Centro de Masa. Sólido Rígido

Centro de Masa

Sólido Rígido

Centro de Masa

El centro de masa de un sistema de partículas es un punto en el cual parecería estar concentrada toda la masa del sistema.

En un sistema formado por partículas discretas el centro de masa se calcula mediante la siguiente fórmula:

M m m

m

i i i CM

∑ ∑

∑ ₌

= r r

r

m₁ m₂

m_n m_i r₁

r₂

r_i r_n

r_CM

x y

z

= ?

= ∑ ∑

i i i

CM

m

r m r

m₁ m₂

m_n m_i r₁

r₂

r_i r_n

r_CM

x y

z

M m m

m

i i i CM

∑ ∑

∑ ₌

= r r

r

r₁ r₂

r_i

r_n

x

y

z

Centro de masa de un objeto extendido

r_CM

x y

z

r_i

∆m_i

El centro de masa de un objeto extendido se calcula mediante la integral:

∫

= dm

CM

M r

r 1

El centro de masa de cualquier objeto simétrico se ubica sobre el eje de

simetría y sobre cualquier plano de

simetría.

Movimiento de un sistema de partículas

Si se deriva respecto al tiempo el centro de masa de un sistema de partícula se obtiene la velocidad del centro de masa:

M m

dt m d

M dt

d

i i CM

i i

CM CM

∑

∑

=

=

= v v

r

v r 1

El momento total del sistema es:

∑

∑ ^{= =}

=

CM

m

M v v p p

La aceleración del centro de masa es:

∑

∑ ⁼

=

=

CM

m

M dt

m d M

dt

d v v a

a 1 1

De la segunada ley de Newton:

∑

∑ ⁼

=

CM

m

M a a F

dt M

d

ext

a p

F = =

∑

Tomando en cuenta la 3era. Ley de Newton:

El centro de masa se mueve como una partícula imaginaria de masa M

bajo la influencia de la fuerza externa resultante sobre el sistema.

�

𝑁𝑁

𝐹𝐹

= 𝐹𝐹

= � 𝑚𝑚

𝑎𝑎

+ 𝑚𝑚

𝑎𝑎

+ 𝑚𝑚

𝑎𝑎

+ ⋯ = 𝑀𝑀𝑎𝑎 _?

� 𝑖𝑖=1

𝑁𝑁 𝑚𝑚 _𝑖𝑖 𝑎𝑎 _𝑖𝑖 = 𝑀𝑀 ⃗𝑎𝑎 _{𝐶𝐶𝐶𝐶}

m x

x

M

= 1 ∑

� 𝑚𝑚 _𝑖𝑖 𝑥𝑥 _𝑖𝑖 = 𝑀𝑀𝑥𝑥 _{𝐶𝐶𝐶𝐶}

m x

x

M

= 1 ∑

O bien

Entonces

� 𝑚𝑚 _𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑥𝑥 _𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑚𝑚 ^𝑖𝑖 v _𝑖𝑖 = 𝑀𝑀 𝑑𝑑𝑥𝑥 _{𝐶𝐶𝐶𝐶}

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑀𝑀v ^{𝐶𝐶𝐶𝐶}

� 𝑚𝑚 _𝑖𝑖 𝑑𝑑v _𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑑𝑑 = � 𝑚𝑚 ^𝑖𝑖 a _𝑖𝑖 = 𝑀𝑀 𝑑𝑑v _{𝐶𝐶𝐶𝐶}

𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑀𝑀a ^{𝐶𝐶𝐶𝐶}

• Cuando una fuerza actúa sobre un sistema de partículas, este se comporta de forma que el centro de masas se mueve como si toda la masa del sistema de partículas estuviese concentrada en él

Un objeto lanzado puede moverse de manera compleja, pero su centro de masas describe una parábola

M v v m

dt d r M m

1 dt

dr M

r

r_g m^{i i g} _i ⁱ _g ^{i i}

→ →

→ →

→ → ∑

=

∑ ⇒

=

∑ ⇒

=

M a a m

dt dv M m

1 dt

v

d _i

i g

g i

i

→ →

→ →

= ∑

∑ ⇒

=

M a a F

F m

F_i ^ext_i i ^{i ext}_{i G}

→ →

→ = ∑ = ∑ ⇒ ∑ =

∑ ^{→ →}

• Para un sistema de partículas m₁, m₂, ..., m_i , cada una de ellas estaría sometida a fuerzas ejercidas por las demás, por lo que se denominan fuerzas internas y fuerzas del exterior del

sistema ^Finti _F^→ext_i

→

a F m

F_i F^int_i ^ext_i i ⁱ

→ →

→ →

= +

Por la 2ª ley de Newton =

Por el principio de acción y reacción ΣF^→inti = ⁰

x

y

z m₁

m₂

m₃

m₄ G

• El centro de masas es un punto G que se comporta como una partícula material, en la que se concentra toda la masa del sistema, tal que su vector de posición cumple que: rg

