Circuito RC (en corriente continua) Proceso de carga. Consideremos en el circuito de a R

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(1)

Circuito RC (en corriente continua) Proceso de carga

Consideremos en el circuito de la figura al capacitor totalmente descargado.

Supongamos que el interruptor M se conecta al punto "a" ¿Cuál será la corriente que se esta- blece en el circuito de una sola malla asi formado?

A través de cualquier sección transversal del circuito pasa una carga dq = i dt, el trabajo realizado por la fuente será E.dq y la energía térmica que se disipa en la resistencia será i2 R dt en tanto que la energía del capacitor será incrementada en un valor también diferencial igual a:

Entonces por el principio de conservación de la energía:

Hubiéramos llegado a la misma expresión aplicando el teorema de las mallas.

Basándose en esta ecuación podemos determinar la función de la carga respecto del tiempo.

Expresión que nos permite ver como evoluciona la carga en función del tiempo.

C dq dq q C q

d q → →



212 .

2

2 1

C iR q E Ci R q i dt Ei

dq C R q dt i Edq Cdq

Rdt q i

Edq = 2 + → = 2 + → = 2 + → = +

[ ]

) 1

(

ln )

ln(

0

0 0

RC t

RC q t

t q

e EC q

EC q e EC

EC q EC RC

q t RC EC

t q EC

dq RC

dt

q EC

dq RC

dt dt

RCdq q EC dt q

RCdq C EC

q dt Rdq E

=

= −

− →

=

=

− →

=

= −

=

→ +

=

→ +

=

∫ ∫

q

t

a

b i

R

C E

M

(2)

Podemos representar la fracción de carga con relación a la carga máxima qo = E.C en función del tiempo medido en términos de la constante de tiempo RC.

q/qmax.100% t

0,0 0

39,3 0,5 RC 63,2 1,0 RC 77,7 1,5 RC 86,5 2,0 RC 91,8 2,5 RC 95,0 3,0 RC 97,0 3,5 RC 98,2 4,0 RC 98,9 4,5 RC 99,3 5,0 RC

Se comprende que en el proceso de carga la corriente inicial debe ser elevada ya que el capacitor se encuentra totalmente descargado y las cargas concurren de la batería hacia en capacitor, pero esta corriente va produciendo una caída de tensión proporcional a ella en la resistencia, por lo que la tensión en los bornes del capacitor ira aumentado al igual que la carga comenzando desde cero, obsérvese que la carga del capacitor va aumentado con un ritmo cada vez menor.

También veremos como evoluciona la tensión en los bornes del capacitor:

Lo cual nos indica que es una evolución idéntica a la de la carga, por otro lado la corriente evolucionara según la siguiente ecuación:

% 100 ).

1 (

% 100

. RC

t

EC e

q

=

0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0

0 1 2 3 4 5 6

Aquí se representa el porcentaje de carga máxima que alcanza el capacitor en función de las constantes de tiempo.

) 1

( RC

t

C

C V E e

C

V = q → = −

(3)

Además la caída de tensión en la resistencia será:

Representemos en un mismo gráfico como evolucionan todos los parámetros en el proceso de carga, en función del tiempo medido en términos de constantes de tiempo:

q/qmax.100% VC/E.100% i/imax.100% VR/E100% t

0,0 0,0 100,0 100,0 0

39,3 39,3 60,7 60,7 0,5 RC

63,2 63,2 36,8 36,8 1,0 RC

77,7 77,7 22,3 22,3 1,5 RC

86,5 86,5 13,5 13,5 2,0 RC

91,8 91,8 8,2 8,2 2,5 RC

95,0 95,0 5,0 5,0 3,0 RC

97,0 97,0 3,0 3,0 3,5 RC

98,2 98,2 1,8 1,8 4,0 RC

98,9 98,9 1,1 1,1 4,5 RC

99,3 99,3 0,7 0,7 5,0 RC

Observamos que el proceso de carga se ha realizado casi completamente para un tiempo igual a cuatro constantes de tiempo, en ese tiempo la carga y la tensión del capacitor son máximas, en tanto que la corriente y la caída de tensión de la resistencia son nulas. Para estudiar el proceso de carga con carga inicial en el capacitor, ver el punto final del capitulo presente.

