En esta situación para determinar la carga neta dentro de la superficie gaussiana se plantea:

(1)

<Problemas propuestos y resueltos Ley de Gauss

Preparado por: Profesora Pilar Cristina Barrera Silva

Física Serway, volumen 2, sexta edición

2.3 En un campo eléctrico uniforme se hace girar un lazo con un diámetro de 40,0 cm hasta encontrar la posición en la cual existe el mayor flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 5,20 𝑋10 ^! 𝑁 ∙ 𝑚 ^" /𝐶, halle la magnitud del campo eléctrico.

R/4,14𝑋10 ^# 𝑁/𝐶

Solución: el mayor flujo de campo eléctrico se presenta cuando el vector de área es paralelo con el vector campo eléctrico.

En este caso para determinar la magnitud de campo eléctrico aplico el concepto de flujo:

𝜙 _$ = , 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

Como el campo es uniforme y los vectores son paralelos, la integral es inmediata:

𝜙 _$ = 𝐸𝐴 realizando cálculos: E=4,14𝑋10 ^# 𝑁/𝐶

Física Serway, volumen 2, sexta edición

2.29 Considere una distribución de carga cilíndrica larga de radio R con una densidad de carga uniforme 𝜌, la carga está distribuida de manera uniforme en todo el cilindro.

Halle el campo eléctrico a una distancia r del eje: (a) en r<R. (b) b) en r>R Grafique el campo eléctrico en magnitud como función de r, analizando si la función es continua.

Respuesta: 0<r<R 𝐸 = _"' ^%&

!

; r>R 𝐸 = ⁽ _")

^"

^%

!

*

&

Solución:

Para esta distribución de carga en r<R se ha ilustrado la superficie gaussiana, aplicando la ley de Gauss ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ⁺

^#$%&

_'

!

y teniendo en cuenta que el campo eléctrico es radial:

𝐸𝐴 ,-./&0121/ 45-,,1565 = 𝑞 6/75 /6 ,-./&.45-,,1565

𝜖 ₉

En esta situación para determinar la carga neta dentro de la superficie gaussiana se plantea:

𝜌 = ⁺ _: = _: ^;

^´_´

Ya que el enunciado indica la densidad: 𝑞 ^´ = 𝜌𝑉´ = 𝜌𝜋𝑟 ^" 𝐿 Reemplazando en la ley de Gauss:

𝐸2𝜋𝑟𝐿 = 𝜌𝜋𝑟 ^" 𝐿 𝜖 ₉ Despejando el campo eléctrico: 𝐸 = _' ^%&

!

" notamos que el campo eléctrico es lineal con

la distancia radial 𝑟!

(2)

(b)

Aplicando la Ley de Gauss: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ⁺

^#$%&

_'

!

; en este caso la carga neta se encuentra en: 𝑄 _6/75 = 𝜌𝜋𝑅 ^" 𝐿 entonces:

𝐸2𝜋𝑟𝐿 = ^%=( _∈

^"

^>

!

despejando la magnitud del campo eléctrico:

𝐸 = _"' ^%(

^"

!

& en esta región el campo decrece de acuerdo con 1/𝑟

Veamos ahora el gráfico de campo eléctrico como función de la distancia radial 𝑟

Análisis: dentro del cilindro la función campo eléctrico es lineal, en r=R las dos funciones tienen el mismo valor 𝐸 = _"' ^%(

!

, lo que indica que el campo eléctrico es continuo, para r>R el campo eléctrico

decrece de acuerdo con 1/r.

Física Tipler, volumen 2, primera edición, editorial Reverté.

30. 14 Una corteza cilíndrica de paredes delgadas de radio R y longitud infinita lleva una densidad de carga superficial 𝜎. Halle el campo eléctrico debido a la corteza en: a) 0<r<R b) r>R Grafique el campo eléctrico en magnitud como función de r, analizando si la función es continua.

Respuesta: 0<r<R E=0; para r>R el campo es: E= ^@( ₎

!

*

&

Solución:

a. aplicando la Ley de Gauss ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ⁺

^#$%&

_'

!

en 0<r<R

ya que en interior de la superficie gaussiana no se presenta carga:

𝐸𝐴 = 0 entonces ya que el área de la superficie gaussiana es diferente de cero, el campo eléctrico debe ser nulo en esta región.

b. para r>R, de acuerdo con la ilustración:

aplicando la Ley de gauss en esta región notamos que en la superficie gaussiana está toda la carga:

EA = 𝑄 _6/75 𝜖 ₉

Ya que el campo eléctrico se orienta en dirección radial, solo hay flujo en el área lateral, entonces: 𝐸2𝜋𝑟𝐿 = @"=(>

'

!

