Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

(1)

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden se puede representar en forma general como:

 

1

2

, , , , dx g t x y

dt

dy g t x y dt



Donde x y, son las variables dependientes y t es la variable independiente del sistema.

Si cada una de las funciones g y ₁ g son lineales en la variable dependiente y ₂ en sus derivadas entonces se dice que el sistema es lineal.

Otra forma de expresar el sistema anterior es :

11 12 1

21 22 2

dx a x a y f dt

dy a x a y f dt

  

Donde a_ijy f son funciones de _i t.

Si f_i 0 entonces se dice que el sistema es homogéneo. Si los coeficientes aijson constantes se dice que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Forma Matricial de un SED

Un sistema de ecuaciones diferenciales se puede representar en forma matricial de la siguiente manera:

S A SF Donde:

11 12 1

21 22 2

MATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR DE TERMINOS

VECTOR DE INCÒGNITAS VECTOR SOLUCIÒN

INDEPENDIENTES

a a f

x x

S S A F

a a f

y y

    

   

           

Ejemplo 1: Exprese los siguientes SEDL en forma matricial:

a)

3 4

5 7

dx x y

dt

dy x y

dt

 

 

b)

2

3 4

sen e ^t

dx x t

dt

dy x y

dt

 

  

(2)

Solución:

a) ³ ⁴

5 7

S  S

     o también como ³ ⁴ 5 7

x x

y y

     

       

     

b) ² ⁰ ₂

3 4

sen e ^t

S    S t o también como ² ⁰ ₂ 3 4

sen e ^t

x x t

y y

       

 

        

       

Solución de un SEDL

La solución de un SEDL está dado por el vector S que satisface a dicho sistema.

Ejemplo 2: Determine cuáles de los siguientes vectores son solución del SEDL mostrado:

3

5 3

dx x y dt

dy x y

dt

 

a)

2

1 2

e e

t

S t



 

  

  b) ₂ ¹ ⁴ 2 e ^t S  

  

 

Solución:

a) Identificamos en primer lugar los valores de x y y de S : ₁

2

2 2

1 2

e e e

e

t

t t

t

S x x y

y

  



 

        

Procedemos a derivar el vector S:

 

2

2 2

2

2 2

e e e

e e

e

t

t t

t

d

d dt

S dt d

dt

  

 



 

 

   

     

  

      

Sustituimos los resultados anteriores en el SEDL y verificamos que se cumplan las igualdades:

 

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

3 2 3 2 3

2 2

5 3 2 5 3 2 2

e e e e e e

e e

e e e e e

t t t t t t

t t

t t t t t

dx x y

dt

ok

dy x y ok

dt

     

 

    

          

   

       

(3)

Como se satisfacen las igualdades para ambas ecuaciones entonces podemos concluir que el vector S si es solución del sistema indicado. ₁ b) Seguimos el procedimiento anterior:

4 4 4

2

1 2

2 e ^t e ^t e ^t

S x x y

y

   

     

   

Por otra parte: ² ¹₂ ⁴ ¹₂

 

⁴ ¹₂

 

⁴ ⁴ ⁴ ⁴⁴

8

e e e e

e

t

t t t

t

d d

S dt dt

 

     

          

       

Sustituyendo en la primera ecuación diferencial:

 

4 4 4 4 4 4

4 4

3 4 3 2 4 6

4 7

e e e e e e

e e

t t t t t t

t t

dx x y

dt        

 

Si no se satisface alguna de las ecuaciones, como en este caso, se concluye que S₂ no es una solución del SEDL indicado, y ya no es necesario hacer la comprobación para y.

