Capitulo I. Series trigonométricas y de Fourier

Capitulo I

Series trigonométricas y de Fourier

Autor: Pedro Roses Amat V1 20190524

Recursos Geogebra con la colaboración de Bernat Ancochea Millet Consultar Libro y recursos Geogebra en https://ggbm.at/uyscfsqt

2019 bajo licencia Creative commons, attribution- Sharealike3.0 Unported. (CC BY-SA 3.0)

Índice

Introducción ...4

Las funciones trigonométricas ...6

Periodo, frecuencia y amplitud de las funciones seno y coseno .. 6

La suma de funciones trigonométricas de diferente periodo ... 7

La suma de funciones trigonométricas de igual frecuencia ... 7

La aproximación de funciones mediante series trigonométricas . 10 Las series trigonométricas ... 10

La serie de Fourier ... 15

Diferentes formas del desarrollo de Fourier ... 17

• La expresión compacta ... 17

• La expresión como serie exponencial compleja ... 17

Los desarrollos de Fourier de funciones pares e impares ... 20

El espectro de frecuencias ... 20

Introducción

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)¹, introdujo las series trigonométricas con el propósito de resolver la ecuación de conducción del calor en una lámina de metal, publicando sus resultados en 1807 “

Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides”

('Memoria sobre la propagación del calor en los cuerpos sólidos'), y publicando su “

Théorie analytique de la chaleur”

('Teoría analítica del calor') en 1822.

Aunque el motivo original era resolver la ecuación de calor, tiempo después fue obvio que se podía usar la misma técnica en un gran conjunto de problemas físicos y matemáticos. Las series de Fourier tienen aplicaciones en la ingeniería eléctrica, análisis de vibraciones, acústica, procesamiento de señales, retoque fotográfico, mecánica cuántica, etc.

Las series trigonométricas ya habían sido consideradas por Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert y Daniel Bernoulli pero “la contribución mas importante de Fourier fue la idea de que cualquier función puede ser representada en forma de serie trigonométrica. La representación por medio de estas series puede ser aplicada a tipos de funciones mas generales que las que por ejemplo permiten los desarrollos de Taylor.

Incluso si hay puntos en los que no existe la derivada de la función, o que no la función no es continua, es posible obtener para ella un desarrollo en serie trigonométrica”².

Una consecuencia de las ideas de Fourier es la reformulación de Dirichlet de la definición de función, acercándose mucho al concepto

1 https://es.wikipedia.org/wiki/Serie_de_Fourier

2 Carl B. Boyer Historia de la matemática.

moderno de correspondencia general entre dos conjuntos de números reales, aunque el concepto de conjunto y de numero real estaban aun lejos de tener un significado preciso en su época.

Las funciones trigonométricas

Periodo, frecuencia y amplitud de las funciones seno y coseno

Las funciones seno y coseno son funciones periódicas, lo que significa que repiten su valor cuando x= x+ 2kp, siendo k un numero entero.

Sen (x) = Sen (x + 2kp) Cos (x) = Cos (x + 2kp)

El periodo de estas funciones es por lo tanto 2p, que podemos interpretar como un intervalo de 0 a 2p ó alternativamente de -p a +p.

Las funciones seno y coseno describen graficas semejantes, desplazadas una de otra a lo largo del eje x en ± p/2.

Sen(x) = Cos(x ± p/2)

A su representación grafica y a las funciones en si, se les llama habitualmente sinusoides y el desplazamiento de una sinusoide respecto del eje x se le llama fase. Las graficas de seno y coseno son sinusoides desfasadas p/2.

Podemos variar la periodicidad de las funciones seno y coseno, sustituyendo en estas funciones x por

k

x . Con esta sustitución el periodo de las funciones pasa a ser ^$%

& .

La frecuencia es el inverso del periodo con lo que tenemos que : 𝑓 = 𝑘

2𝜋

Para las funciones periódicas que se desarrollan en el tiempo, la

frecuencia se mide en hercios (Hz), que se corresponde a la frecuencia de una oscilación por segundo.