Proceso de descarga

Supongamos ahora que con el capacitor plenamente cargado pasamos el interruptor M a la posición "b", se iniciará el proceso de descarga del capacitor, podemos estudiar el proceso desde el punto de vista energético, considerando que la carga del capacitor se va transformando en energía térmica en la resistencia, hasta agotarse completamente:

RC RC

RC e

R i E RC e

EC i e

dt EC d dt

i dq → =



−



 

−

=

→



 −

=

= 1

) 1

(

RC t

R

R iR V Ee

V = → =

a

b i

R

C E

M

R i C qdq

1 2

=

(4)

O bien podemos plantear la segunda ley de Kirchhoff para la malla, llegando a la misma ecuación básica:

Representado la función de la carga obtenemos:

Luego la tensión en los bornes del capacitor variara de la misma forma que a carga:

Además, la corriente será:

Finalmente la caída de tensión en la resistencia tendrá la misma forma de variación que la corriente que la atraviesa:

Representemos en un mismo gráfico como evolucionan todos los parámetros en el proceso de carga, en función del tiempo medido en términos de constantes de tiempo:

[ ]

RC t RC

t

q

q

t q

q

e q q q e

q

q q RC

q t RC

t q

dq RC

dt q

dq RC R dt

dt dq C iR q

C q

C iR q

→ =

=

=

=

=

=

=

=

= +

∫ ∫

0 0

0 0

ln ln

0

0 0

q

t q

0

RC t

C

C e

C V q C

V = q → = 0

RC t RC

t

R e i V CV q pero

RCe i q

dt i dq

=

=

=

=

0 0

0

0

RC t

R

R iR V V e

V = → =− 0

(5)

100,0 100,0 100,0 100,0 0

60,7 60,7 60,7 60,7 0,5 RC

36,8 36,8 36,8 36,8 1,0 RC

22,3 22,3 22,3 22,3 1,5 RC

13,5 13,5 13,5 13,5 2,0 RC

8,2 8,2 8,2 8,2 2,5 RC

5,0 5,0 5,0 5,0 3,0 RC

3,0 3,0 3,0 3,0 3,5 RC

1,8 1,8 1,8 1,8 4,0 RC

1,1 1,1 1,1 1,1 4,5 RC

0,7 0,7 0,7 0,7 5,0 RC

Comparación

a iR

b i

C E

q

VC

a iR

b i

C E

q

VC

(6)

Problemas

Problema 1

En cuanto tiempo en términos de la constante de tiempo un capacitor alcanza el 99% de su carga máxima.

Si n es el número de constantes de tiempo, tendremos que t = n RC, luego:

Problema 2

¿Qué valor de resistencia debe conectarse en serie con un capacitor de 100 µF para que se cargue al 98% de su voltaje máximo en 3 segundos?

Observando la tabla del proceso de carga tenemos que el 98% de la tensión máxima se obtiene para 4 RC, es decir cuatro constantes de tiempo.

Problema 3

Una resistencia de 10.000 ohm se conecta en serie con un capacitor, y se les aplican 10 voltios, si la tensión en el capacitor alcanza el valor de 5 voltios en 1 µseg. ¿Cuál es la capacidad del capacitor?

Primero debemos determinar en cuantas constantes de tiempo se alcanza el 50% de la tensión aplicada.

Luego tenemos t =nRC, entonces:

Problema 4

Un capacitor de 2 µF tiene una fuga entre sus placas de modo que la diferencia de potencial entre sus bornes disminuye a un cuarto en 2 segundos. ¿Cuál es la resistencia equivalente entre sus placas?

