Sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden se puede representar en forma general como:
1
2
, , , , dx g t x y
dt
dy g t x y dt
Donde x y, son las variables dependientes y t es la variable independiente del sistema.
Si cada una de las funciones g y 1 g son lineales en la variable dependiente y 2 en sus derivadas entonces se dice que el sistema es lineal.
Otra forma de expresar el sistema anterior es :
11 12 1
21 22 2
dx a x a y f dt
dy a x a y f dt
Donde aijy f son funciones de i t.
Si fi 0 entonces se dice que el sistema es homogéneo. Si los coeficientes aijson constantes se dice que se trata de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.
Forma Matricial de un SED
Un sistema de ecuaciones diferenciales se puede representar en forma matricial de la siguiente manera:
S A SF Donde:
11 12 1
21 22 2
MATRIZ DE COEFICIENTES VECTOR DE TERMINOS
VECTOR DE INCÒGNITAS VECTOR SOLUCIÒN
INDEPENDIENTES
a a f
x x
S S A F
a a f
y y
Ejemplo 1: Exprese los siguientes SEDL en forma matricial:
a)
3 4
5 7
dx x y
dt
dy x y
dt
b)
2
2
3 4
sen e t
dx x t
dt
dy x y
dt
Solución:
a) 3 4
5 7
S S
o también como 3 4 5 7
x x
y y
b) 2 0 2
3 4
sen e t
S S t o también como 2 0 2 3 4
sen e t
x x t
y y
Solución de un SEDL
La solución de un SEDL está dado por el vector S que satisface a dicho sistema.
Ejemplo 2: Determine cuáles de los siguientes vectores son solución del SEDL mostrado:
3
5 3
dx x y dt
dy x y
dt
a)
2
1 2
e e
t
S t
b) 2 1 4 2 e t S
Solución:
a) Identificamos en primer lugar los valores de x y y de S : 1
2
2 2
1 2
e e e
e
t
t t
t
S x x y
y
Procedemos a derivar el vector S:
2
2 2
2 2
2
2 2
e e e
e e
e
t
t t
t t
t
d
d dt
S dt d
dt
Sustituimos los resultados anteriores en el SEDL y verificamos que se cumplan las igualdades:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
3 2 3 2 3
2 2
5 3 2 5 3 2 2
e e e e e e
e e
e e e e e
t t t t t t
t t
t t t t t
dx x y
dt
ok
dy x y ok
dt
Como se satisfacen las igualdades para ambas ecuaciones entonces podemos concluir que el vector S si es solución del sistema indicado. 1 b) Seguimos el procedimiento anterior:
4 4 4
2
1 2
2 e t e t e t
S x x y
y
Por otra parte: 2 12 4 12
4 12
4 4 4 448
e e e e
e
t
t t t
t
d d
S dt dt
Sustituyendo en la primera ecuación diferencial:
4 4 4 4 4 4
4 4
3 4 3 2 4 6
4 7
e e e e e e
e e
t t t t t t
t t
dx x y
dt
Si no se satisface alguna de las ecuaciones, como en este caso, se concluye que S2 no es una solución del SEDL indicado, y ya no es necesario hacer la comprobación para y.
Principio de superposición
Sean S1,S2 ,S3 . . . .Sn un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo. La combinación lineal SC S1 1C S2 2 C S3 3 . . . .C Sn n también es solución de dicho sistema, donde C son constantes arbitrarias. i
Independencia lineal
Sean S1,S2 ,S3 . . . .Sn un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo. Se dice que el conjunto es linealmente independiente si
1 1 2 2 3 3. . . . n n 0
C S C S C S C S solo cuando C1 C2 C3 . . . .Cn0. Definición 1
Sean S1,S2 ,S3 . . . .Sn un conjunto de vectores solución de un sistema homogéneo. Dichos vectores son linealmente independientes si el wronskiano es diferente de cero. Para un sistema de dos ecuaciones diferenciales lineales el wronskiano es el resultado del siguiente determinante:
11 12
11 22 12 21
21 22
s s
W s s s s
s s
Definición 2
Sean S1,S2 ,S3 . . . .Sn un conjunto linealmente independiente de vectores solución de un sistema homogéneo. La solución general del sistema será:
1 1 2 2 3 3. . . . n n SC S C S C S C S
Ejemplo 3: Determine si S y 1 S2 son linealmente independientes. En caso afirmativo construya la solución general.