Principio de superposición

Sean S₁,S₂ ,S₃ . . . .S_n un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo. La combinación lineal SC S₁ ₁C S₂ ₂ C S₃ ₃ . . . .C S_n _n también es solución de dicho sistema, donde C son constantes arbitrarias. _i

Independencia lineal

Sean S₁,S₂ ,S₃ . . . .S_n un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo. Se dice que el conjunto es linealmente independiente si

1 1 2 2 3 3. . . . _n _n 0

C S C S C S C S  solo cuando C₁  C₂ C₃ . . . .C_n0. Definición 1

Sean S₁,S₂ ,S₃ . . . .S_n un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo. Dichos vectores son linealmente independientes si el wronskiano es diferente de cero. Para un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales el wronskiano es el resultado del siguiente determinante:

11 12

11 22 12 21

21 22

s s

W s s s s

s s

  

Definición 2

Sean S₁,S₂ ,S₃ . . . .S_n un conjunto linealmente independiente de vectores solución de un sistema homogéneo. La solución general del sistema será:

1 1 2 2 3 3. . . . _n _n SC S C S C S C S

(4)

Ejemplo 3: Determine si S y ₁ S₂ son linealmente independientes. En caso afirmativo construya la solución general.

a) ₁ ¹ ² 1 e ^t S  

    ₂ ³ ⁶ 5 e ^t S  

  

  b) ₁ ² ³

3 e ^t S  

    ₂ ⁶ ² 9 e ^t S  

  

  Solución:

a) Como

2 2

1 2

1 1

e e

e

t t

S    t

      y

6 6

2 6

3 3

5 5

e e

e

t t

S    t

    

    entonces:

    

2 6

2 6 2 6 4 4 4

2 6

3 5 3 5 3 8

5

e e

e e e e e e e

e e

t t

t t t t t t t

t t

W

  

       



Como W  0 entonces S y ₁ S₂ son linealmente independientes y la solución general a partir de este conjunto será:

2 6

1 2

1 1 2 2 1 2 2 6 2 6

1 2

3 3 5 5

e e

t t

C C

S C S C S C C

C C

 

    

           

También podemos expresar el resultado como:

2 6 2 6

1 2 1 2

2 6 2 6

1 2 1 2

3 3

5 5

e e e e

t t t t

x C C x C C

S y C C y C C

    

          

b)

3 3

1 3

2 2

3 3

e e

e

t t

S    t

      y

2 2

6 6

9 9

e e

e

t t

S      t 

    entonces:

    

3 2

3 2 3 2 5 5

3 2

2 6

2 9 3 6 18 18 0

3 9

e e

e e e e e e

e e

t t

t t t t t t

t t

W 

       



Como W  0 entonces S y ₁ S₂ son linealmente dependientes y no se puede construir la solución general a partir de ellas.

Definición 3

S es solución de un sistema homogéneo con coeficientes constantes si y sólo si AI 0. Donde _i son los valores característicos asociados a la matriz A. Por lo tanto una solución del sistema está formada por S_i Ke^ⁱ^t, donde



^A^^^{I K}



^⁰^.

(5)

La solución de un sistema lineal depende de los valores característicos asociados a la matriz A de acuerdo a los siguientes casos:

Caso I: Valores característicos reales y distintos Caso II: Valores característicos reales e iguales Caso III: Valores característicos complejos

Caso I: Valores característicos reales y distintos

Si los valores característicos son reales y distintos entonces dos soluciones linealmente independientes las obtenemos como:

1 2

1 e ^t 2 e ^t

S K ^ S K ^

K es el vector característico asociado a ₁ y K es el vector característico asociado a ₂.

Ejemplo 4: Determine la solución general del siguiente sistema:

2 3

2

dx x y

dt

dy x y dt

 

Solución:

En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:

2 3 2 3

2 1 2 1

S  S  A 

   

A continuación obtenemos los valores característicos de A:

2 3 1 0 2 3 0 2 3

2 1 0 1 2 1 0 2 1

A I  

 

          

              

  

2 2

2 3

0 2 1 6 0

2 1

2 2 6 0 3 4 0

Ecuaciòn caracterìstica

A I 

  



    

        



         

Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general:

      

 

2 2

1 2

3 3 4 1 4

4 3 5

2 2 1 2

3 5 3 5

1 4

2 2

,

b b ac

 a

 

     

   

  

 

    

(6)

Para obtener S tomamos el primer valor característico y aplicamos la ₁ definición 3:

   

 

¹ ¹

1

2 2

2 1 3 3 3

0 0 0

2 1 1 2 2

k k

A I K

k k

 ^ ^{ } ^{  } ^ ^^{ }

              

Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:

1 2

3 3 0

2 2 0

k k

 

Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:

1 2 2 1 2 1

2k 2k 0  2k  2k  k  k

Asignamos un valor arbitrario a k y obtenemos ₁ k . Es conveniente tomar un ₂ valor pequeño para k , por ejemplo ₁ k₁1  k₂  1.

Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a ₁: 1

K  1

   

Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S : ₁

1  1

1 1 1

1 1

e ^t e ^t e ^t

S K ^ S   ^ S   ^

        

Para obtener S₂ seguimos el procedimiento anterior:

   

 

¹ ¹

2

2 2

2 4 3 2 3

0 0 0

2 1 4 2 3

k k

A I K

k k

 ^ ^ ^{  } ^^ ^^{ }

              

1 2

2 3 0

k k

  

 

(7)

23

1 2 2 1 2 1

2k 3k 0 3k 2k k k

      

Asignamos un valor a k , por ejemplo ₁ k₁3(para que al hacer el producto por

2

3 se cancele el denominador así no trabajamos con fracciones:

 

2 2

3 3

2 1 2 3 2 2

k  k  k   k 

Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a ₂: 3

K  2

  

 

Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S₂:

2  4 4

2 2 2

3 3

2 2

e ^t e ^t e ^t

S K ^ S   S  

      

   

Con S y ₁ S₂ podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2:

4

1 1 2 2 1 2

1 3

1 e ^t 2 e ^t S C S C S C   ^ C  

         

También la podemos expresar como:

4 4

1 2 1 2

4 4

1 2 1 2

3 3

2 2

e e e e

t t t t

x C C x C C

S y C C y C C

 

    

          

2 4 3 dx x y dt

dy x y

dt

 

Solución:

1 2 1 2

4 3 4 3

S  S  A 

   

(8)

1 2 1 0 1 2 0 1 2

4 3 0 1 4 3 0 4 3

A I  

 

          

              

  

2 2

1 2

0 1 3 8 0

4 3

3 3 8 0 4 5 0

A I 

  



    

        



         

Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general y obtenemos los valores característicos:

1 1 2 5

    

Para obtener S tomamos el primer valor característico y aplicamos la ₁ definición 3:

   

 

¹ ¹

1

2 2

1 1 2 2 2

0 0 0

4 3 1 4 4

k k

A I K

k k

 ^ ^{ } ^{  } ^ ^^{ }

              

1 2

2 2 0

4 4 0

k k

 

1 2 2 1 2 1

2k 2k 0  2k  2k  k  k

Asignamos a k₁1  k₂  1

Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a ₁: 1

K  1

   

1  1

1 1 1

1 1

e ^t e ^t e ^t

S K ^ S   ^ S   ^

         Para obtener S₂ seguimos el procedimiento anterior:



2



¹ ¹

2 2

1 5 2 4 2

0 0 0

4 3 5 4 2

k k

A I K

k k

 ^ ^ ^^{ } ^^ ^^{ }

             

(9)

1 2

4 2 0

k k

  

 

1 2 2 1 2 1

4k 2k 0 2k 4k k 2k

      

Asignamos a k₁1  k₂ 2k₁  k₂ 2

Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a ₂: 1

K  2

  

 

Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S₂:

2  5 5

2 2 2

1 1

2 2

e ^t e ^t e ^t

S K ^ S   S  

      

   

5

1 1 2 2 1 2

1 1

1 e ^t 2 e ^t S C S C S C   ^ C  

         

5 5

1 2 1 2

5 5

1 2 2 1 2 2

e e e e

t t t t

x C C x C C

S y C C y C C

 

    

          

Caso II: Valores característicos reales repetidos

Si los valores característicos son reales y repetidos ( ₁  ₂ ) entonces dos soluciones linealmente independientes las obtenemos como:

1 e ^t 2 e ^t e ^t

S K ^ S K t ^  ^ Donde



^A^^^{I K}



^⁰^y



^A^^{ }^I



^^K ^.