) 1

( RC

t

max e

q

q= −

6 . 4 100 ln 01

, 0 1

99 , 0

1− → = − → = → = =

= e e e n

q

q n n n

max

=

→ Ω µ =

=

=

= M R K

F seg C

R t RC

t 0,0075 7,5

100 . 4

. 3 4 4

7 , 0 2 ln 1

5 , 0

1− → = − → = =

= e e n

V

V n n

max

pF seg F

nR

C t 0,000014 14

10000 . 7 , 0

. 1 ,

0 = µ =

= µ

=

38 , 1 4 ln 25

, 4 0

1 = → = → = =

=e e e n

V

V n n n

max

(7)

Problema 5

Un circuito RC se descarga cerrando el interruptor al tiempo t=0 la diferencia de potencial inicial en el capacitor es de 100 volt. Si la diferencia de potencial a disminuido 1 volt en 10 segundos. ¿Cuál es la diferencia de potencial 20 segundos después?, ¿Cuál es la constante de tiempo del circuito?

Problema 6

A través de una resistencia de 1 Mohm, se descarga un capacitor de 1 µF, si la energía almacenada era d e1 0,5 Joule, a)¿cuál era la carga inicial del capacitor?, b) ¿cuál la corriente inicial en el proceso de descarga?, c)¿cuál es función del tiempo la energía disipada en la resistencia?.

Gratifiquemos la función de la energía térmica disipada en la resistencia y comparémosla con la de la corriente:

Ω µ =

=

=

= M

F seg nC

R t nRC

t 0,72

2 . 38 , 1

. 2

volt V

e V

e V V

RC RC e

V e V

RC t

max

RC RC

t

max

98 .

100

01 1004 , 1 ln

10 01 10

, 1 100 ln

99

1004 20 10

=

=

=

=

=

=

=

=

RC t RC

t

inicial inicial

inicial C

V R R e

R V i

M A volt R

i V F volt

C C

V q

Coulomb J

F q

CU C q

U q

2 2 0 2

0 2

2

Re

2 , 1 3

2 , 2 3

, 1 3

, 0

32 , 0

32 , 0 5 , 0 . 1 , 0 . 2 2 2

1

 →



=

µ Ω =

=

=

→ µ =

= µ

=

µ

= µ

=

=

=

Energía térmica

Corriente

(8)

Problema 7

Un condensador C1 = 1 µF se carga con 1000 µ C. A continuación se unen sus terminales con una resistencia de 1,5 MΩ . Al cabo de 1,5 seg. se agrega otra resistencia, de 1,5 MΩ en paralelo con la anterior. Calcular el tiempo que tarda el condensador en perder el 90% de su carga.

. 632 )

1 .(

1000

5 , 1 1

5 , 1 ...

)...

1 (

5 . 1 5 , 1

C e

C q

seg F

M RC

con e

q q

t MAX

µ µ

µ τ

τ

τ

=

=

= Ω

=

=

=

Durante el primer segundo y medio la carga bajo a 632 µ C luego se conecta la segunda resistencia en paralelo y cambia la constante de tiempo y debe calcularse el tiempo en que el capacitor descarga el 90% de la carga inicial, es decir que queda con un valor de 100 µ C

seg t t

e C e

e C e

C C

t

t t

t

13 , 0 1879 , 1 ln . 75 , 0 1879

, 1 75 ln , 0

1879 , 84 1

, 0

1 1

632 1 100 )

1 ( 632

100 0,75

75 , 0 75

, 0 75

, 0

=

=

=

=

=

=

=

µ µ µ

µ

Por lo tanto el tiempo total es 1.5+0,13=1,63 segundo.

