Implementación de un sistema modificado de cancelación activa de ruido

I n s t i t u t o P o l i t é c n i c o N a c i o n a l

E s c u e l a S u p e r i o r d e I n g e n i e r í a M e c á n i c a y E l é c t r i c a Sección de Estudios de Postgrado e Investigación

Unidad Culhuacán

I m p l e m e n t a c i ó n d e u n s i s t e m a m o d i f i c a d o d e C a n c e l a c i ó n A c t i v a d e R u i d o

T e s i s q u e p a r a o b t e n e r e l g r a d o d e : Maestro en Ciencias de Ingeniería e n M i c r o e l e c t r ó n i c a

p r e s e n t a

Ing. Edgar Bermejo Arámburo

Asesor: Dr. Héctor M. Pérez Meana Febrero 2005

En la Ciudad de México el día 10 del mes de marzo del año 2005, el (la) que suscribe Ing.

Edgar Bermejo Arámburo alumno (a) del Programa de Maestría en Ciencias de Ingeniería en Microelectrónica con número de registro A030368 adscrito a SEPI - ESIME Culhuacán, manifiesta que es autor (a) intelectual del presente trabajo de Tesis bajo la dirección de Dr.

Héctor Manuel Pérez Meana y cede los derechos del trabajo intitulado Implementación de un sistema modificado de cancelación activa de ruido, al Instituto Politécnico Nacional para su difusión, con fines académicos y de investigación.

Los usuarios de la información no deben reproducir el contenido textual, gráficas o datos del trabajo sin el permiso expreso del autor y/o director del trabajo. Este puede ser obtenido escribiendo a la siguiente dirección [email protected]. Si el permiso se otorga, el usuario deberá dar el agradecimiento correspondiente y citar la fuente del mismo.

Ing. Edgar Bermejo Arámburo_

Nombre y firma

Resumen

El presente trabajo muestra el desarrollo de la implementación del algoritmo LMS (Least Mean Square) en un sistema FPGA (Field Programmable Gate Array) de Altera. Esta implementación responde a la inquietud de explorar el desempeño del LMS en un sistema diferente a la tradición del DSP (Digital Signal Processor). Numerosos trabajos pueden ser encontrados acerca de la combinación LMS & DSP pero muy pocos a la combinación LMS & FPGA.

Con el modelo del sistema FPGA empleado, se demostró la factibilidad de programar el LMS, sin embargo su capacidad resultó ser limitada como para programar un sistema de Cancelación Activa de Ruido (CAR).

Por lo anterior se empleó un sistema DSP de Texas Instruments para programar un sistema CAR. Una vez explorada la literatura relacionada a este tema, se decidió proponer una modificación a los sistemas canónicos (usuales) de CAR con el objetivo de mejorar sus características de nivel de atenuación y tiempo de respuesta. La modificación será conocida como etapa de preprocesamiento, en la cual se alteran ciertas propiedades de la señal a tratar por el sistema CAR.

Como primer paso se presenta el concepto general del control activo de ruido (Capítulo 1) así como un breve antecedente teórico (Capítulo 2) para después proponer la modificación (Capítulo 3). Posteriormente se muestran el trabajo del proceso de implementación en el FPGA y en el DSP (Capítulo 4) y los resultados obtenidos (Capítulo 5). Finalmente, se presentan las conclusiones son presentadas (Capítulo 6).

De las pruebas realizadas se observó que el añadir una etapa de preprocesamiento al sistema CAR, mejora en algún aspecto el desempeño del mismo, ya sea en tiempo de convergencia o en nivel de atenuación. No obstante, lo anterior es válido para señales de baja frecuencia, pues al aumentar la frecuencia el desempeño se ve disminuido. Esa etapa de preprocesamiento involucra una mayor cantidad de operaciones a realizar por el DSP, impactando en el número de coeficientes que puede manejar. Es aquí donde entra una relación costo vs. beneficio.

Abstract

The present work demonstrates the process of implementation of the LMS algorithm (Least Mean Square) over a FPGA system (Field Programmable Gate Array) from Altera. This implementation responds to the desire of exploration of the behavior of the LMS over a platform different to the traditional DSP (Digital Signal Processor). Many articles can be find about the combination of LMS & DSP but many few about the combination LMS & FPGA.

With model of FPGA employed was demonstrated the feasibility of the LMS programming, however it’s capacity result to be limited if it’s intended to program a complete Active Noise Cancellation system (ANC).

For that reason a DSP system from Texas Instruments was employed to program an ANC system. Once the literature about this topic was explored, it was decided to propose a modification to the canonical ANC systems with the objective of improve its characteristics of attenuation and time of convergence. The modification proposed is known as preprocessing stage, in which the properties of the signal of interest (to one to be processed by the ANC system) are modified.

As a first step the general concept of the active noise control is presented (Chapter 1) as long as a brief theoretical background (Chapter 2) for a later presentation of the proposed modification (Chapter 3). Then, the process of implementation over the FPGA and over the DSP (Chapter 4) and the obtained results (Chapter 5) can be founded. Finally, the conclusions are presented (Chapter 6).

From the tests it can be observed that if a preprocessing stage is added to an ANC system some of the characteristics can be improved, convergence time or attenuation. This fact is valid for low frequency signals, because as the frequency is incremented the performance is decremented. This preprocessing stage adds more operations (load) to the DSP so the number of coefficients has the modified. In this point a balance between load and performance has to be achieved.

Agradecimientos

Por que los seres humanos somos seres interdependientes deseo realizar los siguientes agradecimientos:

A Dios por darme los medios, paciencia y sabiduría para concluir este objetivo.

A mi madre, padre y hermano por su apoyo.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por ofrecer programas de estímulos a los estudiantes mexicanos, del cual tuve el honor de gozar y ser beneficiario (No. de registro 176546).

A mi asesor, Dr. Héctor Manuel Pérez Meana, por su apoyo.

A los miembros del jurado por sus valiosas correcciones.

A mis compañeros de la maestría, en especial a José Juan García y Gualberto Aguilar, por su amistad y ayuda.

A mis compañeros de Informática por su valioso apoyo.

Al Dr. Ricardo Fernández del Busto por facilitarme el préstamo de equipo para la realización de las mediciones.

A mi amigo de años, Pedro Cervera, por llevar mi tesis a revisión a la UNAM.

Y a todos aquellos que en los momentos indicados me brindaron su apoyo.