(10)

3 18 2 9

dx x y

dt

dy x y

dt

 

Solución:

3 18 3 18

2 9 2 9

S    S  A  

3 18 1 0 3 18 0 3 18

2 9 0 1 2 9 0 2 9

A I   

 

   

         

                 

  

2 2

3 18

0 3 9 36 0

2 9

27 3 9 36 0 6 9 0

A I 

  



    

 

        

 

          

1 2 3

     

Para obtener S tomamos el valor característico y lo sustituimos en ₁



A1I K



0

   

 

¹ ¹

1

2 2

3 3 18 6 18

0 0 0

2 9 3 2 6

k k

A I K

k k

 ^ ^{ } ^ ^^{ } ^ ^ ^^{ }

                

1 2

6 18 0

2 6 0

k k

 

13

1 2 2 1 2 1

2k 6k 0  6k  2k  k  k Asignamos a k13  k2  ¹³

 

3  k2 1

Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a :

(11)

3 K  1

  

 

 ³ 3

1 1 1

3 3

1 1

e ^t e ^t e ^t

S K ^ S   ^ S   ^

      

   

Para obtener S₂ procedemos de la siguiente forma:

Obtenemos  aplicando



^A^^{ }^I



^^K^:



2



¹ ¹ ²

2 1 2

6 18 3

2 6 1

A I K   

 

  

 

  

   

            

Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de :

1

1 2 2 1 2

2 1

2 6 1 6 2 1

6

             ^

Asignamos a

 

₁

1 2 2 6

2 1 1

1 6

     ^   

Con estos resultados formamos el vector :

16

 _{  }^{ }1

 

Aplicamos a continuación la definición para obtener S₂:

3 3

2 2 1

6

3 1

e e ^t 1 e ^t e ^t

S K t  ^  S ^{ } t ^ ^{ }  ^

   

3 3 3

1 1 2 2 1 2 1

6

3 3 1

1 e ^t 1 e ^t e ^t

S C S C S C   ^ C  t ^   ^ 

          

      

3 3 3 3 3 3

1 2 2 1 2 2

3 3 1 3 3 3 1 3

6 6

1 2 2 1 2 2

3 e 3 e e 3 e 3 e e

e e e e e e

t t t t t t

x C C t C x C C t C

S y C C t C y C C t C

     

      

           

(12)

 

3

1 2 2

1 3

1 6 2 2

3 3 e

e

t

x C C C t

y C C C t



  

6 5

5 4

dx x y

dt

dy x y

dt

  

Solución:

6 5 6 5

5 4 5 4

S  S  A 

6 5 1 0 6 5 0 6 5

5 4 0 1 5 4 0 5 4

A I  

 

   

         

                

  

2 2

6 5

0 6 4 25 0

5 4

24 6 4 25 0 2 1 0

A I 

  



    

          

 

          

1 2 1

     



A1I K



0

   

 

¹ ¹

1

2 2

6 1 5 5 5

0 0 0

5 4 1 5 5

k k

A I K

k k

 ^^{  } ^^{ } ^^ ^^{ }

               

1 2

5 5 0

k k

  

(13)

1 2 2 1 2 1

5k 5k 0 5k 5k k k

      

Asignamos a k₁1  k₂ 1

Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a : 1

K  1

  

 

 ¹

1 1 1

1 1

e ^t e ^t e ^t

S K ^ S   ^ S   ^

      

   

Para obtener S₂ procedemos de la siguiente forma:

Obtenemos  aplicando



^A^^{ }^I



^^K^:



2



¹ ¹ ²

2 1 2

5 5 1

A I K   

 

  

  

  

   

            

Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de :

1

1 2 2 1 2

5 1

5 5 1 5 5 1

5

      ^

       

Asignamos a

 

₆

1 2 2 5

5 1 1

1 5

     ^   

Con estos resultados formamos el vector :

6 5

 _{  }^{ }1

 

Aplicamos a continuación la definición para obtener S₂:

2 2 6

5

1 1

e e ^t 1 e ^t e ^t

S K t  ^  S ^{ } t ^ ^{ }  ^

   

1 1 2 2 1 2 6

5

1 1 1

1 e ^t 1 e ^t e ^t

S C S C S C   ^ C  t ^   ^ 

          

      

(14)

1 2 2 1 2 2

6 6

5 5

1 2 2 1 2 2

e e e e e e

t t t t t t

x C C t C x C C t C

S y C C t C y C C t C

     

      

           

 



1¹ ⁶⁵ ²2 ²2



e e

t

x C C C t

y C C C t



  

Caso III: Valores característicos complejos

Si al resolver AI 0 resultan valores característicos complejos ( a bi) entonces dos soluciones linealmente independientes del sistema serán:

   

1 1cos  2sen e^{a t} 2  2cos  1sen e^{a t}

S  bt  bt S  bt  bt

Donde



^A^^^{I K}



^⁰^yK  1 2i.