Problema 8

Calcular la carga final que tendrá el condensador de la figura. ¿Cuánto tardará en captar el 95% de la misma?

segundos T

t

T e t

e e

e

pC pF

volt q

tT tT

tT tT

MAX

00012 , 0 95 , 2 . 10 . 50 . 800 20 ln

20 05 ln

, 0 95 1

, 0 1 1 1

95 , ) 0 1

.(

1 95 , 0

500 50

. 10

12 =

=

=

=

=

→=

=

=

=

=

=

(9)

Carga de un capacitor con una resistencia en paralelo

Resolver primero en forma general y luego para el caso particular de los valores dados. Supóngase el capacitor inicialmente descargado.

C q R t q R

q E R C

I E

R R

R R I

R E R

I E

R E R E R

TH TH

TH TH

TH

CC TH TH

CC TH

1 . 1

2 1

2 1 1

2 1

2

∂ +

= ∂

→ +

=

= +

=

=

= +

Esta ecuación diferencial tiene la misma estructura que la considerada inicialmente que nos condujo a la expresión de la función de carga para el capacitor, así que por desarrollo semejante se obtiene:



 



 

 + −

 =

 

=

+

C

R R

R R

t C

R t

TH

e

R R

CE e R

C E

q

TH 1 2

2 1

1 1

2 1

2

La función de la carga instantánea nos permite obtener la función de la tensión entre los bornes del capacitor que es la misma que entre los bornes de la resistencia R 2.



 



 

 + −

 =

 

=

=

+

C

R R

R R

t C

R t TH

C

e

R R

E e R

C E

V q

TH 1 2

2 1

1 1

2 1

2

En base a la primera función podemos deducir la ecuación de la corriente en el capacitor y en base ala segunda función deducimos la ecuación de la corriente en la resistencia R 2.

R1

R2

C E

R1= 0,1Mohm R2= 0,4Mohm C =10µF E =300volt

(10)

( )

C R R

R R

t

C

C R

t

TH C TH

R t

TH TH

C

R e i E

R e e E

C C R

t E

i q

TH TH

2 1

2 1

1

1 1

+

=

 =

 

 

 

 −

∂ =

= ∂



 



 

 + −

 =

 

=

=

+

C

R R

R R

t C

R t

C TH

e

R R e E

R E R

i V

TH 1 2

2 1

1 1

2 1 2

2 2

Luego la corriente que circula por R 1 será en todo instante la suma de estas dos anteriores.

( ) ( )

( )

( )



 



 

 + +

=



 



 

 + +

=



 



 

− + + +

=

 

 



 



 

− +

+ +

=



 



 

 + − +

= +

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

R C R

R R

t R C R

R R

t

R C R

R R

t R C

R R R

t R C

R R R

t

R C R

R R

t R C

R R R

t

R C R

R R

t R C

R R R

t

C

R e R R

R i E

e R R R

R R i E

e R R e

R e

R R R R i E

e R

e R R R

R R i E

R e R e E

R i E i i

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1 2

1 2 1 2

1 2 1

2 1

2 1 2

1 2 1

2 1

2 1 2

1 2 1

1 2 2

1 1

2 1 2 1 1 1

1 1 2

1 2 1 1 1

1 2

1 2

1 1 1

2 1 1

2 1

1

1

1

(11)

Se observa claramente que en el instante inicial el capacitor se comporta como un cortocircuito de modo que la corriente en la resistencia R 2 es nula la corriente en la R 1 es idéntica a la que circula por el capacitor, durante el proceso de carga aumenta la corriente 2 y finalmente con el capacitor plenamente cargado se comporta como un circuito abierto, la corriente permanente y el valor al que se carga el capacitor serán:

2 1

2 ,

2 1

. R R

R V E

R R I E

CAPACITOR MAX

permanente

= +

= +

Energía perdida en el proceso de carga

Evaluar la potencia que se pierde por efecto Joule en el proceso de carga de un capacitor.

potencia R

R e R E i p R e

i E

RC

t RC

t

...

2

2

 

 

= 

=

=

La potencia instantánea es variable porque la corriente también lo es.

