (νµ) Neu (ντ)
Masa 0.511 105.7 1.777 <2.2 <0.17 <15.5
MeV /c2 MeV /c2 GeV /c2 eV /c2 MeV /c2 MeV /c2
Carga -1 0
Spin 1/2
Cuadro 3-2: Tabla de las propiedades de los Leptones BOSONES
Gluon(g) Fóton(γ) Z Bosón(Z) W Bosón (W±)
Masa 0 0 91.2 80.47
GeV /c2 GeV /c2
Carga 0 0 0 ± 1
Spin 1
Cuadro 3-3: Tabla de las propiedades de los Bosones
dentro del paréntesis indica la dimensión de las matrices y sus generadores [32]. Igualmente, cada grupo representa una interacción de la naturaleza como el SU (3)C la fuerza fuerte, mientras que el SU (2)LN U (1)Y las electrodébiles, la cual se describe en el modelo o teoría electrodébil.
El modelo electrodébil que se construye mediante un Lagrangiano invariante bajo trans- formaciones locales, que debe ser renormalizable y contiene las simetrías SU (2)L donde L asocia a la quiralidad izquierda de las partículas, y U (1)Y Y que asocia a la hipercarga, prohíbe los términos de masa tanto de los fermiones como de los campos Gauge, por lo que se requiere del mecanismo de higgs o rompimiento espontáneo de la simetría para generar estos términos [33] (Ver sección (3.3)).
3.1.1. Bosón de Higgs
La importancia del MS radica, en que realiza varias predicciones que han sido corroboradas por varios experimentos, por ejemplo tenemos la explicación del decaimiento beta , la existencia del Quark Charm, Top y la partícula Z que es la mediadora de la interacción débil [33], pero el descubrimiento más relevante que ha hecho este modelo, es el descubrimiento del bosón de Higgs de forma experimental, en el ATLAS [34] y el CMS [35] en julio de 2012.
El bosón de Higgs cuya masa es de 125.3 ± 0.4 GeV /c, spin cero y no posee carga eléctrica, es muy inestable y se desintegra rápidamente, lo que implica que sólo se puede encontrar en base a sus productos de desintegración. Esta partícula escalar está involucrada en el
12 CAPÍTULO 3. MODELO ESTÁNDAR Y ROMPIMIENTO ESPONTÁNEO DE LA SIMETRÍA rompimiento espontáneo de simetría (SSB) y es la pieza clave del mecanismo Englert-Brout- Higgs [36], mecanismo que explica el origen de la masa de las otras partículas elementales, tanto para los fermiones como para los bosones de gauge por medio de la interacción con el campo de Higgs.
3.2. Teoría de Gauge y Modelo electrodébil
El principio de Gauge establece que si se introduce nuevos campos a un Lagrangiano con el fin de eliminar los términos que rompen la invarianza, entonces se puede obtener un Lagrangiano que transforme de manera local. Así, la teoría de Gauge asocia simetrías internas y campos de Gauge a las interacciones, en otras palabras, por cada interacción se puede ligar un conjunto de campos de Gauge y un grupo de simetrías que pueden ser de tipo Abelianas y No-Abelianas [37].
3.2.1. Invarianza de Gauge
Si se considera el Lagrangiano de la forma;
L = ¯ψ′i D′ψ′= ¯ψiDψ (3.0)
Y vemos que si la siguiente transformación se establece, la ecuación (3.0) es invariante,
ψ¯′= U (θ)ψ (3.1)
Sin embargo,ψ′es un campo que puede tener quiralidad izquierdaψ′L o derechaψ′R, las cuales no transforma de manera igual. Por tal motivo al escribir el término de masa, el Lagrangiano no queda invariante, lo cual se demuestra en seguida.
ψ¯′Mψ′= ¯ψ′LMψ′R+ ¯ψ′RMψ′L
= ¯ψLMU (θ)†LU (β)RψR+ ψRMU (β)†RU (θ)LψL
(3.2)
Para mantener la invarianza, las expresiones deben ser U (β)†RU (θ)L= U (θ)†LU (β)R= I , no obstante este resultado no se determina de esa manera por lo que no se puede garantizar la invarianza, quedando
ψ¯′Mψ′̸= ¯ψLMψR+ ¯ψRMψL (3.3) Por lo que la invarianza de Gauge deja sin masa a los campos, por esta razón este problema se puede resolver con el Lagrangiano de Yukawa y el rompimiento espontáneo de la simetría.