a) 1 1 2 1 e t S
2 3 6 5 e t S
b) 1 2 3
3 e t S
2 6 2 9 e t S
Solución:
a) Como
2 2
1 2
1 1
e e
e
t t
S t
y
6 6
2 6
3 3
5 5
e e
e
t t
S t
entonces:
2 6
2 6 2 6 4 4 4
2 6
3 5 3 5 3 8
5
e e
e e e e e e e
e e
t t
t t t t t t t
t t
W
Como W 0 entonces S y 1 S2 son linealmente independientes y la solución general a partir de este conjunto será:
2 6
2 6
1 2
1 1 2 2 1 2 2 6 2 6
1 2
3 3 5 5
e e
e e
e e
e e
t t
t t
t t
t t
C C
S C S C S C C
C C
También podemos expresar el resultado como:
2 6 2 6
1 2 1 2
2 6 2 6
1 2 1 2
3 3
5 5
e e e e
e e e e
t t t t
t t t t
x C C x C C
S y C C y C C
b)
3 3
1 3
2 2
3 3
e e
e
t t
S t
y
2 2
2 2
6 6
9 9
e e
e
t t
S t
entonces:
3 2
3 2 3 2 5 5
3 2
2 6
2 9 3 6 18 18 0
3 9
e e
e e e e e e
e e
t t
t t t t t t
t t
W
Como W 0 entonces S y 1 S2 son linealmente dependientes y no se puede construir la solución general a partir de ellas.
Definición 3
S es solución de un sistema homogéneo con coeficientes constantes si y sólo si AI 0. Donde i son los valores característicos asociados a la matriz A. Por lo tanto una solución del sistema está formada por Si Keit, donde
AI K
0.La solución de un sistema lineal depende de los valores característicos asociados a la matriz A de acuerdo a los siguientes casos:
Caso I: Valores característicos reales y distintos Caso II: Valores característicos reales e iguales Caso III: Valores característicos complejos
Caso I: Valores característicos reales y distintos
Si los valores característicos son reales y distintos entonces dos soluciones linealmente independientes las obtenemos como:
1 2
1 e t 2 e t
S K S K
K es el vector característico asociado a 1 y K es el vector característico asociado a 2.
Ejemplo 4: Determine la solución general del siguiente sistema:
2 3
2
dx x y
dt
dy x y dt
Solución:
En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:
2 3 2 3
2 1 2 1
S S A
A continuación obtenemos los valores característicos de A:
2 3 1 0 2 3 0 2 3
2 1 0 1 2 1 0 2 1
A I
2 2
2 3
0 2 1 6 0
2 1
2 2 6 0 3 4 0
Ecuaciòn caracterìstica
A I
Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general:
2 2
1 2
1 2
3 3 4 1 4
4 3 5
2 2 1 2
3 5 3 5
1 4
2 2
,
b b ac
a
Para obtener S tomamos el primer valor característico y aplicamos la 1 definición 3:
1 11
2 2
2 1 3 3 3
0 0 0
2 1 1 2 2
k k
A I K
k k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
3 3 0
2 2 0
k k
k k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
1 2 2 1 2 1
2k 2k 0 2k 2k k k
Asignamos un valor arbitrario a k y obtenemos 1 k . Es conveniente tomar un 2 valor pequeño para k , por ejemplo 1 k11 k2 1.
Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a 1: 1
K 1
Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S : 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
e t e t e t
S K S S
Para obtener S2 seguimos el procedimiento anterior:
1 12
2 2
2 4 3 2 3
0 0 0
2 1 4 2 3
k k
A I K
k k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
2 3 0
2 3 0
k k
k k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
23
1 2 2 1 2 1
2k 3k 0 3k 2k k k
Asignamos un valor a k , por ejemplo 1 k13(para que al hacer el producto por
2
3 se cancele el denominador así no trabajamos con fracciones:
2 2
3 3
2 1 2 3 2 2
k k k k
Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a 2: 3
K 2
Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S2:
2 4 4
2 2 2
3 3
2 2
e t e t e t
S K S S
Con S y 1 S2 podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2:
4
1 1 2 2 1 2
1 3
1 e t 2 e t S C S C S C C
También la podemos expresar como:
4 4
1 2 1 2
4 4
1 2 1 2
3 3
2 2
e e e e
e e e e
t t t t
t t t t
x C C x C C
S y C C y C C
Ejemplo 5: Determine la solución general del siguiente sistema:
2 4 3 dx x y dt
dy x y
dt
Solución:
En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:
1 2 1 2
4 3 4 3
S S A
A continuación obtenemos los valores característicos de A:
1 2 1 0 1 2 0 1 2
4 3 0 1 4 3 0 4 3
A I
2 2
1 2
0 1 3 8 0
4 3
3 3 8 0 4 5 0
Ecuaciòn caracterìstica
A I
Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general y obtenemos los valores característicos:
1 1 2 5
Para obtener S tomamos el primer valor característico y aplicamos la 1 definición 3:
1 11
2 2
1 1 2 2 2
0 0 0
4 3 1 4 4
k k
A I K
k k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
2 2 0
4 4 0
k k
k k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
1 2 2 1 2 1
2k 2k 0 2k 2k k k
Asignamos a k11 k2 1
Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a 1: 1
K 1
Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S : 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
e t e t e t
S K S S
Para obtener S2 seguimos el procedimiento anterior:
2
1 12 2
1 5 2 4 2
0 0 0
4 3 5 4 2
k k
A I K
k k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
4 2 0
4 2 0
k k
k k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
1 2 2 1 2 1
4k 2k 0 2k 4k k 2k
Asignamos a k11 k2 2k1 k2 2
Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a 2: 1
K 2
Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S2:
2 5 5
2 2 2
1 1
2 2
e t e t e t
S K S S
Con S y 1 S2 podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2:
5
1 1 2 2 1 2
1 1
1 e t 2 e t S C S C S C C
También la podemos expresar como:
5 5
1 2 1 2
5 5
1 2 2 1 2 2
e e e e
e e e e
t t t t
t t t t
x C C x C C
S y C C y C C
Caso II: Valores característicos reales repetidos
Si los valores característicos son reales y repetidos ( 1 2 ) entonces dos soluciones linealmente independientes las obtenemos como:
1 e t 2 e t e t
S K S K t Donde
AI K
0 y
A I
K .Ejemplo 6: Determine la solución general del siguiente sistema:
3 18 2 9
dx x y
dt
dy x y
dt
Solución:
En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:
3 18 3 18
2 9 2 9
S S A
A continuación obtenemos los valores característicos de A:
3 18 1 0 3 18 0 3 18