) 2 1 2 ( 2 lim

2

2 0 2

2 2 2

0 2 2

0 2

0

2 2

0

C W E

C e E

C e W E

RC e R

e E R t E R R e

t E p W

RC RC

a a

RC t RC

t RC

t

=

 =

 

 −

=

 

 

 −

=

=

 ∂

 

= 

=

E/R1

E/(R1+R2)

I c I 2 I 1

(12)

Este valor de energía es exactamente igual a la que se acumula en el capacitor, por lo tanto la energía que se pierde en el proceso de carga por efecto Joule es igual a la que queda acumulada en el capacitor, en tal sentido el proceso de carga tiene un rendimiento del 50%. Esto es independiente del valor de la resistencia, un valor mas pequeño hará que la carga sea mas rápida pero la energía total “perdida” será la misma.

La inductancia

(13)

Al cerrarse el interruptor comienza a circular una corriente i y se puede plantear la ecuación de la malla por la segunda ley de Kirchhoff.





 −

=

=

=









 −

=

 

− 



 

 −

 =

 

 −

 =

 

 −

=

→ ∂

=

→ ∂



 

 −

∂ =

→ ∂

∂ + ∂

=

→

 

− ∂

=

=

= +

t L R

Lt R

i t i

i L L

R e i E

Re i E R t E L R

R E R i E Lt

R R

i E R E

Lt i R

R t E

L i R R t E

L R R i

E t i L R R i

E i

R i R E t L i t L i iR t E

L i iR E e iR E iR e E

1

ln ln

ln

ln ln

0 0

0 0

R L

E

I

E/R i

t

4 T = L / R

(14)

La ecuación de la Fem. Autoinducida será:

( )

Lt

R L

Lt R

L

e e E e

L R R

EL t

L i

e 

→ = −

 

 −

∂ =

− ∂

= 1 . .

Pero que ocurre cuando se desconecta el interruptor?

[ ]

Lt t R

L t R

L R Lt t R

L R

i i t

i

i L

e i R e e

L i L R e

t i t L

L i e

e i i i e

i

L t R i

t i L i R L t

R i

t i L R i

i

t iR L i t L i t iR

L i iR

e iR

=

 →

 

 −

 =

 

− ∂

∂ =

− ∂

=

=

=

 =

 

→ 

=

∂ =

∂ =

∂ =

→ ∂

∂ + ∂

=

 →

 

− ∂

=

=

0 0

0 0 0

0 0

. ln ln

0 0

0

0 0

E

e

L

i

t

e

i

t

(15)

A Fem. siempre se opone a la causa que la genero (cumpliendo la Ley de Lenz), cuando se conecta la fuente se opone a la circulación de corriente, retardándola, pues la

“causa que la genero” es el aumento de corriente, pero cuando se desconecta la fuente, invierte su sentido retardando la extinción de la corriente.

Energía acumulada en el capacitor y en la bobina

En cualquiera de los dos casos se puede obtener la energía acumulada en el campo eléctrico, en el primer caso, y en el campo magnético en el segundo caso, por la diferencia de la energía entregada por la fuente, menos la disipada por efecto Joule.

( )

2

2 2

2

0 2 2

2

0 2

0

2

0

0 2 0

2 ... 1

...

2 1 1 1

2 . .

.

. .

.

CE U

t con

e C E e

C E U

e RC R R

e E R RC

U E

dt R R e

dt E R e

E E U

R e i E dt R i dt i E U

C

RC t RC

t C

t RC t t

RC t C

t

RC t t

RC t C

RC t t

t C

=

 

 

 −

 +

 

 −

=

 

 

 −

=

 

 

− 

=

=

=

Que resulta la conocida formula de electrostática

E E /R

-E

e

i

(16)

2 2 2

2

2 2

2

2 2

0 2

0 2

0 2

0 0

2

0 0

2

0

2

0

0 2 0

2 1 2

1 1 ...