2 8

2

dx x y

dt

dy x y

dt

 

  

Solución:

2 8 2 8

1 2 1 2

S   S  A  

2 8 1 0 2 8 0 2 8

1 2 0 1 1 2 0 1 2

A I  

 

          

                   

  

2 2

2 8

0 2 2 8 0

1 2

4 2 2 8 0 4 0

A I 

  



   

         

  

         

(15)

1 0 2i 2 0 2i a 0 b 2

        



A1I K



0



1



¹

2

1

2

2 0 2 8

0 0

1 2 0 2

2 2 8

1 2 2 0

( )

i k

A I K

i k i k

i k

 ^ ^{ } ^^{ }

           

  

 

        

 

1 2

2 2 8 0

2 2 0

i k k

k i k

  

    



2 2 i k



1 8k2 0  8k2   



2 2i k



1  k2   



¹⁴ ¹⁴i k



1

Asignamos a k14  k2   



¹4 ¹4i

 

4  k2   1 i

1

1 2

2

4 0 4 0 4 0

1 1 1 1 1

k i

K i i

k ^ i  

           

                      

Aplicamos a continuación la definición para obtener S y ₁ S₂:

 

^{ }⁰

1 1 2

1

4 0

2 2

1 1

4 0

2 2

1 1

cos sen e cos sen e

cos sen

a t t

S bt bt t t

S t t

  ^ ^{ } ^{ } ^

          

   

      Para S₂:

 

^{ }⁰

2 2 1

2

0 4

2 2

1 1

0 4

2 2

1 1

cos sen

a t t

S bt bt t t

S t t

  ^ ^{ } ^{ } ^

          

   

     

(16)

1 1 2 2 1 2

4 0 0 4

2 2 2 2

1 cos 1 sen 1 cos 1 sen

S C S C S C   t   t C   t   t

                

1 2

4 2 4 2

2 2 2 2

cos sen

cos sen cos sen

x t t

S C C

y t t t t

     

        



¹1 2



²



1 2



4 2 4 2

2 2

cos sen

x C t C t

y C C t C C t

 

     

4 5

2 6

dx x y

dt

dy x y

dt

 

  

Solución:

4 5 4 5

2 6 2 6

S   S  A 

4 5 1 0 4 5 0 4 5

2 6 0 1 2 6 0 2 6

A I  

 

          

                

  

2 2

4 5

0 4 6 10 0

2 6

24 4 6 10 0 10 34 0

        

 

         

A I 

  



    

1  5 3i 2  5 3i  a5 b3

 

Para obtener S tomamos el valor característico ₁ ₁ y lo sustituimos en



A1I K



0

(17)

   

 

¹

1

2

1

2

4 5 3 5

0 0

2 6 5 3

1 3 5

2 1 3 0

i k

A I K

i k

     

            

   

 

       

 

1 2

1 3 5 0

2 1 3 0

i k k

k i k

   

   

     

1 2 2 1 2 1

1 3 5 0 5 1 3 1 3

5

          i

i k k k i k k k

Asignamos a

 

1 2

5 1 3

5

    i

k k

 

⁵  k2  1 3i

1

1 2

2

5 0 5 0 5 0

1 3 1 3 1 3



           

                     

k i

K i

k i  

Aplicamos a continuación la definición para obtener S y ₁ S₂:

 

⁵

1 1 2

5

5 5

1 5 5

5 0

3 3

1 3

5 3 0 5 3

3 3 3 3 3 3

     

        

   

 

 

   

       

cos e cos

e e

cos sen e cos e sen

a t t

t

t t

S bt bt t t

t t

S t t t t

 

Para S₂:

 

^{ }⁵

2 2 1

5 5

2 5 5 5

0 5

3 3

3 1

0 5 3 5 3

3 3 3 3 3 3

     

        

   

 

   

 

       

e sen e sen

e cos e sen e cos e sen

a t t

t t

t t t t

S bt bt t t

t t

S t t t t

 