→

M m r r r

r m

M g i g i ⁱ

i

→ →

→ → ∑

=

∑ ⇒

= ^{( M =}

Σ

M x x_g ∑m^{i i}

=

M m y y_g ∑ ^{i i}

=

M m z z_g ∑ ^{i i}

=

En los sistemas continuos y homogéneos, el centro de masas coincide con el centro de simetría del sistema

r₁

→

rg

→

r^→₄ r₂

→

r₃

→

1 Centro de masas

Definición: ∑

= ∑

i

i i i

i

m r m r





CM

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

i i

i i

i

i i

i i

i

i i

i i

i

m z m m z

y m m y

x m

x_{CM CM CM}

Coord. cartesianas:

Objetos continuos:

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

= dm

z z dm

dm y y dm

dm x

x_CM dm _{CM CM}

Objetos discretos:

Y

Y

Z

X

C

Sistema C

O X

Z

Sistema L

∑

= ∑

i

i i

i i

CM m

r m r

m ₁ m ₂

m ₃ m ₄

m ₅

m ₆

y

r ₁ x

r ₄

r ₆

https://phet.colorado.edu/sims/collision-lab/collision-lab_en.html

𝑅𝑅 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = ∑ _𝑖𝑖=1 ^𝑁𝑁 𝑚𝑚 _𝑖𝑖 𝑥𝑥 _𝑖𝑖

∑ _𝑖𝑖=1 ^𝑁𝑁 𝑚𝑚 _𝑖𝑖

𝑅𝑅 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = 1

𝑀𝑀 _𝑇𝑇 �

𝑖𝑖=1 𝑁𝑁

𝑚𝑚 _𝑖𝑖 𝑥𝑥 _𝑖𝑖

CM ext

R

Ma

F

=

CM

Si la F

que actúa sobre el sistema es igual 0,

entonces el Centro de Masa del Sistema se mueve con

v= cte, o está en reposo

0 0

sistema

( ) M

r m m

r m t

r

i i

i

i i

i i CM

∑

∑

∑ =

=

cte

V _CM = P _sist = cte

= 0

ext

F R

Ejemplo. Se tienen 3 masas iguales en los

vértices de un triángulo rectángulo. Calcular el vector C.M.

d

h

a

y

x y’

x’

y

x

r _CM

z r

M rdm

CM = ¹ ∫

para una distribución continua de masa:

∆m _i

r

y

x

m

m

x -x

y

-y 𝑥𝑥

= 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑚𝑚(−𝑥𝑥)

2𝑚𝑚 = 0

∑

=

∑

i i

i i

i

m x m x_CM

∑

=

∑

i i

i i

i

m y m y_CM

𝑦𝑦

= 𝑚𝑚𝑦𝑦 + 𝑚𝑚(−𝑦𝑦)

2𝑚𝑚 = 0

𝑥𝑥 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = 0

𝑦𝑦 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = 0

j i 2

5 , 1

r₁ ^{→ →}

→ = +

• Se toman los tres cuadriláteros marcados, se calcula su centro de simetría mediante el corte de sus diagonales y se concentra en dichos puntos la masa de cada placa, que se expresa en función de la densidad superficial de masa σ

5 j , i 0

5 , 3

r^→₂ = ^→ + ^→ j 5 , i 3

5 , 3

r^→₃ = ^→ + ^→

𝑅𝑅

= 1

𝑀𝑀

�

𝑖𝑖=1 3

𝑚𝑚

⃗𝑟𝑟

=

= ^𝑚𝑚

1,5 ̌𝚤𝚤+2 ̌𝚥𝚥 +𝑚𝑚

3,5 ̌𝚤𝚤+0,5 ̌𝚥𝚥 +𝑚𝑚

3,5 ̌𝚤𝚤+3,5 ̌𝚥𝚥 𝑚𝑚

+𝑚𝑚

+𝑚𝑚

No tengo m1, m2 ni m3…….