Í ^ndice

Capítulo 1. Descripción del Problema ... 1

1.1 Concepto General del Control Activo de Ruido ... 1

1.2 Objetivo... 2

1.3 Justificación ... 3

Capítulo 2. Antecedentes – Revisión del Estado del Arte... 4

2.1 Cancelación Activa de Ruido de Banda Ancha ... 4

2.1.1 Efectos de la Trayectoria Secundaria... 5

2.2 Cancelación Activa de Ruido de Banda Angosta ... 6

2.2.1 Método de Síntesis de la Forma de Onda. ... 8

2.2.2 Filtros Notch Adaptables. ... 9

2.3 Estructuras Con Referencia Externa ... 12

2.3.1 Neutralización de la Retroalimentación... 13

2.4 Estructuras Sin Referencia Externa. ... 13

2.5 Algoritmos de Adaptación. ... 15

2.5.1 El algoritmo LMS. ... 15

2.5.2 El algoritmo NLMS. ... 17

2.5.3 El algoritmo FXLMS. ... 18

2.5.3.1 Derivación del algoritmo FXLMS. ... 18

2.5.3.2 Análisis del algoritmo FXLMS... 19

2.5.4 El algoritmo FXRLS. ... 21

2.6 Estimación de la Trayectoria Secundaria... 22

2.7 Conclusiones... 23

Capítulo 3. Estructura propuesta... 24

3.1 Adecuación propuesta a un sistema ANC típico... 24

3.2 Fundamento de la adecuación... 27

3.3 La Adición de Ruido Blanco como alternativa ... 29

3.4 La Transformada Coseno Discreto como otra alternativa ... 32

3.5 Conclusiones... 36

Capítulo 4. Realización de la estructura propuesta ... 37

4.1 Justificación del empleo de un FPGA... 37

4.2 Descripción del hardware empleado ... 37

4.3 Descripción del software empleado ... 38

4.4 Proceso de implementación del algoritmo LMS... 39

4.5 Descripción del DSP empleado ... 45

4.6 Proceso de implementación del algoritmo NLMS en el DSK 6713 ... 46

4.7 Proceso de implementación del algoritmo NLMS más adición de ruido ... 50

4.8 Proceso de implementación del algoritmo NLMS más la DCT ... 53

4.9 Conclusiones... 57

Capítulo 5. Resultados obtenidos... 58

5.1 Resultados con el FPGA ... 58

5.2 Resultados obtenidos de la implementación con el DSP... 62

5.2.1 Cancelación Activa de Ruido empleando únicamente el algoritmo NLMS ... 63

5.2.2 Cancelación Activa de Ruido empleando el algoritmo NLMS más adición de ruido.... ………68

5.2.3 Cancelación Activa de Ruido empleando el algoritmo NLMS más la DCT. ... 74

5.3 Conclusiones... 78

Conclusiones finales ... 79

Trabajo futuro ... 79

Referencias……….80

Apéndice A. Listado de figuras y tablas……….………81

Apéndice B. Índice de acrónimos.……...………...………85

Apéndice C. Publicaciones realizadas………86

Capítulo 1

Descripción del Problema

1.1 Concepto General del Control Activo de Ruido

Los problemas de ruido acústico se pueden encontrar en las industrias debido a máquinas, ventiladores, transformadores y compresores. Así también, las nuevas construcciones de casa habitación se desarrollan cada día más con mayores densidades y materiales que no aíslan los ruidos de los departamentos cercanos.

Tradicionalmente el control del ruido acústico ha empleado técnicas pasivas como silenciadores y barreras para aminorar los ruidos no deseados. Este tipo de soluciones son efectivas pero de alto costo así como poco eficientes para ruidos de baja frecuencia. Ése tipo de ruidos, aparte de resultar molestos tras largos periodos de exposición, producen fatiga y pérdida de concentración.

Para atacar estos problemas el control activo de ruido, ó ANC por sus siglas en inglés, surge con técnicas que emplean fuentes secundarias para cancelar el ruido proveniente de la fuente, denominada fuente primaria. El ANC involucra sistemas electroacústicos o electromecánicos los cuales cancelan o eliminan el ruido primario (no deseado) basados en el principio de superposición; es decir, un antirruido, de igual amplitud y fase contraria, es generado y combinado con el ruido primario, de tal manera que la interacción de ambas señales produce una cancelación de ambas. La Fig. 1.1 muestra un ejemplo gráfico de esta idea.

La cantidad del ruido residual depende de la precisión en la amplitud y fase del antirruido generado.

Ruido Primario

Antirruido

Ruido Residual

Fig. 1.1. Concepto físico de la cancelación activa de ruido.

El diseño de sistemas acústicos ANC empleando un micrófono y una bocina controlada electrónicamente para generar el sonido cancelador fue propuesto por primera vez en una patente de 1936 por Lueg.

Ya que las características de la fuente de ruido acústico y del ambiente pueden ser variantes en el tiempo, el contenido de frecuencias, amplitud, fase y velocidad del sonido del ruido no deseado no son estacionarias. Un sistema ANC debe ser adaptable para poder lidiar con esas variaciones.

Un problema fundamental a ser considerado en los sistemas ANC es el requerimiento de control de alta precisión, estabilidad en el tiempo y confiabilidad. Para producir un alto nivel de atenuación, la amplitud y fase de los ruidos primario y secundario deben ser muy similares. Así es deseable que el cancelador de ruido sea digital, donde las señales producidas por transductores electroacústicos o electromecánicos son muestreadas y procesadas empleando sistemas con procesadores digitales de señales (DSP, por sus siglas en inglés) con suficiente velocidad y precisión para ejecutar complejas funciones matemáticas en tiempo real.

En el campo del procesamiento digital existe una clase de sistemas adaptivos en los cuales las propiedades de un filtro digital son ajustadas para minimizar una función de costo dada. Gracias al amplio desarrollo en materia de DSP los sistemas ANC se han vuelto una implementación práctica.

Los filtros adaptables ajustan sus coeficientes para minimizar la señal de error y pueden ser realizados como de respuesta finita al impulso (FIR, por sus siglas en inglés), de respuesta infinita al impulso (recursivos ó IIR, por sus siglas en inglés), lattice y filtros de transformación de dominio. La forma más común de filtro adaptable es el filtro transversal empleando el algoritmo de Mínimos Cuadrados (LMS, por sus siglas en inglés). Los filtros adaptables se encargan de obtener una estimación en línea de un modelo deseado.

Muchos sistemas modernos de ANC descansan en gran medida en el procesamiento de señales, empleando pocos elementos electroacústicos o electromecánicos e incrementando el número de elaborados esquemas de filtrado adaptable. Sin embargo, si el arreglo físico no se encuentra optimizado, el procesamiento digital de señales no será capaz de compensar los defectos y el sistema puede fallar.

El rango de problemas de control de ruido que pueden ser solucionados a través de un sistema activo es todavía limitado, únicamente ruidos con frecuencias relativamente bajas pueden ser atenuados efectivamente con estas técnicas.

1.2 Objetivo

El desempeño de los sistemas ANC en altas frecuencias está limitado debido a varios factores, incluyendo la necesidad de frecuencias de muestreo mayores. A bajas frecuencias donde las bajas frecuencias de muestreo resultan adecuadas y las longitudes de onda son largas, la atenuación activa puede ofrecer ventajas significativas.

