1402 14 MATEMATICA Vectores
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(2) VECTORES EN EL ESPACIO En Física muchos son los conceptos, tales como fuerzas, velocidades, desplazamientos, que no pueden ser determinados por un único número real ya que es necesario conocer su dirección y sentido. Estas magnitudes, llamadas magnitudes vectoriales, son representadas por elementos geométricos conocidos con el nombre de vectores. El estudio de vectores en el plano lo haz desarrollado anteriormente en su forma geométrica y en su forma analítica. Ahora efectuaremos el estudio de los vectores en el espacio DEFINICIÓN: Un vector es un segmento orientado. Todo vector posee un punto origen y un punto extremo. Si por ejemplo su origen es el punto a . y su extremo el punto b, el vector se indicará ab o con una sola letra minúscula y una barra arriba o flecha. Es decir:. . b. u. . . ab u u. a Los vectores se caracterizan por tener: . Módulo: es la distancia entre el punto origen y el extremo, es decir la medida del . segmento orientado. Se simboliza: ab. . . siendo ab 0 ab. . Dirección: es la de la recta que contiene al vector o cualquiera de sus paralelas.. . Sentido: es el indicado por la punta de una flecha. Por ejemplo si el vector tiene por extremo el punto b, la punta de la flecha estará en él.. GENERALIDADES Al conjunto de todos los vectores del espacio tridimensional lo notaremos V3 .. POLITECNICO. 1.
(3) Vectores Matemática. . . Dado un segmento ab , se llama vector libre ab al conjunto de todos los vectores que . . tienen igual módulo, dirección y sentido que ab , incluido el propio ab . En lo sucesivo será indistinto trabajar con cualquiera de los elementos de dicho conjunto. . . . Se llama vector nulo y se simboliza o , al vector cuyo módulo es cero. Es decir o 0 . Este vector por tener módulo cero, se reduce a un punto, por lo cual carece de dirección y sentido. En símbolos: . . o es el vector nulo o 0 . Dos vectores no nulos son paralelos cuando tienen la misma dirección. En símbolos: . . . . a // b dirección de a dirección de b. . Dos vectores son iguales cuando tienen módulo cero o cuando poseen igual dirección, sentido y módulo.. . Dado un vector cualquiera a no nulo, se llama vector opuesto de a y se simboliza a ,. . . . . a otro vector que tiene igual módulo y dirección que a pero sentido opuesto. . Se llama versor a todo vector de módulo uno. En símbolos: . . a es un versor a 1. OPERACIONES EN V3. SUMA DEFINICIÓN: . . . . Dados los vectores a V3 y b V3 , denominamos vector suma a b a otro vector que se obtiene de la siguiente manera: . . . . A partir de un punto p cualquiera, se toma pq a y con origen en q, se toma qs b , al . vector con origen en p y extremo en s, pq , se lo denomina vector suma de a y b . . . . Es decir: pq a b. 2. POLITECNICO.
(4) Ejemplo: Dados los vectores:. El vector suma será: . . a. a . . q. b s. . a. . + b. p. b PROPIEDADES . . . a ; b ; c V3 . . . . S1) Conmutativa: a + b = b + a . . . . . . S2) Asociativa: ( a + b ) + c = a + ( b + c ) . . . . S3) Existencia del elemento neutro: o V3 / a + o = a . . . . S4) Existencia del opuesto: - a V3 / a + (- a ) = o. DIFERENCIA DEFINICIÓN: . . . . Dados los vectores a V3 y b V3 , denominamos vector diferencia a b a otro vector que se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo. Es decir: a b a b Ejemplo:. . Dados los vectores:. b. El vector diferencia será:. . a. . . . ab. . a. b. PRÁCTICA . . . . . . . . . 1. Dados a ; b y c determina x gráficamente de modo que - a + b - x + c = o . a. . . b. c. POLITECNICO. 3.
(5) Vectores Matemática . . . . . . . . . 2. Dados a ; b y c del gráfico expresa u ; v y w en función de a ; b y c. c. . u =. w. . u. v =. b . w=. v a. PRODUCTO DE UN VECTOR DE V3 POR UN NÚMERO REAL (O ESCALAR) DEFINICIÓN: . . Se denomina producto de un vector a por un escalar (o número real) a otro vector w tal que: w a w // a si a o 0 w a sentido w sentido a si 0 sentido w sentido a si 0 o si a o 0 Ejemplo: . . . a. w = -2 a. . PROPIEDADES . . a ; b V3 ; R; R . . P1) 1 a = a . . . . P2) ( a + b ) = a + b . . . P3) ( + ) a = a + a . . P4) ( a ) = ( ) a. 4. POLITECNICO. . w -2 a.
(6) VERSOR ASOCIADO AL VECTOR DEFINICIÓN . . . Dado un vector u no nulo, llamamos versor asociado al vector u y lo simbolizamos u 0 , . al vector de módulo uno que tiene igual dirección y sentido que u .. TEOREMA 1 . . Si u es un vector cualquiera no nulo ,del espacio, entonces u 0 . . u . es su versor asociado.. u. Demostración . Para demostrar que u 0 . . u . . es el versor asociado a u , deberemos probar que es de. u. módulo uno y que tiene igual dirección y sentido que u . (1) ( 2) u u 1 u 1 u 0 u u u (1) u u0 dirección de u 0 dirección u (1) y (3) sentido de u 0 sentido . 1 u 1 u de u u 0 es el versor asociado a u de u . (1) Definición de Producto de un vector de V3 por un real. (2) Definición de valor absoluto de un número positivo. Como. 1 . u. (3). 1 . R . 1 . . u. 1 . u. R. u. POLITECNICO. 5.
