MODELOS ANATÓMICOS A PARTIR DE MÁQUINAS DE APRENDIZAJE
G. Montilla1, A. Bosnjak1, H. Villegas1, R. Villegas1, I. Jara2
1Centro de Procesamiento de Imágenes, Universidad de Carabobo, Venezuela
2Hospital Metropolitano del Norte, Valencia, Venezuela e-mail: gmontill@uc.edu.ve
RESUMEN
Esta investigación propone un nuevo método de modelado de estructuras anatómicas cuando estas son difíciles de segmentar por los métodos tradicionales o aún utilizando métodos avanzados. Nuestro método combina el conocimiento médico del órgano para definir los contornos sobre imágenes difusas o ruidosas, y una máquina de soporte vectorial (SVM) para el proceso de modelado tridimensional a partir de los contornos. Se presentan resultados para aplicaciones en regiones tan distantes clínicamente como la cirugía de tumores cerebrales y el modelado de los órganos involucrados en la Braquiterapia de la próstata.
Palabras Clave: Cirugía Asistida por Computador, Modelado Anatómicos.
INTRODUCCIÓN
En el diseño de nuestro software de cirugía asistida por computador fue necesario buscar un método para modelar las estructuras del cerebro que muchas veces sus contornos no estaban muy claramente definidas debido a que se trataba de tumores con paredes difusas donde no se definen fronteras claras entre los tejidos. Otras veces se disponía de una baja cantidad de cortes de los estudios tomográficos o de resonancia magnética. Consideramos por lo tanto que una tarea fundamental de un sistema de planificación quirúrgica es modelar estas estructuras para convertirlas en objetos de computación gráfica fáciles de manejar en una escena tridimensional donde habitan con modelos del paciente y del instrumental quirúrgico. La solución propuesta comprende dos pasos: (1) Se delinea el órgano manualmente con muy pocos puntos unidos por splines cúbicos. (2) Se obtiene a partir de estos contornos la superficie estimada del órgano. Para el segundo paso se utiliza un truco para convertir el problema de modelado de contornos en un problema de clasificación binaria, el cual se resolvió utilizando una máquina de soporte vectorial (SVM). El objetivo de este trabajo es explicar este método de modelado de estructuras anatómicas.
Las técnicas de modelado que se explican en este documento han sido utilizadas para modelar órganos que van a ser sometidos a radiación mediante Braquiterapia.
Esta consiste en la colocación de semillas radioactivas en lugares precisos los cuales se determinan a partir de un procedimiento de optimización basado en máquinas de aprendizaje. Hasta el momento el sistema desarrollado no ha sido utilizado para planificar la dosis de radiación de ningún paciente ya que debe ser previamente validado contra otros sistemas existentes. Esta investigación forma
parte de un sistema de planificación de cirugías que soporta el estándar DICOM, la visualización de los datos volumétricos se realiza utilizando mapeo de texturas 3D y despliegue de superficies modeladas por mallas, el sistema provee el despliegue simultáneo de imágenes 2D y 3D en un ambiente que combina estas dos modalidades de visualización para imágenes provenientes de cualquier modalidad radiológica. A continuación se explican las bases matemáticas de los clasificadores binarios basados en SVM, luego se explica el método de modelado propuesto y algunas de sus propiedades, para objetos en el plano. Luego el método se extiende a objetos tridimensionales.
Finalmente se extiende su aplicación para el modelado de tumores escaneados por tomografía axial computarizada y por ultrasonido.
CLASIFICADOR BINARIO SIMPLE SVC
Las SVM han sido concebidas por Vapnik [1] como máquinas de aprendizaje que minimizan el error de clasificación, encontrando el hiperplano de máximo margen que separa dos clases en el espacio de rasgos. El problema de clasificación binaria se propone a continuación.
Dado un conjunto de puntos
{ }
xi ⊂ℜni=1,L,l en el espacio de entrada y una función que asigna a los puntos uno entre dos posibles valores Ψ:xi→yi yi∈{ }
−1,1 , Vapnik propone proyectar el problema a otro espacio (espacio de los rasgos) usando una transformaciónm
n→ℜ
ℜ
Φ: , de manera que en el espacio de rasgos las clases son linealmente separables por un hiperplano de máximo margen. Esta proposición se presenta en la figura 1 a partir de la cual se plantean las siguientes ecuaciones.
∑
=+ l
i i b
w
C
1 2 ,
, 2
min
1 ξξ
w (1)
(
i)
iT
i b
y w Φ(x)+ ≥1−ξ (2) l
i ≥0 i=1,L,
ξ (3)
Figura 1. Puntos e hiperplano en el espacio de rasgos.
En la figura 1 se considera una función planar (función distancia) que se extiende sobre todo el espacio de rasgos y toma valor cero sobre el hiperplano de separación optimo.
Se puede asignar arbitrariamente el valor 1 a la función distancia sobre los puntos más cercanos al hiperplano optimo, que llamaremos vectores de borde. También se pueden permitir vectores con función distancia 1-ξi, que llamaremos vectores no-borde. El resto de los vectores más allá de los dos planos de distancia 1 se llaman los puntos interiores. La variable w (gradiente de la función distancia) ajusta la suavidad de la función, un valor mínimo de la magnitud de w asegura máxima suavidad, pero también una máxima separación entre las dos clases, ya que la distancia real entre los dos planos de función distancia 1 y -1 es
w /
2 . La ecuación (2) expresa que todos los puntos son proyectados detrás de los planos de distancia 1 excepto los vectores de borde y los vectores no borde. La ecuación (1) presenta un problema de minimización multi-objetivo que involucra la magnitud de w (coeficiente de suavidad o gradiente) y la suma de los errores.
Las ecuaciones (4) a (6) proveen el problema dual obtenido a partir del Lagrangiano. En la ecuación (4) aparece el término K
(
xri,xrj)
, que representa el producto escalar en el espacio de rasgos. Este producto son kernels como los dados en las ecuaciones (8) y (9). La ecuación (7) representa la función distancia en el espacio de rasgos, pero además puede ser graficada en el espacio de entrada. Esta es la función de decisión del clasificador y la superficie de nivel cero de esta función la utilizaremos para resolver el problema de modelado 3D.∑
∑
= =−
Κ l
i i l
j i
j i j i j
i y y
1 1
,
) , 2 (
min
α 1 αα x x α (4) li
i C 1, ,
0≤α ≤ = L (5)
∑
= l =i i iy
1
α 0 (6)
b y
D
l
i
i i
i Κ +
=
∑
=1
) , ( )
(x α x x (7)
2
) ,
(xi xj =e− xi−xj
Κ γ (8)
(
i j)
dj
i = +a
Κ(x,x ) x ox (9)
CLASIFICADOR ν-SVC
El clasificador ν-SVC difiere del clasificador binario simple en que los planos ubicados a distancia 1 (ver figura 1) se ubican ahora a una distancia ρ, y se considera ρ otra variable a optimizar. El problema de optimización lo definen las ecuaciones (10) a (12).
∑
=+
− l
i i b
w l 1
2 ,
,
1 2
min
1 νρ ξξ
w (10)
(
i)
iT
i b
y w Φ(x )+ ≥ρ−ξ (11)
0 ,
, 1
0 = ≥
≥ ρ
ξi i L l (12)
Cuando se aplica la metodología del Lagrangiano se obtienen las ecuaciones (13) a (17). En estas ecuaciones α ,i β , γ son las variables duales asociadas a las i restricciones definidas en las ecuaciones (11) y (12).
) (
1
i l
i i
iyΦx
w
∑
=
= α (13)
0
1
∑
== l
i i iy
α (14)
i l
i
=1 +β
α (15)
γ ν α = +
∑
= li i 1
(16) w
w
w T
L 2
) 1
( =− (17)
El problema dual se obtiene a partir de las ecuaciones (13) a (17) y se presenta en las ecuaciones (18) a (21). La función de decisión tiene la misma expresión de la ecuación (7).
∑
= l Κj i
j i j i j
i y y
1 ,
) , 2 (
min
α 1 αα x x (18)−b
ξi
1−
w 2
+ 1
− 1
) ( i
T x
w Φ
l l i
i 1 1, ,
0≤α ≤ = L (19)
∑
= l =i i iy
1
α 0 (20)
∑
= l ≥i i 1
ν
α (21)
VECTORES DE SOPORTE DEL CLASIFICADOR ν-SVC
Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) establecen que el producto entre las variables duales (α ,i β , γ) y las i restricciones - ecuaciones (11) y (12) - es nulo cuando se alcanza la optimización. Se suma a esto la ecuación (15) y se obtienen las ecuaciones (22) a (24).
( )
[
( i)+ − + i]
=0T i
i y b ρ ξ
α w Φ x (22)
1 0
⎟⎟ =
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛ − i i
l α ξ (23)
=0
γρ (24)
A partir de estas ecuaciones los vectores xi pueden ser clasificados en dos grupos. Un primer grupo de vectores que no contribuyen a la función de decisión, llamados los vectores interiores, estos vectores satisfacen la ecuación (25).
=0
αi ξi=0 y
(
i + b)
>ρT
i w Φ(x ) (25)
Un segundo grupo de vectores con valores αi≠0, que contribuyen en la función de decisión, y se denominan vectores de soporte. A su vez los vectores de soporte se separan en vectores de borde que satisfacen la ecuación (26) y un grupo de vectores no-borde definidos por la ecuación (27), que satisfacen la condición ξi>0. La Tabla I presenta una síntesis de la clasificación de estos vectores.
i l
0<α <1 ξi=0 y
(
i + b)
=ρT
i w Φ(x ) (26)
i l
=1
α ξi>0 (27)
La ecuación (24) restringe los valores de ρ y γ cuando se alcanza la optimización, la ecuación (12) establece que el clasificador tiene un margen ρ≥0, pero el interés es maximizar el margen, lo cual se establece en la ecuación (10), por lo tanto sólo son interesantes los clasificadores con margen ρ>0. Bajo este criterio y utilizando la ecuación (24) se concluye que γ=0 al llegar a la
optimización, por lo tanto las ecuaciones (16) y (21) se transforman en la ecuación (28).
∑
= l =i i 1
ν α
>0
ρ (28)
Tabla I. Tipos de vectores del clasificador ν-SVC Vectores de Soporte
Vectores de borde
i l
0<α <1 ξi=0 Vectores no-borde
i l
=1
α ξi>0 Vectores interiores
=0
αi ξi =0
ENTONANDO LOS PARÁMETROS DE ENTRADA DEL CLASIFICADOR ν-SVC
En esta sección se analiza el efecto que tiene el valor del parámetro ν en el número de vectores de soporte, el efecto de este parámetro es importante en la compresión. El análisis se apoyará en la ecuación (28). La suma de esta ecuación contiene nSV componentes no nulos o vectores de soporte, de los cuales nE son vectores no-borde. En un primer paso se aplica esta suma a las ecuaciones (26) y (27) y se obtiene la ecuación (29). En un segundo paso se aplica la suma a la ecuación (27) solamente y se obtiene la ecuación (30). Estas dos ecuaciones se combinan para obtener la ecuación (31), y finalmente se obtienen las ecuaciones (32) y (33) a partir de la ecuación (31). El límite inferior de la ecuación (33) corresponde a cero vectores de error (nE =0), y el límite superior corresponde al caso trivial cuando todos los puntos del conjunto de entrenamiento son vectores de soporte nSV =l.
l nSV
i = <
∑
α νctors support ve
(29) ν
α = <
∑
i nlEtors errort vec
(30)
l n l
nE <ν < SV (31)
SV
E l n
n <ν < (32) 1
0<ν< (33)
Según la ecuación (31) ν establece un límite superior a la fracción de vectores de error y un límite inferior a la fracción de vectores de soporte.
MODELANDO CON EL CLASIFICADOR BINARIO En esta sección se propone utilizar la superficie de decisión del clasificador binario para modelar objetos. Un clasificador binario necesita dos clases y estas solamente se pueden producir de manera artificial a partir de los puntos del objeto. Para ello se duplica cada punto de la superficie (ver figura 2(a)) y se desplazan en pequeños factores ε y – ε desde su posición inicial, en el sentido normal a la superficie del objeto. De esta manera se obtiene un dipolo con las etiquetas 1 y –1, por cada punto del objeto. El resultado son dos capas de puntos con etiquetas que representan versiones del objeto original. Lo que nuestro método pregona es que si ε es muy pequeño y si un clasificador binario es capaz de separar las dos clases con un error de clasificación cero, independientemente de la topología del objeto, entonces esta superficie modela al objeto con un error inferior a ε.
Este método se aplica en la figura 2(a) a un objeto de altura 0.25 usando un valor de ε = 0.01 (4% del tamaño del objeto). Se escogió un valor alto para percibir visualmente el comportamiento del método. El resultado es que la superficie de decisión modela al objeto con una precisión menor al 4 %.
En el método participan dipolos de funciones gaussianas, cuando se usa el kernel gaussiano. En principio para un dipolo simétrico la superficie de nivel cero pasa por su centro y una asimetría entre los dipolos produce un desplazamiento de la superficie. Pero la realidad es que muchos dipolos desaparecen como se observa en la figura 2(d) y sobreviven solamente los indispensables en las zonas de mayor curvatura. Las curvas de nivel 1 y –1 (ver figura 2(b)) producidas por los planos de la figura 1 definen fronteras para el modelo. Una característica importante de este método es que los puntos de la superficie del objeto no están incluidos en el conjunto de entrenamiento y por lo tanto no forman parte de los vectores de soporte. De esta forma el modelo no visita las curvas de nivel 1 y -1, y se aproxima mejor el objeto.
Nuestra experiencia al modelar es que las SVM se pueden ajustar en función de dos criterios: compresión y precisión.
En la figura 2 el error máximo (separación objeto-modelo) es 0.004 (valor medio 0.0019), para un valor prefijado de ε
= 0.01. El número de puntos del objeto es 24, el conjunto de entrenamiento es 48, los vectores de soporte son 20 y sobreviven tres dipolos; la compresión es apenas perceptible de 24/20. Cuando se ajustan los parámetros C y γ para optimizar la máquina en función de la precisión, el error máximo se reduce a 0.00089 (valor medio 0.00045) y la precisión supera a la prefijada en un factor superior a 10.
Fig. 2. (a) Clases creadas artificialmente y regiones producidas por el clasificador binario (C = 90, γ = 100). La altura del objeto es 0.25 y ε = 0.01 (4 %). (b) Curvas de nivel 1 y –1, junto con los vectores de soporte (c) Modelo superpuesto a los puntos del objeto. (d) Modelo y vectores de soporte.
Fig. 3. Modelación de un objeto no conexo. Se utilizó ε = 0.01. El clasificador se ajustó para máxima compresión. Se usó kernel gaussiano y valores C = 400 y γ = 80. (a) Modelo superpuesto a los dipolos. (b) Regiones, curvas de nivel 1 y -1, y vectores de soporte. (c) Superposición de modelo y objeto. (d) Modelo y los 45 vectores de soporte.
(a) (b)
(c) (d)
(a) (b)
(c) (d)
El método propuesto modela también objetos no conexos como lo muestra la figura 3. En este caso se ajusta el clasificador para obtener máxima compresión. El objeto múltiple contiene 84 puntos, el conjunto de entrenamiento 168, y los vectores de soporte 45, sobreviven tres dipolos funcionales (ver figura 3(d)). La compresión alcanzada es 1.87 respecto al objeto y 3.73 respecto al conjunto de entrenamiento. El método también sirve para modelar objetos de topología hueca. Será interesante verificar su comportamiento para objetos tridimensionales.
MODELADO 3D
En esta sección se analiza el modelado de objetos tridimensionales. En el experimento de la figura 4 se ajusta la dimensión y la posición del objeto para que entre en una esfera de radio uno con el centro de masa en el centro de la esfera. En este experimento se utiliza kernel gaussiano.
La Tabla II muestra los resultados de una serie de experimentos con el clasificador ν-SVC, al modelar la superficie de una versión de 1488 puntos del conejo de la Universidad de Stanford (figura 4(a)). Se utilizó un conjunto de entrenamiento de dos clases desplazadas 0.01 en el sentido de la normal a la superficie del objeto. En lugar de utilizar los criterios de optimización ya mencionados (precisión y compresión), se utiliza el error de clasificación como criterio de optimización. La cuarta columna de la Tabla V representa el número de vectores mal clasificados. Un error de clasificación cero garantiza que la superficie de decisión del clasificador esté contenida entre las dos capas del conjunto de entrenamiento. La figura 4(b) muestra esta superficie para un error de clasificación cero.