Entonces, definiendo la derivada covariante, la cual preserva la invarianza local de Gauge, D′µ= ∂µ+ i g ¯A′µ· ¯T (3.4)
3.2. TEORÍA DE GAUGE Y MODELO ELECTRODÉBIL 13 Donde g es una constante de acople y ¯T el generador del grupo. Ahora , considerando nuevamente la Ec(3.0), y realizando el remplazo respectivo se tiene
L = ¯ψ′iγµD′µψ′= ¯ψU(θ)†n
iγµ∂µ− g γµA¯′µ· ¯To
U (θ)ψ
= ¯ψU(θ)†n
U (θ)iγµ∂µ+ i γµ(∂µU (θ)) − gγµA¯′µ· ¯T U (θ)o ψ
= ¯ψn
iγµ∂µ+ iU (θ)†γµ∂µU (θ) − gU(θ)†γµA¯′µ· ¯T U (θ)o ψ
= ¯ψ©iγµ∂µ− g γµA¯µ· ¯Tª ψ
(3.5)
Cómo se observa en la ecuación anterior, para que el Lagrangiano sea invariante, el campo de Gauge debe transformar de la siguiente manera
A¯µ· ¯T = U (θ)†A¯′µ· ¯T U (θ) −i
gU (θ)†∂µ(U (θ)) (3.6) También se puede expresar
A¯′µ· ¯T = U (θ) ¯Aµ· ¯T U (θ)†+ i
g(∂µU (θ))U(θ)† (3.7) Si U = exp(i ¯θ · ¯T ) y se realiza una transformación infinitesimal para la Ec(3.7),
A¯′µ· ¯T ≈ (I + i ¯θ · ¯T ) ¯Aµ· ¯T (I − i ¯θ · ¯T ) + i
g(i∂µ( ¯θ · ¯T ))(I − i ¯θ · ¯T )
≈ ¯Aµ· ¯T + i ( ¯Aµ· ¯T )( ¯θ · ¯T ) − i ( ¯θ · ¯T )( ¯Aµ· ¯T ) −1
g(∂µ( ¯θ · ¯T ))
(3.8)
De la ecuación anterior se despreciaron términos de orden superiorθ2, y ahora se cambia a forma de índices
A′cµTc ≈ AcµTc+ i (AaµθbTaTb) − [i (θbAaµTbTa)] − 1
g(∂µθc)Tc
≈ AcµTc− i Aaµθb[Ta, Tb] −1
g(∂µθc) ¯Tc
(3.9)
El conmutador para la expresión [Ta, Tb] = i fabcTc, donde fabces la constante de estructura del grupo [38]. Sí se simplifica cantidades, la Ec(3.9) queda.
A′cµ ≈ Acµ+ Acµθbfabc−1
g(∂µθc) (3.10)
14 CAPÍTULO 3. MODELO ESTÁNDAR Y ROMPIMIENTO ESPONTÁNEO DE LA SIMETRÍA
3.2.2. Inavarianza de Gauge Abeliana
Si la constante de estructura fabc= 0 , entonces se tiene una teoría de Gauge Abeliana, por lo tanto la ecuación (3.10) queda:
A′cµ = Acµ−1
g(∂µθc) (3.11)
Para el campo Acµse debe construir un tensor Fµνc , y también construir una densidad La- grangiana que coincida con las ecuaciones de movimiento. Para ello definimos el tensor de curvatura antisimétrico como [33]:
Fµν= i
g[Dµ, Dν] = Fµνc Tc (3.12) Donde
Fµνc = ∂µAcν− ∂νAcµ+ g fabcAaµAbµ (3.13) Ya que estamos en una teoría de Gauge Abeliana, la ecuación anterior (ver Ec(3.13)) queda de la forma
Fµν= ∂µAν− ∂νAµ (3.14)
La cual se denomina tensor de intensidad Abeliana [39], cuya expresión es invariante bajo transformaciones de Gauge, que está dada por la Ec(3.11), lo que significa Fµν′ = Fµν. La densidad Lagrangiana debe ser escalar invariante Gauge, o en otras palabras que preserve su simetría al realizar alguna transformación, por lo tanto se debe construir de la siguiente manera,
L = −1
2Tr (FµνFµν) = −1
2Tr (Fµνa Ta(Fb)µνTb)
= −1
2Fµνa (Fb)µνTr (TaTb) = −1
2Fµνa (Fb)µν1 2δab
= −1
4Fµνa Faµν
(3.15)
Sumando sobre a = 1,2,3··· N2−1. De este modo, el término cinético para el campo de Gauge Aµes;
LQD= −1
4FµνFµν (3.16)
Si se considera una teoría invariante bajo el grupo SU(N ), el Lagrangiano anterior toma la forma,
LQE D= ¯ψiγµDµψ −1
4FµνFµν (3.17)
El cual puede explicar los fenómenos que ocurren en la electrodinámica cuántica [40].