Despejo el campo eléctrico y simplifico:

(3)

𝐸 = 𝜎𝑅 𝜖 ₉ 𝑟 c. el gráfico es el siguiente:

notamos que dentro del cilindro el campo eléctrico es nulo, para r>R el campo eléctrico decrece de acuerdo al inverso de la distancia radial y en 𝑟 = 𝑅 el campo vale: 𝐸 = 𝜎/𝜖 ₉ este resultado nos indica que la función no es continua.

Física Tipler, volumen 2, primera edición, editorial Reverté.

30.15 Un cilindro aislante infinitamente largo de radio R tiene una densidad de carga volumétrica 𝜌. Halle el campo eléctrico debido al cilindro en a) 0<r<R b) r>R Grafique el campo eléctrico en magnitud como función de r, analizando si la función es

continua.

Respuesta: 0<r<R 𝐸 = _") ^%&

!

; r>R 𝐸 = ⁽ _")

^"

^%

!

*

&

Física Halliday, Resnick, volumen 2, Compañía editorial continental S.A. tercera edición

28.14 La figura muestra un casquete esférico no

conductor cargado con una densidad de carga uniforme 𝜌(C/m

³

). Trace un gráfico de E como función de la distancia r, medida desde el centro de la esfera, cuando su valor varía desde 0 hasta 30,0 cm suponiendo que 𝜌 =1,00X10

^-6

C/m

³

, a= 10,0 cm b= 20,0 cm.

Sugerencia: determine el campo eléctrico debido al casquete, utilizando Ley de Gauss en las diferentes regiones.

Física Halliday, Resnick, volumen 2, Compañía editorial continental S.A. tercera edición

28.25 La figura muestra la sección de dos cilindros concéntricos largos de radios a y b. Los cilindros tienen carga por unidad de longitud 𝜆, iguales y opuestas, halle el campo eléctrico debido a los cilindros en: 0<r<a; a<r<b; r>b

R/ E=0 si r<a y si r>b; E= _"=' ^A

!

& si a<r<b

(4)

(5)

Nota: Encontramos este ejercicio explicado en la pestaña videos de este sitio virtual.

(6)

Ley de Gauss: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴 ...⃗ = ⁺

^#$%&

_'

!

aplicada a una esfera maciza aislante, uniformemente cargada

Ejercicio: Se tiene una esfera maciza de radio R -ver ilustración- con una carga positiva distribuida de manera uniforme en todo el volumen de ésta, la densidad volumétrica de carga en la esfera es 𝜌 medida en 𝐶/𝑚 ^B . Determinar el campo eléctrico en magnitud en dirección radial debido a la esfera para r<R y r>R. Graficar la función campo eléctrico en magnitud como función de la distancia radial r.

Solución: sabemos que la ley de Gauss se expresa: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴 ...⃗ = ⁺

^#$%&

_'

!

(1) primero resolvemos para r<R

tenemos en cuenta que el campo eléctrico se orienta en dirección radial, así mismo el vector de área también está ubicado en dirección radial entonces en la ley de Gauss podemos plantear:

∮ 𝐸.⃑ ∙ 𝑑𝐴 ...⃑ = ∮ 𝐸𝑟̂ ∙ 𝑑𝐴𝑟̂ = ⁺

^#$%&

_'

!

nos damos cuenta que la integral es inmediata, los vectores unitarios son paralelos, en consecuencia:

∮ 𝐸𝑑𝐴 = 𝐸𝐴 entonces obtenemos: 𝐸𝐴 = ⁺

^#$%&

_'

!

(2) cabe comentar que este resultado es válido en las dos regiones.

en la ilustración apreciamos la superficie gaussiana de radio r.

Notamos que en esta región la carga está distribuida entre 0 y r coloreada en gris mas oscuro, en consecuencia, en el área de la superficie gaussiana no se encuentra la carga total de la esfera, más bien, se tiene un q´, podemos plantear la ley de gauss en la forma:

𝐸𝐴 = ^;´

'

!