Así, la Fig. 1.2 presenta el problema a enfrentar, el cual consiste de un ambiente cerrado en el cual se inyectarán señales de ruido o de referencia x(n) (en términos del algoritmo a emplear) que al viajar a través del medio o planta P(z) generan una señal no deseada o señal a eliminar d(n). El sistema ANC se encargará de “escuchar” o sensar a esta señal d(n) para generar el antirruido o señal de ruido secundario o señal de control y(n) a través de un micrófono el cual también sensará la señal de error e(n) resultante de la superposición de d(n) y y(n). La señal de control se inyecta al ambiente a través de una bocina.

Fig. 1.2. Problema de ANC en ambiente cerrado

El algoritmo a emplear para esta aplicación será el LMS, específicamente una de sus variaciones, el NLMS.

Así, el objetivo de la tesis consiste en la implementación del algoritmo NLMS para conocer su desempeño y posteriormente agregar ciertas etapas en el sistema de CAR con el objetivo de mejorar su rendimiento (i.e. nivel de atenuación del ruido y tiempo de respuesta). En el ambiente serán inyectadas señales con frecuencias bajas y altas e incluso combinaciones de ellas para probar la estabilidad en tiempo y la robustez del sistema en el manejo de esas señales.

1.3 Justificación

El ruido ambiental se encuentra presente en diversas situaciones, desde un salón de clases afectado por los sonidos provenientes del exterior hasta en las oficinas en una nave industrial.

Cabe mencionar que la definición de “ruido” dependerá del contexto pues para las personas dentro de un centro de entretenimiento la música no es ruido, pero para una familia que viva al lado la música sí será considerada como ruido.

Las personas aceptan ciertos sonidos como tolerables pero otros no, es así cómo su concentración o su comodidad serán afectadas y de ahí la necesidad de eliminar o disminuir sus efectos. Lo anterior también puede ser visto desde el punto de vista de los sistemas, pues al estar expuestos a ciertas señales pueden decrementar su nivel de funcionamiento y por ende, resulta necesario eliminar o disminuir esas señales perjudiciales.

Antirruido

Ruido

Ambiente Cerrado Sistema

ANC

d(n)

y(n)

P(z)

Errore(n)

Antirruido

Ruido

Ambiente Cerrado Sistema

ANC

d(n)

y(n)

P(z)

Errore(n)

Capítulo 2

Antecedentes – Revisión del Estado del Arte

2.1 Cancelación Activa de Ruido de Banda Ancha

Esta sección del capítulo explica brevemente los sistemas ANC antealimentados de banda ancha que poseen un solo sensor de referencia y un solo sensor de error. La señal de referencia es procesada por el sistema ANC para generar la señal de control que será inyectada a la bocina, esto se muestra en Fig. 2.1. El micrófono de error es empleado para monitorear el desempeño del sistema ANC. El objetivo del controlador es minimizar el ruido acústico medido (captado por el sensor de referencia).

El sistema básico de ANC mostrado en la Fig. 2.1 se describe con el diagrama a bloques de la Fig. 2.2, en el cual un filtro adaptable W(z) es empleado para estimar la planta desconocida P(z).

La trayectoria primaria P(z) consiste de la respuesta acústica desde el sensor de referencia al sensor del error donde la atenuación del ruido se llevará a cabo. Si la planta es dinámica, el algoritmo adaptable deberá de seguir continuamente las variaciones de la planta.

Micrófono de Error Fuente de

Ruido

Ruido Primario

Micrófono de Referencia

x(n) ANC

Bocina Canceladora

e(n) y(n)

Fig. 2.1. Sistema ANC antealimentado de banda ancha en un ducto.

El objetivo del filtro adaptable W(z) es minimizar la señal del error residual e(n). De la Fig. 2.2 E(z)=0 después que W(z) ha convergido. Entonces se tendrá W(z)=P(z) para X(z)≠ 0, lo cual implica que y(n)=d(n). Por lo tanto, la salida del filtro adaptable y(n) es idéntica a la perturbación primaria d(n). Cuando y(n) y d(n) son combinadas acústicamente, el error residual es e(n)=d(n)- y(n)=0, lo cual resulta en una perfecta cancelación de ambos sonidos basada en el principio de superposición.

P(z)

x(n)

Filtro Digital

W(z)

y(n) d(n)

+ -

e(n)

Dominio Acústico Dominio Eléctrico

P(z)

x(n)

Filtro Digital

W(z)

y(n) d(n)

+ -

e(n)

Dominio Acústico Dominio Eléctrico

Fig. 2.2. Sistema ANC desde el punto de vista de identificación de sistemas.

El desempeño de un sistema ANC¹ puede ser determinado a través de un análisis en frecuencia de la señal de error residual e(n). El espectro de auto potencia de e(n) está dado por:

) ( )]

( 1 [ )

(ω dx ω dd ω

ee C S

S = − (2.1)

donde Cdx(ω) es la magnitud al cuadrado de la función de coherencia entre dos procesos aleatorios estacionarios en sentido amplio d(n) y x(n) y Sdd(ω) es el espectro de auto potencia de d(n). La ecuación (2.1) indica que el desempeño de un sistema ANC es dependiente de la coherencia, la cual es una medida del ruido de la relativa linealidad de los procesos d(n) y x(n).

Para obtener un error residual pequeño es necesario contar con una muy alta coherencia [Cdx(ω)≈1] a frecuencias donde exista una perturbación significativa de la energía. La máxima reducción de ruido de un sistema ANC para una frecuencia ω en decibeles está dada por - 10log10[1 - Cdx(ω)]².

Después de que la señal de referencia ha sido capturada por el sensor de referencia, el controlador contará con cierta cantidad de tiempo para calcular la señal de salida correcta que será inyectada al sistema a través de la bocina canceladora. Si este retardo eléctrico resulta ser más largo que el retardo acústico, desde el micrófono de referencia hasta la bocina canceladora, el desempeño del sistema se verá substancialmente degradado. Esto se debe a que la respuesta del controlador es no causal cuando el retardo eléctrico es mayor al retardo acústico. Cuando la condición de causalidad se satisface, el sistema ANC es capaz de cancelar ruido aleatorio de banda ancha.

Nótese que si la condición de causalidad no se satisface, el sistema sólo cancelará ruido periódico o ruido de banda angosta.

2.1.1 Efectos de la Trayectoria Secundaria.

El llevar un sistema ANC a la implementación física, conlleva la consideración de múltiples factores de carácter práctico. Entre éstos es posible mencionar el convertidor D/A, el filtro de reconstrucción, el amplificador de potencia, la bocina, la trayectoria acústica entre la bocina y el sensor de error (micrófono), el preamplificador, el filtro anti-traslape y finalmente el convertidor A/D, todo ello necesario para detectar las diferentes señales involucradas en el sistema. Lo

1 S. M. Kuo y D. R. Morgan (1999). “Active Noise Control: A Tutorial Review”, IEEE Proceedings, vol. 87, pp.

943-973.