3.2. TEORÍA DE GAUGE Y MODELO ELECTRODÉBIL 15
3.2.3. Teoría de Gauge en el Modelo Estándar
El sector electrodébil descrito por el grupo de simetrías SU (2)LN U (1)Y que transforma mediante el grupo de Gauge de tipo Abeliano y No-Abeliano:
ψ′L(x) = ULUYψL(x) = exp(i Tjθ(x)j) exp (i Yβ(x))ψL(x) (3.18) Donde Tj = τj/2 con matrices de pauli τj ( j = 1,2,3), es el generador No-Abeliano del SU (2)Ly la hipercarga Y es el generador Abeliano del grupo U (1)Y, con fasesθ(x)j yβ(x), respectivamente. En la Ec(3.18) se observa que los campos ψL(x) son para dobletes de quiralidad izquierda y con derivada covariante que preserva la invarianza local de Gauge, la cual se expresa
Dµ= ∂µ+ i g WµjTj+i g′
2 Y Bµ (3.19)
Mientras que en el caso de los campos derechosψR(x), se representan en forma de singletes y transforman de esta manera
ψ′R(x) = UYψR(x) = exp(i Y β(x))ψR(x) (3.20) Y su derivada covariante es
Dµ= ∂µ+i g′
2 Y Bµ (3.21)
En las Ecuaciones (3.19) y (3.20) aparecen términos como g y g’ que son constantes de acoplamiento, Bµ y Wµj ( j = 1,2,3) son campos de gauge asociados a los grupos U (1)Y y SU (2)L, que mantienen la invarianza de gauge por medio de las transformaciones Abelianas y No-Abelianas, las cuales transforman como;
Bµ′ = Bµ− 1 g′(∂µβ) Wµ′ j= Wµj−1
g(∂µθj) + fj klWµlθk
(3.22)
Para el caso de los campos Bµy Wµj , sus correspondientes tensores de curvatura son los siguientes
Bµν= ∂µBν− ∂νBµ (3.23)
Wµν= ∂µBν− ∂νBµ (3.24)
Ambos campos de Gauge se mantienen invariantes bajo transformaciones del grupo. Por ende, el Lagrangiano que explica la dinámica de los bosones y es escrito por los términos cinéticos es;
LG= −1
4BµνBµν−1
4Wµνj Wjµν (3.25)
16 CAPÍTULO 3. MODELO ESTÁNDAR Y ROMPIMIENTO ESPONTÁNEO DE LA SIMETRÍA
3.2.4. Lagrangiana del modelo electrodébil
La densidad Lagrangiana para el modelo electrodébil, que unifica la interacción débil y el electromagnetismo, se representa de la siguiente forma
LEW = LG+ Lf + LY W+ Lhg (3.26)
De dicha ecuación anterior (3.26) se puede observar que el primer término, es el Lagrangiano que tiene en cuenta las cantidades cinéticas de los bosones de Gauge y sus autointeraccio- nes (Ver Subsec (3.2.3)). Mientras que el segundo término es el Langrangiano de Dirac o fermiónico que describe la cinemática, las interacciones fermiónicas, y las interacciones entre fermiones y bosones de Gauge (Ver Subsec(4.2.2));
Lf = ¯QLii DQLi + ¯URii DURi + ¯DRii DDiR+ ¯lLii DlLi + ¯eiRi DeRi (3.27) Adicionalmente, se puede evidenciar que el Lagrangiano fermiónico tiene presente la deri- vada covariante (Ec(3.19) y Ec(3.21)), la cual distingue la quiralidad de los campos y que no se propuso la familia de neutrinos derechosνR. Para el tercer término, es el de Yukawa que explica como es la interacción de los fermiones debido a la generación de masas, después de haber ocurrido el rompimiento espontáneo de la simetría Gauge [41]. Su expresión es
−Ly= hi juQ¯L′iφ˜U′ jR+ hi jd Q¯′iLφD′ jR+ h.c (3.28) Por ultimo, el cuarto término es el Lagrangiano de Higgs (φ) que junto con el de Yukawa muestra como es la interacción del campo de Higgs con el sector bosónico, con el fin de dar masa a los bosones de Gauge (W±, Z ) y a los fermiones.
Lhg =1
2(Dµφ)†(Dµφ) −1
2µ2φ†φ −1
4λ(φ†φ)2 (3.29)
Cabe resaltar que el campoφ debe tener términos hasta orden a la cuatro, para que la teoría sea renormalizable [33], y que el signo relativo de las constantes de acoplamientoµ y λ está determinado por la ruptura de simetría, como se verá en la siguiente sección.
3.3. Rompimiento espontáneo de la simetría (SSB)
De la misma manera en que se observa como trabaja el principio de invarianza de Gauge local para las interacciones fuertes y electromagnéticas, se busca también aplicar el mismo principio en las interacciones débiles, sin embargo la teoría electrodébil tiene serios defectos, ya que impide términos de masa para los bosones de gauge y para los fermiones, asimismo que se viola la unitariedad [36] . Para resolver este problema se propone añadir un campo con potencial específico que preserve la simetría del lagrangiano y de esa manera realizar el
3.3. ROMPIMIENTO ESPONTÁNEO DE LA SIMETRÍA (SSB) 17 rompimiento espontaneo de la simetría (SSB) en el vació elegido, y además usar el mecanismo de Higgs para que los fermiones adquieran su respectiva masa. Por lo que se propone el siguiente Lagrangiano, [1] para un campo escalarφ:
Lk=1
2(Dµφ)†(Dµφ) + e−(γφ)2 (3.30) Dondeγ es una constante. El término de masa se obtiene haciendo una expansión en el exponencial de la siguiente manera:
Lk=1
2(Dµφ)†(Dµφ) + 1 − γ2φ2+1
2γ4φ4−1
6γ6φ6+ · · · (3.31) Ignorando el valor constante 1, se observa que el segundo termino es similar al terminó de masa del lagrangiano de Klein-Gordon. Entonces, si se analiza ahora el siguiente Lagrangiano, en base a lo desarrollado anteriormente:
Lk=1
2(Dµφ)†(Dµφ) −1
2µ2φ2−1
4λφ4 (3.32)
φ es es el doblete escalar de Higgs,
φ =Ãφ† φ0
!
(3.33) La ecuación (3.32), se observa que el segundo término es el de la masa y el tercero una interacción entre los campos. El signo negativo aparece, ya que esto se debe al procedimiento perturbativo, es decir, se parte del vació y luego se perturba para encontrar el mínimo de energía. El Lagrangiano se puede escribir como la diferencia del término cinético y el del potencial. El potencial se expresa de la siguiente manera:
V (φ) =1
2µ2φ2+1
4λφ4=1
2µ2(φ†φ) +1
4λ(φ†φ)2 (3.34)
Cuyo minimo es
φ0= ± sµ2
λ (3.35)
Entonces se lleva a que existen dos vacíos independientes, y cuando el sistema escoge uno de los dos rompe inmediatamente la simetría, es decir, se presencia el rompimiento espontáneo de simetría, esto es debido a que el vació no acepta la simetría del Lagrangiano.