(7) Vectores Matemática CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE VECTORES TEOREMA 2 . . Dos vectores u y v no nulos, son paralelos si y sólo si existe un número real 0 tal que . . u v .. En símbolos: . . . . . . . . Si u o u o : u // v R 0 tal que u v Demostración . (1). . ( 2). ) u // v dirección de u dirección de v . u . . . R 0 tal que u v. v . (3). . . ) u v R 0 tal que u // v. (1) definición de vectores paralelos . (3) . u. ( 4). (2) Si u v u v . . v. (3) definición de producto de un vector por un número . . . (4) Como v o v 0. ÁNGULO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: . . . . Dados los vectores a y b no nulos se denomina ángulo entre los vectores a y b y se . . indica a b al ángulo convexo entre 0; 2 (es decir 0 a b ) por ellos determinado al ser aplicados con origen en el mismo punto. Ejemplo:. . . a. 6. . . b. b. POLITECNICO. ab . a.
(8) PRÁCTICA . . 3. Completa según corresponda, siendo a y b vectores no nulos . . y a b son ángulos ………………………………… y 2a b son ángulos ………………………………….. a. a b y a b son ángulos …………………………………….. . b. a b . c.. ab . . d. a b y a b son ángulos ……………………………………. . . . . 4. Si oa ob y oc bisectriz de aob ¿cuál es la medida de cada uno de los siguientes ángulos? b . . a. u v. d. u u. . e. u (-w). u (- u ). c.. v. . b. w v. . f. (2u )( 3 v ). o. w. u. a. c. 5. Explica por qué la siguiente afirmación es falsa. . . “ cos a b 1 a b 2k, k Z ” VECTOR PROYECCIÓN DEFINICIÓN: . . Dados los vectores a y b no nulos al ser aplicados ambos con origen en un mismo punto p es posible trazar por el extremo de uno de ellos, una perpendicular a la dirección del otro obteniéndose el punto q como indican las figuras. Caso a) 0 ab 2. Caso b) ab 2. b. p. b. b. pq. q. a. Caso c) ab 2. q. a b' 0. b'. p. a. b' . . . Al nuevo vector pq se lo denomina vector proyección de b sobre a y se indica: . . . b' pq vector proy b a. POLITECNICO. 7.
(9) Vectores Matemática Las figuras ilustran los tres casos posibles . . a) b' y b igual sentido . . b) b' y b distinto sentido . . . c) b' igual al vector nulo ( a b ) . . Si consideramos al versor a 0 . . a. de igual dirección y sentido que b , existe siempre un. . a. número b’ tal que: . . b' b' . a 0. Siendo b’ >0 en el caso a) b’< 0 en el caso b) b = 0 en el caso c) . . Al número b’ lo llamaremos proyección de b sobre a. TEOREMA 3 . . . . Dados los vectores a y b no nulos, la proyección de b sobre a , es igual al producto del . . . módulo de b por el coseno del ángulo determinado por a y b . En símbolos: . . . . . . . Si a 0 y b 0 b' proy b b cos a b a. No se efectuará la demostración en el presente curso. PRÁCTICA . . 6. Calcula, en cada caso, la proy b sabiendo que a 2 y a. . . a. a b 135 º. . b. a b 90º . . c. a b 45º . 7. Sabiendo que proy b 3 y a b 120 º determina b . a. 8. POLITECNICO.
(10) PRODUCTO ESCALAR O INTERNO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: . . Dados dos vectores a y b , se llama producto escalar o interno entre los vectores . . . . a y b , y se simboliza a b , al número: 0 si a o b o a b a b cos a b si a o b o . PROPIEDADES . . a y b , R se cumplen las siguientes propiedades: . . . . PE1) a b b a Demostración: . . . . . . . . . . a b a b cos a b b a cos a b b a (1). . ( 2). . . (1). . . a b a b cos a b. (1) Definición de Producto Escalar (2) Propiedad conmutativa de la multiplicación (3) cos 0 =1 (4) Definición de potenciación. PE2) a b c a c b c PE3) . a b . b a a b . . . 2. PE4) a a b. 0. Demostración: . . aa. (1). . . . . . . . . 2. a a cos a a a . a a (3). . . . . ( 4). . . PE5) Si a 0 b 0 : a x b 0 a b (condición de perpendicularidad entre vectores no nulos). POLITECNICO. 9.
(11) Vectores Matemática Demostración: . . . . . . . . . ) a x b 0 a b cos a b 0 cos a b 0 a b 90 º a b . . . . . . ) a b a b 90 º cos a b 0 a x b 0. Nota: Puede demostrarse que . . . . . a 0 b 0 proy b a. . . a xb . . . . . a0 x b. a. PRÁCTICA . 8. Siendo. a 2 , determina:. . . a. a x a. b. 2 a x a c. a x a . 9. Sabiendo que a 3 , b 4 y a b . , calcula: 6. . a. b x a 0 b. 3 b 2 a c. a b a b d. a b a b e. 3 a b 2 a b . 10. Explica por qué la siguiente afirmación es falsa. . . . . . . “a x b a x c b c ” . . 11. Determina el ángulo que forman a y b , sabiendo que a x b . b 4.. 10. POLITECNICO. 5 5 ; 2. . a 5 y.
