Producto interno
Tareas adicionales
En estos problemas se supone que V es un espacio vectorial complejo dotado con un pro- ducto interno. Se supone que el producto interno es lineal respecto al segundo argumento.
Criterio de la igualdad en la desigualdad de Schwarz
Problemas auxiliares
1. Repase la demostraci´on de la desigualdad de Schwarz.
2. Sea v ∈ V . Recuerde cu´al es la condici´on necesaria y suficiente para que hv, vi = 0.
3. Igualdad de n´umeros relacionados por una cadena de desigualdades. Sean α1, α2, . . . , αm algunos n´umeros reales tales que
α1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ αm. Supongamos que α1 = αm. Demuestre que
α1 = α2 = . . . = αm.
4. Criterio para que dos vectores sean linealmente dependientes (repaso). Sea V un espacio vectorial complejo y sean a, b ∈ V . Demuestre que a y b son linealmente dependientes si, y s´olo si, se cumple una de las siguientes dos condiciones:
1) a = 0V;
2) a 6= 0V y existe un λ ∈ C tal que b = λa.
Problema principal
5. Sean a, b ∈ V . Determine cu´ando se cumple la igualdad
|ha, bi|2 = ha, ai hb, bi.
Criterio de la igualdad en la propiedad subaditiva de la norma inducida por un producto interno
Problemas auxiliares
6. Repase la demostraci´on de la propiedad subaditiva de la norma inducida por un pro- ducto interno.
7. Igualdad de n´umeros relacionados por una cadena de desigualdades. Sean α1, α2, . . . , αm algunos n´umeros reales tales que
α1 ≤ α2 ≤ . . . ≤ αm. Supongamos que α1 = αm. Demuestre que
α1 = α2 = . . . = αm. 8. Sea α ∈ C. Repase la demostraci´on de la desigualdad
Re(α) ≤ |α|.
9. Sea α ∈ C. Determine cu´ando se cumple la igualdad Re(α) = |α|.
10. Repase el criterio de la igualdad en la desigualdad de Schwarz.
Problema principal
11. Sean a, b ∈ V . Determine cu´ando se cumple la igualdad ka + bk = kak + kbk.
Producto interno definido por una integral
En estos problemas se supone que α, β ∈ R, α < β.
Problemas auxiliares
12. Sea g : [α, β] → R y sea γ ∈ [α, β]. ¿Cu´ando se dice que la funci´on g es continua en el punto γ? Hay que repasar la definici´on en el lenguaje ε-δ.
13. Sean g ∈ C([α, β], R), γ ∈ [α, β] tal que g(γ) > 0 y v ∈ (0, g(γ)). Usando la definici´on de la continuidad demuestre que existe un δ > 0 tal que
∀x ∈ [α, β] ∩ (γ − δ, γ + δ) g(x) ≥ v.
14. Sea f ∈ C([α, β], C) y sea γ ∈ [α, β] tal que f (γ) 6= 0. Demuestre que existe un δ > 0 tal que
∀x ∈ [α, β] ∩ (γ − δ, γ + δ) |f (x)| ≥ |f (γ)|
2 .
Muestre que si δ ≤ β − α, entonces la longitud del intervalo [α, β] ∩ (γ − δ, γ + δ) es mayor o igual a δ/2.
Problemas principales
15. Sea f ∈ C([α, β], C) y sea γ ∈ [α, β] tal que f (γ) 6= 0. Demuestre que
β
Z
α
|f (x)|2dx > 0.
16. Demuestre que la siguiente funci´on es un producto interno en el espacio vectorial complejo P(C):
hf, gi :=
β
Z
−α
f (x)g(x) dx.
Desigualdad de Ptolomeo (Ptolemy’s inequality)
En estos problemas se supone que V es un espacio vectorial complejo dotado con un producto interno. Se denota por k · k la norma inducida por el producto interno.
Agradezco al f´ısico italiano Bruno Galvan por ense˜narme estos problemas. Thanks to Bruno Galvan (a physicist from Italy, http://www.brunogalvan.it) who showed me these problems.
Problemas auxiliares
17. Sean a, b ∈ V . Simplifique la expresi´on
ha, bi + hb, ai.
18. Sean a, b ∈ V , λ ∈ R. Simplifique la expresi´on kλa + bk2.
19. Sean a, b ∈ V tales que kak = kbk = 1 y sea λ ∈ R. Demuestre que kλa + bk = ka + λbk.
20. Sean a, b ∈ V \ {0V}. Simplifique la expresi´on kak kbk
a
kak2 − b kbk2
.
Problemas principales
21. Desigualdad de Ptolomeo. Sean a, b, c ∈ V . Demuestre que ka − bk kck ≤ kb − ck kak + kc − ak kbk.
22. Una m´etrica invariante bajo dilataciones. Definimos ρ : V × V → R mediante la regla:
ρ(a, b) :=
ka − bk
max{kak, kbk}, a ∈ V, b ∈ V, a 6= 0V ∨ b 6= 0V;
0, a = b = 0V.
Matriz de Gram
Problemas principales
23. Criterio de invertibilidad de la matriz de Gram de una lista de vectores.
Sean a1, . . . , am ∈ V . Demuestre que la matriz de Gram G(a1, . . . , am) es invertible si, y s´olo si, los vectores a1, . . . , am son linealmente independientes.
24. Rango de la matriz de Gram de una lista de vectores. Sean a1, . . . , am ∈ V . Demuestre que
r(G(a1, . . . , am)) = r(a1, . . . , am).
Producto interno asociado a una norma
que cumple con la identidad de paralelogramo
25. Sea V un espacio vectorial complejo y sea k · k una norma sobre V que cumple con la identidad de palalelogramo. Demuestre que en existe un producto interno h·, ·i tal que su norma asociada coincide con k · k.
Isometr´ıas
26. Sean V, W espacios vectoriales (ambos reales o ambos complejos) con producto interno y sea T : V → W una transformaci´on lineal que preserva la ortogonalidad de vectores y preserva la norma de alg´un vector no nulo:
(i) Para cualesquiera a, b ∈ V , si ha, biV = 0, entonces hT a, T biW = 0.
(ii) Existe un vector u ∈ V \ {0V} tal que kukV = kT ukW. Demuestre que T es una isometr´ıa.