Amplitud y frecuencia de seno y coseno

La suma de funciones trigonométricas de diferente periodo

La combinación lineal de funciones periódicas seno y coseno, es también una función periódica. Si las funciones sumadas tienen diferente periodo, el periodo de la función suma será un múltiplo común de los periodos de las funciones sumadas.

Esta función pierde su condición de sinusoide, para presentar una grafica con diferentes máximos y mínimos relativos en su periodo.

La suma de funciones trigonométricas de igual frecuencia

Consideramos la combinación lineal de funciones seno y coseno del tipo y = A cos (k x) + B sen (k x)

que como hemos visto son funciones de frecuencia 𝑓

=

_2𝜋^𝑘

Los coeficiente A y B son dos números reales cualesquiera y k un numero entero positivo mayor que 1.( n > 1).

Si interpretamos el par de números (A,B) como las coordenadas de un punto en el plano moviendo el punto (A,B) por el plano tenemos todas las posibles combinaciones de la expresión:

y = A cos (

k

x ) + B sen (

k

x) (1)

Podemos expresar el punto (A,B) en coordenadas polares, identificando este punto por su distancia al origen y el ángulo que forma el vector definido desde el origen de coordenadas al punto (A,B), con el segmento

positivo del eje x.

Dividiendo y multiplicando (1) por esta distancia 𝑑 = √𝐴^$ + 𝐵^$ , obtenemos:

y= √𝐴^$ + 𝐵^$ ( A/√𝐴^$ + 𝐵^$ cos (k x) + B/√𝐴^$+ 𝐵^$ sen (k x) ), que podemos poner como,

y= √𝐴^$ + 𝐵^$ ( cos d cos (k x) + seno d seno (k x)) (2) ya que :

cos d = A/√𝐴^$ + 𝐵^$ y

seno d = B/√𝐴^$+ 𝐵^$

y usando la formula del coseno de la suma de ángulos la expresión (2) equivale a:

√𝐴^$+ 𝐵^$ (cos(k x).cos(d) + sen (k x).sen (d)) =√𝐴^$+ 𝐵^$ cos (k x - d)

Siendo,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 > 0, δ = arctan

𝐵 𝐴

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐴 < 0, 𝛿 = arctan

𝐵 𝐴

^{+ 𝜋}

Concluimos que la combinación lineal de una función seno y una función coseno de la misma frecuencia, es una función sinusoide del mismo periodo y de amplitud √𝐴^$ + 𝐵^$ , que resulta desplazada respecto del origen de coordenada en una magnitud d.

Suma de seno y coseno de igual periodo

En el reloj seleccionamos los coeficientes a aplicar a la suma de coseno

y seno. Moviendo el punto sobre el circulo unidad modificamos el ángulo

d

del vector posición del punto (A,B). Moviendo (A,B) según el radio aumentamos la amplitud de ambas ondas.

Podemos comprobar que la función suma en verde se desplaza según el eje x al mover el punto del reloj sobre el circulo unidad.

Podemos comprobar como la suma corresponde a la función coseno seleccionando adecuadamente su fase con el deslizador.

La aproximación de funciones mediante series trigonométricas

Las series trigonométricas

Una serie trigonométrica es una serie del tipo:

𝑎

_?

+ @ 𝑎

_A

BA

C

cos(𝑘 𝑥) + 𝑏

_A

𝑠𝑒𝑛(𝑘 𝑥)

Siendo

k

un numero entero positivo.

Se trata por tanto de una serie, finita o infinita, combinación lineal de funciones trigonométricas de diferente frecuencia.

Hemos visto en el apartado anterior, que cada uno de los términos de la serie, que consiste en la combinación lineal de funciones seno y coseno de la misma frecuencia, es una sinusoide de la misma frecuencia desplazada según el eje x.

Una serie trigonométrica es por tanto la suma de funciones sinusoidales periódicas, de diferente amplitud y frecuencia, cada una de ellas con un desplazamiento diferente en el sentido del eje x.