(12) PRODUCTO VECTORIAL ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: . . . . Dados dos vectores a y b de V3 , se denomina producto vectorial entre a y b y . . . . se lo simboliza a b c , al vector c tal que: o a b c a b sen a b c dirección de c perpendicul ar al plano determinad o por a y b sentido de c es el obtenido usando regla de la mano derecha (1) . . . . . . . . . si a o b o. si a o b o. (1) Regla de la mano derecha . . El sentido de a b está dado por la regla de la mano derecha. La misma consiste en: se coloca la mano derecha extendida con el pulgar separado de los cuatro dedos unidos, haciendo . coincidir el primer vector del producto ( a ) en dirección y sentido con esos cuatro dedos y luego . . . . dichos dedos giran hacia b a través del ángulo a b . El sentido de a b está determinado por la dirección del dedo pulgar. Es decir, el vector apunta en el mismo sentido que el pulgar.. Gráficamente resulta:. . . . ca b. . . b . a. . ab. . a. b. ab . . . ca b. POLITECNICO. 11.
(13) Vectores Matemática PROPIEDADES . . a y b V3 ; R; R, se cumplen las siguientes propiedades: a b b a . . PV1). Demostración: . . . . . . Si a o b o o a // b el resultado es evidente . . . . En caso contrario, resulta que a b y b a son vectores opuestos, ya que : . . . . a b y b a tienen la misma dirección por ser ambos perpendiculares al plan determinado por b y a . . . . . a b b a . . . . El sentido de a b es opuesto al sentido de b a utilizando la regla de la mano derecha. PV2). a b c a c b c . PV3). . a b . a b . . . . . . . . . . a b 0 a // b. a o b o : paralelos no nulos). PV4). Si. (propiedad. de. vectores. Demostración: ) . . Consideramos que los vectores no son paralelos. . Si a b 0 . . . . a b 0 a. . . . . . Esto es absurdo porque habíamos supuesto que no eran paralelos los vectores . Por lo tanto, para . . . . . . . . . a o b o , si a b a // b . . . ) a // b a b 0 por definición de producto vectorial. 12. POLITECNICO. . . b sen a b sen a b 0 a b 0 o a b a / / b.
(14) TEOREMA 4 . . . . . . . . . . y a no paralelo a b , entonces a b es el área del. Dados los vectores a o ; b o. . . paralelogramo pqrs, siendo pq a y ps b Demostración . (1). . área pqrs = b . h b. . . (2). q. . a sen a b. . (1) sen . h a . sen . . h. a. . h. r. . . p. a. s. b. (2) definición de producto vectorial. PRÁCTICA . . 12. Si a 2 v , determina: . . . a. a v. . c. a a 1 b. v v d. a v 2 13. Sabiendo que a 5 , b 3 y a b , calcula: 3 . a. b.. . . b a0. . . . . . . . c. a b a b . 4 b 3 a . . . . . . . . . . . . . d. 2 a b 3 a b . . . . . . . 14. Dados los vectores a o y b o , demuestra que el vector a b es perpendicular a . . . . a b y a a b. . . 15. Sabiendo que a 4 , b 2 y a b 4 3 , calcula a x b. POLITECNICO. 13.
(15) Vectores Matemática PRODUCTO MIXTO ENTRE VECTORES DEFINICIÓN: . . . Dados dos vectores a ; b y c. de V3 , se denomina el producto mixto entre. a ; b y c al número que se obtiene haciendo a b c . Propiedades Notemos que el producto mixto verifica todas las propiedades del producto escalar. . TEOREMA 5 . . . . . . . . . . . Si a o ; b o ; c o ; a no paralelo a b y a ; b y c. no coplanares entonces. a b c volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a ; b y c . . Demostración. ab. vector proy a b c. c b. a ( 2) (1) a b c a b c cos a b, c a b c a b c cos a b, c ( 2) ( 3 ) a b c cos a b, c sup . de la base altura volumen del paralelepí pedo (1) definición de producto escalar (2) propiedad del valor absoluto (3) propiedades del producto vectorial y definición de razones trigonométricas. TEOREMA 6 Si a o b o c o a no paralelo b ; a ; b y c son coplanares a b c 0 No se realizará la demostración en el presente curso. PRÁCTICA 16. Calcula a b c sabiendo c a ; c b ; a, b ; a 6 ; b 3 y c 3 . 6 . 14. POLITECNICO.
(16) SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO ORTONORMAL Dado un punto cualquiera del espacio o (origen de coordenadas), y en él aplicados tres versores i ; j y k perpendiculares dos a dos, al conjunto o; i; j; k se lo denomina sistema de referencia ortonormal en el espacio.. . . Denominaremos como: ejes coordenados “x”; “y” y “z” a cada una de las rectas que contienen a cada uno de los versores i ; j y k , respectivamente. planos coordenados xy; xz e yz, a los planos que contienen a los ejes x e y , a los eje x y z y a los eje y y z , respectivamente. Gráficamente resulta: i j k 1 o; i; j; k sistema de referencia ij ortonormal en el espacio jk ki . z. punto fijo o. . k. o. i. y. j. . i. x. DESCOMPOSICIÓN DE UN VECTOR DEFINICIÓN: Llamaremos vector posición a todo vector con origen en el origen de coordenadas.. . . Dado un sistema de referencia o; i; j; k y un punto pp1;p2;p3 , si por p trazamos una recta paralela a k , ésta corta al plano xy en un punto que llamaremos p’. Como op' , i y j están en . un mismo plano, resulta: op' p1i p 2 j (1). Por otra parte, . . . op op' p' p . . . p' p // k p' p p 3 k. . op op' p 3 k. (2). De (1) y (2), podemos concluir que: . o p p1i p 2 j p 3 k. POLITECNICO. 15.
(17) Vectores Matemática Gráficamente resulta: DEFINICIONES: z. Llamamos: . p3. o a la expresión o p p1i p 2 j p 3 k expresión canónica o . p3 k. p. k i p1 i i p1. cartesiana del vector op .. p2 j o. o a la terna ordenada de números p1; p2; p3 componentes. p2. . . o a los vectores p1 i ; p2 j y p3 k se los llama componentes. i. p’. x. . escalares del vector op en el sistema o; i; j; k .. y. j. . vectoriales de op .. PRÁCTICA. . . 17. En un sistema de referencia o; i; j; k ubica los puntos: a(2 ; 1; 3) ; b(0 ; 2 ; 1) ; c(1; 0 ; 0) y d(4 ; 0 ; 3) . . . 18. Dado el vector posición op p1 ; p 2 ; p 3 demuestra que op p12 p 22 p 32 VECTORES IGUALES . . Los vectores u u1 ; u 2 ; u 3 y v v 1 ; v 2 ; v 3 son iguales si y solo si sus componentes son iguales. En símbolos:. u1 v 1 u v u 2 v 2 u v 3 3. . . OPERACIONES ENTRE VECTORES EN FUNCIÓN DE SUS COMPONENTES SUMA . . Dados los vectores a (a1; a 2 ; a 3 ) y b (b1; b 2 ; b 3 ) , el vector suma se obtiene: . . a b a1; a 2 ; a 3 b1; b 2 ; b 3 a1 b1; a 2 b 2 ; a 3 b 3 . 16. POLITECNICO.
(18) PROPIEDADES . . . a ; b y c V3 . . . . S1) Conmutativa: a b = b a. S2) Asociativa: a b c = a b c . . . . . S3) Existencia del elemento neutro: o 0; 0; 0 V3 / a o a S4) Existencia del opuesto: - a V3 / a a o . DIFERENCIA . . Dados los vectores a (a1; a 2 ; a 3 ) y b (b1; b 2 ; b 3 ) , el vector diferencia se obtiene: a b a b a1; a 2 ; a 3 b1; -b 2 ; -b 3 a1 b1; a 2 b 2 ; a 3 b 3 . . PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR . . Dados el vector a (a1; a 2 ; a 3 ) y el número , el vector producto de a por se obtiene: . a a1; a 2 ; a 3 a1; a 2 ; a 3 . PROPIEDADES . . a ; b V3 ; R; R . . P1) 1 a a . . . . P2) ( a b ) = a + b Demostración . . Dados los vectores a (a1; a 2 ; a 3 ) y b (b1; b 2 ; b 3 ) y el número : ( 2) (3) (1) a b a1 b1; a 2 b 2 ; a 2 b 2 a1 b1 ; a 2 b 2 ; a 2 b 2 (1). ( 2). a1 b1; a 2 b 2 ; a 3 b 3 a1; a 2 ; a 3 b1; b 2 ; b 3 a1; a 2 ; a 3 b1; b 2 ; b 3 a b. (1) Suma de vectores en componentes (2) Producto de un escalar por un vector en componentes (3) Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma en los números reales. POLITECNICO. 17.
(19) Vectores Matemática . . . P3) ( + ) a = a + a . . P4) ( a ) = ( ) a PRÁCTICA . . . 19. Siendo a (1; 2 ; 3) ; b ( 4 ; 3 ; 1) y c ( 5 ; 3 ; 5) , determina: . . . a. a 5 b. . . c. c 3 b a . . . d. ( 3) c 2 a. b. 3 c. COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR NO POSICIÓN TEOREMA 1 . Dados los puntos p0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) y p1( x1; y1; z1 ) entonces las componentes escalares de p 0 p1 son x1 x 0 ; y1 y 0 ; z1 z0 . Demostración Recordando la definición y propiedades de la suma entre vectores y la expresión canónica de un vector posición, resulta: z. p1. op 0 p0p1 op1 p0p1 op1 op 0. p0. p0p1 ( x1i y1 j z1k ) ( x 0 i y 0 j z0 k ) k. p0p1 ( x1 x 0 )i ( y1 y 0 ) j (z1 z0 )k. i i. de donde las componentes escalares de p 0p1 son:. x1 x0 ;. y1 y 0 ; z1 z0 . x. PRÁCTICA . 20. Siendo a (1; 5 ; 3) y b (2 ; 1; 0) y v 3 i 2 j k , determina: . . . a. Las componentes vectoriales de u 3 v ab . b. Las coordenadas del punto medio del segmento ab . . c. Un vector colineal con v de módulo 3.. 18. POLITECNICO. o i. j. y i.