Fig. 4. (a) Versión del conejo de la Universidad de Stanford de 1488 puntos. (b) Modelo de 1357 vectores de soporte, obtenido con error de clasificación cero. ν = 0.009. γ = 50.
Tiempo de entrenamiento de la SVM 7.4 segundos. Tiempo de poligonización 9 min. 25 seg. Se utilizó un procesador Pentium IV de 1.7 GHz.
Tabla II. Experimento con el Clasificador ν-SVC (γ = 50, n = 2976).
ν nSV nE nEC seg
0.001 493 0 1082 1.5
0.002 1011 0 494 3.2
0.005 1292 0 82 5.3
0.009 1357 1 0 7.4
0.1 1127 78 3 18
0.2 1231 291 16 21
0.4 1683 809 62 20
0.6 2145 1399 103 18
0.8 2605 2094 178 15.1
0.9 2838 2454 336 11.6
0.99 2967 2891 1111 7.7
RESULTADOS
El sistema se desarrolló sobre la plataforma “Virtual Vision Machine” o VVM. El VVM es una API especializada en visualización científica que facilita enormemente el desarrollo de aplicaciones médicas tridimensionales [2]. El VVM es un soporte fundamental para desarrollar sistemas de planificación quirúrgica. Para esta investigación se utilizó la libraría LIBSVM de la Universidad Nacional de Taiwán [3]. Esta librería contiene cinco modelos de máquinas de soporte vectorial, incluyendo los dos modelos descritos en este documento. VVM provee una interfaz para LIBSVM, con el objeto de adaptarla al estilo de programación del VVM.
La figura 5 muestra los contornos de un nódulo de tumor canceroso en el cerebro, esta tarea se realiza sobre cuatro cortes en un período de tiempo muy corto. A la izquierda de la figura se muestran los contornos y la superficie del tumor en el espacio tridimensional, el proceso de modelado tarda dos segundos. En la figura 6 se aplica el método en imágenes de ultrasonido obtenidas en Braquiterapia de la próstata. A la derecha de esta figura aparecen cinco de los ocho cortes obtenidos con un transductor transrectal, con separación de 10 mm. Al centro se muestra uno de los cortes con los contornos delineados. A la izquierda se muestran los modelos tridimensionales de los dos órganos (próstata y uretra) y el transductor de ultrasonido.
CONCLUSIONES
Se creó un método de modelado para ser utilizado en estructuras anatómicas difíciles de segmentar. Pero que también se aplica al modelado de objetos de computación gráfica como el mostrado en la figura 4. El método combina la experticia médica y la inteligencia de una máquina de aprendizaje, y fue demostrado en aplicaciones clínicamente distantes. El método se integró a un software de planificación quirúrgica para neurocirugía y ha sido (a) (b)
utilizado para crear modelos que alimentan el proceso de optimización de la dosis en Braquiterapia.
Figura 5. Modelado de un tumor cerebral a partir de cuatro cortes de tomografía axial.
Figura 6. Modelos de la próstata (rojo), uretra (verde) y
transductor ultrasónico (azul) a partir de ultrasonido.
AGRADECIMIENTO
Este trabajo fue financiado por FONACIT a través del proyecto N° G-97000651 "Nuevas Tecnologías en Computación".
REFERENCIAS
[1] V. VAPNIK. Statistical Learning Theory. Wiley.
1998.
[2] G. Montilla, A. Bosnjak, H. Villegas (2002)
"Visualización de Mundos Virtuales en la Medicina".
Bioingeniería en Iberoamérica: Avances y Desarrollos. Cap. XX. Editores: Carmen Muller- Karger, Miguel Cerrolaza.
[3] CH. CHANG, CH. LIN. LIBSVM: A Library for Support Vector Machines. Department of Computer Science and Information Engineering. National Taiwan University. www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin, 2002.