...

2 1 1 1

2 1 1 2

. 1

. 1

.

1 .

. .

R L E R U

L E U

t con

e R e

L U E

R e e L

R L R

dt E e dt R e

U E

dt e

dt e R dt

dt E e R dt

U E

dt R R e

dt E R e

E E U

R e i E dt R i dt i E U

L L

L t t R

L R L

L t t R

L t R

Lt t R

Lt R L

t t

L R

t t

L R t

t t

L R t

L

t t

L R

t t

L R L

Lt R t

t L

=

 →

 

 −

=

 

 

 

 

 −

 +

 

 −

=

 

 

 

 

 −

 +

 

 −

 =

 

 −

=

 

 

 − +

 −

 

 −

=

 

 

 

 

 −

 −

 

 −

=

 

 

 −

=

=

Pero como E2 / R2 es la corriente máxima del circuito tenemos

.

2

2 1

MAX

L

L I

U =

Modelo matemático para la resolución de circuitos transitorios de primer orden para tensión continua

I- Circuito RC

T t FINAL C INICIAL C

FINAL C

C

V V V e

V =

,

+ (

,

,

).

) ...

...

...

...

...

...

...

(

) 0 (

) (

, ,

capacitor del

extremos los

desde ve

se que R

R

C R T

t V V

t V V

TH EQ

EQ C INICIAL C

C FINAL C

=

=

=

=

=

(17)

Aplicar el modelo para encontrar las ecuaciones de la carga de un capacitor inicialmente descargado y conectado a una fuente de corriente continua.

 

 

 −

=

− +

=

− +

=

RC t C

RC t C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

e E

V e

E E

V

e V

V V

V

. 1 . ).

0 (

).

(

, ,

,

Con le ecuación anterior se pueden obtener todas las damas

RC t R

RC t

RC t

e E R i V

R e E t i q

e C

E C E q

=

=

∂ =

= ∂

 

 

 −

=

=

. .

. 1 . . .

Obsérvese que las ecuaciones coinciden perfectamente con las encontrada en el comienzo del capitulo.

Problema 10

Aplicar el modelo para encontrar las ecuaciones de la descarga de un capacitor inicialmente cargado y conectado a una resistencia.

R

C q0 = C. V0

R

E C

q0 = 0

(18)

RC t C

RC t C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

e V V e

V V

e V

V V

V

=

− +

=

− +

=

. ).

0 ( 0

).

(

0 0

, ,

,

Con le ecuación anterior se pueden obtener todas las damas

RC t R

RC t

RC t

e V R i V

R e V t

i q

e C V C E q

=

=

∂ =

= ∂

=

=

. .

. . .

0 0 0

Obsérvese que las ecuaciones coinciden perfectamente con las encontrada en el comienzo del capitulo.

Problema 11

Aplicar el modelo para encontrar las ecuaciones de la carga de un capacitor inicialmente descargado y conectado a una fuente de corriente continua a través de dos resistencias.

( )

2 1

2 1 2 1

2

2 1

2 2

1 2

, ,

,

...

1

. 0

.

R R

R R R

donde

R e R

E V R

e R E

R E R

R R V R

e V

V V

V

EQ

C R

t

C

C R

t

C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

EQ

EQ

= +

 

 

 + −

=

 

 

− + + +

=

− +

=

R 1 C

E

q0 = 0 R 2

(19)

 

 

 

 

 + −

 =

 

 + −

=

=

+

=

 →

 

 + −

=

=

=

+

= +

= +

= ∂

 

 

 + −

=

=

C R

t C

R t C

R

C C

R t C C

R t C

C R

t C

R t

EQ C

C R

t C

EQ EQ

EQ EQ

EQ EQ

EQ

R e R

E E R

R e R

E E R

V E V

i i i R e

R E R

i V R e

i E

C e R R

R R R R

EC e R

C R R R

EC R t

i q

R e R

EC C R

V q

1 1

1

1 1

1

2 1

2 2

1 2 1

.