(20) COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DETERMINADO POR DOS PUNTOS TEOREMA 2 Dados los puntos p 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) ; p1( x 1; y 1; z1 ) y el punto m, punto medio m del segmento x x 0 y 1 y 0 z1 z 0 p 0 p1 , entonces las coordenadas de m son 1 ; ; 2 2 2 Demostración. . p1. Como m es el punto medio de p 0 p1 , resulta:. m p 0m mp 1. p0. Llamando ( xm; ym; zm ) a las coordenadas de m y utilizando el teorema 1, podemos escribir:. ( x m x 0 ; y m y 0 ; z m z 0 ) ( x 1 x m ; y 1 y m ; z1 z m ) Luego, dos vectores son iguales si sus componentes son iguales, es decir: x1 x 0 x m x 0 x 1 x m 2x m x 1 x 0 x m 2 y1 y 0 y m y 0 y 1 y m 2y m y 1 y 0 y m 2 z z z z 2z z z z z 1 z 0 0 1 m m 1 0 m m 2. Reemplazando en m ( x m ; y m ; z m ) resulta. x x 0 y 1 y 0 z1 z 0 m 1 ; ; 2 2 2. Ejemplo Dados los puntos p0 (1; 2 ; 3) y p1(0 ; 5 ; 1) , entonces: . Las componentes escalares de p0p1 son p 0p1 ( 1; 7 ; 4) .. . La expresión canónica de p1p0 es p1p0 1 i 7 j 4 k .. . La. distancia. entre. los. puntos. p0. y. p1. o. el. módulo. de. p 0 p1. es. d(p0 ; p1 ) p0p1 ( 1)2 7 2 ( 4)2 66 . . 1 3 Las coordenadas del punto medio del segmento p0p1 son m ; ; 1 . 2 2 . POLITECNICO. 19.
(21) Vectores Matemática PRÁCTICA 21. Determina las componentes del vector v en cada caso. i. ii.. z. z. k i. ( 4 ; 0 ; 3). ( 2 ; 4 ; 3) o v i. v. k. y. j. i. i. ( 4 ; 2 ; 1). ( 0 ; 5 ; 1). o i. j. y i. x. x. 22. Calcula las medidas de los lados del triángulo pqr cuyos vértices son los puntos p(1; 3 ; 2) ; q(5 ; 1; 2) y r (1; 1; 2) ¿es el triángulo pqr isósceles? Justifica la respuesta. 23. Determina las coordenadas de los puntos simétricos de a(0 ; 2 ; 4) ; b (3 ; 1; 2 ) y c(0 ; 1; 2) a. respecto al plano coordenado xy . b. respecto al eje x. c. respecto al origen de coordenadas.. . . 24. Dados los puntos a(4 ; 2 ; 1) y b(3 ; 2 ; 1) en un o; i; j; k determina: a. las componentes escalares de u / u ab . b. las coordenadas de m, siendo m el punto medio del segmento ab . 25. Dado los puntos a(1; 4 ; 3) y b(1; 0 ; 5) , determina el punto medio del segmento ab . 26. Un vector tiene módulo 13 y sus dos primeras componentes son 3 y 4, en ese orden; ¿Cuál es la tercera componente? ¿existe única solución? 27. Un vector de módulo 5 tiene las tres componentes iguales ¿cuáles son? PRODUCTO ESCALAR . . Dados los vectores u u1 ; u 2 ; u 3 y v v 1 ; v 2 ; v 3 , el producto escalar entre u y v se obtiene de la siguiente manera: . . u v u1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3. Aplicando propiedades del producto escalar, podemos demostrar la fórmula anterior de la siguiente manera:.. 20. POLITECNICO.
(22) . . u v (u1 i u 2 j u3 k ) ( v 1 i v 2 j v 3 k ) . (1). u1 v1 ( i i ) u1 v 2 ( i j) u1 v 3 ( i k ) u2 v1 ( j i ) u2 v 2 ( j j) u2 v 3 ( j k ) ( 2). u3 v1 (k i ) u3 v 2 (k j) u3 v 3 (k k ) u1 v1 u2 v 2 u3 v 3. (1) aplicando propiedades del producto escalar. (2) Condición de paralelismo y perpendicularidad de vectores i j i j j i 0 i / / i i i 1 j k jk k j 0. j / / j j j 1. k iki ik 0. k // k k k 1. PRÁCTICA . . 28. Dados los vectores a (2 ; 1; 0) y b (0 ; 3 ; 4) , determina: . . a. a b b. el ángulo que forman dichos vectores 29. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores son perpendiculares? a. (1; 1; 1) y (2 ; 1; 5) b. ( ; 2 ; 1) y (2 ; ; 0) c. (5 ; 1; 0) y (2 ; 10 ; 0) . . . 30. Dados los vectores a i mj k y b - 2i 4j m k , halla m para que los vectores a y . b sean: a. Paralelos b. Ortogonales. 31. Determina si los puntos p(1; 2 ; 3) ; q(2 ; 1; 0) y r(4 ; 7 ; 6) están alineados. 32. Demuestra: a. que si v v 1; v 2 ; v 3 o es un vector del espacio, entonces v1 v i ; v 2 v j y v3 v k b. que la proyección de un vector sobre los versores de un componentes del vector en dicho sistema.. . o; i; j; k. son las. . 33. Si en o; i; j; k es a(2; 3; 1) , determina: a. vector proy i oa. b. vector proy j oa. c. vector proy k oa. POLITECNICO. 21.
(23) Vectores Matemática. . . 34. Dados q (2 ; 3 ; 1) y p (1; 2 ; 1) en o; i; j; k , determina: . a. La expresión canónica de qp . b.. . qp pq . c.. . . / v ( ; 2 ; 3) y v es perpendicu lar a pq . d. proy pq siendo a ( 1; 0 ; 3) oa. COSENOS DIRECTORES DE UN VECTOR DEFINICIONES: Llamaremos: ángulos directores de un vector, respecto de un sistema o; i; j; k , a los ángulos que el vector forma con cada uno de los versores del sistema. cosenos directores de un vector, respecto de un sistema o; i; j; k , a cada uno de los cosenos de los ángulos directores.. . . . . z. Ejemplo: . Dados el vector u , tenemos: . . ángulos directores de u : u i ; u j y u k . k. . cosenos directores de u : cos ; cos y cos . i. o. i. u. . . . i. y. j. i. x. PRÁCTICA 35. a. Demuestra que: . . . “Si u u1 ; u 2 ; u 3 o , entonces cos u i . u1 . . ; cos u j . u. u2 . . y cos u k . u. 36. Prueba que: . . . . a. Si u u1 ; u 2 ; u 3 o , entonces cos2 u i cos2 u j cos2 u k 1 b. Si u u1 ; u 2 ; u 3 o , entonces u0 cos u i ; cos u j ; cos u k . 22. POLITECNICO. . u. b. Determina sus cosenos directores del vector (1; 1; 2) .. . u3. ”.
(24) 37. Determina el vector de módulo 5 que forma ángulos iguales con los versores i ; j y k .. 38. Sabiendo que los cosenos directores de un vector son cos . cos . 1 1 ; cos ; 3 2. 23 y módulos 5, calcula las componentes del vector. 6. PRODUCTO VECTORIAL . . . . Dados los vectores u u1 ; u 2 ; u 3 y v v 1 ; v 2 ; v 3 , el producto vectorial entre u y v se obtiene de la siguiente manera: . . u v (u 2 v 3 - u 3 v 2 ) i (u1 v 3 - u3 v 1 ) j (u1 v 2 u 2 v 1 ) k. Aplicando propiedades del producto vectorial, podemos demostrar la fórmula anterior de la siguiente manera:. . . u v (u1 i u 2 j u 3 k ) (v 1 i v 2 j v 3 k ) (1). u1 v1 ( i i ) u1 v 2 ( i j) u1 v 3 ( i k ) u 2 v1 ( j i ) u 2 v 2 ( j j) u 2 v 3 ( j k ) ( 2). u 3 v 1 ( k i ) u 3 v 2 ( k j) u 3 v 3 ( k k ) u1 v 2 k u1 v 3 ( j) u 2 v1 ( k ) u 2 v 3 i u3 v1 j u3 v 2 (-i ) (u 2 v 3 - u3 v 2 ) i (u1 v 3 - u3 v1 ) j (u1 v 2 u2 v1 ) k. (1) aplicando propiedades del producto vectorial. (2) Definición de producto vectorial i // i i i 0. i j k y ji k. j // j j j 0. i k j y k i j. k // k k k 0. j k i y k j i. A modo de ejemplo demostraremos que i j k . Para esto deberemos probar que i j y. k tiene igual dirección, sentido y módulo. Módulo: . 1 1 i j i j sen i j 1 i j k 1 k 1 2. POLITECNICO. 23.
(25) Vectores Matemática Dirección: dirección i j perpendicu lar al plano xy k // i j dir i j dir k k perpendicu lar al plano xy Sentido:. Aplicando la regla de la mano derecha podemos concluir que: sentido i j sentido k. De lo anterior podemos concluir que i j k ya que tienen igual módulo, dirección y sentido. Como regla nemotécnica para recordar la última fórmula podemos emplear el siguiente esquema: . . i. j. k. u v u1 u 2. u3 i. v1 v 2. v3. u2. u3. v2 v3 . j. (1). u1 u 3 v1 v 3 (1). k. u1 u 2 v1 v 2 . . (1). i (u 2 v 3 u 3 v 2 ) j (u1v 3 u 3 v 1 ) k (u1v 2 u 2 v 1 ). Cada una de las expresiones indicadas en (1) se denominan determinantes de orden dos y su cálculo se realiza de la siguiente manera: a b ad bc c d. PRÁCTICA . . 39. Dados los vectores a (2 ; 1; 3) y b (2 ; 1; 0) determina: . . a. Las componentes de a b . b.. . ab . . . . c. (2 a 3 b ) ( a 2 b ) . . d. ( a j) ( b k ) . . 40. Dados los vectores u 2 i j 3 k y v i 2 k , halla a. Las componentes de un vector perpendicular a ambos. b. El área del paralelogramo que ellos determinan. . 41. Halla las componentes del versor perpendicular a los vectores . b ( 3 ; 0 ; 2) simultáneamente. ¿existe única solución?. 42. Si w 2 ; v a. w w. 24. 1 y w v 30º , determina: 4 1 1 e. v w v w 2 2 . POLITECNICO. a (0 ; 1; 5). y.
