Teorema del binomio en problemas (plan de investigaci´ on)
Objetivos. Estudiar el teorema del binomio y conceptos combinatorios de manera inde- pendiente, como un peque˜no proyecto de investigaci´on (para estudiantes de secundaria o de bachillerato, o de primeros semestres de licenciatura), apoy´andose solamente en una gu´ıa breve dada como una lista de problemas.
Requisitos. Alto nivel de preparaci´on en matem´aticas, mucho tiempo y mucho valor.
N´ umero de permutaciones
1. Permutaciones. Tenemos 6 permutaciones de tres n´umeros 1, 2, 3:
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Escriba todas las permutaciones de dos n´umeros 1, 2. Escriba todas las permutaciones de cuatro n´umeros 1, 2, 3, 4.
2. N´umero de permutaciones. Denotemos por P (n) al n´umero de permutaciones de n n´umeros. Encuentre una ley que relacione P (2) con P (3), P (3) con P (4). Exprese P (n+1) a trav´es de P (n). Escriba P (n) como cierto producto de n´umeros naturales (para n ≥ 1).
3. Convenio para P (0). En el ejercicio anterior se establece una f´ormula que expresa P (n + 1) a trav´es de P (n). Defina P (0) de tal manera que esta f´ormula sea correcta tambi´en para n = 0.
N´ umero de disposiciones
4. Disposiciones. Dados 5 n´umeros 1, 2, 3, 4, podemos formar de ellos 12 listas de lon- gitud 2, en las cuales los elementos son diferentes entre s´ı:
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3).
Estas listas se llaman disposiciones (arreglamientos, permutaciones parciales) de 4 en 2.
Escriba todas las disposiciones de 5 en 2. Escriba todas las disposiciones de 5 en 3. Escriba todas las disposiciones de 5 en 1.
5. El n´umero de disposiciones. Denotemos por A(n, k) el n´umero de disposiciones de n en k. Por ejemplo, A(4, 2) = 12. Exprese A(5, 3) a trav´es de A(5, 2). Exprese A(5, 2) a trav´es de A(5, 1). Escriba A(5, 3) como un producto de n´umeros naturales. Escriba A(n, k) como un producto de n´umeros naturales. Exprese A(n, k) a trav´es de la funci´on P . Usando el convenio para P (0) calcule A(n, 0).
Teorema del binomio en problemas, p´agina 1 de 3
N´ umero de subconjuntos
6. Subconjuntos. En el conjunto 1, 2, 3, 4, 5 tenemos 10 subconjuntos de 3 elementos:
{1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 4, 5}, {3, 4, 5}.
En vez de subconjuntos algunos textos hablan de combinaciones. N´otese que un subcon- junto {2, 4, 5} corresponde a varias disposiciones de 3 en 5. ¿A cu´antas?
7. N´umero de subconjuntos. Denotemos por C(n, k) al n´umero de k-subconjuntos del conjunto {1, 2, . . . , n}. Por ejemplo, C(5, 3) = 10. ¿A cu´antas disposiciones de n en k corresponde un k-subconjunto del conjunto {1, 2, . . . , n}? Exprese C(n, k) a trav´es de las funciones A y P . Luego exprese C(n, k) a trav´es de P .
8. F´ormulas para C(n, 0) y C(n, n). Usando el convenio para P (0) calcule C(n, 0) y C(n, n). Explique estas f´ormulas en t´erminos de subconjuntos.
9. Tabla de los n´umeros C(n, k). Escriba C(n, k) para n = 0, 1, 2, 3, 4 y para cada k con 0 ≤ k ≤ n:
C(0, 0) = 1,
C(1, 0) = 1, C(1, 1) = 1,
C(2, 0) = 1, C(2, 1) = 2, C(2, 2) = 1,
C(3, 0) = , C(3, 1) = , C(3, 2) = , C(3, 3) = ,
C(4, 0) = , C(4, 1) = , C(4, 2) = , C(4, 3) = , C(4, 4) = . Observando la tabla encuentre varias leyes intereantes.
10. F´ormula recursiva para los n´umeros C(n, k). Observando los elementos interio- res de la tabla ejercicio anterior, es decir, los elementos C(n, k) con 0 < k < n, encuentre una ley que relacione cada elemento con algunos elementos del rengl´on anterior.
11. Demostraci´on combinatoria de la f´ormula recursiva para C(5, 3). Escriba todos los 3-subconjuntos del conjunto 1, 2, 3, 4, 5. Div´ıdalos en dos partes: los que contienen al elemento 5 y los que no lo contienen. Exprese C(5, 3) a trav´es de C(4, 2) y C(4, 3).
12. Demostraci´on combinatoria de la f´ormula recursiva para C(n, k). Demuestre la f´ormula recursiva para C(n, k) razonando en t´erminos de subconjuntos. Escriba la misma f´ormula para C(n + 1, k + 1).
Teorema del binomio en problemas, p´agina 2 de 3
Potencias del binomio
13. Calcule (a + b)n para n = 2, luego para n = 3, luego para n = 4, luego para n = 5.
¿Qu´e forma tienen los sumandos en estos desarrollos? En otras palabras, si Capbq es un sumando del desarrollo de (a + b)n, ¿qu´e se puede decir sobre p y q? Despu´es de contestar esta pregunta lo ´unico que falta es calcular el coeficiente C.
14. En el desarrollo de (a + b)4 los sumandos de la forma a2b2 se pueden obtener de la siguiente manera:
elegimos a en los factores 1, 2: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) elegimos a en los factores 1, 3: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) elegimos a en los factores 1, 4: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) elegimos a en los factores 2, 3: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) elegimos a en los factores 2, 4: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) elegimos a en los factores 3, 4: (a + b)(a + b)(a + b)(a + b) Se trata de encontrar 2-subconjuntos del conjunto 1, 2, 3, 4. Calcule C(4, 2).
15. Repita el ejercicio anterior para a3b en el desarrollo de (a + b)4, luego para a2b3 en el desarrollo de (a + b)5.
16. Escriba la f´ormula para (a + b)n.
17. Demuestre la f´ormula anterior por inducci´on utilizando la f´ormula recursiva para los coeficientes C y las f´ormulas para C(n, 0) y C(n, n).
Teorema del binomio en problemas, p´agina 3 de 3