2 9 0 1 2 9 0 2 9
A I
2 2
3 18
0 3 9 36 0
2 9
27 3 9 36 0 6 9 0
Ecuaciòn caracterìstica
A I
Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general y obtenemos los valores característicos:
1 2 3
Para obtener S tomamos el valor característico y lo sustituimos en 1
A1I K
0
1 11
2 2
3 3 18 6 18
0 0 0
2 9 3 2 6
k k
A I K
k k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
6 18 0
2 6 0
k k
k k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
13
1 2 2 1 2 1
2k 6k 0 6k 2k k k Asignamos a k13 k2 13
3 k2 1Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a :
3 K 1
Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S : 1
3 3
1 1 1
3 3
1 1
e t e t e t
S K S S
Para obtener S2 procedemos de la siguiente forma:
Obtenemos aplicando
A I
K:
2
1 1 22 1 2
6 18 3
6 18 3
2 6 1
2 6 1
A I K
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de :
1
1 2 2 1 2
2 1
2 6 1 6 2 1
6
Asignamos a
11 2 2 6
2 1 1
1 6
Con estos resultados formamos el vector :
16
1
Aplicamos a continuación la definición para obtener S2:
3 3
2 2 1
6
3 1
e e t 1 e t e t
S K t S t
Con S y 1 S2 podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2:
3 3 3
1 1 2 2 1 2 1
6
3 3 1
1 e t 1 e t e t
S C S C S C C t
También la podemos expresar como:
3 3 3 3 3 3
1 2 2 1 2 2
3 3 1 3 3 3 1 3
6 6
1 2 2 1 2 2
3 e 3 e e 3 e 3 e e
e e e e e e
t t t t t t
t t t t t t
x C C t C x C C t C
S y C C t C y C C t C
3
1 2 2
1 3
1 6 2 2
3 3 e
e
t
t
x C C C t
y C C C t
Ejemplo 7: Determine la solución general del siguiente sistema:
6 5
5 4
dx x y
dt
dy x y
dt
Solución:
En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:
6 5 6 5
5 4 5 4
S S A
A continuación obtenemos los valores característicos de A:
6 5 1 0 6 5 0 6 5
5 4 0 1 5 4 0 5 4
A I
2 2
6 5
0 6 4 25 0
5 4
24 6 4 25 0 2 1 0
Ecuaciòn caracterìstica
A I
Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general y obtenemos los valores característicos:
1 2 1
Para obtener S tomamos el valor característico y lo sustituimos en 1
A1I K
0
1 11
2 2
6 1 5 5 5
0 0 0
5 4 1 5 5
k k
A I K
k k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
5 5 0
5 5 0
k k
k k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
1 2 2 1 2 1
5k 5k 0 5k 5k k k
Asignamos a k11 k2 1
Con estos resultados formamos el vector característico correspondiente a : 1
K 1
Aplicamos a continuación la definición 3 para obtener S : 1
1
1 1 1
1 1
1 1
e t e t e t
S K S S
Para obtener S2 procedemos de la siguiente forma:
Obtenemos aplicando
A I
K:
2
1 1 22 1 2
5 5 1
5 5 1
5 5 1
5 5 1
A I K
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de :
1
1 2 2 1 2
5 1
5 5 1 5 5 1
5
Asignamos a
61 2 2 5
5 1 1
1 5
Con estos resultados formamos el vector :
6 5
1
Aplicamos a continuación la definición para obtener S2:
2 2 6
5
1 1
e e t 1 e t e t
S K t S t
Con S y 1 S2 podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2:
1 1 2 2 1 2 6
5
1 1 1
1 e t 1 e t e t
S C S C S C C t
También la podemos expresar como:
1 2 2 1 2 2
6 6
5 5
1 2 2 1 2 2
e e e e e e
e e e e e e
t t t t t t
t t t t t t
x C C t C x C C t C
S y C C t C y C C t C
11 65 22 22
e e
t
t
x C C C t
y C C C t
Caso III: Valores característicos complejos