(3) veamos que es q´:

al ser uniforme la distribución de carga, se puede expresar la densidad volumétrica de carga en la forma:

𝜌 = ^;´ _:´ esto es, la densidad de carga 𝜌 es la relación de la carga q´ dentro de la superficie gaussiana sobre el volumen V´ contenido en la superficie gaussiana

Al despejar la carga encerrada dentro de la superficie gaussiana: 𝑞´ = 𝜌𝑉´

Remplazando el valor del volumen dentro de la superficie gaussiana: 𝑞´ = 𝜌 ^C=& _B

⁽

Ahora reemplazamos en (3) el valor de la carga primada q´,

𝐸4𝜋𝑟 ^" = 𝜌4𝜋𝑟 ^B 3𝜖 ₉

En esta ecuación hemos tenido en cuenta que el área de la superficie gaussiana:

𝐴 = 4𝜋𝑟 ^"

(7)

Simplifico y despejo el campo eléctrico en magnitud: 𝑬 =

_𝟑𝝐^𝝆𝒓

𝒐

(4) Notamos que se comporta el campo eléctrico como una función lineal.

Ahora determinamos el campo eléctrico en r>R: En la ilustración vemos la superficie gaussiana de radio r.

De nuevo tengo en cuenta la ecuación (2) que dice 𝐸𝐴 = ⁺

^#$%&

'

!

: notamos que en esta región la carga total está dentro de la superficie gaussiana,

¡Sin olvidar que ahora r es mayor que R! y en esta región la carga neta está distribuida entre 0 Y R, entonces: 𝑄 = 𝜌𝑉; 𝑄 = 𝜌 ^C=( _B

⁽

Reemplazando:

𝐸4𝜋𝑟 ^" = 𝜌4𝜋𝑅 ^B 3𝜖 ₉ Simplifico y despejo el valor del campo eléctrico:

𝑬 =

_𝟑𝝐^𝝆𝑹^𝟑

𝒐𝒓^𝟐

(5)

comportándose de manera similar a campo eléctrico de una carga puntual.

Ahora veamos las dos respuestas:

En r<R 𝐸 = ^%&

B'

!

En r>R 𝐸 = ^%(

⁽

B'

!

&

^"

Ahora podemos construir el gráfico de campo eléctrico en magnitud como función de la distancia radial: Entre 0 y R la función es una recta con E=0 en r=0, y la pendiente de la recta es 𝜌/3𝜖 ₉

Es fácil darnos cuenta que para r=R las dos respuestas coinciden y el campo eléctrico vale:

𝐸 = ^%(

B'

!

, lo que nos indica que la función es continua.

Para r>R la función decrece con el inverso del cuadrado de la distancia, comportándose de manera similar a campo eléctrico de una carga puntual.

Se nota que no es necesario usar intervalos abiertos para expresar nuestras respuestas, ya que la función es continua.

Las respuestas determinadas también las podemos expresar en términos de la carga

total Q distribuida de manera uniforme en la esfera a partir de:

(8)

𝑄 = 𝜌𝑉 = 𝜌 ^C=( _B

⁽

entonces si hallamos la densidad volumétrica de carga: 𝜌 = _C=( ^B+

₍

reemplazando este valor en nuestras respuestas:

En r≤R 𝐸 = _B' ^%&

!

= _C=( ^B+&

₍

_B'

!

; 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝐸 = _C=( ^+&

₍

_'

!

En r≥R 𝐸 = _B' ^%(

⁽

!

&

^"

= _C=( ^B+(

₍

_B'

⁽

!

&

^"

; 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜: 𝐸 = _C=& ⁺

_"

_'

!

En esta situación para determinar la carga neta dentro de la superficie gaussiana se plantea:

<Problemas propuestos y resueltos Ley de Gauss

Preparado por: Profesora Pilar Cristina Barrera Silva

Física Serway, volumen 2, sexta edición

2.3 En un campo eléctrico uniforme se hace girar un lazo con un diámetro de 40,0 cm hasta encontrar la posición en la cual existe el mayor flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 5,20 𝑋10 ! 𝑁 ∙ 𝑚 " /𝐶, halle la magnitud del campo eléctrico.

R/4,14𝑋10 # 𝑁/𝐶

Solución: el mayor flujo de campo eléctrico se presenta cuando el vector de área es paralelo con el vector campo eléctrico.