3.3.1. Ruptura de simetría
Para que no exista un estado de vació único, los parámetros de acoplamiento del potencial deben tomar valores deµ2< 0 y λ > 0, [33][1][42] lo que implica partículas escalares de masa imaginaria y que el potencial sea acotado inferiormente, además de que exista un estado
18 CAPÍTULO 3. MODELO ESTÁNDAR Y ROMPIMIENTO ESPONTÁNEO DE LA SIMETRÍA fundamental, lo cual puede verse en la Figura (3-1) del potencial escalar. Si se introduce un
Figura 3-1: Función potencial del Lagrangiano escalar [1]
campo de Higgs escalar:
φ = 1
p2(φ1+ i φ2) (3.36)
El lagrangiano en función deφ1yφ2, toma la forma Lh(φ1,φ2) =1
2(∂µφ1)2+1
2(∂µφ2)2−1
2µ2(φ21+ φ22) −1
4λ(φ21+ φ22)2 (3.37) Cuyo mínimo corresponde
qφ21+ φ22= ± sµ2
λ = υ → µ2= −λυ2 (3.38)
El resultado anterior muestra que existen muchos estados mínima energía, por lo que se elige uno de ellos como el estado base o en otras palabras el vació físico, de tal manera queφ1= υ y φ2= 0, Donde υ se le conoce como, Valor esperado en el vacio o en ingles Vacuum Expected Value. Ahora, realizando un cambio de variables, h = φ1− υ y φ2= η, con el propósito realizar una perturbación sobre el mínimo. Entonces, reescribiendo el término del vació (Ec(3.36));
φ0= 1 p2
q
h + υ + i η (3.39)
3.3. ROMPIMIENTO ESPONTÁNEO DE LA SIMETRÍA (SSB) 19 El cinético,
T (h,η) = 1
p2∂µ(h + υ + i η) 1
p2∂µ(h + υ + i η)
=1
2(∂µh)2+1 2(∂µη)2
(3.40)
Y para el termino del potencial V (h,η) =1
2µ2((h + υ)2+ η2) +1
4λ((h + υ)2+ η2)2
=1
2µ2(h2+ υ2+ 2hυ + η2) +1
4λ(h2+ υ2+ 2hυ + η2)2
(3.41)
Teniendo en cuenta la Ec(3.38), Y despreciando el término constante 14λυ4, y los de orden superior aη2y h2,
V (h,η) = −1
2λυ2(h2+ υ2+ 2hυ + η2) +1
4λ(h2+ υ2+ 2hυ + η2)2
=1
4λh4+ λυh3+1
2λh2η2−1
4λυ4+ λυ2h2+ λhυη2+1 4λη4
≈ λυ2h2+ . . .
(3.42)
Finalmente el Lagrangiano queda:
Lh(h,η) = T (h,η) −V (h,η) =1
2(∂µh)2− λυ2h2+1
2(∂µη)2+ . . . (3.43) En la Ec((3.43)) se puede evidenciar que se obtiene una partícula con masa h y otra sin masa η, los valores másicos de estas cantidades son;
mh=pλυ2
mη= 0 (3.44)
La aparición de estas masas y las excitaciones del campo h de tipo radial, son consecuencia directa de la invariancia Lagrangiana y de la partícula sin masa conocida como bosón de Goldstone, la cual se establece en el teorema de Goldstone.
El teorema de Goldstone dice, que siempre que una simetría continua o generador se rompe espontáneamente, aparecen nuevas partículas escalares sin masa, las cuales son llamadas bosones de Goldstone [43]. Por lo tanto, una ruptura espontánea de una simetría global da lugar a un bosón de Goldstone, mientras que una ruptura espontánea de una simetría local hará que el bosón de Goldstone desparezca.
Capítulo 4
Sector de Bosones y Fermiones del Modelo Estándar
4.1. Sector Bósonico
Los bosones son partículas elementales de spin entero, que no cumplen el principio de exclusión de Pauli y obedecen la estadística de Bose-Einstein, también son los encargados de mediar las interacciones de la naturaleza, como la débil, la fuerte y el electromagnetismo, las cuales tienen partículas asociadas, tal como los bosones W± y Z, fotones y gluones, respectivamente [42]. Además, existe otra partícula bósonica importante denominada bóson de higgs, que junto con la la ruptura de la simetría y el mecanismo de Higgs, se encargan del origen másico de las partículas elementales [44], lo cual va ser estudiado, en esta sección.
4.1.1. Ruptura de la simetría local SU (2)
LN U (1)
YEn el capítulo anterior se estudio el rompimiento espontáneo de la simetría, donde el Lagran- giano estaba expresado:
Lhg =1
2(Dµφ)†(Dµφ) −1
2µ2φ†φ −1
4λ(φ†φ)2 (4.0)
Con derivada covariante asociada al grupo SU (2)LN U (1)Y
Dµ= ∂µ+ i g WµjTj+i g′
2 Y Bµ (4.1)
Y como fue necesario hacer una teoría de perturbaciones, el campo de Higgs se redefine alrededor del estado fundamental y queda escrito de la forma:
φ(x) =Ãφ† φ0
!
= Ã φ†
h+υ+i ηp 2
!
(4.2)
20
4.1. SECTOR BÓSONICO 21 Además que el estado base degenerado, en el que se elige uno como el estado fundamental,
〈φ〉0= 1 p2
Ã0 υ
!
