SISTEMA DE 2DO ORDEN MODELADO MATLAB RLC

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN

Esta es la forma general de una ecuación de segundo orden, ordinaria y no homogénea con coeficientes constantes, donde

𝑎

₂

, 𝑎

₁

, 𝑎

₀

𝑦 𝑏

₀

son constantes

𝜃

₀ es la variable que cambia por efecto de la función de

entrada

𝜃

_𝑖

𝑎

₂

𝑑𝜃

₀²

𝑑𝑡

²

+ 𝑎

₁

𝑑𝜃

₀

𝑑𝑡 + 𝑎

₀

𝜃

₀

= 𝑏

₀

𝜃

_𝑖

Esta ecuación puede expresarse de otra forma con el fin de que ofrezca mayor información del sistema

𝑑𝜃

₀²

𝑑𝑡

²

+ 2Ϛ𝜔

_𝑛

𝑑𝜃

₀

𝑑𝑡 + 𝜔

_𝑛²

𝜃

₀

= 𝑏

₀

𝜔

_𝑛²

𝜃

_𝑖

Ϛ =

Es el factor de amortiguamiento relativo

Ϛ =

^𝑎1

2√(𝑎₂𝑎₀)

𝜔

_𝑛

=

Frecuencia angular no amortiguada

𝜔

_𝑛

= √

^𝑎_𝑎⁰

2

𝑤 = 𝜔

_𝑛

√(1 − Ϛ

²

)

es la frecuencia amortiguada

Dependiendo del valor de Ϛ existen tres formas que puede tomar la solución 𝜃₀(𝑡)

I)

Cuando Ϛ > 1 se tratará de un sistema sobreamortiguado Cuya solución es de la forma

𝜃

₀

(𝑡) = 𝐴𝑒

^𝑠1𝑡

+ 𝐵𝑒

^𝑠2𝑡

+ 𝑏

₀

𝑎

₀

𝜃

_𝑖

Ejemplo

𝑑 ² 𝑦

𝑑𝑡 ² + 3 ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 + 2𝑦 = 1

para las condiciones iniciales

𝑦(0) = 0 ;

^𝑑𝑦

𝑑𝑡

(0) = 0

𝑎

₂

= 1, 𝑎

₁₌

3, 𝑎

₀

= 2 𝑦 𝑏

₀

= 1

Ϛ =

^𝑎1

2

√

^(𝑎2𝑎₀)

= 3

2√(1∗2) = 1,06 que es > 1

Método N° 1 (Solución con Workspace de Matlab)

>> equ_dif='D2y+3*Dy+2*y=1'

>> y=dsolve(equ_dif,'y(0)=0,Dy(0)=0','t')

>> t=linspace(0,10,200);

>> y_plot=eval(vectorize(y));

figure hold on plot(t,y_plot) xlabel('tiempo- s') ylabel('Salida y')

La entrada escalón es 1 y la respuesta cuando t tiende a infinito

Método N° 3 (Obtención de la función de transferencia)

Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuación diferencial para las condiciones 'y(0)=0,Dy(0)=0' obtenemos la función de transferencia

para una entrada de escalón unitario

>> syms s t

Ys=(1/(s*(s^2+3*s+2))) >> y=ilaplace(Ys)

y =exp(-2*t)/2 - exp(-t) + 1/2 es decir

Cuando

Ϛ = 1

se tratará de un sistema críticamente amortiguado Cuya solución es de la forma

𝜃 ₀ (𝑡) = (𝐴𝑡 + 𝐵)𝑒 ^−𝜔

^𝑛

^𝑡 + ^𝑏

⁰

𝑎

₀

𝜃 _𝑖

Ejemplo

^𝑑

2 𝑦

𝑑𝑡 ² + 4 ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 + 4𝑦 = 6

para las condiciones iniciales

𝑦(0) = 0 ;

^𝑑𝑦

𝑑𝑡

(0) = 0

𝑎

₂

= 1, 𝑎

₁₌

4, 𝑎

₀

= 4 𝑦 𝑏

₀

= 6

Ϛ =

^𝑎1

2

√

^(𝑎2𝑎₀)

= 4

2√(1∗4) = 1

Metodo N° 1 (Solución con Workspace de Matlab)

>> equ_dif='D2y+4*Dy+4*y=6'

>> y=dsolve(equ_dif,'y(0)=0,Dy(0)=0','t')

Método N° 3 (Obtención de la función de transferencia)

Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuación diferencial para las condiciones 'y(0)=0,Dy(0)=0' obtenemos la función de transferencia

>> syms s t

Ys=(6/(s*(s^2+4*s+4))) >> y=ilaplace(Ys)

y = 3/2 - 3*t*exp(-2*t) - (3*exp(-2*t))/2 es decir

>> t=linspace(0,10,200);

y_plot=eval(vectorize(y));

figure hold on plot(t,y_plot) xlabel('tiempo- s') ylabel('Salida y')

II)

^Cuando

^{Ϛ < 1}

se tratará de un sistema subamortiguado, cuya solución es de la forma

𝜃

₀

(𝑡) = 𝑒

^{−Ϛ𝜔𝑛𝑡}

(𝑃 cos 𝜔 𝑡 + 𝑄 sen 𝜔𝑡) + 𝑏

₀

𝑎

₀

𝜃

_𝑖

𝑑 ² 𝑦

𝑑𝑡 ² + 2 ^𝑑𝑦

𝑑𝑡 + 5𝑦 = 10

para las condiciones iniciales

𝑦(0) = 0 ;

^𝑑𝑦

𝑑𝑡

(0) = 0 𝑎

₂

= 1, 𝑎

₁₌

2, 𝑎

₀

= 5 𝑦 𝑏

₀

= 10

Ϛ =

^𝑎1

2

√

^(𝑎2𝑎₀)

= 2

2√(1∗5) = ^0.44 que es < 1

Metodo N° 1 (Solución con Workspace de Matlab)

>> equ_dif='D2y+2*Dy+5*y=10'

>> y=dsolve(equ_dif,'y(0)=0,Dy(0)=0','t') y =2 - sin(2*t)*exp(-t) - 2*cos(2*t)*exp(-t)

>> t=linspace(0,10,200);

y_plot=eval(vectorize(y));

figure hold on plot(t,y_plot) xlabel('tiempo- s') ylabel('Salida y')

Método N° 3 (Obtención de la función de transferencia)

Aplicando la Transformada de Laplace a la ecuación diferencial para las condiciones 'y(0)=0,Dy(0)=0' obtenemos la función de transferencia

>> syms s t

>> Ys=(10/(s*(s^2+2*s+5)))

>> y=ilaplace(Ys)

y =2 - 2*exp(-t)*(cos(2*t) + sin(2*t)/2)

SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN - CIRCUITOS RLC

La figura muestra un circuito eléctrico RLC del cual se desprende un modelo matemático de segundo orden descrito por la ecuación diferencial (ED) que relaciona la variación de la carga (q) en el capacitor , respecto a un voltaje de alimentación Vi(t)

Según la ley de Kirchhoff el voltaje de alimentación Vi equivale a la suma de los voltajes en la resistencia , en el inductor y en el capacitor

𝑉𝑖 = 𝑉_𝑅+ 𝑉_𝐿 + 𝑉_𝐶 donde 𝑉𝑖 es el voltaje de entrada de la fuente 𝑉𝑅 es el voltaje en la resistencia , 𝑉𝐿 es el voltaje en el inductor y 𝑉𝐶 es el voltaje en el capacitor

𝑉_𝑅= 𝑖 ∗ 𝑅 donde

𝑖 =

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

por lo tanto

𝑉

_𝑅

= 𝑅

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

𝑉

_𝐿

= 𝐿

^𝑑𝑖

𝑑𝑡

= 𝐿

^𝑑𝑞2

𝑑𝑡²

𝑉

_𝑐

=

¹

𝐶

∫ 𝑖𝑑𝑡 =

^𝑞

𝐶

𝑉𝑖 = 𝑉

_𝑅

+ 𝑉

_𝐿

+ 𝑉

_𝐶

= 𝑅

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

+ 𝐿

^𝑑𝑞2

𝑑𝑡²

+ ^𝑞 _𝐶 𝐿 ^{𝑑𝑞 2}

𝑑𝑡 ² + 𝑅 ^𝑑𝑞

𝑑𝑡 + ^𝑞

𝐶 = 𝑉𝑖

Tiene forma estándar

𝑎 ₂ ^𝑑𝜃 _𝑑𝑡

⁰₂²

+ 𝑎 ₁ ^𝑑𝜃

⁰

𝑑𝑡 + 𝑎 ₀ 𝜃 ₀ = 𝑏 ₀ 𝜃 _𝑖

Donde

𝑎

₂

= 𝐿 = 0.25, 𝑎

₁₌

𝑅 = 10, 𝑎

₀

=

¹

𝐶

=

¹

0,001

= 1000 , 𝑏

₀

= 1 , 𝜃

_𝑖

= 𝑉𝑖 = 12

Reemplazando las constantes en la ecuación diferencial

0.25

^𝑑𝑞2

𝑑𝑡²

+ 10

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

+ 1000q = 12

considerando que la carga del capacitor y la corriente en t=0 es 0

Ϛ = ^𝑎1

2 √ ^(𝑎

₂

^𝑎

₀

⁾ = ^𝑅 2√( ¹

𝐶 ∗𝐿)

= ¹⁰

2√(1000∗0,25) ^{= 0,31}

que es < 1 es un sistema subamortiguado

𝜔 _𝑛 = √ ^𝑎 _𝑎 ⁰

2 =√ ¹⁰⁰⁰

0,25 =63,24

𝑤 = 𝜔 _𝑛 √(1 − Ϛ ² ) = 63,24√(1 − 0,31

²

) = 60,12

es la frecuencia amortiguada Método N° 1 (Solución con Workspace de Matlab)

>> equ_dif='0.25*D2q+10*Dq+1000*q=12'

>> q=dsolve(equ_dif,'q(0)=0,Dq(0)=0','t')

q =3/250 - (sin(60*t)*exp(-20*t))/250 - (3*cos(60*t)*exp(-20*t))/250 >> pretty(q)

3 sin(60 t) exp(-20 t) cos(60 t) exp(-20 t) 3 --- - --- - --- 250 250 250

t=linspace(0,0.5,200);

q_plot=eval(vectorize(q));

figure hold on plot(t,q_plot) grid on

xlabel('tiempo- s')

ylabel('Carga en el condensador')

SOLUCIÓN N° 2

>>Simulink

Se reescribe la ecuación diferencial para facilitar su graficación en Simulink 𝑑𝑞²

𝑑𝑡²

= 𝑉𝑖

¹

𝐿

−

^𝑅

𝐿 𝑑𝑞 𝑑𝑡

−

¹

𝐶𝐿

𝑞

reemplazando valores 𝑑𝑞²

𝑑𝑡²

= 12 ∗

¹

0,25

−

¹⁰

0,25 𝑑𝑞

𝑑𝑡

−

¹

(0,001∗0,25)

𝑞

SOLUCIÓN N° 3

Función de transferencia y >>Simulink

Si aplicamos la Transformada de Laplace ( Ɫ ) a la Ecuación diferencial 𝐿

^𝑑𝑞2

𝑑𝑡²

+ 𝑅

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

+ ^𝑞

𝐶 = 𝑉𝑖

𝐿 ∗ Ɫ [

^𝑑𝑞2

𝑑𝑡²

] + 𝑅 ∗ Ɫ [

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

] + ¹

𝐶 Ɫ[ 𝑞] = Ɫ[ 𝑉𝑖 ]

𝐿 [𝑠

²

𝑄

_𝑠

− 𝑠𝑞

₍₀₎

−

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

(0)] + 𝑅[𝑠𝑄

_𝑠

− 𝑞

₍₀₎

] + ¹

𝐶 𝑄

_𝑠

= 𝑉𝑖 _𝑠 ^{siendo 𝑞}

(0)

= 0 𝑦

^𝑑𝑞

𝑑𝑡

(0) = 0

𝐿𝑠

²

𝑄

_𝑠

+ 𝑅𝑠𝑄

_𝑠

+ ¹

𝐶 𝑄

_𝑠

= 𝑉𝑖 _𝑠 es igual a ^𝑄

𝑠

[𝐿𝑠

²

+ 𝑅𝑠 + ¹

𝐶 ] = 𝑉𝑖 _𝑠

La función de transferencia Gss= ^{𝑄 𝑠}

𝑉𝑖 _𝑠 = ¹

[𝐿𝑠 ² +𝑅𝑠+ ¹

𝐶 ] = ¹

[0,25𝑠 ² +10𝑠+ 1000 ]

solución v(t)

Para una entrada escalón de

𝑉𝑖 _𝑡= 12

Voltios le corresponde

𝑉𝑖 _𝑠 = ¹²

𝑠

𝑄 _𝑠 = 𝑉𝑖 _𝑠 ∗ 𝐺 _𝑠𝑠

𝑄 _𝑠 = 12

𝑠[0,25𝑠

²

+ 10𝑠 + 1000 ]

>> Q=(12/(s*(0.25*s^2+10*s+1000)))

>> q=ilaplace(Q)

q =3/250 - (3*exp(-20*t)*(cos(60*t) + sin(60*t)/3))/250

PARAMETROS DE LA RESPUESTA DE UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO

En la Figura se muestran las características fundamentales del régimen transitorio de la respuesta de un

sistema de segundo orden subamortiguado, que deben utilizarse como especificaciones de diseño de los

controladores: el tiempo de establecimiento ts, el porcentaje de sobrepaso (PO), el sobrepaso máximo Mp,

además del tiempo de pico tp y el tiempo de subida tr.

PO =El porcentaje de sobrepaso (overshoot) es una medida del valor de sobrepaso que tiene la respuesta del sistema por sobre su salida en estado estable. En general sobrepasos muy altos deben ser evitados ya que producen esfuerzos inadecuados en los componentes físicos de un sistema (actuador, planta u otros) [se recomienda mantener PO < 25%]. La fórmula para calcularlo es :

%𝑃𝑂 = 100 ∗ 𝑒 ⁽

−Ϛ∗П

√(1−Ϛ ² ) )

El Mp es el sobrepaso máximo y se determina así

𝑀𝑝 = 𝜃 _𝑠𝑠 ∗ (1 + %𝑃𝑂 100 )

Siendo 𝜃 _𝑠𝑠 el valor de la respuesta en estado estacionario 𝜃 _𝑠𝑠 = ^{𝑏 0}

𝑎 ₀ 𝜃 _𝑖

El tiempo de subida (rise time o tr) es el tiempo que toma la respuesta para subir desde el 10% al 90% de la amplitud del escalón de entrada. El tiempo de subida para un sistema de segundo orden es aproximado por la siguiente expresión.

𝑡 _𝑟 = П

2 ∗ 𝑤

El tiempo de respuesta máxima (time to peak). Este es el tiempo en que se produce la máxima amplitud de salida.

𝑡 _𝑝 = П 𝑤

El tiempo de establecimiento (settling time) es una medida de la velocidad del sistema. Este parámetro mide el tiempo en que la respuesta queda acotada a una cierta banda de amplitud . Para una banda del 2% el tiempo de

establecimiento está definido como:

𝑡 _𝑠 = 4 Ϛ ∗ 𝑤 _𝑛

PARAMETROS DE A RESPUESTA DE UN SISTEMA SUBAMORTIGUADO (RLC)

Para el circuito RLC

𝑃𝑂 = 100 ∗ 𝑒

( ^−0,31∗П

√(1−0,312)

)

= 35,9%

Siendo 𝜃 _𝑠𝑠 el valor de la respuesta en estado estacionario

𝜃 _𝑠𝑠 = ^{𝑏 0}

𝑎 ₀ 𝜃 _𝑖 = ¹²

1000 1 = 0,012 = 12𝑋10 ⁻³

El Mp es el sobrepaso máximo y se determina así

𝑀𝑝 = 0,12 ∗ (1 + ^35,9

100 )= 0,163 = 16,3x10 ^-3 𝑡 _𝑟 = П

2 ∗ 60,12 = 0,026 𝑠𝑒𝑔

𝑡 _𝑝 = П

60,12 = 0,052 𝑠𝑒𝑔

𝑡 _𝑠 = 4

0,31 ∗ 63,24 = 0,204 𝑠𝑒𝑔

CASO 1

CASO 2

Como varia la carga del condensador con el tiempo

SISTEMA SOBREAMORTIGUADO

SOLUCIÓN SISTEMA SOBREAMORTIGUADO

>> syms t s

C=(5/(s*(s^2+3*s+2))) c=ilaplace(C)

c = (5*exp(-2*t))/2 - 5*exp(-t) + 5/2

---

SISTEMA SUBAMORTIGUADO

C=(3/(s*(s^2+2*s+5))) >> c=ilaplace(C)

c =3/5 - (3*exp(-t)*(cos(2*t) + sin(2*t)/2))/5

>> pretty(c)

---

SISTEMA CRITICAMENTE - AMORTIGUADO

>> syms t s

C=(2/(s*(s^3+3*s^2+3*s+1))) >> c=ilaplace(C)

c = 2 - 2*t*exp(-t) - t^2*exp(-t) - 2*exp(-t)

---

>> equ_dif='(5/3)*D2q+10*Dq+30*q=300' equ_dif = '(5/3)*D2q+10*Dq+30*q=300'

>> q=dsolve(equ_dif,'q(0)=0,Dq(0)=0','t')

q =10 - 10*sin(3*t)*exp(-3*t) - 10*cos(3*t)*exp(-3*t) >> pretty(q)

10 - sin(3 t) exp(-3 t) 10 - cos(3 t) exp(-3 t) 10

>> syms t

>> i=diff(q)

i = 60*sin(3*t)*exp(-3*t)

>> t=50000;

>> q=subs(q)

q = 10 - 10*exp(-150000)*sin(150000) - 10*cos(150000)*exp(-150000)

---

---