2 1

2 1 2 2 1

2 1

2 1 2 1

2 2

1 2

2 1

2

Problema 12

Obtener la tensión VC en el condensador si se aplica una intensidad como la mostrada en la grafica siguiente.

Intervalo (-∝, 0) puesto que la corriente se mantuvo siempre nula no existió proceso de carga ni de descarga, por lo tanto VC = 0

Intervalo (0, 2)

2 2

0 0

0

0

4 3 4

. 3 2 3 1

1 .

0

C t V

C t V

t C t

V V

t C i t V

C V t i q

C t

C

V t

V C C

C

=

→ +

=

∂ +

=

=

∂ →

= ∂

= ∂

(20)

Al cabo de dos segundos la tensión en el condensador es de 1,5 volt.

Intervalo (2, 5)

( ) t

C V C

C t C t

V

C t V

t C i V

V

C t

C

t t

C

1 5 2

, 1 1 2

5 , 1 1

5 , 1

).

1 1 ( 1 .

2

2 0 2

0

− +

=

→ +

− +

=

− +

=

− +

=

∂ +

=

→ ∫ ∫

La tensión del condensador a los cinco segundos es cero.

Intervalo (5, ∝)

La tensión en el condensador permanece en cero.

Problema 13

Obtener la tensión VC en el condensador si se aplica una intensidad como la mostrada en la grafica siguiente.

En el intervalo que va desde menos infinito hasta cero, la tensión en el condensador es nula, por las consideraciones del problema anterior.

1 2 3 4 5

1 2

1,5

t VC

(21)

( )

 

 −

 =

 

 − +

=

− +

=

=

∂ →

= ∂

= ∂

2 2

0 0

0

0

2 1 1

2 1 . 1

1 1

1 .

0

t C t

t C t

V t C t

V V

t C i t V

C V t i q

t C

V t

V C C

C

Por lo tanto la tensión en el condensador al segundo es igual 0,25 volt.

Intervalo (1, 2)

Como la corriente se mantiene en cero durante todo el intervalo la carga del condensador permanece invariable, así la tensión en el condensador a los dos segundos es 0,25 volt.

Intervalo (2, 3)

( )

( 4 2 )

2 25 1 , 0

2 2 2

1 . 1

1 2

2

2 0

2 0

+

− +

=

 

 

 − +

+

=

− +

= ∫

t C t

V

t C t

V t C t

V V

C t C

La tensión en el condensador a los tres segundos será 0,5 volt

A partir de los tres segundos la tensión en el condensador permanece constante.

0,5 1 1,5 2 3

0,25 2

t VC

2,5

(22)

Problema 14

Calcular la tensión en el condensador para t > 0

Si K lleva mucho tiempo en la posición 1, el capacitor se encuentra cargado al valor 10 volt. Al pasar a la posición 2, el capacitor se cargara en cierto tiempo a la atención de 20 volt, aplicando el modelo tenemos:

(

t

)

t C

t C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

e e

V e

V

e V

V V

V

=

=

− +

=

− +

=

2 10 .

10 20 ).

20 10 ( 20

).

(

, ,

,

Obsérvese que a los dos segundos que es el tiempo en el que K retorna a la posición 1 la tensión en los bornes del capacitor es de 18,65 volt.

Ya con la llave K en posición 1 tenemos la ecuación siguiente

(

t

)

t C

t C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

e e

V e

V

e V

V V

V

=

=

− +

=

− +

=

2 10 .

10 20 ).

20 10 ( 20

).

(

, ,

,

Problema 15

(23)

( )

( )

seg t

e volt V

para

e V

e V

seg t

e volt V

para

e V

e V

t C

t C

t C

t C

t C

t C

FINAL C INICIAL C FINAL C C

69 , 0 10 1

15 ln 1 10 1

15 15 ...