(4.3)
Aquí se puede observar (Ec(4.3)), que 〈φ†〉0= 〈φ−〉0= 〈η〉0= 0. Ahora, si se define la relación de Gell-Mann-Nishijima [45], que permite relacionar los tres tipos de carga en el modelo electrodébil:
Q = T3+1
2Y (4.4)
Donde Q es la carga eléctrica, T3el isospín débil e Y la hipercarga. La expresión (4.4) permite determinar el grupo unitario,
U (1)Q=©exp(iαQ)ª (4.5)
También se considera un campo escalar de dimensión 2, el cual es una representación del grupo SU (2)LN U (1)Y, cuyas transformaciones son de la forma,
U (θ,β) = exp(i ¯θ · ¯T ) exp(iβY ) (4.6) Con un campo
φ(x) =Ãφ† φ0
!
(4.7) Si se dispone calcular la carga o generador Q, para un campoφ(x) e hipercarga Y = 1:
Qφ(x) = µ
T3+1 2Y
¶ φ(x)
=
ÃÃ1/2 0 0 −1/2
! +1
2 Ã1 0
0 1
!! Ãφ† φ0
!
= Ã1 0
0 0
! Ãφ† φ0
!
(4.8)
Y en el vació la ecuación (4.8)
U (1)E M : 〈φ〉0= µ
T3+1 2Y
¶
〈φ〉0= Ã1 0
0 0
! 1 p2
Ã0 υ
!
= 0 → No se rompe (4.9)
Entonces el generador no se rompe, lo que implica que el grupo o simetría U (1)E M deja invariante el vació. Este resultado era esperado ya que el vació es neutro y se tiene:
φ′→ exp(i αQ)〈φ〉0= 〈φ〉0 (4.10)
22 CAPÍTULO 4. SECTOR DE BOSONES Y FERMIONES DEL MODELO ESTÁNDAR Para los demás generadores T1, T2, T3 del grupo SU (2)L y la hipercarga Y de U (1)Y, que actúan sobre el estado fundamental 〈φ〉0, estos si rompen la simetría (para ver los detalles del calculo se muestra en el Anexo (A)), por esta razón la matriz de masa del potencial debe tener autovalor cero, lo cual se establece en el Teorema de Goldstone, que dice, que por cada generador Roto se tiene un bóson de Goldstone de masa cero [33]. De tal manera que, tras la ruptura espontánea de la simetría, aparecen bosones Goldstone, pero también los campos Gauge adquieren masa (W±, Z ), sin embargo el fotón permanece sin masa. Todo ello preservándose la simetría Gauge del Lagrangiano.
4.1.2. Lagrangiano cinético de los campos escalares
Se considera el siguiente Lagrangiano:
Lc =¡Dµφ¢+¡Dµφ¢ (4.11)
Se introduce un campo escalar, que es un doblete y transforma bajo el grupo SU (2)LN U (1)Y,
φ(x) =Ãφ† φ0
!
= Ã φ†
h+i ηp 2
! + 1
p2 Ã0
υ
!
= φc+ 〈φ〉0 (4.12)
En la ecuación (4.12) se separa los campos del vacio, resultando
φ(x) = φc+ 〈φ〉0 (4.13)
Cabe mencionar, que el término cinético (Ver Ec((4.11)) tiene una derivada covariante, ya que permite cancelar los términos de fases, es decir, que tenga conexión a fin con el campo de Gauge SU (2)Ly el U (1)Y, asimismo que la teoría sea invariante de Gauge. Entonces, para encontrar los términos de masa asociados a los bosones, se considera solamente el término del valor esperado en el vació, el cual se remplaza en Lagrangiano cinético:
Lc =¡Dµ〈φ〉0
¢†
¡Dµ〈φ〉0
¢ (4.14)
Para la cantidad Dµ〈φ〉0, donde se remplaza la derivada covariante (Ver Ec((4.11))):
Dµ〈φ〉0= µ
∂µ+ i g ¯Wµ· ¯T +i g′ 2 Y Bµ
¶
〈φ〉0
= 1 p2
µi g
2W¯µ· ¯τ +i g′ 2 Y Bµ
¶Ã 0 υ
!
= i
p8£g ¡τ1W1µ+ τ2W2µ+ τ3W3µ¢ + g′Y Bµ¤ Ã0
υ
!
= i p8
"
g
ÃÃ 0 W1µ W1µ 0
! +
à 0 −iW2µ
iW2µ 0
! +
ÃW3µ 0 0 −W3µ
!!
+ g′
ÃYφ0Bµ 0 0 Yφ0Bµ
!# Ã0 υ
!
(4.15)
4.1. SECTOR BÓSONICO 23 Finalmente queda
Dµ〈φ〉0= i p8
Ãg W3µ+ g′Yφ0Bµ g¡W1µ− iW2µ¢ g¡W1µ+ iW2µ¢
−g W3µ+ g′Yφ0Bµ
! Ã0 υ
!
= iυ p8
à g¡W1µ− iW2µ¢
−g W3µ+ g′Yφ0Bµ
! (4.16)
Teniendo en cuenta la notación para los campos débiles cargados:
Wµ±=W1µ∓ iW2µ
p2 (4.17)
La expresión (4.16) queda:
Dµ〈φ〉0= iυ p8
à g³p 2Wµ+´
−g W3µ+ g′Yφ0Bµ
!
(4.18)
Realizando un procedimiento similar al anterior, se llega a que;
¡Dµ〈φ〉0
¢†
= −iυ p8
³ g³p
2W−µ´
,¡−gW3µ+ g′Yφ0Bµ¢´
(4.19)
Así, el término cinético del Lagrangiano viene dado por la siguiente expresión:
¡Dµφ¢†¡Dµφ¢ =1 8υ2h
2g2(W−µWµ+) +¡−gW3µ+ g′Yφ0Bµ¢ ¡−gW3µ+ g′Yφ0Bµ¢i
(4.20) Los términos W3y Bµse pueden escribirse en forma matricial,
¡−gW3µ+ g′Yφ0Bµ¢ ¡−gW3µ+ g′Yφ0Bµ¢ = ¡W3µ, Bµ¢
à g2 −g g′Yφ0
−g g′Yφ0 g′2
! ÃW3µ Bµ
!
(4.21)
Diagonalización de la matriz de Masa
Como la hipercarga en el estado de vació es Yφ0= 1, la expresión (4.21) toma la forma
¡W3µ, Bµ¢
à g2 −g g′Yφ0
−g g′Yφ0 g′2
! ÃW3µ Bµ
!
=¡W3µ, Bµ¢ MB
ÃW3µ Bµ
!
(4.22)
Donde la matrizMB se pretende diagonalizar D = RTwMBRw, para calcular los estados de masa. Para ello se obtiene sus autovalores, los cuales son :λ1=¡g2+ g′2¢ y λ2= 0 y los
24 CAPÍTULO 4. SECTOR DE BOSONES Y FERMIONES DEL MODELO ESTÁNDAR autovectores para cada autovalor, son
λ1=¡g2+ g′2¢ → ⃗v1= A1
Ãg
g′
1
!
λ2= 0 → ⃗v2= A2
Ã−gg′ 1
! (4.23)
Usando las condiciones de ortonormalidad, se determinan A1y A2:
∥⃗v1∥2= 1 → A1= g′
pg2+ g′2 → ⃗v1= 1 pg2+ g′2
Ãg g′
!
∥⃗v2∥2= 1 → A2= g
pg2+ g′2 → ⃗v2= 1 pg2+ g′2
Ã−g′ g
! (4.24)
Si se hace una reparametrización en función de un ánguloθW, el cual se conoce como ángulo de Weinberg, entonces se tiene que;
cos(θW) = g
pg2+ g′2, sin(θW) = g′
pg2+ g′2, tan(θW) =g′
g (4.25)
Por lo tanto la matriz de rotación es:
Rw(θW) =
p g
g2+g′2 −p g′
g2+g′2 g′
pg2+g′2
p g g2+g′2
=
Ãcos(θW) −sin(θW) sin(θW) cos(θW)
!
(4.26)
Al tener la matriz de rotación, se puede relacionar tanto los bosones de Gauge con los bosones físicos, de la siguiente manera
ÃZµ Aµ
!
=
Ãcos(θW) −sin(θW) sin(θW) cos(θW)
! ÃW3µ Bµ
!
(4.27)
Donde se expresa cada bóson físico, en función de los bosones de Gauge:
Zµ= cos(θW)W3µ− sin(θW)Bµ
Aµ= sin(θW)W3µ+ cos(θW)Bµ (4.28) Se observa de la ecuación (4.28), que Zµrepresenta el campo asociado a la interacción débil neutra y el campo Aµa la interacción electromagnética. Remplazando en la ecuación (4.20), la matriz diagonalizada , en la base de los bosones físicos, se obtiene los términos masivos
