Clasificación de Sistemas discutiendo en función de un parámetro. m 2

Texto completo

(1)

prof Giselle Palmieri pág. 1

Clasificación de Sistemas discutiendo en función de un parámetro

Ejercicio:

Sea:

a) Clasificar el sistema discutiendo en función de m  R, por el método de Gauss.

b) Indicar el conjunto Solución cuando este exista.

c) Hallar la solución del sistema cuando m=0.

Resolución:

a)

1º paso) Tenemos que escalerizar. Para ello vamos a ordenar las ecuaciones e incógnitas tratando que la F1 no tenga parámetro en la entrada o pivote. Esto es para que las

combinaciones lineales queden más sencillas de pensar.

Respetar sólo multiplicar la Fila pivot y no la que van a cambiar, si no lo hacen así, no es válida la escalerización pues no respeta las leyes que mantienen a los sistemas equivalentes al ir

escalerizando. Tendrían que agregar casos a las condiciones a plantear, que no hacen. Entonces discuten mal.

Trataré de explicar por qué:

 Respetando la regla:

Supongamos que a F2 la voy a cambiar por (m-1)F1+F2, para el caso que m=1 es como si no hubiera hecho ningún cambio porque queda igual: 0.F1+F2=F2 . Es decir no me tengo que

preocupar por multiplicar por una expresión (m-1) que puede anularse, ya que la nueva fila sigue siendo equivalente a la F2 incluso para el valor que anula al factor (m-1).

 No respetando la regla:

Pero si a F2 la voy a cambiar por ejemplo por mF1+(m-1)F2, no es cierto que la nueva fila es equivalente a F2 para todo valor de m. Si m=1, estaría cambiando F2 por: 1.F1+0.F2=F1, y eso no es cierto.

O sea, no compliquen la discusión, no “multipliquen cruzado”. Respeten la regla.

2º paso) Luego de escalerizar, y antes de discutir en función de m la clasificación del sistema, hay que plantear algunas condiciones:

1) Todas las entradas de la última matriz escalerizada tienen que ser distintas de cero.

2) Todos los denominadores de la última matriz escalerizada tienen que ser distintos de cero.

3 2 0

3 2 1

6 2

2 x y mz

x my z x my mz m

(2)

prof Giselle Palmieri pág. 2

3º paso) Comenzamos a discutir.

1) Para los valores del parámetro distintos a los hallados en el 2º paso, el Sistema es compatible determinado, pues se puede despejar sin problemas y hallar el valor de cada incógnita.

2) Se estudia el sistema para cada valor hallado en el 2º paso.

Se sustituye el valor en la última matriz escalerizada. Si hubiera problemas con algún

denominador que se anula, entonces voy a la matriz anterior a esa y sustituyo en ella. Si vuelvo a tener esa situación, entonces voy a la anterior. Así hasta que llegue a una matriz donde sí pueda sustituir.

Luego de sustituir queda una escalerización que ya puedo clasificar. Puede ser cualquiera de los tres casos, incluso S.C.D.

4º paso) Escribo el resumen de la discusión en un eje orientado de m.

-2F2+F3

(3)

prof Giselle Palmieri pág. 3

b)

Nos piden escribir el conjunto solución para el S.C.D. y para el S.C.I.

1) Para el S.C.D. se hallan los valores de las incógnitas igual que en los ejercicios ya trabajados, pero estos se obtienen en función del parámetro. Es engorrosa la operatoria, por eso cuando se puede factorizar y/o simplificar, se tiene que hacer. A veces queda una incógnita independiente del parámetro, como sucede en este ejercicio. (El valor de z es -1/2, no depende de m.)

2) Para el S.C.I. es igual a los ejercicios trabajados antes.

(4)

prof Giselle Palmieri pág. 4

(5)

prof Giselle Palmieri pág. 5

Esta parte ya terminó.

Voy a aprovechar a repasar algunos conceptos del caso S.C.I.:

1) Podría haber elegido despejar “z” y no “y” al principio. Esto iba a cambiar la presentación del conjunto Solución, pero también está bien.

2) ¿Qué significa lo que quedó escrito en el conjunto Solución?

Sabemos que hay infinitas soluciones (S.C.I.) En el Espacio significa que los planos se cortan en una recta, ya que tiene un grado de libertad.

Si quisiera un punto de esa recta solución (Recordar que los puntos en el Espacio tienen tres coordenadas: x,y,z), es decir, si quisiera encontrar una terna solución, sólo tengo que darle un valor a “z” y sustituirlo en la terna escrita en función de “z”, que está en la Solución:

z

1

(6)

prof Giselle Palmieri pág. 6

c)

Cuando me piden esto en un ejercicio, no tengo que sustituir en el sistema que me dan y resolver escalerizando de nuevo. Se podría hacer, pero nosotros vamos a aprovechar que lo tenemos escalerizado en función de m.

Seguramente el valor que me dan (en este caso m=o), es un número que pertenece a los que determinan un S.C.D., por lo tanto sólo tenemos que sustituir m por el valor que nos dan en el conjunto Solución que ya tenemos escrito en función del parámetro.

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :