Resumen. Matemáticas para Bachillerato. R E S U M E N M a t e m á t i c a s B a s a d o P r o g r a m a d e E s t u d i o s p a r a I V y V a ñ o

Resumen Matemáticas

para

Bachillerato

Rebeca Ovares Araya

ALGEBRA

Conjunto de los números reales (

R

): La unión de los números racionales con los irracionales Números Naturales (

N

): {1, 2,3,...}.

Números Enteros (

Z

): {...,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Números Racionales (

Q

): { / a es entero y b es entero, b ≠ 0}. Expansión decimal finita e infinita periódica.

Números Irracionales (

I

^{): {} , π, etc.…) Expansión decimal infinita no periódica.

PROPIEDADES DE LA ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Propiedad adición multiplicación

Conmutatividad a + b = b + a a • b = b • a

Asociatividad (a + b) + c = a ( b + c) (a • b) • c = a • (b • c)

Elemento neutro a + 0 = a a • 1 = a

Inverso a + (-a) = 0 a • = 1 (si a ≠ 0 )

Distributividad a • (b + c) = a • b + a • c, también (a + b) • c = a • c + b • c

Notas:

0 = Neutro aditivo 1 = Neutro Multiplicativo

= Inverso multiplicativo de a o recíproco de a -a = Inverso aditivo de a u opuesto de a

(a-b)= Diferencia o resta de a y b

( , o también a b) = Cociente de a y b

OTRAS PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON NÚMEROS REALES 1) Si a = b y c = d, a + c = b + d y a • c = b • d

2) Si a = b, entonces a + c = b + c y a • c = b • c 3) a • 0 = 0

4) Si a • b = 0, entonces (a = 0) o (b =0)

Pasos para realizar operaciones combinadas:

1) Realizamos las operaciones dentro del paréntesis utilizando el siguiente orden:

2) Multiplicaciones y divisiones. (De izquierda a derecha).

3) Sumas y restas (De izquierda a derecha) Ejemplo: (5 – 6) (4-3 • 2) + 3[2 - 3 • (-3 + 6)]=

-1 • -2+3 [2-3 • 0+6] = 2+3[2-0+6]=

2+3 • 8= 2 + 24=

Reglas para operaciones con signos

Para a y b números reales cuales quiera que sea:

 -(-a) = a

 (-a) b = -(ab) = a (-b)

 (-a) (-b) =ab

 (-1) a =–a

 -( a + b )= -a –b Operaciones con Fracciones

Si a y b son números reales, con b≠0, entonces: = = -

Podemos cancelar factores comunes: = (sabiendo b≠0, c ≠0) o Simplificación de la fracción = =

o Amplificación de la fracción = =

o Si una fracción no se puede simplificar la conocemos como irreducible.

Multiplicación de Fracciones: • =

División de Fr4acciones: =

Adición y sustracción de fracciones: + = o + =

Valor Absoluto

Es la distancia a la cual se encuentra el el punto correspondiente a 0 y se denota por Por ejemplo: = 4, = 3, = -( )=

Exponentes

Estudiaremos el significado de expresiones de tipo aⁿ , llamadas potencias.

Exponentes Naturales

Dados un número real a y un número natural n, definimos la potencia de base a y exponente n de la siguiente manera:

POTENCIA aⁿ CON n NATURAL

 Si n = 1, entonces a¹ = a

 Si n = 2, entonces a² = a•a

 Si n = 3, entonces a³ = a•a•a

 Y así sucesivamente, aⁿ = a•a•a…….a(n veces a como factor)

Exponentes Enteros

Considerando igualmente exponentes negativos y cero. Siendo n un número real, tenemos lo siguiente:

POTENCIA aⁿ CON n ENTERO

 Si n es positivo, entonces aⁿ se define como en el cuadro anterior.

 Si n = 0, entonces a⁰ = 1, siempre que a ≠0.

 Si n = -1, entonces a^-1 = , siempre que a ≠0.

 Finalmente si “n” es positivo, entonces n = -m con “m” positivo y definimos a^-m = 1/ a^m, siempre que a ≠0.

 Las expresiones 0⁰, 0^-1y 0ⁿ si “n” es negativo, no se definen.

POTENCIA aⁿ CON n ENTERO

Consideremos x, y números reales y n, m números enteros.

 xⁿ x^m= x ^{n + m} (para multiplicar potencias de igual base se conserva la base y se suman los exponentes)

 (xⁿ )^m= x ^{n m} (para elevar a potencia una potencia se conserva la base y se multiplican los exponentes)

 = x ^{n -m}(para dividir potencias de igual base se conserva la base y se restan los exponentes)

 (x y)ⁿ= xⁿ yⁿ (la potencia de un producto es igual al producto de la potencia.)

 = (la potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia.)

Ejemplo1: ( x³ y² )⁴ (x⁴ y )^-1

( x³ y² )⁴ (x⁴ y )^-1 = (x^{3 • 4} y^{2 • 4}) (x^{4 • -1} y^{1• -1})

= x¹² y⁸ x^-4 y^-1

= (x¹² x^{- 4} ) (y⁸ y^-1)

= x^{12 +- 4} y^{8 + -1}

= x⁸y⁷

Ejemplo2:

=

= ( ) =

=

Radicales

Raíz Cuadrada: En general, dado un número real positivo X, la raíz cuadrada de x es un número real positivo p tal que p² = X. La expresión se lee: “raíz cuadrada de x”

Ejemplos:

A. = 4, pues 4² =16 B. = , pues =

C. = 0,03, pues (0,03)² = 0,0009 Raíces n – ESÍMAS

Sea X un número real y n un número natural mayor que 1. Entonces:

RAÍZ ENESIMA

Si “n” es un número par y x es positivo o cero, la raíz n-ésima de x es el número real positivo, o cero, p tal que pⁿ= x

Si “n” es un número impar y x es cualquier número real, la raíz n-ésima de x es el número real p tal que pⁿ = x.

En ambos casos escribimos:

= p

Si n=3, la expresión se lee: “raíz tercera de x” o “raíz cúbica de x”

Si n=4, la expresión se lee: “raíz cuarta de x”.

Si n=5, la expresión se lee: “raíz quinta de x”.

La expresión se lee: “raíz enésima de x”.

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

La expresión se llama radical; n recibe el nombre de índice del radical y x se llama subradical.

Consideremos x, y números reales y n, m, k números enteros positivos.

1. =

2. = = 3. =

4. =

5. = =

6. = si n es impar.

7. = si n es par.

8. =

EXPONENTES FRACCIONARIOS

Veremos el significado de , para POTENCIA DE EXPONENTE FRACCIONARIO

Sea un número racional, donde es una fracción irreducible y sea ; definimos , la potencia de base y exponente , de la siguiente manera.

, = Es decir, es igual a la raíz – ésima de . Ejemplos:

a) = = = = 8•2 = 16

b) = = = =

c) = = =

Expresiones Algebraicas

La adición, sustracción, multiplicación y extracción de raíces son conocidas como operaciones algebraicas. Cualquier combinación que resulte de operar con números, ya sean representados por los símbolos correspondientes o por letras, es conocida como expresión algebraica. Las siguientes son expresiones algebraicas:

a. 3x² + 5x + 10 b. + 8ª – 3b c.

En las expresiones algebraicas podrán aparecer números explícitos; estos reciben el nombre de constantes en la expresión. La letra puede ser constante o variable, cuando decimos que una letra es constante es porque su valor, aunque sea arbitrario, no cambiará a través de la discusión de la situación o problema; sin embargo cuando hablamos de una variable esta es una letra que puede ser sustituida por cualquier número que pertenezca a cierto conjunto de

números. El conjunto de números cuyos valores puede tomar una variable se llama Dominio de la variable.

Monomios y Polinomios

Expresiones algebraicas en las que solamente aparecen las operaciones de suma resta y multiplicación de constantes y variables se denomina un polinomio.

Ejemplo:

a. 3x³ y³ + 5xy – 2y b. a⁴ +3abc +

Suma y Resta de Polinomios

Cuando sumamos y restamos polinomios lo que hacemos es combinar términos semejantes mediante la conmutatividad de la adición y la ley distributiva.

Dos o más términos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propiedad distributiva; por esta razón, se suman o restan los coeficientes y se conserva el factor literal.

Ejemplos:

Monomios:

a. 3x⁴ y + 5x⁴ y = (3+4) x⁴ y = 8 x⁴ y

b. 16m² + 12m² – 10m² = (16+12-10)m²= 18 m²

Polinomios:

a. (3x²y + 5xy - 4xy²) + (5x² + x² y - 2xy) = 3x²y + x² y + 5xy - 2xy - 4xy² + 5x² = x² y + 3xy - 4xy² + 5x²

b. (-2ab + 3a²b + 4a³b² + 1) – (4ab - 2 a²b +7 a³b² -5)=

(-2ab + 3a²b + 4a³b² + 1) + (-4ab + 2 a²b -7 a³b² +5) = -2ab - 4ab + 3a²b + 2 a²b + 4a³b² - 7 a³b² + 1 + 5 -2ab - 4ab + 3a²b + 2 a²b + 4a³b² - 7 a³b² + 1 + 5 -6ab +5 a²b ^- 3 a³b² + 6

Multiplicación y Factorización de Polinomios

Para multiplicar polinomios se utiliza varias veces la propiedad distributiva. Recuerde que a (b +c) = ab + ac

(b +c) a = ba + ca Según esto tenemos que:

(x + y)(p + q) = (x + y)p +(x + y)q = xp +yp + xq + yq

Lo que hacemos es multiplicar todos los términos de la izquierda con los de la derecha y sumar.

Ejemplos:

a. x² y (xy² +2x -3y) = (x² y ) (xy² )+ (x² y) (2x) -( x² y) (3y) = x³y³ + 2x³ y - 3 x²y²

b. (2xy + 3 y²) (5x -2xy +y) =(2xy + 3 y²) (5x )+ (2xy + 3 y²) (-2xy)+ (2xy + 3 y²)( y)=

10 x²y + 15 y²x - 4 x²y² - 6 y³x +2x y² + 3 y³ 10 x²y +17 y²x- 4 x²y² - 6 y³x + 3 y³

Factorización De Polinomios Formulas Notables

Formulas Notables

1)(a + b)² = a² +2ab +b² 5) (a + b)³ = + 3 + 3a ²+ b³ 2) (a - b)² = a² -2ab +b² 6) (a + b) (a² +ab +b²)= + b³ 3) (a + b) (a - b) = - 7) (a - b) (a² +ab +b²)= - b³ 4) (a + b)³ = + 3 + 3a ²+ b³

Factorización

El proceso de factorizar simplifica el trabajo. El factorizar un polinomio es escribirlo como el producto de otros polinomios no constantes. Si un polinomio se puede escribir como el

producto de otros polinomios no todos constantes, cada uno de estos se llaman factor del primero. Si un polinomio no se puede factorizar se dice que es irreducible.

Existen varias formas de factorizar.

Por factor común Por Formula Notable Por Agrupación Por Inspección Factor Común

Dado un polinomio para factorizar, primero observamos si sus términos contienen algún factor en común. Si es así, la ley distributiva nos permite escribir el polinomio como el producto de ese factor común por otro polinomio.

Ejemplos:

 3 + 6 + 9 = 3 • + 3 • 2 + 3 • 3 =8 3 ( 2

 ( ) -4 ( ) - 2 ( ) = ( ) ( - 4 -2 ) =

( ) (- 3 - ) = - ( ) ( 3 + )

Formula Notable

En este caso el polinomio aparece desarrollado y si podemos verificar que sus términos satisfacen las condiciones de alguna de las formulas notables, y utilizar la que carresponda para establecer la factorización.

Ejemplos:

a) 4 + 12 + + 9 =

b) - = (a + b - ab)( + (a+b)(ab) + ) = (a + b - ab) ( + 2ab + + b + a + )

c) 3 - 3 = 3 ( - ) = 3 ( + ) ( - )

d) = ( ) ( ) = ambos factores son factorizables:

( ) = (x + z) ( )

( ) = (x - z) ( )

Por lo tanto:

( ) ( ) = (x + z) ( ) (x - z) ( )

Por Agrupación:

En algunas ocasiones dado un polinomio, se puede agrupar sus términos, factorizar cada grupo y luego aplicar la técnica del factor común, para obtener una factorización del polinomio dado.

Ejemplos:

a) x + bx - z – bz = ( x + bx) + ( - z – bz)

= x ( + b) + -z ( + b) = ( + b) (x - z)

b) + - - =

- + - =

+

Inspección o tanteo

Un procedimiento muy útil para factorizar trinomios es el conocido como inspección. Esta basado de la siguiente relación dada para a,b,c,d,x números reales:

: El primer coeficiente es 1, entonces debemos buscar dos números cuyo producto sea 12 y cuya suma sea 7. Estos números son 4 y 3, por lo que el polinomio se factoriza como: =

=

4x +3x = 7x

Ejemplos:

a) =

-6x +x = -5x

b) = ( + 1)

=

+ 1

+ =

Los signos los sabremos según la suma lo requiera para obtener el valor del monomio que seubica en el centro del trinomio.

Ecuaciones cuadráticas con una incógnita:

Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una variable con coeficientes reales es una ecuación que puede escribirse como:

= 0 Donde son constantes reales, con ≠ 0.

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

1. = 0 aquí , , (el signo de c se incluye)

2. = 0 aquí , ,

3. Desarrollando la expresión del lado izquierdo tenemos

, ,

4. . Desarrollando a la izquierda tenemos ; ahora

restando tenemos = 0 y por lo tanto = 0.

, ,

Existe una fórmula para resolver las ecuaciones cuadráticas, pero primero veremos una forma más simple: Si son números reales, entonces = 0 Así, si tenemos una ecuación de segundo grado = 0 , el procedimiento consiste en factorizar, si es que se puede, el miembro de la izquierda, usualmente utilizando el método de inspección visto anteriormente. De esta factorización se obtendrán dos factores lineales. Cada factor se iguala a cero y se obtienen dos soluciones de la ecuación que eventualmente podrán ser iguales. Este método funciona adecuadamente cuando la ecuación tiene soluciones racionales.

Ejemplos:

a) = 0

Se factoriza: = = 0 de aquí obtenemos dos ecuaciones lineales y que se resuelven según lo visto en la sección anterior:

Así, el conjunto solución de la ecuación es .

b) = - 6 primero se desarrolla la ecuación:

Factorizamos en la última ecuación y procedemos del mismo modo que en el ejemplo anterior.

Así, el conjunto solución de la ecuación es .

c) Factorizamos el lado izquierdo y obtenemos

El conjunto solución de la ecuación es .

Este método es muy sencillo, sin embargo no es aplicable en todos los casos. Por lo que veremos la formula general la cual es la más efectiva para resolver las ecuaciones cuadráticas.

Formula General

Una ecuación lineal tiene una sola solución. Los ejemplos anteriores nos muestran dos soluciones para cada ecuación dada. En general, una ecuación cuadrática puede tener una sola solución (en este caso se dice que es una solución doble) o dos soluciones diferentes o, también, ninguna solución en R. Veamos el discriminante para estudiar las soluciones de las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas.

Discriminante

Sea = 0 una ecuación de segundo grado. Se llama discriminante de la ecuación al número, que denotamos con el símbolo ∆ (se lee “ delta”)

∆ =

Como el discriminante ∆ de una ecuación cuadrática es un número, entonces puede ser 0, negativo o positiva. Su nombre se debe a que, dependiendo de su signo, podemos determinar el número de soluciones de la ecuación.

NÚMERO DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Sea ∆ el discriminante de una ecuación cuadrática, entonces:

 Si ∆ es negativo (∆ < 0), la ecuación NO tiene soluciones reales.

 Si ∆ =0, la ecuación tiene UNA solución real única.

 Si ∆ es positiva (∆ > 0), la ecuación tiene DOS soluciones reales.

Ejemplos:



∆= = 9 + 32 = 41

∆= 41 > 0. La ecuación tiene dos soluciones.

 , si la desarrollamos:

∆= = 9 -28 = -19

∆= -19< 0. La ecuación no tiene soluciones reales.

 si la desarrollamos:

∆= = 16 -16 =0

∆ = 0. La ecuación tiene una única solución real.

FORMULA GENERAL PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CUADRATICA

Si ∆ = > 0, entonces las soluciones de la ecuación = 0 , con , son

Observe que lo que va dentro del radical es precisamente el discriminante; por esta razón si él negativo no hay soluciones reales. Además, si ∆ = = 0, entonces ambas soluciones son iguales y, en este caso tenemos.

= =

Ejemplos:

1.

Solución: En este caso , , .Entonces ∆= =

16 -60 =- 44. Como el discriminante es negativo no tiene soluciones reales.

2.

Tenemos

= -5

= -5

= -5

= 0

Entonces , , , por lo que ∆= = 49-20 = 29.

Luego las soluciones son:

= 0,8075 = -6,193

3.

=

=

= 0

Entonces , , , por lo que ∆= =

9 +72 = 81. De aquí las soluciones:

= 0,8075 = -6,193

Problemas que requieren para su solución, ecuaciones cuadráticas con una incógnita.

Podemos encontrar frases comunes que se utilizan en el planeamiento de situaciones problemáticas, cuya traducción a la simbología y el lenguaje matemático deben ser manejados correctamente para poder tener de éxito tanto en la modelación del problema como en su respectiva solución.

Lista de frases y la forma en que pueden ser traducidas al lenguaje matemático:

“Dado un número (o una cantidad)…” para ello asignamos una letra cualquiera que representará a ese número o cantidad; por ejemplo: .

Las palabras “suma”, “mas” o “agregar” se representan con el símbolo +. Por ejemplo: los enunciados “la suma de dos números (o cantidades)..” o “un número más otro” o “ a una cantidad le agregamos otra cantidad” se escribe como (donde representan los dos números o cantidades).

Las palabras “resta”, “sustracción” o “diferencia” o “disminuir” se representan con el símbolo - . Por ejemplo: los enunciados “la diferencia de dos números (o cantidades)..” o

“un número disminuido en otro” , se escribe como (donde representan los dos números o cantidades).

“El producto (o multiplicación) de dos cantidades (o números)…” se escribe como o (donde representan las cantidades).

“ El doble de una cantidad (o numero)…” se escribe

“ El triple de una cantidad (o numero)…” se escribe

“ Siete veces una cantidad (o numero)…” se escribe

“El salario de Manuel es 4 veces el salario de Enrique”. Se escribe Donde es el salario de Manuel y es el salario de Enrique.

“La suma de un numero y su recíproco…” se escribe como , pues si es el número entonces su recíproco es y su suma es .

“El ingreso de una persona que gana 2000 colones por hora si trabaja cierto número de horas….” Se escribe (Donde representa el número de horas trabajadas).

Pasos para resolver el problema:

1. Lea cuidadosamente el problema, para poder comprender exactamente lo que se da y que se está pidiendo. Puede ayudar reescribirlo utilizando sus propias palabras.

2. Si es posible realice un dibujo o cuadro de la situación.

3. Determine con claridad cuáles son los datos que le están dando y cuáles son las variables o incógnitas; asigne una letra a cada incógnita.

4. Establezca las relaciones entre las constantes y variables, para determinar la ecuación o ecuaciones a resolver.

5. Resuelva estas ecuaciones.

6. Elabore una respuesta que conteste exactamente a lo que se le pregunta en el enunciado.

7. Verifique su respuesta a la luz de la información dada. Si no satisface las condiciones del problema original, revise dónde podría estar el error en su procedimiento, corríjalo y vuelva a verificar.

Ejemplo1: Cierta nota se calcula como el promedio de cuatro exámenes; en los tres primeros Jorge obtuvo ¿Cuál debe ser la nota de su cuarto examen para promediar un 75?

En este caso nos dan cuatro términos (tres notas y el promedio) y una incógnita (la cuarta nota), denotemos la cuarta nota como . El promedio es la suma de las cuatro notas dividido por cuatro.

Asi es promedio es: queremos que es te promedio sea 75, es decir:

Resolvemos la ecuación para obtener lo que nos piden:

→ →

Si comprobamos la respuesta. Verificamos que cumple que

La respuesta será: Jorge debe obtener una nota de 83 en el cuarto examen para que su promedio sea 75.

Funciones

En una función simple estarán involucradas dos variables:

Variable independiente: que varía libremente.

Variable dependiente: que varía dependiendo de la anterior.

Se dice que estas funciones son de una variable porque solo se encuentra una variable independiente.

Elementos de una Función: Un conjunto llamado dominio y otro codominio, y una manera o criterio para relacionar elementos de ambos conjuntos.

Concepto de Función:

Una función de dominio A y codominio B es una relación tal que a cada elemento en A le hace corresponder un único elemento en B.

Para distinguir una función de dominio A y codominio B se lee “ es una función de A en B y se utiliza la notación: o

Imágenes y Pr imágenes

Si es un elemento de A y es un elemento de B que se le asigna a mediante la función , escribimos . Este elemento de se le llama imagen de o valor de la función en ; también se dice que es preimagen de . Decimos que es la variable independiente y la variable dependiente.

Ejemplo: Sea A y B iguales a N, el conjunto de los números naturales, y consideremos una relación tal que a cada elemento de A (cada numero natural) le asocia su doble. Tenemos por ejemplo que a 1 se le asocia 2, a 2 se le asocia 4 y así sucesivamente. Esta relación es una función, tal que cada número natural tiene un doble y solamente uno.

Muchas veces el criterio para determinar imágenes se puede escribir mediante una ecuación. Tomando el ejemplo anterior, observamos que la imagen de 1 es 2 = 2•1, la imagen de 3 es 6=2•3. En total la imagen de es , Si denotamos por a esta función, entonces la imagen de es . Es decir en este caso, el criterio que relaciona un elemento con su imagen se puede escribir mediante una ecuación de dos variables o, también, que

puesto que para cada número real , existe un número de la forma en R y solo uno.

En este caso tenemos:

= 0 = 21

Ejemplo2: Sea : [1, ] →R tal que

En este caso, la función tiene como dominio el intervalo [1, ], el codominio R y disponemos de una fórmula para la asignación de imágenes; al elemento le asignamos .

Por ejemplo:

Ejemplo2: Sea : R → R con . Determine , , ,

= = 15 = = 0

= =

= = =

Ámbito o rango

Sea una función, al subconjunto de B formado por todos los elementos que son imagen de algún elemento de A se le llama ámbito o rango de (A). Dicho de otra manera, el ámbito o rango de es el conjunto formado por todas las imágenes de los elementos de A.

Ejemplo: Sea A = y : A → N tal que para cada

De esta manera el rango de es: =

Recuerde que si se tiene una función definida de un conjunto A en un conjuntoB, entonces A se llama el dominio de la función. Por otra parte, cuando tratamos con funciones reales de variable real, usualmente el criterio se puede escribir mediante una fórmula que nos permite asignar la imagen a cada uno de los elementos del dominio.

Cuando se define una función, son el criterio como el dominio y el codominio. Por ejemplo, no es lo mismo la función de : →R, con , que la función : →R, con

. Aunque en ambas la formula de asignar imágenes es la misma, sus dominios difieren; en particular todo número mayor que 6 tiene una imagen bajo y no tiene imagen bajo

Por otra parte, observe que si una función tiene como fórmula , entonces, obligatoriamente debemos tener , es decir y, por lo tanto, el dominio más grande que podemos tomar para es

Ejemplo 1: Dominio máximo de la función definida por ,

La fórmula dada tiene sentido si y solo si el subradical es mayor o igual que 0. Es decir, debemos tener , o sea, o . Concluimos que el dominio máximo de es . Ejemplo 2: Dominio máximo de la función definida por

Para que la expresión que define a esta función tenga sentido, debemos tener que el denominador tiene que ser diferente de cero. Hacemos = 0 → o

De manera que el dominio máximo de está formado por todos los números reales exceptuando 1 y 2, es decir, es R- .

Ejemplo 3: Dominio máximo de la función definida por

Debemos tener 0. Factorizando a la izquierda tenemos ( De aquí las soluciones de entonces =0 son o o y como , entonces

0 se está en ; este es el dominio máximo de la función.

Dada una función real de variable real, si conocemos una ecuación que define la manera en que se obtienen las imágenes, podemos, en muchos casos, representarlas gráficamente. Está representación gráfica se realiza obteniendo los pares ordenados de la función según las soluciones de su ecuación trazamos una línea en los puntos que se forman de los pares ordenados.

La gráfica de una función es de gran utilidad ya que nos permite obtener información sobre una función, no solamente sobre las imágenes de ciertos valores específicos sino también sobre aspectos más generales que son importantes, especialmente en algunas aplicaciones.

Ejemplo: Representación Gráfica de la función

Observemos que si : es la ecuación que define la función, entonces debemos representar la ecuación: . Para dibujar la gráfica de la ecuación debemos conocer algunos puntos, en este caso al ser sencilla no ocupamos muchos. La siguiente tabla tiene los valores de: y los correspondientes valores de

-2 -1 1 2

-3 -1 3 5

(-2,-3) (-1,-1) (1,3) (2,5)

Ejemplo 2: Al dibujar la gráfica de , tal que

Debemos dibujar la gráfica de la ecuación Tomando algunos valores de y calculando sus imágenes, para lo que construimos la tabla.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3

3 0 -1 0 3

(-1,3) (0,0) (1,-1) (2,0) (3,3)

Dibujamos los puntos resultantes de la ecuación y los trazamos la curva que los une en la gráfica.

En este caso no será una recta, sino que se formara una curva suave.

Función Lineal

Esta función es de forma , donde “m” es conocida como pendiente y “b” como punto de intersección. Donde son constantes reales.

Ejemplo:

.

Es una función lineal. Donde son y . Cálculo de de la Pendiente “m”

Para ( ) Y )

Ejemplo: Sea una función lineal tal que = 4 y ; determinar su pendiente.

Ejemplo: Tomando el ejemplo anterior tomamos cualquier par ordenado y sustituimos la ecuación así si tomamos (2,-6)

= -2

Rectas Paralelas: Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.

Rectas Paralelas: Las rectas son perpendiculares si sus pendientes son recíprocas y con signos opuestos.

Intersección con los ejes. Eje “x” ,0 Eje “y” , Ejemplo:

Régimen de Variación:

Dada la función lineal es creciente si es constante si es decreciente si

Hay dos casos particulares en de la función lineal

 La función identidad: si

Ejemplo: , tal que , es una función lineal. Aquí tenemos

 La función constante si

Ejemplo: , tal que , donde C es un número real cualquiera, es una función lineal. Donde

Criterio de una función:

Para hallar el criterio debemos resolver un sistema de ecuaciones.

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es:

Donde son constantes; son incognitas. Una Solución del sistema es un par ordenado ( ) que es solución, simultáneamente, de ambas ecuaciones. Si un conjunto no tiene soluciones se dice que es inconciente.

Soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es:

Método de sustitución: Este método consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir en la otra ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación en una sola incógnita; se determina el valor de ésta y se utiliza para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo:

Despejamos en la primer ecuación : , lo sustituimos en la segunda ecuación:

. Resolvemos esta última ecuación:

→

Usamos este valor para encontrar ; como ; entonces =2(-11)+4=-18.Así el sistema tiene una única solución= (-11,18)

Método de eliminación ()o de Suma y resta): Este método consiste en multiplicar cada ecuación por un número adecuado de modo que la sumar ambas ecuaciones, una de las incógnitas desaparezca obteniéndose así una ecuación con una incógnita cuyo valor se determina y se usa para encontrar el valor de la otra incógnita.

Ejemplo: Para determinar el punto de intersección de las ecuaciones y .

Es lo mismo que resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Y según el método planteado, Para que ambas ecuaciones tengan coeficiente opuesto par , multiplicamos la primera ecuación por ; obtenemos un nuevo sistema

Si sumamos ambas ecuaciones obtenemos una ecuación solo para la incógnita de

=

Así sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y podemos obtener el valor de . Utilizando la primer ecuación:

→

La solución del sistema tiene una única solución= , por tanto las rectas se cortan en ese punto

Función Cuadrática

Una función R→R tal que:

Donde a, , son constantes reales y a ≠ 0.

La grafica tiene forma de parábola.

 Intersección con los ejes:

o Eje “y” (0,c)

o Eje “x” El criterio se iguala a 0 y se resuelve la ecuación cuaratica para obtener los pares( )y ( ). Y como vimos anterior mente en ecuaciones cuadráticas según el valor del ∆, ya sea este >,<, o =0, así será la cantidad de intersecciones con el eje”x”.

 Eje de simetría: Es la recta que divide a la parábola en dos partes iguales. Lo podemos calcular con la formula:

 El vértice de la parábola: Este es el punto . Lo podemos considerar punto máximo si a < 0, y punto mínimo si a > 0.

 Concavidad de la Parábola:

o Si a > 0. Es cóncava hacia arriba.

o Si a < 0. Es cóncava hacia abajo

a > 0; Concava hacia arriba y punto minimo. a < 0; Concava hacia abajo y punto máximo.

Intervalos de monotonía a-) Si es cóncava hacia arriba:

 es estrictamente decreciente en

 es estrictamente creciente en

a-) Si es cóncava hacia abajo:

 es estrictamente creciente en

 es estrictamente decreciente en

Ámbito de la función.

Si el ámbito es Si el ámbito es

Ejemplos 1: Para la Función , tal que

Tenemos . Si -3

a) Vertiese:

b) Eje de simetría:

c) Concavidad: , la parábola es cóncava hacia arriba.

d) Grafica:

y

Ejemplos 2: Para la Función , tal que

Tenemos . Si 16

a) Vertiese:

b) Eje de simetría:

c) Concavidad: , la parábola es cóncava hacia abajo.

d) Grafica:

x

y

4

1

Ejercicios y problemas con funciones cuadráticas:

Imágenes y Preimagenes:

 Si entonces -1 es preimagen de:

 Si entonces el número 5 es imagen de:

169

Problemas

Para resolver los problemas debemos analizar lo que nos solicitan y relacionarlos con las propiedades de la función cuadrática.

 El precio P en miles de colones para producir “x” unidades de pantalones está

dado por ¿Cuál es el mínimo precio, en miles de

colones, que se puede alcanzar en la producción de pantalones?

Primero debemos sacar el valor de x que hace el punto mínimo de la función

= =205

Siguiendo las propiedades de la función cuadrática obtuvimos que es precio mínimo

“P” que se puede alcanzar en la producción de pantalones es 365.

 En una se establece que el costo “C” de producir “x” artículos, está dado por . ¿Cuál debe ser la cantidad de artículos que se deben producir para obtener el costo máximo?

En este caso lo que nos solicitan es la cantidad que maximiza el costo por tanto es solo obtener el valor de “x” que es:

= =90

Función Sobreyectiva

Una función tal que todo elemento en el codominio tiene al menos una preimagen, es decir (A) = B, se dice que es sobreyectiva. Esto significa que para todo , existe tal que .

Ejemplo: La función tal que es sobreyectiva puesto que si (el codominio) y escribimos entonces

Pero si la función fuera tal que , no es sobreyectiva.Si por ejemplo tomamos 3 en el codominio, no existe ningún número natural tal que .

Función Inyectiva

Una función es inyectiva si cada elemento del codominio tiene a lo sumo una preimagen, es decir para cada existe a lo sumo un tal que .

Ejemplo: La función tal que es inyectiva. Efectivamente, si , entonces = y por lo tanto = .

Pero si la función fuera tal que , no es inyectiva. Basta ver que, por

ejemplo = 9 y, sin embargo .

Función Biyectiva

Es una función que es a la vez inyectiva y sobreyectiva .

La función tal que es biyectiva puesto que es inyectiva y sobreyectiva.

La función tal que no es biyectiva puesto no es sobreyectiva.

La función tal que no es biyectiva puesto que no es inyectiva.

Función Inversa

Una función es biyectiva. La función tal que si y solo si esto es función inversa de .

Ejemplo1: La función tal que

Su inversa: según la ecuación , es decir y despejamos .

Por tanto tal que

Ejemplo: La función tal que Su inversa: y despejamos .

Así, con .

Función Exponencial y Logarítmica

Función Exponencial

Sea un número real positivo ( ) y diferente de 1 ( , y el exponente es la variable independiente.Se llama función exponencial de base a la función tal que

Existen dos casos

Caso 1:

 Dominio:

 Rango:

 Intersección con eje “x” : no hay

 Intersección con eje “y”: (0,1)

 Asíntota horizontal: eje “x” cuando “x” se acerca a +

 Régimen de variación: estrictamente decreciente.

 De acuerdo al codominio: biyectiva Su grafica es:

x

y

Ejemplo:

La función

Elaboramos la tabla

-2 -1 0 1 2

(-2,4) (-1,2) (0,1) (1, ) (2, )

4

2

1

0,5

0,25 4

2

1

0,5

0,25 x

y

Caso 1:

 Dominio:

 Rango:

 Intersección con eje “x” : ninguno

 Intersección con eje “y”: (0,1)

 Asíntota horizontal: eje “x” cuando “x” se acerca a -

 Régimen de variación: estrictamente creciente.

 De acuerdo al codominio: biyectiva

Su grafica es:

x

y

Ejemplo:

La función

Elaboramos la tabla

-2 -1 0 1 2

(-2, ) (-1, ) (0,1) (1,2) (2,4)

Si La función exponencial es inyectiva, se cumple que:

0,25 0,5 1

2

4

0,25 0,5 1

2

4

x

y

Función Logarítmica

Sea un número real y mayor que cero ( ) y diferente de 1 ( , Se llama función logarítmica de base de “x” a la función inversa de la función exponencial de base .Esto es, la

función tal que

Existen dos casos Base:

 Dominio:

 Codominio:

 Intersección con eje “x” : (1,0)

 Intersección con eje “y”: no hay

 Asíntota vertical: eje “y”

 Régimen de variación: estrictamente creciente en

 De acuerdo al codominio: biyectiva Su grafica es:

x

y

Ejemplo:

La función

Elaboramos la tabla

1 2 4

,-2) ( ,-1) (1,0) (2,1) (4,2)

-2 -1

0 1

2

-2 -1

0 1

2

x

y

Base:

 Dominio:

 Codominio:

 Intersección con eje “x” : (1,0)

 Intersección con eje “y”: no hay

 Asíntota vertical: eje “y”

 Régimen de variación: estrictamente decreciente en

 De acuerdo al codominio: biyectiva Su grafica es:

x

y

Ejemplo:

La función

Elaboramos la tabla

1 2 4

,2) ( , 1) (1,0) (2,-1) (4,-2)

Para las gráficas de otras funciones logarítmicas las encontraremos similares a las anteriores.

2

1

0

-1

-2 2

1

0

-1

-2

x

y

Propiedades logarítmicas:

1.

Ejemplo:

2.

Ejemplo:

3.

Ejemplo:

4.

Ejemplo:

5.

Ejemplo:

6.

Ejemplo: : 7.

8. .

(En la calculadora la tecla ln lo que hace es calcular el logaritmo en base e

Cambio de Base:

Para convertir a Base 10 un número a, se aplica:

Ejemplo:

=2

Ecuaciones Logarítmicas con una o dos operaciones Ejemplo1:

=

=

=

Ejemplo2:

= -

Estas son algunas aplicaciones de las propiedades logarítmicas.

 La notación exponencial se puede pasar a logarítmica y viceversa, es decir lo cual es equivalente a escribir .

Ejemplo: Para obtener la solución de la siguiente ecuación:

Primero debemos llevarla a la forma simplificada

→ (Una vez con la expresión reducida, se aplica la equivalencia del logaritmo a notación exponencial: →

Ecuaciones Exponenciales

Con su forma .

Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirla como exponente fraccionario. Sea la ecuación:

Utilizando las propiedades de la radicación, vamos a escribirla así:

Aplicamos el método de igualación de bases, para resolver la ecuación:

Se eliminan las bases y se toma la ecuación igualando los exponentes y se resuelve la ecuación.