(26) c. ( w v ) ( v w ). f. v w g. 2v w. d. ( w v ) ( w v ). h. 2 w v 3 w 4v . b. w v. 43. Halla el o los vectores de módulo 3 perpendicular a los vectores c (3 ; - 1; 0) y d (1; 4 ; 2) simultáneamente.. 44. Dados los vectores a (2 ; 1; 3) y b (0 ; 2 ; 4) , determinar: a. proy a b. b. proy b a . 45. Determina las componentes de v v1; v 2; v 3 sabiendo que v es paralelo al vector ab , . siendo a3; 1; 2 y b 1; 3; 5 , v 164 y v i es obtuso. 46. Determina si los vectores u 2; 3; 1 ; v 1; 1; 3 y w 1; 9; 11 son coplanares. 47. Halla el valor de x para que los vectores u 3; - 5; 1 ; v 7; 4; 2 y w 1; 14; x sean coplanares. 48. Halla un vector de la misma dirección que v 1; 2; 3 y tal que forme con w 2; 4; 1 un paralelogramo de área igual a 25.. TEOREMAS DE ADICIÓN Mediante el cálculo del producto escalar en componentes se puede obtener, trabajando con vectores en el plano, un conocido resultado de trigonometría que relaciona el coseno de la diferencia de dos ángulos con el coseno y el seno de esos ángulos. Coseno de la diferencia de dos ángulos Consideremos un sistema de coordenadas en el plano y los ángulos y , con vértices en el origen y lado inicial sobre el sentido positivo del eje x, como muestra la figura. Con centro en el origen del sistema trazamos una circunferencia de radio 1 (circunferencia trigonométrica). Ésta interseca los lados finales de y en los puntos a(a1;a2) y b(b1;b2), respectivamente.. POLITECNICO. 25.
(27) Vectores Matemática 1. a. a2 b. b2. . . 0. a1. b1 1. De este modo resultan: a1 cos ; a2 sen ; b1 cos ; b2 sen oa i cos α j sen α ob i cos j sen . . Como es el ángulo entre los vectores oa y ob , tenemos: . cos . . oa . ob . . oa ob. Es decir:. . cos cos sen sen 1 1. cos cos cos sen sen . Observación: si bien los ángulos y , que figuran en el gráfico que realizamos, son del primero y segundo cuadrante, las conclusiones son independientes de esa situación. Al trabajar algebraicamente la relación que obtuvimos para el coseno de la diferencia de dos ángulos, se pueden obtener los siguientes resultados. Todos ellos y el anterior, en trigonometría se denominan Teoremas de adición. Coseno de la suma de dos ángulos:. cos cos cos sen sen Seno de la diferencia de dos ángulos:. sen sen cos cos sen Seno de la suma de dos ángulos:. sen sen cos cos sen . 26. POLITECNICO.
(28) PRÁCTICA: 49. A partir de las expresiones conocidas del sen ( ) y cos ( ) obtiene una expresión para tg ( ) en función de tg y tg .. 50. Verifica las siguientes identidades: a) sen2 = 2. sen .cos b) cos2 2 = 1 – 4 sen2 .cos2 c) cos 2 = cos2 - sen2 51. ¿Verdadero o falso?.Justifica la respuesta. a) tg 15º = 2 - 3 b) sen(x +y) – sen (x- y) = 2 cos x. sen y c) 1 + sen 2x = (sen x + cos x )2 52. Calcula cos( ) , si sen =-. 1 , tg =2,siendo del tercer cuadrante 2. TEOREMA DEL SENO Y DEL COSENO En cursos anteriores aplicaste las definiciones de seno, coseno y tangente de un ángulo agudo en la resolución de triángulos rectángulos. Si embargo se pueden presentar problemas en los que sea necesario obtener medida de ángulos y lados de un triángulo no rectángulo(oblicuángulos) En estos casos son útiles los teoremas del seno y del coseno TEOREMA DEL SENO En todo triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos . En abc :. POLITECNICO. 27.
(29) Vectores Matemática . . . a. b. c. . . . sen . . . sen . . . . siendo a bc ;. . b ac. . . c ab. y. sen . Demostración. Consideremos el paralelogramo abpc . . β. . determinado por b y c y el a coincidente. α. con la diagonal bc .. . δ. . Área abpc b x c. Como. . Área abc . Entonces. . . . 2. . Igualando (1) y (2). b c sen . b xc. (1). 2. . . . El área del abc también se puede calcular así: . . . . c xa. Área abc . 2. . . c a sen . 2. 2. . c a sen . . . b c sen . (2). 2. . c a sen . . . b. a. sen . de donde. 2. . sen. (*). . De la misma forma se puede calcular el área del abc : a x b a b sen a b sen Área abc (3) 2 2 2. Luego se iguala (3) con (1) y se obtiene. Finalmente de (*) y (**). 28. POLITECNICO. . . . a. b. c. sen. . sen. . sen . . . b. c. sen . . sen. (**).
(30) TEOREMA DEL COSENO. El cuadrado de la longitud de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de sus longitudes por el coseno del ángulo que determinan En el . . . . . . . abc : ba c , bc a y ca b . 2. 2. . 2. . 2. . 2. . 2. 2. . 2. c. . . . . . . . . . 2 a c cos a c. b c. a . 2. a c. b . . 2 b c cos b c. a b 2 a b cos a b. Demostración Se demostrará la primera de las igualdades anteriores . . . . c a b Por lo tanto : c a x c a b x b Aplicamos propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma. En abc :. . . . . . . . . . . c x c c x a a x c a x a b x b. De donde . c. 2. . . . 2. 2 c x a a. . 2. b. . 2. b. . c. 2. . 2. . . . a 2 c a cos a c. Observación . En el caso particular en que a c es recto, el resultado anterior se transforma en el. conocido Teorema de Pitágoras . b. 2. . 2. . a c. 2. . . . . 2 a c cos a c b . 2. . 2. . 2. a c. 0 por ser a c. Por este motivo el Teorema del coseno se lo conoce con el nombre de “Teorema de Pitágoras Generalizado”.. POLITECNICO. 29.