En este caso para determinar la magnitud de campo eléctrico aplico el concepto de flujo:

𝜙 $ = , 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

Como el campo es uniforme y los vectores son paralelos, la integral es inmediata:

𝜙 $ = 𝐸𝐴 realizando cálculos: E=4,14𝑋10 # 𝑁/𝐶

Física Serway, volumen 2, sexta edición

2.29 Considere una distribución de carga cilíndrica larga de radio R con una densidad de carga uniforme 𝜌, la carga está distribuida de manera uniforme en todo el cilindro.

Halle el campo eléctrico a una distancia r del eje: (a) en r<R. (b) b) en r>R Grafique el campo eléctrico en magnitud como función de r, analizando si la función es continua.

Respuesta: 0<r<R 𝐸 = "' %&

; r>R 𝐸 = ( ")

%

*

&

Solución:

Para esta distribución de carga en r<R se ha ilustrado la superficie gaussiana, aplicando la ley de Gauss ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = +

'

y teniendo en cuenta que el campo eléctrico es radial:

𝐸𝐴 ,-./&0121/ 45-,,1565 = 𝑞 6/75 /6 ,-./&.45-,,1565

𝜖 9

En esta situación para determinar la carga neta dentro de la superficie gaussiana se plantea:

𝜌 = + : = : ;

Ya que el enunciado indica la densidad: 𝑞 ´ = 𝜌𝑉´ = 𝜌𝜋𝑟 " 𝐿 Reemplazando en la ley de Gauss:

𝐸2𝜋𝑟𝐿 = 𝜌𝜋𝑟 " 𝐿 𝜖 9 Despejando el campo eléctrico: 𝐸 = ' %&

" notamos que el campo eléctrico es lineal con

la distancia radial 𝑟!

(b)

Aplicando la Ley de Gauss: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = +

'

; en este caso la carga neta se encuentra en: 𝑄 6/75 = 𝜌𝜋𝑅 " 𝐿 entonces:

𝐸2𝜋𝑟𝐿 = %=( ∈

>

despejando la magnitud del campo eléctrico:

𝐸 = "' %(

& en esta región el campo decrece de acuerdo con 1/𝑟

Veamos ahora el gráfico de campo eléctrico como función de la distancia radial 𝑟

Análisis: dentro del cilindro la función campo eléctrico es lineal, en r=R las dos funciones tienen el mismo valor 𝐸 = "' %(

, lo que indica que el campo eléctrico es continuo, para r>R el campo eléctrico

decrece de acuerdo con 1/r.

Física Tipler, volumen 2, primera edición, editorial Reverté.

30. 14 Una corteza cilíndrica de paredes delgadas de radio R y longitud infinita lleva una densidad de carga superficial 𝜎. Halle el campo eléctrico debido a la corteza en: a) 0<r<R b) r>R Grafique el campo eléctrico en magnitud como función de r, analizando si la función es continua.

Respuesta: 0<r<R E=0; para r>R el campo es: E= @( )

*

&

Solución:

a. aplicando la Ley de Gauss ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = +

'

en 0<r<R

ya que en interior de la superficie gaussiana no se presenta carga:

𝐸𝐴 = 0 entonces ya que el área de la superficie gaussiana es diferente de cero, el campo eléctrico debe ser nulo en esta región.

b. para r>R, de acuerdo con la ilustración:

aplicando la Ley de gauss en esta región notamos que en la superficie gaussiana está toda la carga:

EA = 𝑄 6/75 𝜖 9

Ya que el campo eléctrico se orienta en dirección radial, solo hay flujo en el área lateral, entonces: 𝐸2𝜋𝑟𝐿 = @"=(>

'

Despejo el campo eléctrico y simplifico:

𝐸 = 𝜎𝑅 𝜖 9 𝑟 c. el gráfico es el siguiente:

notamos que dentro del cilindro el campo eléctrico es nulo, para r>R el campo eléctrico decrece de acuerdo al inverso de la distancia radial y en 𝑟 = 𝑅 el campo vale: 𝐸 = 𝜎/𝜖 9 este resultado nos indica que la función no es continua.

Física Tipler, volumen 2, primera edición, editorial Reverté.

30.15 Un cilindro aislante infinitamente largo de radio R tiene una densidad de carga volumétrica 𝜌. Halle el campo eléctrico debido al cilindro en a) 0<r<R b) r>R Grafique el campo eléctrico en magnitud como función de r, analizando si la función es

continua.