Si al resolver AI 0 resultan valores característicos complejos ( a bi) entonces dos soluciones linealmente independientes del sistema serán:
1 1cos 2sen ea t 2 2cos 1sen ea t
S bt bt S bt bt
Donde
AI K
0 y K 1 2i.Ejemplo 8: Determine la solución general del siguiente sistema:
2 8
2
dx x y
dt
dy x y
dt
Solución:
En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:
2 8 2 8
1 2 1 2
S S A
A continuación obtenemos los valores característicos de A:
2 8 1 0 2 8 0 2 8
1 2 0 1 1 2 0 1 2
A I
2 2
2 8
0 2 2 8 0
1 2
4 2 2 8 0 4 0
Ecuaciòn caracterìstica
A I
Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general y obtenemos los valores característicos:
1 0 2i 2 0 2i a 0 b 2
Para obtener S tomamos el valor característico y lo sustituimos en 1
A1I K
0
1
12
1
2
2 0 2 8
0 0
1 2 0 2
2 2 8
1 2 2 0
( )
( )
i k
A I K
i k i k
i k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
2 2 8 0
2 2 0
i k k
k i k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
2 2 i k
1 8k2 0 8k2
2 2i k
1 k2
14 14i k
1Asignamos a k14 k2
14 14i
4 k2 1 iCon estos resultados formamos el vector característico correspondiente a :
1
1 2
2
4 0 4 0 4 0
1 1 1 1 1
k i
K i i
k i
Aplicamos a continuación la definición para obtener S y 1 S2:
01 1 2
1
4 0
2 2
1 1
4 0
2 2
1 1
cos sen e cos sen e
cos sen
a t t
S bt bt t t
S t t
Para S2:
02 2 1
2
0 4
2 2
1 1
0 4
2 2
1 1
cos sen e cos sen e
cos sen
a t t
S bt bt t t
S t t
Con S y 1 S2 podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2:
1 1 2 2 1 2
4 0 0 4
2 2 2 2
1 cos 1 sen 1 cos 1 sen
S C S C S C t t C t t
También la podemos expresar como:
1 2
4 2 4 2
2 2 2 2
cos sen
cos sen cos sen
x t t
S C C
y t t t t
11 2
2
1 2
4 2 4 2
2 2
cos sen
cos sen
x C t C t
y C C t C C t
Ejemplo 9: Determine la solución general del siguiente sistema:
4 5
2 6
dx x y
dt
dy x y
dt
Solución:
En primer lugar expresamos el sistema en forma matricial para identificar la matriz de coeficientes:
4 5 4 5
2 6 2 6
S S A
A continuación obtenemos los valores característicos de A:
4 5 1 0 4 5 0 4 5
2 6 0 1 2 6 0 2 6
A I
2 2
4 5
0 4 6 10 0
2 6
24 4 6 10 0 10 34 0
Ecuaciòn caracterìstica
A I
Resolvemos la ecuación característica con la fórmula general y obtenemos los valores característicos:
1 5 3i 2 5 3i a5 b3
Para obtener S tomamos el valor característico 1 1 y lo sustituimos en
A1I K
0
11
2
1
2
4 5 3 5
0 0
2 6 5 3
1 3 5
2 1 3 0
i k
A I K
i k
i k
i k
Resolviendo el producto llegamos al siguiente sistema:
1 2
1 2
1 3 5 0
2 1 3 0
i k k
k i k
Como el sistema es dependiente entonces tomamos una de las ecuaciones y despejamos algún valor de k:
1 2 2 1 2 1
1 3 5 0 5 1 3 1 3
5
i
i k k k i k k k
Asignamos a
1 2
5 1 3
5
i
k k
5 k2 1 3iCon estos resultados formamos el vector característico correspondiente a :
1
1 2
2
5 0 5 0 5 0
1 3 1 3 1 3
k i
K i
k i
Aplicamos a continuación la definición para obtener S y 1 S2:
51 1 2
5
5 5
1 5 5
5 0
3 3
1 3
5 3 0 5 3
3 3 3 3 3 3
cos sen e cos sen e
cos e cos
e e
cos sen e cos e sen
a t t
t
t t
t t
S bt bt t t
t t
S t t t t
Para S2:
52 2 1
5 5
2 5 5 5
0 5
3 3
3 1
0 5 3 5 3
3 3 3 3 3 3
cos sen e cos sen e
e sen e sen
e cos e sen e cos e sen
a t t
t t
t t t t
S bt bt t t
t t
S t t t t
Con S y 1 S2 podemos formar la solución general de acuerdo a la definición 2: