VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO. (Prerrequisito: Trigonometría plana)

(Prerrequisito: Trigonometría plana)

Vectores fijos y libres del plano

Entendemos por vector fijo un segmento rectilíneo orientado. Por tanto, habrá un punto inicial A (llamado también origen del vector) y un punto final B (llamado también extremo del vector). El vector se representa entonces por AB . Si los puntos A y B están en el espacio tridimensional R , el vector es de dicho espacio. Pero si nos limitamos a ³ tomar los puntos A y B en un plano, donde suponemos existente un “sistema ortogonal de coordenadas cartesianas”, diremos que el vector es del plano R . En lo que sigue, ² consideraremos inicialmente vectores del plano y luego extenderemos los conceptos y propiedades al espacio R , dando una operación muy importante que sólo existe en ³ dicho espacio.

Un vector fijo del plano, cuyo punto inicial es A y cuyo punto final es B, tiene como módulo la longitud del intervalo AB; tiene como dirección la de la recta que lo contiene (o la de cualquier recta paralela, pues rectas paralelas tienen la misma dirección), y tiene como sentido el que corresponde a ir de A hacia B.

Si prescindimos de la importancia del origen del vector, y sólo nos interesan su módulo, su dirección y su sentido, estaríamos en el concepto de "vector libre" (que se representa con una sola letra minúscula, en vez de dos mayúsculas). De modo que todos los vectores fijos que tengan el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido que el vector fijo AB , se considerarían representantes de un único vector libre vr

. Como AB es un representante de vr

, podemos escribir vr= AB

. Pero si CD es otro vector fijo que tiene el mismo módulo, dirección y sentido que AB , también podremos escribir

CD vr=

.

Un vector fijo que tenga sus puntos origen y extremo coincidentes, se llama "vector fijo cero" (se reduce a un punto, luego tiene módulo cero, no tiene dirección y no tiene sentido). Todos los vectores fijos cero son representantes del "vector libre cero", que se representa por 0

r . Dado el vector libre vr

, hay siempre otro vector libre que tiene el mismo módulo, la misma dirección y sentido contrario. Se representa por vr

− y se llama "vector opuesto de vr

".

Componentes escalares de un vector libre del plano Supongamos que el vector libre vr

tiene como representante suyo al vector fijo AB . Si las coordenadas cartesianas del punto A son (x₁, y₁) y las coordenadas del punto B son (x₂, y₂), las "componentes escalares" del vector vr

son (x₂−x₁^, y2 −y1). Se demuestra que estas componentes escalares no dependen de que se elija para el vector libre vr

el

representante fijo AB u otro representante fijo cualquiera. O sea, que si el vector fijo CD representa también al vector libre vr

, siendo C(x , ₃ y ) y D(₃ x₄, y₄), se cumple:

Primera componente escalar de vr

: x₄ −x₃= x₂ −x₁ Segunda componente escalar de vr

: y4− y3 = y2 −y1

Entonces, llamando a la primera componente escalar de vr

y llamando b la segunda componente escalar de vr

, se escribe vr=(a,b) .

Se tiene una relación importantísima entre el módulo del vector, que representamos por vr

, y sus componentes escalares:

vr = a²+b²

(por ser el sistema de referencia “cartesiano ortogonal”) Es muy sencillo ver que si es vr=(a,b)

, será −vr=(−a,−b)

. Además, para el vector libre cero se tiene: 0r =(0,0)

.

Operaciones con vectores libres del plano

Suma de vectores libres

La suma de los vectores vr=(a,b)

y wr =(c, d)

se hace así: Se toma un representante cualquiera AB de vr

y se toma el único representante de wr

que tenga su origen en el punto B. Será el vector fijo BD . Consideramos ahora el nuevo vector fijo AD , cuyo origen es el origen de AB y cuyo extremo es el extremo de BD . Se tiene vr+wr = AD

. Se demuestra fácilmente que vr+wr =(a+c,b+d)

. NOTA: La suma de vr

con vr

− da el vector libre cero. O sea: ^vr+

( )

Diferencia de vectores libres La diferencia vr wr

− se obtiene sumando el vector vr

con el opuesto del vector wr

( )

w

vr r r r

− +

=

− . Se tiene entonces: vr−wr =(a−c,b−d) NOTA: La diferencia vr vr

− da el vector libre cero, pues ^vr−vr=vr+

( )

______________________________________________________________________

Producto de un número real por un vector libre Si el número real k es positivo, el producto vkr

es otro vector libre, cuyo módulo resulta de multiplicar el módulo de vr

por k , cuya dirección es la misma de vr

y cuyo sentido es el mismo de vr

.

Si el número real k es cero, el producto vkr

será 0 r .

Y si el número real k es negativo, el producto vkr

es otro vector libre, cuyo módulo resulta de multiplicar el módulo de vr

por k , cuya dirección es la misma de vr

y cuyo sentido es el contrario al de vr

.

Cuando el vector libre es cero, el producto es el vector cero, para cualquier número k . O sea, 0 0

r r=

k para todo k real.

Se demuestra que si vr=(a,b)

, en todos los casos es kvr=(k⋅a,k⋅b) .

______________________________________________________________________

Producto escalar de vectores libres Dados los vectores libres vr=(a,b)

y wr =(c, d)

, el producto escalar v wr ro

es un número real obtenido multiplicando sus módulos por el coseno del ángulo que forman dichos vectores. O sea, ^vrowr = ^vr ⋅^wr.cosα . (La operación se llama “producto escalar”

porque el resultado es un escalar, o sea un número).

Para conocer el ángulo que forman ambos vectores libres, se elijen representantes fijos de ambos con un mismo origen A, siendo α el ángulo no orientado más pequeño cuyo vértice está en el punto A y cuyos lados son las semirrectas que contienen a los vectores fijos que representan a vr

y wr

. Por tanto, si los vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido, será α =0 (con lo cual v wr vr wr

ro

⋅

= ). Si los vectores son perpendiculares, será α =π/2 (con lo cual v wr =0

ro

). Y si los vectores tienen la misma dirección pero sentidos contrarios, será α =π (en ese caso v wr vr wr

ro

⋅

−

= ^{). En}

general, siempre es 0≤α ≤π , resultando el producto positivo cuando α sea agudo y resultando el producto negativo cuando α sea obtuso.

Desde luego, si al menos uno de los vectores es el vector libre cero, el producto escalar dará el número cero (en ese caso no podemos determinar α , pero al ser uno de los módulos cero el producto dará cero).

Teorema: Si vr=

(a, b ) y wr =

(c, d ), se tiene v wr =a⋅c+b⋅d ro

. Por tanto, cuando los vectores vr=(a,b)

y wr =(c,d)

sean no nulos (sean distintos del vector cero) podremos escribir:

a⋅c+b⋅d = vr ⋅wr ⋅^cosα

de donde resulta:

2 2 2

cos 2

d c b a

d b c a

+

⋅ +

⋅ +

= ⋅ α

que nos permite saber el coseno del ángulo que forman los vectores. Y como sabemos que dicho ángulo está entre 0 y π, podemos aplicar la función arco coseno a ambos miembros de la igualdad anterior quedando:











+

⋅ +

⋅ +

= ⋅

2 2 2

cos 2

d c b a

d b c arc a

α

Nota: Los valores de la función arco coseno llenan el intervalo [0 , π]. (Ver aparte el documento “Funciones básicas”)

Propiedades principales de las operaciones con vectores libres del plano

Propiedades de la suma:

1) Para tres vectores dados es siempre ur vr wr ur vr wr + +

= +

+( ) ( ) 2) Para dos vectores dados es siempre ur vr vr ur

+

= + 3) Para cualquier vector ur

es siempre ur r ur

= +0 4)Todo vector ur

tiene un vector opuesto ur

− , de forma que ( ) 0 r r r+ −u = u

Propiedades del producto de número real por vector:

1) Siendo k un real, es siempre k ur vr kur kvr +

= + ) (

2) Si k₁ y k₂ son dos reales, es siempre k k ur k ur k ur

2 1 2

1 )

( + = +

3) Si k₁ y k₂ son dos reales, es siempre (k₁ k₂)ur k₁(k₂ur)

=

⋅ 4) Para cualquier vector ur

es siempre ur ur

=

1 , ur ur

−

=

−1)

( y 0 0

r r

= u Propiedades del producto escalar de vectores:

1) Para dos vectores dados es siempre u v v ur ro or

r =

2) Para tres vectores dados es siempre u v w u v u wr ro or r r o r

r ( + )= +

3) Siendo k un real, es siempre (ku) v u (kv) k (u vr) ro o r

r or

r = = ⋅

4) Para cualquier vector ur

es siempre u ur = ur ² ≥0 ro

(el = se da sólo si 0 r r

= u )

Coordenadas de un vector libre respecto de la base canónica del plano El vector libre i

r

es el que tiene módulo 1, dirección la del eje OX y sentido concordante con el positivo sobre dicho eje (de izquierda a derecha).

El vector libre j r

es el que tiene módulo 1, dirección la del eje OY y sentido concordante con el positivo sobre dicho eje (de abajo a arriba).

