Parte I: Cálculo diferencial. Ejercicios. Análisis.

(1)

Análisis.

Parte I:

Cálculo diferencial.

Ejercicios.

©PCRdeG v.1

(2)

1.- Conjuntos acotados.

1) De los siguientes conjuntos indíquese los que están acotados superiormente o inferiormente. Indíquese cuando existen supremo, ínfimo, máximo o mínimo, calculándolos cuando existan:

a) A



¹³^,¹¹^,⁹^,⁷^,....



b)







 ,...

9 ,13 7 ,11 5 ,9 3 B 7

c) El conjunto de los números primos.

d) D



⁶x⁷^|x



⁵^,¹¹

 

e) E



³x¹^|x



⁶^,¹⁰⁰

 

f) ^F ^



^x² ^¹⁶^|^x^



^⁷^,^

 

g) ^F ^



^x² ^¹⁶^|^x^



^⁵^,⁶

 

h) ^F ^



^x² ^¹⁶^|^x^



^⁵^,⁶

 

i) ^I ^



^x^^R^|^x² ^²



j) ^I ^



^x^^Q^|^x² ^²



2) Dada una sucesión a sea _n A 



a1^,a2^,a3^...



. Para la las siguientes sucesiones calcula, si los tuvieran, lima_n,supA,inf A,maxA,minA

a) n

a_n n3



b) 6

2

  n a_n n

c) a_n  2 n 3

d) a n

n n

) 1 3 (





e) ₃

2 3

10 n

a_n n 

 3)

a) Sea a una sucesión estrictamente creciente con _n lima_n 7. Sea



a₁,a₂,a₃...



A  .

¿Qué se puede afirmar acerca de supA, infA, max A , min A?

b) Sea a una sucesión estrictamente decreciente con _n lima_n 17. Sea



a1^,a2^,a3^...



A  .

¿Qué se puede afirmar acerca de supA, infA, max A , min A?

c) Sea a una sucesión estrictamente decreciente. Sea _n A 



a1^,a2^,a3^...



. Si sabemos que infA=23, ¿podemos afirmar algo acerca de lima_n, minA, supA, maxA?

(3)

4) Sea A un conjunto acotado superiormente. De las siguientes afirmaciones, algunas son falsas. Póngase un contraejemplo de las afirmaciones falsas:

a) Si sup A es negativo, todos los elementos de A son negativos.

b) Si supA es positivo, algún elemento de A es positivo.

c) Si infA es negativo, todos los elementos de A son negativos.

d) Si todos los elementos de A son negativos, sup A es negativo.

e) Si todos los elementos de A son positivos, sup A es positivo.

f) Si todos los elementos de A son racionales, supA es racional.

g) Si todos los elementos de A son irracionales, supA es irracional.

h) Si A es un conjunto finito, A tiene máximo.

i) Si A es un conjunto infinito, A no tiene mínimo.

2.-Funciones continuas.

1) Halla m para que las siguientes funciones sean continuas:

a)









 



 x si 1

x ) si

( mx

x senx f

b)

















 

16 x si 16

16 x ) si

(

x m x x f

c)











 

m x

m x x

f 10 25 si x x ) si

(

2

d)

 















  ^

2 x si

2 x si ) 3

( ²

mx x

x

e x x

f ´

2) Para las siguientes funciones, encuentra el mayor intervalo que contenga a  y tal que la función sea continua en todo ese intervalo:

a) ( ) ₂ 7

  x x x

f

b) ₂

2 ) 3

( x x

x x

f 

 

c) f(x)e^x senx d) f(x)tgx

e) f(x)Parteenterade x f)

x x x

f



 

100000 ) 1 ) log(

(

g) senx x

x x senx

f cos

) cos

( 

 

(4)

3) Sean

) 3 ( , 10 3 ) ( , 4 )

( ²

 







 x

x x h x

x g x

x

f ,



³^,³¹^/⁴



^, 



^,⁷



^, 



⁴^,¹



 B C

A

a) Halla f[A], f[B] y f[C]. ¿En qué conjuntos está acotada f? ¿Para qué conjuntos existen máximos y mínimos?

b) Halla g[A], g[B] y g[C]. ¿En qué conjuntos está acotada g? ¿Para qué conjuntos existen máximos y mínimos?

c) Halla h[A], h[B] y h[C]. ¿En qué conjuntos está acotada h? ¿Para qué conjuntos existen máximos y mínimos?

4) Pon ejemplos de funciones con dominio R que cumplan:

a) Es discontinua en x=3 y acotada .

b) Es continua, acotada superiormente pero no inferiormente.

c) Es continua y acotada.

d) Es continua y 2 f(x)6xR

e) Tiene infinitas discontinuidades pero está acotada.