2 ídem

anterior se denomina trayectoria secundaria S(z) y es necesario compensarla desde y(n) hasta e(n). Para propósitos de análisis se empleará el sistema mostrado en la Fig. 2.3.

Filtro Adaptable

W(z) Planta desconocida

P(z) ΣΣ

LMS

S(z)

x(n) d(n)

y(n)

y’(n)

e(n) +

-

Fig. 2.3. Diagrama a bloques simplificado de un sistema ANC.

De la Fig. 2.3, la transformada z de la señal de error es:

[

^{( ) ( ) ( )}

]

^{( )}

)

(z P z S zW z X z

E = − (2.2)

El error residual está limitado por la coherencia de la señal de referencia. Sin embargo, es posible hacer la siguiente suposición (por motivos de simplicidad): después de la convergencia del filtro adaptable, el error residual es idealmente cero [i.e. E(z)=0]. Lo anterior requiere que W(z) sea la función de transferencia óptima:

) (

) ) (

( S z

z z P

W^o = (2.3)

El filtro adaptable W(z) tiene que modelar simultáneamente P(z) e inversamente modelar S(z). La principal ventaja de este punto de vista es que con una correcta modelación de la planta, el sistema puede responder instantáneamente a cambios en la señal de entrada provocados por cambios en la fuente del ruido. Sin embargo, el desempeño de un sistema ANC depende en gran medida de la función de transferencia de la trayectoria secundaria. Cabe mencionar que es necesario un filtro FIR de alto orden para aproximar la función 1/S(z). Resultará imposible compensar el retardo inherente debido a S(z) si la trayectoria primaria P(z) no contiene un retardo de por lo menos una longitud igual.

2.2 Cancelación Activa de Ruido de Banda Angosta

Muchos ruidos son periódicos, como aquellos generados por motores, generadores, compresores, ventiladores, etc. La observación directa del movimiento mecánico de dichas fuentes generalmente es posible si se usa el sensor adecuado, el cual proveerá una señal de referencia eléctrica la cual contiene la frecuencia fundamental y todas las armónicas del ruido primario. Sin

embargo, esta técnica solamente es efectiva para el ruido periódico ya que la frecuencia fundamental es la única información de referencia disponible.

Un diagrama básico a bloques de un sistema ANC de banda angosta se ilustra en la Fig. 2.4. Este sistema controla fuentes armónicas filtrando adaptivamente una señal de referencia x(n) sintetizada internamente y generada por el sistema ANC. Esta técnica ofrece las siguientes ventajas³:

1. Evita la retroalimentación acústica indeseada de la bocina canceladora hacia el micrófono de referencia.

2. También evita los problemas de no linealidad asociados al micrófono de referencia.

3. La periodicidad del ruido elimina la necesidad de satisfacer el principio de causalidad.

4. El uso de una señal de referencia internamente generada resulta en la habilidad del sistema para controlar cada armónica de manera independiente, y

5. Sólo es necesario modelar la función de transferencia de la planta acústica sobre la vecindad (proximidad) de los tonos armónicos, lo cual implica que un filtro FIR de bajo orden puede ser empleado.

Micrófono de Error Fuente de

Ruido

Sensor No Acústico

Filtro Digital x(n)

Bocina Canceladora

e(n) Generador y(n)

de Señal

Algoritmo Adaptivo Señal Sincronía

Ruido Primario

Fig. 2.4. Configuración básica de un sistema ANC de banda angosta.

El generador de la señal de referencia es disparado por un pulso de sincronización proveniente de un sensor no acústico, como un tacómetro del motor de un carro. En general, dos tipos de señales de referencia son comúnmente usadas en los sistemas ANC de banda angosta:

1. Un tren de impulsos con un periodo igual al inverso de la frecuencia fundamental del ruido periodico, y

2. Ondas senoidales con la misma frecuencia de los tonos armónicos a ser cancelados.

3 ídem

La primera técnica se conoce como Método de Síntesis de la Forma de Onda. La segunda técnica comprende un filtro adaptable notch, el cual fue originalmente desarrollado para la cancelación de interferencia de tonos y aplicado a ANC periodico.

2.2.1 Método de Síntesis de la Forma de Onda.

A) Estructuras y algoritmos. El sintetizador de forma de onda guarda muestras de la forma de onda del ruido cancelado {ωl(n),l=0,1,…,L-1} en direcciones de memoria contiguas y únicas, donde L es el número de muestras sobre un ciclo de la forma de onda y n es el índice del tiempo actual. Esas muestras representan la forma de onda que se desea generar y que son enviadas secuencialmente al convertidor D/A para producir la actual forma de onda canceladora de ruido.

Así:

) ( )

(n _{( )} n

y =ω_jn (2.4)

representa el j(n)-ésimo elemento de la forma de onda, donde j(n) ≡ n mod L puede ser implementado como un apuntador incrementado de manera circular entre cero y L-1 para cada periodo de muestreo, controlado por interrupciones generadas por la señal de sincronización.

El ruido residual captado por el micrófono de error es sincronizadamente muestreado por los pulsos de tiempo de la señal de referencia. En un sistema práctico existe un retardo entre que la señal [y(n) = ωj(n)(n)] es alimentada a la bocina y la señal de error es recibida por el micrófono.

Este retardo puede ser solventado, substrayendo un offset en el tiempo del apuntador circular j(n).

Así, la unidad de adaptación ajusta los valores de las muestras de la forma de onda empleando una variante del algoritmo LMS:





 + = −∆

=

+ ( ), . . .

) ( ), ( ) ( ) 1

( n coc

n j l n e n n

l l

l ω

µ

ω ω ⁴ (2.5)

donde ∆=[τ / T] y τ es el retardo, el cual es constante para un cierto arreglo de bocina y micrófono, T es el periodo de muestreo y [x] = entero más grande menor o igual a x. Este offset ∆ debe ser actualizado según cambie la tasa de muestreo, ya que está sincronizado con la fuente del ruido.

B) Principio y Análisis. El método de síntesis de forma de onda es equivalente a un filtro adaptable FIR de orden L=N excitado por un tren de deltas de Kronecker con periodo N=T0/T:

∑

^∞

−∞

=

−

=

k

kN n n

x( ) δ( ) (2.6)

donde δ(⋅) es la función discreta delta de Kronecker y T0=2π/ω0 es el periodo del ruido con frecuencia angular fundamental ω0. La Fig. 2.5 muestra cómo el ruido periódico es cancelado por

4 c.o.c. denota Cualquier Otro Caso

la salida de un filtro adaptable usando un tren de impulsos periódico como la entrada de referencia x(n).

Fuente de Ruido

Generador de Tren de Impulsos

W(z)

LMS

x(n)

y(n) + Σ

-

d(n) e(n)

T₀= NT Fuente de

Ruido

Generador de Tren de Impulsos

W(z)

LMS

x(n)

y(n) + ΣΣ

-

d(n) e(n)

T₀= NT

Fig. 2.5. Diagrama equivalente del método de síntesis de la forma de onda.