Respuesta: 0<r<R 𝐸 = ") %&

; r>R 𝐸 = ( ")

%

*

&

Física Halliday, Resnick, volumen 2, Compañía editorial continental S.A. tercera edición

28.14 La figura muestra un casquete esférico no

conductor cargado con una densidad de carga uniforme 𝜌(C/m

). Trace un gráfico de E como función de la distancia r, medida desde el centro de la esfera, cuando su valor varía desde 0 hasta 30,0 cm suponiendo que 𝜌 =1,00X10

C/m

, a= 10,0 cm b= 20,0 cm.

Sugerencia: determine el campo eléctrico debido al casquete, utilizando Ley de Gauss en las diferentes regiones.

Física Halliday, Resnick, volumen 2, Compañía editorial continental S.A. tercera edición

28.25 La figura muestra la sección de dos cilindros concéntricos largos de radios a y b. Los cilindros tienen carga por unidad de longitud 𝜆, iguales y opuestas, halle el campo eléctrico debido a los cilindros en: 0<r<a; a<r<b; r>b

2.3 En un campo eléctrico uniforme se hace girar un lazo con un diámetro de 40,0 cm hasta encontrar la posición en la cual existe el mayor flujo eléctrico. El flujo en esta posición tiene un valor de 5,20 𝑋10 ^! 𝑁 ∙ 𝑚 ^" /𝐶, halle la magnitud del campo eléctrico.

R/4,14𝑋10 ^# 𝑁/𝐶

𝜙 _$ = , 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗

𝜙 _$ = 𝐸𝐴 realizando cálculos: E=4,14𝑋10 ^# 𝑁/𝐶

Respuesta: 0<r<R 𝐸 = _"' ^%&

; r>R 𝐸 = ⁽ _")

^%

Para esta distribución de carga en r<R se ha ilustrado la superficie gaussiana, aplicando la ley de Gauss ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ⁺

_'

𝜖 ₉

𝜌 = ⁺ _: = _: ^;

Ya que el enunciado indica la densidad: 𝑞 ^´ = 𝜌𝑉´ = 𝜌𝜋𝑟 ^" 𝐿 Reemplazando en la ley de Gauss:

𝐸2𝜋𝑟𝐿 = 𝜌𝜋𝑟 ^" 𝐿 𝜖 ₉ Despejando el campo eléctrico: 𝐸 = _' ^%&

Aplicando la Ley de Gauss: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ⁺

_'

; en este caso la carga neta se encuentra en: 𝑄 _6/75 = 𝜌𝜋𝑅 ^" 𝐿 entonces:

𝐸2𝜋𝑟𝐿 = ^%=( _∈

^>

𝐸 = _"' ^%(

Análisis: dentro del cilindro la función campo eléctrico es lineal, en r=R las dos funciones tienen el mismo valor 𝐸 = _"' ^%(

Respuesta: 0<r<R E=0; para r>R el campo es: E= ^@( ₎

a. aplicando la Ley de Gauss ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴⃗ = ⁺

_'

EA = 𝑄 _6/75 𝜖 ₉

𝐸 = 𝜎𝑅 𝜖 ₉ 𝑟 c. el gráfico es el siguiente:

notamos que dentro del cilindro el campo eléctrico es nulo, para r>R el campo eléctrico decrece de acuerdo al inverso de la distancia radial y en 𝑟 = 𝑅 el campo vale: 𝐸 = 𝜎/𝜖 ₉ este resultado nos indica que la función no es continua.

Respuesta: 0<r<R 𝐸 = _") ^%&

; r>R 𝐸 = ⁽ _")

^%

R/ E=0 si r<a y si r>b; E= _"=' ^A

Ley de Gauss: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴 ...⃗ = ⁺

_'

Solución: sabemos que la ley de Gauss se expresa: ∮ 𝐸.⃗ ∙ 𝑑𝐴 ...⃗ = ⁺

_'

∮ 𝐸.⃑ ∙ 𝑑𝐴 ...⃑ = ∮ 𝐸𝑟̂ ∙ 𝑑𝐴𝑟̂ = ⁺

_'

∮ 𝐸𝑑𝐴 = 𝐸𝐴 entonces obtenemos: 𝐸𝐴 = ⁺