La densidad es lo que me permite transformar las masas en ‘posiciones’

𝜆𝜆 = 𝑀𝑀

𝐿𝐿 =

𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝜎𝜎 = 𝑀𝑀

𝐴𝐴 =

𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝛿𝛿 = 𝑀𝑀

𝑉𝑉 =

𝑑𝑑𝑚𝑚

𝑑𝑑𝑉𝑉

m₁ = σ S₁ = 12 σ 2 j

5 i , 1

r₁ ^{→ →}

→ = +

m₂ = σ S₂ = σ m₃ = σ S₃ = σ 5 j

, i 0

5 , 3

r^→₂ = ^→ + ^→ 5 j , i 3

5 , 3

r^→₃ = ^→ + ^→

𝑅𝑅 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = ^𝑚𝑚

1,5 ̌𝚤𝚤+2 ̌𝚥𝚥 +𝑚𝑚

3,5 ̌𝚤𝚤+0,5 ̌𝚥𝚥 +𝑚𝑚

3,5 ̌𝚤𝚤+3,5 ̌𝚥𝚥 𝑚𝑚

+𝑚𝑚

+𝑚𝑚

𝑅𝑅 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = 12𝜎𝜎 1,5 ̌𝚤𝚤+2 ̌𝚥𝚥 +𝜎𝜎 3,5 ̌𝚤𝚤+0,5 ̌𝚥𝚥 +𝜎𝜎 3,5 ̌𝚤𝚤+3,5 ̌𝚥𝚥 14𝜎𝜎

𝑅𝑅

= 25𝜎𝜎 ̌𝚤𝚤 + 28 𝜎𝜎 ̌𝚥𝚥

14𝜎𝜎 = 25 ̌𝚤𝚤 + 28 ̌𝚥𝚥 14

𝑅𝑅 _{𝐶𝐶𝐶𝐶} = 1,8 ̌𝚤𝚤 + 2 ̌𝚥𝚥

Objetos continuos:

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

= dm

z z dm

dm y y dm

dm x

x_CM dm _{CM CM}

y

x y’

x’

Centro de masas

Objetos continuos:

Objetos discretos:

Ej.

Ej.

Objetos continuos:

Ej.

Objetos continuos:

Ej.

2 m

4 m 3 m

(11,9)

(10,-3) (-8,2)

3 g

5 g 4 g

Otras situaciones

Sun-Jupiter barycenter

Earth-Sun Orbit (Eccentricity)

Simetria

Determinar el centro de masa del sistema mostrado, si se sabe que las masas para cada elemento son m

= 4 kg, m

= 8 kg, m

= 3 kg, y m

= 5 kg.

𝑥𝑥

= 𝑚𝑚

𝑥𝑥

+ 𝑚𝑚

𝑥𝑥

+ 𝑚𝑚

𝑥𝑥

+ 𝑚𝑚

𝑥𝑥

𝑚𝑚

= 28,5 𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑦𝑦

= 𝑚𝑚

𝑦𝑦

+ 𝑚𝑚

𝑦𝑦

+ 𝑚𝑚

𝑦𝑦

+ 𝑚𝑚

𝑦𝑦

𝑚𝑚

= 46 𝑐𝑐𝑚𝑚

Se unen dos varillas uniformes y homogéneas AB de 40 kg de masa y otra varilla BC semicircular de 60 kg de masa. Determinar la abscisa del centro de masa del conjunto.

Simetria

y

x

A B

C

20cm

y

x

A B

C

10cm

30cm

x

x

y

10cm

x

30cm

x

x

𝑥𝑥

= 40𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥

+ 60𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑥𝑥

100 𝑘𝑘𝑘𝑘 = 22 𝑐𝑐𝑚𝑚

Homework

R _CM ?

La estructura mostrada se encuentra en equilibrio. Calcular el valor de la masa m

, si m

= 15 kg. Además AD = 10 cm, DB = 35 cm, CD = 20 cm, y θ = 37°

Homework

Simetrias

y

x

Placa (P) R 2R

-

Placa Compuesta (C)

y

x

Disco (S)

=

y

x

Consider the triangular region R with vertices (0,0),(0,3),(3,0) and with density function

𝜌𝜌(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑦𝑦.

Find the center of mass.

https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Book%3A_Calculus_(OpenStax)/15%3A_Multiple_Integration/15.6%3A_Calculating_Centers_of_Mass_and_Moments_of_Inertia

FIN

Coming next:

https://www.youtube.com/watch?v=Q5e_fxiFxbQ&list=PLLDSl32oBLVIXNDK0bQTZIwHYsoxAzyBP

https://youtu.be/Q5e_fxiFxbQ