Para la señal de referencia (2.6) y un filtro adaptable de orden L=N, la función de transferencia H(z) entre la entrada primaria D(z) y el error E(z) es derivada como⁵:

L L

z z z

D z z E

H ₋

−

−

−

= −

= 1 (1 )

1 )

( ) ) (

( µ (2.7)

Los ceros de la función H(z) tienen amplitud constante de (|z|=1) y se encuentran igualmente espaciados (2π / L) sobre el círculo unitario del plano z para crear puntos nulos en la respuesta en frecuencia a las frecuencias armónicas kω0. Por lo tanto, las componentes armónicas del ruido periódico a las frecuencias armónicas y a la frecuencia fundamental son atenuadas por este filtro múltiple notch. Los polos tienen la misma frecuencia que los ceros pero están igualmente espaciados en el círculo unitario a una distancia (1-µ) del origen. Los polos introducen el efecto de resonancia cerca de los puntos nulos, reduciendo así el ancho de banda del filtro notch.

La ecuación (2.7) también proporciona una limitación práctica en el valor µ para consideraciones de estabilidad; esto es, 0<µ<1 para un tren de impulsos de amplitud unitaria. El ancho de banda a 3 dB de cada notch para µ<<1 es aproximadamente B≈µ/πT Hz. Esto muestra que el ancho de banda del filtro notch es proporcional al tamaño de paso µ. En el caso general, la constante de tiempo de la caída de la respuesta envolvente es aproximadamente τ ≈ T/µ segundos.

Consiguientemente, existe un compromiso entre el ancho de banda del filtro notch y la duración de la respuesta transitoria, la cual está determinada por el tamaño del paso y la tasa de muestreo del sistema ANC de banda angosta.

2.2.2 Filtros Notch Adaptables.

A) Cancelador Adaptable de Ruido de Banda Angosta. Un filtro notch adaptable puede ser implementado utilizando un cancelador de ruido adaptable con una senoide como señal de referencia. Las ventajas de un filtro notch adaptable son: un fácil control del ancho de banda y la capacidad para adaptivamente seguir la frecuencia exacta de interferencia. Un cancelador

5 ídem

adaptable de ruido de frecuencia simple se muestra en la Fig. 2.6. La señal de referencia es una señal coseno x(n) = x0(n) = Acos(ω0n), donde A y ω0 son la amplitud y la frecuencia, respectivamente, de la señal de referencia. Un desfasador de 90° es empleado para producir la señal de referencia en cuadratura x1(n) = Asin(ω0n).

Desfase de 90°

x₀(n) x₁(n)

w₀(n) w₁(n)

LMS

Σ + +

Σ e(n)

y(n) d(n)

Señal de referencia x(n) Señal Primaria

+ -

W(z)

G(z)

Desfase de 90°

x₀(n) x₁(n)

w₀(n) w₁(n)

LMS

ΣΣ + +

ΣΣ e(n)

y(n) d(n)

Señal de referencia x(n) Señal Primaria

+ -

W(z)

G(z)

Fig. 2.6. Filtro adaptable notch de frecuencia única.

La función de transferencia H(z) en estado estable de la entrada primaria d(n) a la salida del cancelador de ruido e(n) es⁶:

(

²

)

^{0 2}

2

0 2

1 cos 2

1 cos 2 )

( ) ) (

( z A z A

z z z

D z z E

H µ ω µ

ω

− +

−

−

+

= −

= (2.8)

Los ceros de H(z) están localizados en el plano z en z = e^±jω0, estando precisamente sobre el círculo unitario a un ángulo ω0. Así, el cancelador adaptable de ruido se comporta como un filtro notch sintonizable, con un notch ubicado en la frecuencia de referencia ω0. Para un filtro general adaptable de orden L, la ecuación (2.8) se convierte en:

1 2 2 cos

2

1 cos 2 )

( ) ) (

( ₂

0 2

2

0 2

z LA z LA

z z z

D z z E

H µ ω µ

ω

−

 +



 



 −

−

+

= −

= (2.9)

Consecuentemente, los polos son dependientes del número de coeficientes L y eso afectará a la forma de la respuesta del filtro notch.

La nitidez de un filtro notch está determinada por la cercanía de los polos a los ceros. El ancho de banda a 3 dB del filtro notch se estima como⁷:

6 ídem

] 4 [

2

T Hz B LA

π

≈µ (2.10)

Cuando la frecuencia de la seno ide cambia rápidamente o presenta el efecto de jitter, el filtro notch deberá cubrir un intervalo más amplio de frecuencias. Esto puede ser cumplido usando una µ más grande, lo cual permite al filtro notch seguir más rápido a los cambios y presentar mayor ancho de banda. Para L=2. el sistema converge rápidamente y la constante de tiempo de la adaptación 1/c es aproximadamente:

] 2 [

2 s

A T

mse µ

τ ≤ (2.11)

la cual, a su vez está determinada por la potencia de la senoide de referencia y el tamaño de paso µ.

B) ANC de frecuencia única (Método de Ziegler). Un oscilador cuadrático recursivo provee dos componentes ortogonales x₀(n) y x₁(n), las cuales son empleadas como referencia (entrada) por los filtros adaptables. Esas dos señales son multiplicadas por pesos separados y después sumadas para producir la señal de control (i.e. la que cancelará el ruido) y(n). En el límite de un proceso de adaptación lento, la función de transferencia de un sistema ANC de banda angosta se convierte en⁸:

[

− − ∆

]

+ − ∆

−

+

= −

φ β φ

ω β ω

ω

cos 1

) cos(

cos 2

1 cos ) 2

(

0 0

2

0 2

z z

z z z

H (2.12)

donde β = µA²As, As es la amplitud de S(z) a la frecuencia ω0 y φ∆ = φs - φs’ es la diferencia de fase entre S(z) y S’(z) a ω0. Para pequeñas β, H(z) posee polos complejos conjugados a un radio

− ∆

= 1 β cosφ

rp . Ya que todos los términos componentes de β son positivos, el radio del polo puede ser más grande que uno solo si cos φ∆ es negativo. En conformidad, la condición de estabilidad es:

0

cosφ_∆> ó −90°<φ_∆ <90° (2.13) y la constante de tiempo de convergencia es reducida por un factor de 1/cos φ∆.

C) ANC Simplificado de frecuencia única. La técnica de Ziegler requiere de dos tablas (coseno y seno) en el generador de la forma de onda para formar x0(n) y x1(n) o solo emplea la tabla del coseno y un defase de 90° para generar el seno. En un esquema simplificado, se emplea un solo generador de coseno para formar la referencia de entrada x(n), la cual después es alimentada a un simple filtro FIR de dos coeficientes, cuyos pesos son actualizados por un algoritmo adaptable.

7 ídem

8 ídem

En este caso, la convergencia más rápida puede ser alcanzada escogiendo una tasa de muestreo igual a cuatro veces la frecuencia de la onda senoide.