5) Demuestra las siguientes versiones del lema del signo:

Lema del signo.-

a) Si f es continua en a y f(a)0 entonces existe  0 tal que



 ^, 



 ⁽ ⁾⁰

 a a f x

x  

b) Si f es continua en a y f(a)q entonces existe  0 tal que



^a ^a



^f ^x ^q

x ,   ( )

[Pista.- Puede hacerse la demostración directamente pero es mucho más sencillo considerar que si f es continua en x=a, -f lo es también y aplicar lo que ya tenemos demostrado]

6) Pon ejemplos de:

a) Una función f continua en R tal que

x x f

h  

) (

) ) (

( sea continua en R

b) Una función f continua en R tal que

x x f

h  

) (

) ) (

( tenga una discontinuidad de salto infinito en x=1.

c) Una función f continua en R tal que

x x f

h  

) (

) ) (

( tenga una discontinuidad evitable en x=0

d) Una función f discontinua en x=0 tal que h(x) x·f(x)tenga una discontinuidad evitable en x=0.

e) Una función f discontinua en x=0, 2, -2, 4, -4, …….

(5)

7) Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) f x tgx

 ) (

b) f x ^x

1

73 ' 0 )

( 

c) 5 3 8

6 ) 7

( ₂

2





 

x x

x x x

f

d)

2 5 )

( 3





 x x x f

e)

5 9 ) 4

( 2





  x x x f

f) 4 9

) 5

(  

  x x x f

3.-Teorema de Bolzano

.

1) Sea f(x)x³x1234. Halla una aproximación a alguna de las raíces de con un error menor que 0’001 (es decir, si c es raíz de f y q el resultado obtenido debe cumplirse que c p 0'001) El uso de una hoja de cálculo puede ser muy aconsejable.

2) Halla una aproximación a la solución de la ecuación e^x  x2344 con un error menor que 0’001.

3) Halla una aproximación a la solución de la ecuación 1000 x

e^x

con un error menor que 0’001.

4) Halla una aproximación a la solución de la ecuación xln(x² 2000) con un error menor que 0’001.

5) Sea P(x) xⁿ a_n_₁·xⁿ^¹...a₂·x² a₁·xa₀ un polinomio de grado impar.

a) ¿Cuál es el valor de limP(x)

x ?

b) Cuál es el valor de lim P(x)

x ?

c) Usando los apartados anteriores y el teorema de Bolzano, trata de demostrar que P(x) tiene al menos una raíz.

(6)

d) Por último, demuestra que todo polinomio de grado impar tiene al menos una raíz.

6) Encuentra una función tal que f(0)=0, f(1)=1 pero no exista ningún x con f(x)=1/3

´

7) Haz un resumen, de no más de cuatro o cinco líneas, de la demostración del Teorema de Bolzano. Evita detalles técnicos.

8) Sea ^f :



2,11



^R una función continua tal que f(2)=10, f(11)=3. Demuestra que la función h(x)=2·f(x)-17 se anula en algún punto.

9) Sean ^f :



^a,^b



^R y ^g:



^a,^b



^R continuas tales que f(a)g(a) y )

( ) (b g b

f  . Demuestra que existe un ^c



^a^,^b



tal que f(c)g(c). [Pista:

Considérese si a la función h(x) f(x)g(x) se le puede aplicar el teorema de Bolzano]

10) Sea ^f :

 

0,1 ^R tal que0 f(x)1. Demuestra que existe un c

 

⁰^,¹ tal que c

c

f( ) . [Pista: Considérese si a la función h(x) f(x)x se le puede aplicar el teorema de Bolzano; también puede aplicarse el ejercicio anterior]

11) Ana realiza el lunes en automóvil el viaje Murcia-Madrid y el martes realiza el viaje de vuelta. El lunes sale de Murcia a las 7’00 horas y llega a Madrid a las 11’00 horas. El martes sale de Madrid a las 7’11 horas y llega a Murcia a las 10’47 horas.

a) Demuéstrese de manera informal que hubo un punto de la carretera donde Ana pasó a la misma hora el lunes y el martes.

b) Intenta hacer de manera formal (usando el teorema de Bolzano o quizá ejercicio 8) otra demostración de este hecho.

c) Demuéstrese que si Ana no se detiene nunca ni va en sentido contrario en ningún momento del trayecto tan sólo hay un punto que cumpla esa condición.

12) Llenamos de agua dos depósitos con dos grifos distintos de caudal variable A y B.