Series trigonométricas

Podemos visualizar los 4 primeros términos de una serie trigonométrica, activando la casilla correspondiente. Cada termino se nos visualiza en un color diferente y podemos modificar sus parámetros moviendo los puntos de colores.

Moviendo el punto de su color sobre el circulo unidad definimos la fase y desplazando el punto de color según el radio, la amplitud, de la sinusoide seleccionada.

Activando la casilla del sumatorio, obtenemos la suma de los términos

del 1 al 4 según indica el deslizador.

La aproximación de una función mediante una serie trigonométrica .

El periodo

Para aproximar una función con una serie trigonométrica tenemos que seleccionar adecuadamente las variables que nos definen la serie.

Al ser una serie trigonométrica una función periódica, la primera decisión es ajustar el periodo de la serie trigonométrica al intervalo de la función f(x) a aproximar.

Podemos variar la periodicidad de las funciones seno y coseno, sustituyendo en estas funciones k por ^$MN

O . Con esta sustitución el periodo de la función ^$%

P

pasa a ser ^Q

N , con lo que la serie resulta:

𝑎

_?

+ ∑ 𝑎

^BA_{C A}

cos S

^$%A

Q

𝑥T + 𝑏

_A

sen S

^$%A

Q

𝑥T

, La frecuencia

Al variar n de 1 a n obtendremos sinusoides de diferente frecuencia ^A Q Para n=1 es

𝑎

_C

cos S

^$%_Q

𝑥T + 𝑏

_C

sen S

^$%_Q

𝑥T,

La frecuencia de este termino de la serie, ^C

Q, (una oscilación en el periodo T) se llama frecuencia fundamental. Los siguientes términos de la serie, al incrementar n, se componen de funciones seno y coseno de frecuencia cada ver mayor, pero que repiten un numero entero de oscilaciones, n, en el periodo T considerado. Estas sinusoides de frecuencia múltiplo de la fundamental se llaman armónicos.

Así la suma de los términos de la serie trigonométrica es una función

periódica, de periodo T, que se compone con los armónicos de la sinusoide de la frecuencia fundamental.

Los coeficientes de la serie trigonométrica

Para que esta serie se aproxime a la función f(x) en el intervalo T tenemos que seleccionar adecuadamente los coeficientes an y bn para cada termino de la serie. Estos coeficientes nos definen la amplitud y la fase de la sinusoide que resulta de la composición lineal de seno y coseno en la frecuencia determinada para cada termino de la serie.

Euler dedujo el valor que debían tener los coeficientes de la serie trigonométrica para aproximar la función, multiplicando los dos términos de la expresión de la serie de cosenos:

𝑓(𝑥) = @ 𝑎_Acos2𝑛𝜋𝑥 𝑇

A

AWC

por ^COS 2𝑣𝜋𝑥

𝑇 , y obtiene:

𝑓(𝑥) cos2𝑣𝜋𝑥

𝑇 = @ 𝑎_Acos2𝑛𝜋𝑥 𝑇 𝑐𝑜𝑠

A AWC

2𝑣𝜋𝑥 𝑇 e integrando

∫

_`Q/$^Q/$

𝑓(𝑥) cos

^$a%b

Q

𝑑𝑥 = ∑ 𝑎

_A

∫ cos

^$A%b

Q Q/$

`Q/$

𝑐𝑜𝑠

^$a%b

Q

AAWC

𝑑𝑥

(3)

teniendo en cuenta que, cuando

v

es diferente de

n

,

(

v ¹ n

)

c cos2𝑣𝜋𝑥 𝑇

Q/$

`Q/$

cos2𝑘𝜋𝑥

𝑇 𝑑𝑥 = 0

y cuando v = n la integral se convierte en:

c 𝑐𝑜𝑠^$2𝑘𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥

Q/$

`Q/$

= 𝑇 2

Calculo de coeficientes 1 Podemos comprobar que la integral

c cos2𝑣𝜋𝑥 𝑇

Q/$

`Q/$

cos2𝑘𝜋𝑥 𝑇 𝑑𝑥 es 0 para v y n de diferente valor y ^Q

$ cuando v y n son iguales.