2.3 Estructuras Con Referencia Externa

Los sistemas acústicos ANC que emplean la estructura mostrada en la Fig. 2.1, sufren de los efectos causados por la retroalimentación de señal de control y(n), manejada por la bocina canceladora, hacia el micrófono de referencia, el cual únicamente debe detectar el ruido primario para proporcionar al controlador la señal de referencia x(n). El acoplamiento de la onda acústica de la bocina canceladora con el micrófono de referencia se denomina retroalimentación acústica.

Efectos similares ocurren en sistemas ANC vibradores debido a la retroalimentación del actuador de control hacia el sensor de referencia.

P(z)

F(z)

W(z)

S(z)

ΣΣ ΣΣ

+ + -

+

y(n)

y’(n) e(n) u(n)

x(n)

d(n)

H(z)

Fig. 2.7. Diagrama a bloques de un sistema ANC con retroalimentación.

Un diagrama a bloques más general de un sistema ANC que incluye la retroalimentación proveniente de la trayectoria secundaria hacia el sensor de referencia se muestra en la Fig. 2.7, donde u(n) es el ruido primario, x(n) es la señal captada por el sensor de referencia y F(z) es la función de transferencia de la trayectoria de retroalimentación desde la salida del filtro adaptable W(z) hasta el sensor de referencia. La función de transferencia en estado estable del filtro adaptable es:

) ( ) ( ) (

) ) (

( S z P z F z z z P

W = + (2.14)

De la Fig. 2.7, la función de transferencia en lazo abierto asociada con el lazo de retroalimentación está dado por HOL(z)=W(z)F(z). Si el filtro adaptable W(z) ha convergido a la solución óptima (2.14), entonces:

) ( ) ( ) (

) ( ) ) (

( S z P z F z z F z z P

W = + (2.15)

Esta función de transferencia en lazo abierto puede ser usada para probar la estabilidad del sistema. La inestabilidad ocurrirá si la fase del lazo abierto se retrasa por más de 180° mientras que la ganancia de lazo abierto es mayor a la unidad.

2.3.1 Neutralización de la Retroalimentación.

La forma más simple de resolver el problema de la retroalimentación consiste en emplear una cancelación separada para la retroalimentación, dentro del filtro controlador, lo cual no es más que la misma técnica empleada en la cancelación acústica de eco. Este modelo eléctrico de la trayectoria de retroalimentación es manejada por la señal secundaria y su salida es substraída de la señal de referencia del sensor. Un sistema ANC de tubos acústicos empleando el algoritmo LMS con neutralización de retroalimentación es ilustrado en la Fig. 2.8. La componente de retroalimentación en la señal de referencia del micrófono es cancelada electrónicamente empleando un filtro de cancelación de retroalimentación F’(z), el cual modela la trayectoria de retroalimentación F(z).

Micrófono de Error Fuente de

Ruido

Micrófono de Referencia

x(n)

e(n) y(n)

ΣΣ F’(z)

W(z)

LMS

z^-1 +

- u(n)

Fig. 2.8. ANC con neutralización de retroalimentación acústica.

Ya que el ruido primario está altamente correlacionado con el antirruido, la adaptación del filtro de cancelación de retroalimentación debe ser detenida cuando el sistema ANC esté en operación, de manera similar a la cancelación adaptable de eco durante los periodos cuando los dos abonados hablan. De esta manera, la neutralización de la retroalimentación es alcanzada, en efecto, usando un método adaptable fuera de línea para determinar la función de transferencia de la trayectoria de retroalimentación.

2.4 Estructuras Sin Referencia Externa.

Un diagrama a bloques de un sistema ANC sin referencia externa se presenta en la Fig. 2.9. La salida del sensor del error es procesada por el sistema ANC para generar la señal de control.

ANC sin referencia

externa

Bocina Canceladora

e(n) y(n)

Fuente de Ruido

Micrófono de Error Ruido Primario

Fig. 2.9. Sistema ANC sin referencia externa.

La idea básica de un sistema ANC sin referencia externa, consiste en estimar el ruido primario y usarlo como señal de referencia x(n) para el filtro ANC. En la Fig. 2.9 el ruido primario es expresado en el dominio de Z como D(z) = E(z) + S(z)Y(z), donde E(z) es la señal obtenida del sensor de error y Y(z) es la señal de control generada por el filtro adaptable. Si S’(z) ≈ S(z), es posible estimar el ruido primario d(n) y usarlo para sintetizar la señal de referencia x(n). Esto es:

) ( ) ( ' ) ( ) ( ' )

(z D z E z S zY z

X ≡ = + (2.16)

Lo anterior constituye la técnica de síntesis (regeneración) de la señal de referencia, según la cual la señal de control y(n) es filtrada por la estimación de la trayectoria secundaria S’(z) y después combinada con e(n) para regenerar el ruido primario.

Un sistema completo ANC sin referencia externa empleando el algoritmo FXLMS (por el momento considérese este algoritmo como un método para compensar los efectos de la trayectoria secundaria) se ilustra en la Fig. 2.10, donde S’(z) debe compensar los efectos de la trayectoria secundaria. La señal de referencia x(n) se sintetiza como:

∑

⁻

=

− +

=

≡ ¹

0

) ( ' )

( ) ( ' ) (

M

m

my n m

s n

e n d n

x (2.17)

donde s’m, m = 0,1,…,M-1 son los coeficientes del filtro FIR de orden M S’(z) usado para estimar la trayectoria secundaria.

ΣΣ

W(z) S(z)

S’(z)

LMS S’(z)

ΣΣ

e(n) d(n)

y(n) x(n)

d’(n) x’(n)

+

+ +

-

Fig. 2.10. Sistema ANC sin referencia externa usando FXLMS.

De la Fig. 2.10 se tiene x(n) = d(n) si S’(z) = S(z). Si el tamaño de paso µ del algoritmo LMS es pequeño (convergencia lenta), el filtro adaptable W(z) puede ser conmutado con S(z). Si se supone que la trayectoria secundaria S(z) puede ser modelada con solo un grupo de retardos, esto es, S(z) = z^-∆, la Fig. 2.10 es idéntica al esquema estándar de predicción adaptable mostrado en la Fig. 2.11. La respuesta del sistema desde d(n) hasta e(n) es llamada filtro de predicción de error H(z). El filtro adaptable W(z) actúa como un predictor adaptable del ruido primario d(n) para minimizar el ruido residual e(n), de tal forma que el desempeño del sistema ANC dependa de la predictibilidad del ruido primario d(n).

ΣΣ

W(z)

LMS

e(n) d(n)

y(n) x(n)

+ - z^-∆

H(z)

Fig. 2.11. Diagrama a bloques de un predictor adaptable.

Si S’(z) = S(z), la función de transferencia completa H(z) del ANC desde d(n) hasta e(n) es:

) ( ) ( ) 1

( ) ) (

( S zW z

z D

z z E

H = = − (2.18)

2.5 Algoritmos de Adaptación.

2.5.1 El algoritmo LMS.

Este algoritmo es uno de los más sencillos en su realización. En su versión más simple, se tiene al algoritmo LMS de gradiente estocástico. En este algoritmo se cuenta con una señal de referencia, denominada x(n). A continuación se introduce una breve descripción.