Los vectores i r

, j r

forman lo que se llama "base canónica de los vectores libres del plano”, porque todo vector libre vr

que demos se puede escribir de un modo único del siguiente modo: v ai bj

r r r

+

= , donde a y b son precisamente las componentes escala- res del vector vr

. (Por ello, estas "componentes escalares" del vector se llaman también

"las coordenadas del vector respecto de la base canónica").

NOTA: Las coordenadas de i r

son (1 , 0) , y las coordenadas de j r

son (0 , 1).

Los vectores ai r

y bj r

, cuya suma nos da el vector vr

, se llaman "componentes vectoriales" de dicho vector vr

según las direcciones de los ejes.

Si hallamos el producto escalar v i r ro

obtenemos vr ⋅^cosα

, donde α es el ángulo menor que forma el vector vr

con la parte positiva del eje OX. Pero, a su vez, dicho producto nos dará a⋅1+b⋅0=a. Por tanto, tenemos a= vr ⋅^cosα

. Y si hallamos el producto escalar v j

r ro

obtendremos vr ⋅^cosβ

, donde β es el ángulo menor que forma el vector vr

con la parte positiva del eje OY. Pero, por otro lado, dicho producto dará a⋅0+b⋅1=b. Luego tenemos b= vr⋅^cosβ

.

Usando las dos expresiones obtenidas en los párrafos anteriores, podemos escribir:

^vr=(^a,^b)=(^vr ⋅cosα, ^vr ⋅cosβ)= ^vr(cosα,cosβ) donde el nuevo vector urv =(cosα,cosβ)

es el vector unitaro (de módulo 1) que tiene la misma dirección y sentido que el vector vr

. Y las componentes de dicho vector unitario ur_v

se suelen llamar "cosenos directores"

del vector vr .

Extensión de todo lo anterior al espacio

En todo lo que sigue cuando digamos “espacio” nos estaremos refiriendo al espacio R , ³ donde suponemos la existencia de un “sistema cartesiano ortogonal” de referencia (tres ejes mutuamente perpendiculares; con unidades de escala iguales sobre cada uno, y orientado de modo que si giramos 90º el semieje positivo OX sobre el semieje positivo OY, aplicándole ese mismo movimiento a un tornillo situado en la dirección del eje OZ, el tornillo avanzaría en el sentido positivo de dicho eje). Nota: Suponemos que el tornillo es de los que “avanzan girando a la derecha”, como la inmensa mayoría, porque también hay tornillos que “avanzan girando a la izquierda”.

El concepto de “vector fijo” AB, con puntos origen y extremo, teniendo además módulo, dirección y sentido, puede extenderse perfectamente al espacio, con tal de tomar los puntos A y B en dicho espacio (puntos con tres coordenadas, en vez de dos coordenadas).

Así mismo, el concepto de “vector libre” se puede usar en el espacio sin ningún pro- blema.

Siendo los puntos A de coordenadas (x₁, y₁, z₁) y B de coordenadas (x₂, y₂, z₂), las

“componentes escalares” del vector libre vr

que tiene como representante el vector fijo

AB son (x₂ −x₁^, y2 −y1^, z2 −z1). Por tanto, los vectores libres del espacio tienen tres componentes escalares (en lugar de dos).

Como las tres componentes escalares de un cierto vector libre vr

no dependen de cuál sea su representante fijo, se usa la notación vr=

(a, b , c), donde a= x₂ −x₁^,

1

2 y

y

b= − ^y c=z2 −z1 (ya no importan las coordenadas de los puntos A y B, sino sus diferencias). Se tiene ahora vr = a² +b² +c²

, porque suponemos que las coordenadas de los puntos corresponden a un “sistema cartesiano ortogonal”.

Las operaciones de suma de vectores y de multiplicación de un número real por un vector se extienden sin problemas al espacio (operando con las tres componentes escalares de cada vector, como hacíamos en el plano con sólo dos componentes).

De igual modo se extiende la definición dada para el producto escalar de vectores, como producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, o bien como suma de los productos de sus respectivas componentes escalares.

Así el ángulo de los vectores vr=

(a₁, b₁, c₁) y wr =

(a₂, b₂, c₂) viene dado por:













+ +

⋅ + +

⋅ +

⋅ +

= ⋅

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1

2 1 2 1 2

cos 1

c b a c b a

c c b b a arc a

α

con lo cual dos vectores no nulos serán perpendiculares solamente si su producto escalar es cero (el producto escalar es el numerador de la fracción anterior).

Las propiedades de las operaciones suma, producto de número real por vector y producto escalar de vectores, dadas para vectores del plano en la página 4, se siguen cumpliendo en el espacio.