(31) Vectores Matemática RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ¿Qué significa resolver un triángulo cualquiera? Encontrar las medidas de los lados y ángulos del triángulo, a partir de determinados datos y utilizando fórmulas de la Trigonometría que vinculen los datos. En esta oportunidad nos dedicaremos a calcular medidas de lados y ángulos de triángulos oblicuángulos, ya que en años anteriores se ha trabajado con triángulos rectángulos. Para estos triángulos son útiles dos propiedades que hemos visto: “Teorema del seno” y “Teorema del coseno”. Si bien para resolver un triángulo necesitamos tener determinada información sobre sus lados y ángulos, los criterios de congruencia de triángulos nos permitirán asegurar qué datos, en particular, debemos conocer para resolver el triángulo: b. Caso 1 : un lado y dos ángulos adyacentes a él.. A C. Caso 2 : dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos. a. Caso 3 : dos lados y el ángulo comprendido.. c. B. Caso 4 : tres lados. Veamos, a partir de una situación problemática, ¿qué ocurre si tenemos por datos dos lados y el ángulo opuesto al menor de ellos? . ¿Puedes construir un triángulo, sabiendo que tiene un ángulo a . 6. , el lado. A , opuesto a dicho ángulo mide 3 y otro lado B = 8? Intentemos construirlo: . Comencemos trazando ac y el a . . A. Para determinar el vértice b, calculemos b , aplicando el Teorema de los senos, así resulta: . B. . . B sen a . sen b sen b A sen a sen b. 8 sen 3. 6 . . B.sena 1 ¿Qué ocurre?, En esta situación nos ha quedado A . 30. POLITECNICO. ● d . Es decir: A B.sena Geométricamente:. 1 2 4 sen b 1 3 3. 8. B.sen a. a. c.
(32) . Luego para determinar el vértice b, que es un punto de la ad trazamos un arco de circunferencia de radio de medida A con centro en c . Como A B.sena , nos queda: . A B.sen a a. c. . El abc no se puede construir . Entonces ¿qué condición debe cumplir A con respecto a B.sen a para que exista abc ? . Desde ya que A B.sena . Consideremos ahora, dados el a agudo y las medidas A y B de dos segmentos. . Para construirlo, en cada caso, procederemos a trazar el ac y a . Luego para determinar el vértice b, trazamos un arco de circunferencia con centro c y radio de medida A. Si: . . . B. sen a = A , existe un triángulo abc, rectángulo en b. b . A. . a. . B.sen a. c. . . B.sen a < A, en esta situación, existen dos triángulos ab1c y ab2c. b2. b A. b1. . A a. B.sen a. c. En síntesis, observamos que en este caso, se pueden presentar situaciones en las que existen dos triángulos y , un triángulo o ningún triángulo, por tal motivo se lo conoce con el nombre de Caso ambiguo. POLITECNICO. 31.
(33) Vectores Matemática. PRÁCTICA 53. Sea un paralelogramo cuyas diagonales miden 20 cm y 15 cm respectivamente y forman entre ellas un ángulo de 42º. Calcula el perímetro y el área del paralelogramo.. 54. Para hallar la altura de un globo aerostático, realizamos las mediciones indicadas en la figura. a) ¿Cuánto dista el globo del punto a? b) ¿Cuánto dista el globo del punto b? c) ¿A qué altura está el globo?. g x 63º. h. 90º. 75º. 72º. b. 20cm. a 55. Dos carreteras rectas divergen formando un ángulo de 65º. Dos automóviles salen de la intersección a las 14 hs, uno viaja a 50 km/h y el otro a 30 km/h. ¿Qué distancia los separa a las 14: 30 hs? 56. Determina el área de un triángulo de lados 12 m; 18 m y 24 m. 57. Julio y Aníbal tienen sus casas en el campo a una distancia de 500m. Ambos divisan un helicóptero volando en línea recta entre ellos . Julio lo ve con un ángulo de elevación de 80º y Aníbal está a una distancia de 600m del helicóptero. En ese instante ¿a qué altura está el helicóptero y a que distancia se encuentra de Julio? 58. Dos pájaros que están sobre dos ramas distintas de un árbol divisan un fruto del suelo. Al mismo tiempo se lanzan sobre él en línea recta pero con distintas velocidades y llegan los dos juntos. El de la rama más alta estaba a 6m del fruto y el otro, a 4m . Si el ángulo que forman las trayectorias de cada uno es de 60º, con estos datos ¿se puede averiguar que distancia separaba a los pájaros cuándo estaban en las ramas?. Justifica 59. Determina la medida de ab del trapecio isósceles , según los datos de la figura a. b 20º 50º. d. c. 6m. BIBLIOGRAFÍA Apunte de Vectores en el Espacio. Autoras: Noemí Lagreca y Betina Cattaneo Matemática II. Editorial Santillana. Autoras: Buschiazzo,Fongi,González y L Lagreca Lecciones de Algebra y Geometría Analítica. Autores: Ada Mascó y Roberto López. 32. POLITECNICO.
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