1 10 ).

10 20 ( 10

09 , 1 30 1 20 ln 1 30

1 20 20

...

. 1 . 30 ).

30 0 ( 30

, ,

,

=

=

=

=

+

=

− +

=

=

=

=

=

=

− +

=

El tiempo total transcurrido es de 1,78 seg.

Problema 16

Hallar la ecuación de la tensión en el capacitor para todo tiempo >0.

Es evidente que si el interruptor que conecta el capacitor con la fuente de tensión estuvo conectado suficiente tiempo el capacitor al momento t = 0

Cuando se conecta la fuente de corriente (y se desconecta la de tensión) el capacitor finalmente se carga al valor I0 R, ya que el capacitor esta en paralelo con la resistencia

RC t C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

e R I V R I V

e V

V V

V

− +

=

− +

=

).

(

).

(

0 0 0

, ,

,

Si se quiere resolver el circuito por ecuaciones diferenciales llegamos al mismo resultado.

(24)

II- Circuito RL

T t FINAL L INICIAL L

FINAL L

L

I I I e

I =

,

+ (

,

,

).

) ...

...

...

...

...

...

...

(

) 0 (

) (

, ,

capacitor del

extremos los

desde ve

se que R

R R T L

t I I

t I I

TH EQ

EQ L INICIAL L

L FINAL L

=

=

=

=

=

V0

I0 R

t

(25)

Calcular la ecuación de la corriente en la bobina

T t FINAL L INICIAL L FINAL L

L

I I I e

I =

,

+ (

,

,

).

(

t

)

L T

t

L e I e

I =10+(0−10). → =101− 10.

Esta ecuación es valida desde el momento en que se cierra K 1 hasta los 0,2 segundos.

Es claro que a los dos segundos la corriente en la bobina toma el valor 1,8 Amperes.

Luego al abrirse K 2 tenemos:

t L

t

L e I e

I =1,67+(1,8−1,67). 60. → =1,67+0,13. 60.

Problema 18

Calcular la ecuación de la corriente en la bobina

Si K lleva mucho tiempo abierto la corriente en la bobina se estabilizo en 1 Amper.

t L

t

L

e I e

I = 0 , 25 + ( 1 − 0 , 25 ).

40.

→ = 0 , 25 + 0 , 75 .

40.

Para cuando se vuelve a abrir K la corriente en la bobina alcanzo los 0,59 Amperes.

(26)

t L

t

L

e I e

I = 1 + ( 0 , 59 − 1 ).

60.

→ = 1 − 0 , 41 .

60.

Anexo

Hace unos días un alumno me planteo el siguiente problema: los dos circuitos son similares pero el no entendía claramente la diferencia entre ellos y menos plantear correctamente las ecuaciones.

Caso de la fuente de corriente:

En el primer circuito la alimentación continua esta dada por una fuente de corriente de valor constante, esto quiere decir que la corriente que provee la fuente es siempre la misma, y se derivara en cantidades variables por la resistencia y la capacidad. En el instante inicial el capacitor descargado actuara como un cortocircuito, por lo tanto por circulara toda la corriente de la fuente, y por lo tanto la tensión aplicada a la resistencia (y al capacitor) será nula. Pero finalmente cuando el capacitor se haya cargado totalmente se cargara al valor I0 . R que es máximo valor posible de tensión en el circuito. Por lo tanto aplicando el modelo matemático con el que estamos trabajando tendremos:





 −

=

− +

=

− +

=

T t C

T t C

T t FINAL C INICIAL C FINAL C C

e R I V e

R I R

I V

e V

V V

V

. 1 ).

0 (

).

(

0 0

0

, ,

,

Con T igual a R . C , de la ecuación anterior se deducen todas las demás muy fácilmente:

1 A

0,59 A

0,25 A

0,02 seg.

R

C I0

R

C E0

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