La “base canónica” de los vectores libres del espacio está formada por los vectores

= i r

(1, 0 , 0), j = r

(0 , 1 , 0) y k = r

(0 , 0 , 1). Y todo vector libre vr

tiene como

“coordenadas”, respecto de la base canónica, a sus propias componentes escalares. O sea, que si es vr=

(a, b , c), podemos escribir v ai bj ck r r r r

+ +

= .

Finalmente, si el vector vr

forma con i r

el ángulo α , forma con j r

el ángulo β ^{y forma} con k

r

el ángulo γ , se tiene: a= vr ⋅^cosα

, b= vr ⋅^cosβ

y c= vr ⋅^cosγ

. Donde ^cosα ^, β

cos y ^cosγ se llaman “cosenos directores” del vector vr . Entonces será: vr=

( ^vr.cosα^, vr ⋅^cosβ

, vr ⋅^cosγ ) = vr

(^cosα ^{, cos}β^{, cos )} γ Donde ur_v =

(^cosα^{, cos}β^, cos ) es el vector unitario (de módulo 1) que tiene la γ misma dirección y sentido que vr

.

Producto vectorial de vectores del espacio

Dados dos vectores del espacio, hay otra operación que puede hacerse con ellos y que da como resultado un nuevo vector, por lo cual se llama “producto vectorial” (para diferenciarlo del “producto escalar”, donde su resultado es siempre un número real, o sea un escalar).

Si tenemos los vectores del espacio vr=

(a₁, b₁, c₁) y wr =

(a₂, b₂, c₂), el “producto vectorial de vr

por wr

”, representado por vr wr

× , queda definido así:

k

b a

b j a

c a

c i a

c b

c b c b a

c b a

k j i w v

r r r

r r r r r

2 2

1 1 2

2 1 1 2 2

1 1

2 2 2

1 1

1 = − +

=

×

Ejemplo: Sean vr=

(2, -1 , 0) y wr =

(1 , -3 , 2). Se tiene:

=− − − =

− + −

− −

= −

−

−

=

× i j k i j k

k j i w v

r r r r

r r

r r r r

r 2 4 5

3 1

1 2 2 1

0 2 2 3

0 1 2 3 1

0 1

2 (-2 , -4 , -5)

______________________________________________________________________

Propiedades principales del producto vectorial

1) El producto vectorial no es conmutativo: vr wr wr vr

×

−

=

×

2) Si al menos uno de los vectores es el vector cero, el producto vectorial de ambos también es cero. O sea, 0 0 0 0 0

r r r r r r r

=

×

=

×

=

× v

v .

3) Si dos vectores son proporcionales, su producto vectorial es el vector cero. O sea, para todo real λ ^{se tiene vr×}

( ) ( )

4) Cuando vr wr

× es distinto de cero, ese vector producto resulta ser perpendicular a vr y a wr

. Con lo cual tenemos: ^vro

(

)

(

)

Además, en ese caso, el sentido del producto vectorial viene dado por la llamada “regla del tornillo” (se toman vectores fijos AB y AC que sean, respectivamente, represen- tantes de vr

y de wr

, con lo cual el representante del producto vectorial que tenga su ori- gen en A estará contenido en la recta perpendicular al plano ABC por el punto A; pues bien, si giramos AB en ese plano, alrededor del punto A, hasta llevarlo sobre AC siguiendo el ángulo más corto, un tornillo situado en esa recta perpendicular avanzaría en el sentido que tiene el producto vectorial). (Hacer un dibujo en perspectiva de lo que decimos, para aclarar la idea). (Nótese que al cambiar el orden de los factores, el giro se hace en sentido contrario y el tornillo avanzaría en sentido contrario. Por eso es

v w w

vr r r r

×

−

=

× ).

5) Se tiene i j k r r

r× = , j k i r r

r× = y k i j r r r

=

× .

(Aquí tenemos un buen ejemplo de la “regla del tornillo”: Si ponemos los tres vectores con origen común en el origen de coordenadas, al girar 90º el vector i

r

para que coincida con j

r

, un tornillo situado sobre el eje OZ avanzaría en el sentido positivo de dicho eje, que es el sentido de k

r

). (Análogo razonamiento en los otros dos productos).

6) ^vr×^wr = ^vr ⋅^wr ⋅^senα

, siendo α el ángulo de los vectores vr y wr

.

Esta propiedad se traduce en lo siguiente: Si elegimos representantes fijos de vr y wr con un origen común, el módulo del producto vectorial es el doble del área del triángulo que determinan ambos vectores fijos.

7) Si λ es un número real cualquiera, se tiene:

( )

( ) (

)

8) Para tres vectores libres se tiene: ^ur×

(

)

(

)

w u

vr r r r

× +

×

= .

_____________________________________________________________________