Como se ha mencionado, se cuenta con un filtro adaptable W(z). Cada unos de sus coeficientes, en el tiempo n, determinará el valor de los próximos coeficientes, (i.e. en el tiempo n+1) más un gradiente de la potencia de la señal de error e(n) que se genera. En términos matemáticos esto se expresa en la ecuación 2.19.

(

^{( )}

)

) ( ) 1

(n _K n ₂¹ n

K ω µ ζ

ω + = + ⋅∇ (2.19)

Para el caso del algoritmo LMS de gradiente estocástico es:

) ( )

(n =e² n

ζ (2.20)

Donde la señal de error e(n) se encuentra expresada por:

) ( ) ( )

(n d n y n

e = − (2.21)

Así mismo la señal de control y(n) se forma a partir de una convolución entre la señal de referencia x(n) y los coeficientes del filtro adaptable W(z):

) ( ) ( )

(n x n n

y r ωr

∗

= (2.22)

Realizando las respectivas sustituciones se encuentra que el gradiente de la potencia de la señal de error e(n) es:

[ ]

²

2( )] ( ) ( ) ( )

[e n d n x n n

K

ω ω

r

r ∗

∂ −

= ∂

∇ ()

[

^{( ) ( ) ( )}

]

) ( 2 )]

(

[e² n e n d n x n n

K

ω ω

r

r ∗

∂ −

= ∂

∇

) ( ) ( 2 )]

(

[e² n = − e n ⋅xr n

∇ (2.23)

Sustituyendo la ecuación 2.23 en la ecuación 2.19, se obtiene : ) ( ) ( 2 ) ( ) 1

(n _K n x n e n

K

r r

r + =ω − µ⋅

ω (2.24)

La cual, expresándola en forma matricial:

























−

−

⋅

−

−

⋅

−

























⋅

=

























+

⋅ + + +

⋅

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

⋅

)) 1 ( (

) 2 (

) 1 (

) (

).

(

) (

) (

) (

) (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

.

. 1

.

. 2 1 0

1 .

. 2 1 0

k n x

n x

n x

n x

n e

n n n n

n n n n

K K

µ

ω ω ω ω

ω ω ω ω

(2.25)

Lo anterior suponiendo k coeficientes conformando al filtro W(z). Finalmente, la señal de control y(n) es expresada, de manera escalar, por la ecuación 2.26.

∑

⁻

=

⋅

−

= ¹

0

) ( ) ( )

(

K

i

i n i n x n

y ω (2.26)

2.5.2 El algoritmo NLMS.

En la forma estándar del algoritmo LMS, la corrección µx(n)e(n) aplicada al vector de coeficientes de ponderación w(n) en la iteración n+1 es directamente proporcional al vector de coeficientes de entrada x(n). Por ello, cuando x(n) es largo, el algoritmo LMS experimenta un problema de gradiente de ruido amplificado. Para solucionar este inconveniente, se emplea el algoritmo LMS normalizado (NLMS). Particularmente, la corrección aplicada al vector de coeficientes de ponderación w(n) en la iteración n+1 es “normalizada” con respecto a norma cuadrada euclidiana del vector de coeficientes de entrada x(n) en la iteración n, de aquí el término normalizado.

Así el algoritmo NLMS se encuentra expresado por la ecuación 2.27.

( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) (

1 1 1

2 x n e n

n x

n w n

w n

w

r r

r r

r

=

− +

= + δ

(2.27)

Para ejercer control sobre el cambio en el vector de coeficientes de ponderación de una iteración a otra sin cambiar su dirección, se introduce un factor positivo real de escalamiento denotado α. Esto es, se redefine el cambio δw(n+1) como:

( ) ( ) ( )

) ( ) ( ) (

1 1

2 x n e n n

x

n w n

w n

w

r r

r r

r

α δ

=

− +

= +

(2.28)

Equivalentemente se escribe:

( ) ( )

^{( ) ( )}

) (

1 ₂ x ne n

n x n w n

w r

r r

r + = + α (2.29)

Lo importante de este algoritmo radica en que dados nuevos datos de entrada (en el tiempo n) representados por el vector de coeficientes de entrada x(n) y la respuesta deseada d(n), el NLMS actualiza el vector de coeficientes de ponderación de tal manera que el valor w(n+1) computado en el tiempo n+1 exhibe el mínimo cambio (en términos de la norma euclidiana) con respecto al valor conocido w(n) en el tiempo n. Así, el NLMS es una manifestación del principio de mínima distorsión. Aún más importante es el hecho de que el NLMS exhibe una razón de convergencia potencialmente más rápida que el LMS estándar. Por otro lado, cuando el vector de coeficientes de entrada x(n) es pequeño, probablemente se presentan dificultades numéricas al dividir por un valor pequeño del cuadrado de la norma ||x(n)||². Para evitar ese problema, se modifica ligeramente la forma del NLMS según se expresa a continuación:

( ) ( )

^{( ) ( )}

) (

1 ₂ x n e n

n x u n w n

w r

r r r

+ +

=

+ α

(2.30)

donde u > 0 y, como es sabido, 0 < α < 2.

2.5.3 El algoritmo FXLMS.

Debido a la existencia de la trayectoria secundaria S(z) después del filtro adaptable, es necesario modificar el algoritmo LMS para asegurar la convergencia. Entre las alternativas para resolver esta situación se encuentra la opción de colocar el filtro inverso 1/S(z), en serie con S(z) para remover su efecto. Otra opción consiste en situar un filtro idéntico en la trayectoria de la señal de referencia para actualizar los pesos del algoritmo LMS, con lo anterior se obtiene el denominado algoritmo filtrado-X LMS ó FXLMS.

Debido a que no necesariamente siempre existirá el inverso de S(z), el algoritmo FXLMS es el enfoque más efectivo. Así, el FXLMS es una forma alternativa del LMS a ser empleada cuando exista una trayectoria secundaria después del filtro adaptable. Para asegurar la convergencia del filtro, la entrada al correlacionador del error es filtrada por una copia (estimada) de la función de transferencia de la trayectoria secundaria, de ahí la denominación de este algoritmo.

2.5.3.1 Derivación del algoritmo FXLMS.

La consideración de la función de transferencia de la trayectoria secundaria después del filtro digital W(z) controlado por el algoritmo LMS se mo stró en la Fig. 2.3. La señal residual se expresa como⁹:

[

^{( ) ( )}

]

) ( ) ( )

(n d n s n w n x n

e = − ∗ r^T r ¹⁰ (2.31)

donde n es el índice del tiempo, s(n) es la respuesta impulsiva de la trayectoria secundaria S(z), ¯ denota convolución linear, w(n) = [w0(n), w1(n),… wL-1(n)]^T y x(n) = [x(n), x(n-1),… x(n-L+1)]^T son los vectores de coeficientes y señal de W(z), respectivamente, y L es el orden del filtro. El filtro W(z) debe ser de suficiente orden para que el sistema físico se modele de forma precisa.