La expresión (3) resulta simplificada al resultar todos los términos con v

¹ n iguales a 0, y queda:

c^Q/$𝑓(𝑥)

`Q/$

cos2𝜋𝑛𝑥

𝑇 𝑑𝑥 = 𝑇 2𝑎_A despejando an

𝑎

_A

=

_Q^$

∫

_–Q/$^Q/$

𝑓(𝑠) cos

^$A%d_Q

𝑑𝑠

(4) Del mismo modo obtiene los coeficientes b_& para la serie de senos.

𝑏

_A

=

^$

Q

∫ 𝑓(𝑠) sen

^$A%d

Q Q/$

–Q/$

𝑑𝑠

(4)

Finalmente, nos queda calcular el termino a0 de la serie. Hay que considerar que todas las funciones seno y coseno de la serie, tienen como abscisa media 0. Si la función que estamos aproximando esta desplazada en el sentido de las abscisas positivas o negativas necesitamos sumar a la serie una constante que la desplace para coincidir con la función. Esta constante toma el valor medio de la integral en el periodo y la llamamos a0.

Calculo de coeficientes de la serie de Fourier

Se nos muestra el calculo de los coeficientes a

n

y b

n

.

En primer lugar, seleccionamos la función que queremos desarrollar en el desplegable. La función se nos representa en trazo continuo en el intervalo seleccionado y en trazo discontinuo fuera de él.

Podemos modificar el intervalo deslizando los puntos A y B sobre el eje x. No hay restricciones para seleccionar el intervalo, simétrico o no simétrico respecto del origen.

Activando las casillas y el deslizador obtenemos sucesivamente los coeficientes de la serie de Fourier.

Las integrales (4) que calculamos para obtener an y bn son el área bajo la curva de la función que integramos, en este caso el producto de dos funciones, la función a desarrollar f(x) y

cos

^{2𝑛𝜋𝑠}_𝑇 . Esta integral no da una medida de la semejanza de la función en el periodo con la sinusoide de esa frecuencia en concreto.

Al identificar su valor con un área podemos intuir que el método es posible aun para funciones muy arbitrarias. Las funciones no tienen por que ser continuas o pueden ser conocidas solo gráficamente. De ahí Fourier concluyo que toda función podía ser representada por una serie trigonométrica.

La serie de Fourier

Finalmente la aproximación a una función f(x) por una serie trigonométrica queda en la forma:

𝑓(𝑥) = 𝑎_?

2 + @ 𝑎_A

A AWC

cos g2𝜋𝑛

𝑇 𝑥h + 𝑏_A sen g2𝜋𝑛 𝑇 𝑥h En la que los coeficientes toman la forma:

𝑎_? = 2

𝑇 c^Q/$𝑓(𝑠)

–Q/$

𝑑𝑠

𝑎_A = 2

𝑇 c 𝑓(𝑠) cos𝑛𝜋𝑠 𝑇

Q/$

–Q/$ 𝑑𝑠

𝑏_A = 2

𝑇 c 𝑓(𝑠) sen𝑛𝜋𝑠 𝑇

Q/$

–Q/$ 𝑑𝑠

Fourier observa que la serie representa f(x) en el intervalo, sin importar si la representación se mantiene fuera del intervalo. Podemos comprobar que la serie de Fourier obtenida para el periodo T es periódica para todo valor de x. Si la función f(x) que desarrollamos también lo es, el desarrollo en serie obtenido aproxima la función para todo el eje x.

Esta posibilidad de coincidir en un intervalo, pero no necesariamente fuera de el, explica porque matemáticos anteriores no podían aceptar que una función arbitraria pudiese ser desarrollada en una serie trigonométrica.