Suponiendo una función de costo de tipo mínimo cuadrado ξ(n)=E[e²(n)], el filtro adaptable minimiza el error cuadrado instantáneo:

) ( ) ˆ(n =e² n

ξ (2.32)

empleando el algoritmo de paso descendente, el cual actualiza el vector de coeficientes en la dirección negativa del gradiente con un tamaño de paso µ:

9 ídem

10 → denota un vector

) ˆ( ) 2

( ) 1

(n w n n

wr + = v − µ∇ξ

(2.33) donde sξ(n) es la estimación instantánea del gradiente del error cuadrado medio (MSE) en el tiempo n y es expresado como sξ(n) = se²(n) = 2[se(n)]e(n). De (19) se tiene se(n) = - s(n)*x(n) = -x’(n), donde x’(n) = [x’(n), x’(n-1),… x’(n-L+1)]^T y x’(n)=s(n)*x(n). Así, el gradiente estimado es:

) ( ) ( ' 2 )

ˆ(n xr n e n

−

=

∇ξ (2.34)

Substituyendo (2.34) en (2.33), se obtiene el algoritmo FXLMS:

) ( ) ( ' ) ( ) 1

(n w n x ne n

wr + = v +µr (2.35)

En aplicaciones prácticas de ANC, S(z) resulta desconocida y debe ser estimada a través de un filtro adicional S’(z). Así la señal de referencia filtrada es generada haciendo pasar la señal de referencia a través de ese estimado de la trayectoria secundaria:

) (

* ) ( ' ) (

' n s n x n

x = (2.36)

donde s’(n) es la respuesta a impulso estimada del filtro de la trayectoria secundaria S’(z).

2.5.3.2 Análisis del algoritmo FXLMS.

El diagrama de bloques de un sistema ANC, que emplea el algoritmo FXLMS, se presenta en la Fig. 2.12.

|

P(z)

x(n)

S’(z)

W(z) S(z)

LMS

y(n) y’(n)

d(n)

x’(n)

+

- e(n)

Fig. 2.12. Diagrama de bloques de un sistema ANC usando el algoritmo FXLMS.

A continuación se procederá con un breve análisis. Considérese el caso en el cual el filtro de control, W(z), cambia lentamente. Bajo ésa condición, el orden de W(z) y S(z) en la figura anterior pueden ser conmutados y se obtendrá una salida casi equivalente. Entonces, si S(z)= S’(z), se obtendrá un diagrama simplificado, como el de la figura siguiente.

|

P(z)

x(n)

S’(z) W(z)

LMS

y(n) d(n)

x’(n)

+

- e(n)

Fig. 2.13. Diagrama a bloques equivalente de la Figura 2.12 para adaptación lenta.

Ahora, la salida del filtro adaptable se encuentra lista para formar el error (con sólo una suma algebraica), esto permite realizar el análisis tradicional para el algoritmo LMS, sin embargo la señal relevante será x´(n), la cual es producida filtrando x(n) a través de S(z). Este método arroja resultados precisos si la adaptación es lenta, esto es, si el tamaño de paso o factor de convergencia µ es pequeño.

En la práctica, el algoritmo FXLMS posee un comportamiento estable aún si los coeficientes del filtro de control cambian significativamente en el tiempo comparados con la respuesta dinámica de la trayectoria secundaria. El tamaño máximo para el paso, o factor de convergencia, es aproximadamente de¹¹:

)' (

1

'

max = +∆

L P_x

µ (2.37)

donde P_x’ = E[x’²(n)] es el valor cuadrático medio, o la potencia de la señal de referencia filtrada x’(n), L es la longitud del filtro adaptable (i.e. número de coeficientes) y ∆ es el número de muestras correspondientes al retardo total de la trayectoria secundaria. El retardo en la trayectoria secundaria es factor más significativo en la respuesta dinámica de un sistema ANC, por lo cual puede reducir el máximo valor del factor de convergencia.

Existen diversas variantes del algoritmo FXLMS, por ejemplo el FXLMS Normalizado, el Leaky FXLMS, Signed FXLMS, FXLMS de paso variable, etc. Estos algoritmos proveen un mejor desempeño en términos de tiempo de convergencia, robustez o complejidad computacional. En particular, el Leaky FXLMS, el cual minimiza el esfuerzo en el control así como la señal de error, resulta efectivo en evitar el problema de divergencia causado por los efectos de precisión finita de los sistemas de cálculo empleados (i.e. DSP, FPGA).

11 ídem

2.5.4 El algoritmo FXRLS.

El FXRLS es una extensión natural del tradicional algoritmo RLS aplicado a un sistema ANC.

Una característica importante del algoritmo RLS es que todos los datos de entrada pasados, desde que el algoritmo empezó a trabajar, son considerados para la actualización de los pesos. Esa característica, comparada con el FXLMS, provee un mejor comportamiento en términos de tiempo de convergencia y desajuste. Sin embargo, el mejoramiento en el desempeño es logrado a expensas del incremento en la complejidad computacional. El algoritmo FXRLS es mucho más complicado que el FXLMS pues la complejidad computacional es de orden N², donde N es el número de coeficientes del filtro adaptable.

Como ha sido mencionado, la gran mayoría de las aplicaciones de ANC requieren compensar la existencia de la trayectoria secundaria. Así, el algoritmo RLS también puede sufrir de una modificación: la introducción de S(z) después del filtro adaptable W(z).

El introducir esa alteración requiere que la señal de referencia x(n) sea filtrada por una copia de S(z), caso similar al FXLMS, esto es S’(z).

El algoritmo FXRLS se resume como sigue¹²:

) ( ) ( ' ) ( ) 1

(n w n k n e n

wr + = r + r (2.38)

1 ) ( ' ) ( '

) ( ) '

(

' = +

n z n x

n n z

k r_T r

r r

(2.39)

) ( ' ) 1 ( ' )

(

' n ¹Q n x n

zr =λ⁻ r − r (2.40)

) ( ' ) ( ' ) 1 ( ' )

(

' n ¹Q n k n z n

Qr r r r^T

−

−

=λ⁻ (2.41)

donde x’(n) ≡ [x’(n), x’(n-1),… x’(n-L+1)]^T es el vector de la señal de referencia filtrada con elementos:

) ( ) ( ' ) (

' n s n x n

x ≡ × (2.42)

donde s’(n) es la respuesta al impulso del estimado de la trayectoria secundaria S’(z).

La figura siguiente muestra un diagrama a bloques de un sistema ANC implementado con el algoritmo FXRLS.

12 S. M. Kuo and D. R. Morgan, Active Noise Control Systems - Algorithms and DSP Implementations. New York;

Wiley,1996.