El primer teorema sobre convergencia de las series de Fourier se debe a Dirichlet en 1829, sobre funciones periódicas, de periodo 2p, si en el periodo -p < x < p , son continuas a trozos y acotadas y tienen un numero finito de discontinuidades y de máximos y mínimos locales, la serie converge en todos los puntos en los que la función es continua.

Para los puntos en los que la función no es continua, Dirichlet demuestra que la serie converge al valor medio de la función a ambos lados de la discontinuidad:

1

2 [𝑓(+𝑥) + 𝑓(−𝑥)]

siendo

𝑓(+𝑥) = lim

p→Bb𝑓(𝑡) y

𝑓(−𝑥) = lim

p→`b𝑓(𝑡)

Finalmente hoy se considera que, la condición para que f(x), de una variable real y con valores reales o complejos, sea desarrollable mediante una serie de Fourier es que la integral del cuadrado del modulo de la función converja en el intervalo de definición. Esta condición se dice de cuadrado sumable, o de cuadrado integrable sobre un determinado intervalo.

c |𝑓(𝑥)|^$

t

`t

𝑑𝑥 < ∞

Series de Fourier

Procedemos en la hoja de trabajo como en la anterior, empezando por la selección de la función en el desplegable y el periodo del desarrollo.

Se recomienda que al seleccionar una nueva función, o mover los limites del intervalo del desarrollo, el deslizador n este en posición 1, para facilitar el recalculo del desarrollo.

Podemos comprobar visualmente que la serie de Fourier es siempre

periódica, repitiendo indefinidamente el resultado obtenido en el

intervalo.

Podemos observar por ejemplo, seleccionando la función seno(x) , el resultado obtenido para el intervalo entre 0 y p /2 o entre 0 y p. En ninguno de los casos aproximamos la función fuera del intervalo.

Diferentes formas del desarrollo de Fourier

• La expresión compacta

La suma de función seno y coseno de la misma fase resulta una función seno o coseno desplazada. En ocasiones es mas útil expresar la serie de Fourier en función de las amplitudes y las fases de una serie de cosenos. La serie de Fourier la podemos poner entonces como

𝑓(𝑥) = 𝐴_?

2 + @ 𝐴_P

A PWC

cos(𝜔_P − 𝜃_P)

como hemos visto al estudiar el comportamiento de la suma de seno y coseno de la misma frecuencia podemos poner:

A0 = a0

𝐴_P = x𝑎_A^$ + 𝑏_A^$ 𝜃_P = 𝑡𝑎𝑛^`C𝑏_A

𝑎_A

• La expresión como serie exponencial compleja

Una forma de expresar la serie de Fourier es sustituyendo la suma de senos y cosenos por la exponencial compleja.

𝑓(𝑥) = @^∞

𝑐

_𝑘

−∞

𝑒

^{𝑖 2𝜋 𝑘𝑇 𝑥}

siendo

𝑐_P =1

𝑇 c 𝑓(𝑠)

Q/$

–Q/$

𝑒

^{−𝑖 2𝜋 𝑘𝑇 𝑠}𝑑𝑠

Si simplificamos el exponente haciendo w = ^$%

Q

obtenemos una expresión mas simple

𝑓(𝑥) = @^∞

𝑐

_𝑘

−∞

𝑒

^{𝑖 𝜔 𝑘 𝑥}

La función exponencial compleja

Vamos calculando los términos de la serie en su notación trigonométrica y exponencial:

• Para n = 0

C0

=

¹_𝑇

∫

_𝑇/2^𝑇

𝑓 ⁽ 𝑠 ⁾ 1 𝑑𝑠

Luego c0 es el termino a0/2 de la serie en expresión trigonométrica.

• Para n =1

La serie en expresión trigonométrica es:

𝑎_Ccos(𝜔 𝑥) + 𝑏_C sen(𝜔 𝑥)

La expresión exponencial varia de -¥ a +¥ por lo que para cada valor de k tenemos que considerar el simétrico negativo, resultando:

𝑐

_C

𝑒

^{z { b}

+ 𝑐

_`C

𝑒

^{`z { b}

mediante la formula de Euler obtenemos:

e

^{|} b}

= cos(

𝜔 𝑥

) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑥

)

𝑐

_C

[cos(

𝜔 𝑥

) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑥

)] + 𝑐

_`C

[cos(

𝜔 𝑥

) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑥

)]

que reordenando obtenemos:

(𝑐_CB𝑐_{`C</sub>) cos(𝜔𝑥) + (𝑖𝑐<sub>C</sub>− 𝑖𝑐<sub>`C})𝑠𝑒𝑛(𝜔 𝑥)

luego para que la expresión trigonométrica y exponencial sean iguales, se tiene que cumplir:

𝑎_C = (𝑐_CB𝑐_`C) y

𝑏_C = 𝑖(𝑐_C− 𝑐_`C)

Nos queda comprobar estas igualdades, para lo que sustituimos en la integral:

𝑐

_C

=

^C_Q

∫

_–Q/$^Q/$

𝑓(𝑠) 𝑒

^{−𝑖 𝜔𝑠}

𝑑𝑠

(5) 𝑒^`z{d por su equivalente según la formula de Euler y obtenemos:

𝑐

_C

=

^C

Q

∫

_–Q/$^Q/$

𝑓(𝑠) [cos(

𝜔 𝑠

) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑠

)] 𝑑𝑠 (6)

y para c-1

𝑐

_`C

=

^C_Q

∫

_–Q/$^Q/$

𝑓(𝑠) [cos(

𝜔 𝑠

) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑠

)] 𝑑𝑠 (7)

Sumando ambas integrales obtenemos:

(𝑐_CB𝑐_`C) = 2

𝑇 c^Q/$𝑓(𝑠) cos 𝜔𝑠

–Q/$

𝑑𝑠 = 𝑎_C

Multiplicando (6) y (7) por i obtenemos:

𝑖𝑐_C = 1

𝑇 c^Q/$𝑓(𝑠)

–Q/$

[𝑖 cos(

𝜔 𝑠

) + 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑠

)] 𝑑𝑠

y para c-1

𝑖𝑐_`C = 1

𝑇 c^Q 𝑓(𝑠)

–Q/$

[𝑖 cos(

𝜔 𝑠

) − 𝑠𝑒𝑛 (

𝜔 𝑠

)] 𝑑𝑠

Restando ambas expresiones resulta:

(𝑖𝑐_C− 𝑖𝑐_`C) = 2

𝑇 c^Q/$𝑓(𝑠) sen 𝜔𝑠

–Q/$

𝑑𝑠 = 𝑏_C

Los desarrollos de Fourier de funciones pares e impares

Una función par es aquella que cumple:

f(x) = f(-x)

Es decir es una función simétrica respecto el eje de las y.

Una función impar es aquella que:

f(x) = -f(-x)

Toda función, definida para todo x real, puede expresarse como suma de una función par u otra impar.

Podemos concluir, que si una función es par puede ser aproximada por una serie trigonométrica del tipo

∑ 𝑏

^A_{C A}

𝑠𝑒𝑛(𝑛𝑥) .

Del mismo modo las funciones impares se pueden aproximar por series del tipo ∑ a^N_{C N}cos(nx).

Desarrollos de Fourier de funciones pares e impares

El espectro de frecuencias

El desarrollo de Fourier nos ha dado la descomposición de una función en una serie de funciones ondulatorias de diferente amplitud y frecuencia.

Si expresamos la amplitud de las ondas presentes en la serie de Fourier en función de su frecuencia, obtendremos una función discontinua que se compone del conjunto de pares con los valores de amplitud y frecuencia presentes en la serie.

Si incrementamos el numero de elementos de la serie de Fourier, obtendremos mas pares de valores de la función de frecuencias, pero

seguiremos obteniendo una función discreta.

Espectro de frecuencias de una serie de Fourier