A las dos de la tarde el depósito A tiene 100 litros y el depósito B 75 litros. A las tres de la tarde el depósito A tiene 150 litros y el depósito B tiene 312 litros.

Pruébese que en algún momento entre las dos y las tres los dos depósitos tuvieron la misma cantidad de líquido.

(7)

4.- Teorema de Weierstrass.

1) Demuestra la siguiente sencilla observación que puede resultarte de utilidad en el ejercicio 2:

Si f está acotada superiormente en un conjunto A y si B  A entonces f está acotada superiormente en B. (Y, por supuesto, lo mismo si la acotación es inferior) 2) Para las siguientes funciones, indíquese si están acotadas superiormente, acotadas

inferiormente o acotadas en el intervalo que se indica. [Una representación gráfica sencilla así como los conocimientos sobre funciones que vimos en Primero de Bachillerato os podrán ayudar]

a) 4

) 1

( ₂

  x x

f en el intervalo (2,2)

b) 4

) 1

( ₂

  x x

f en el intervalo (1,3/2)

c) f(x)2^xsenxe²^x^²⁵·cos(3x) en el intervalo [2,13] d) f(x)tgx en el intervalo ,0)

( 2



e) f(x)3^x en el intervalo (,4) f) f(x) 45^^x en el intervalo (,) g) f(x)tgx en el intervalo )

, 2 ( 2 

 h) f(x)lnx en el intervalo (0,54)

i) 7

2 1 )

(   

x x

f en el intervalo (7, 21)

j) 7

2 1 )

(   

x x

f en el intervalo (17,3³³³³³)

k) ( ) ₂ 7

  x x x

f en el intervalo (,)

l) f(x)3·senx25·cosx en el intervalo (,)

3) De las siguientes funciones f :I R indica (y halla, en su caso) cuándo existen I

q

p,  tales que xI f(p) f(x), xI  f(x) f(q). a) f :[2,5]R con f(x) x² 1

b) f :[1,4)R con f(x) x² 1 c) f :(2,6)R con f(x)203x d) f :[1,2]R con f(x)2^x 3^x e) ^f :



,4



^R con f(x)16x² f) f :( ],5 R con f(x) x³ 11 g) f :[2,]R con f(x)senx h) f :[6,)R con f(x)e^^x

(8)

i) ^f :



 , 



^R con

1 ) 1

( ₂

  x x f

4) Haz un resumen, de no más de cuatro o cinco líneas, de la demostración del lema de Weierstrass. Evita los detalles técnicos.

5) Haz un resumen, de no más de cuatro o cinco líneas, de la demostración del teorema de Weierstrass. Evita los detalles técnicos.

6) A continuación, se hacen una serie de afirmaciones. Cuando la afirmación sea verdadera indíquese la razón; cuando la afirmación sea falsa póngase un contraejemplo:

a) Si ^f ^:



^a^,^b



^^R es continua entonces existen ^p^{, }^q



^a^,^b



tales que



^a^,^b



^f⁽^p⁾ ^f⁽^x⁾ ^f⁽^q⁾

x   

b) Si f :(a,b)R es continua entonces existen p,q(a,b) tales que



^a^,^b



^f⁽^p⁾ ^f⁽^x⁾ ^f⁽^q⁾

x   

c) Si ^f :



^a,^b



^R no es continua entonces nunca existen ^p^{, }^q



^a^,^b



tales que



^a^,^b



^f⁽^p⁾ ^f⁽^x⁾ ^f⁽^q⁾

x   

d) Si P(x) es un polinomio entonces existen p, tales que q )

( ) ( ) (

12 f p f x f q

x    

e) Si ^f :



^a,^b



^R es un polinomio sin raíces reales y

) ( ) 1 (x f x

g  entonces

existen ^p^{, }^q



^a^,^b



tales que ^x^



^a^,^b



^ ^f⁽^p⁾^^g⁽^x⁾^ ^f⁽^q⁾

5.- Derivadas.

[Estos ejercicios pueden considerarse de repaso; si se tiene dudas en su resolución, deberían consultarse los apuntes de Primero de Bachillerato]

1) Calcula, usando la definición de derivada:

i) f’(3) siendo f(x) x³ x ii) f’(2) siendo

) 2

(  

x x x f

iii) f’(1) siendo f(x) 3x22 iv) f’(-2) siendo

) 6

( ₂

  x x x f

(9)

2) Considera la función

















 

1 x si

1 x si ) 5

( ₂

2

nx x

m x x x

f . Calcula m y n para que f

sea derivable en todo R.

3) ´Determina el valor de k que hace que la función

k x x e f

x

 ₂  )

( tenga un único

punto de tangente horizontal.













 

2 x si 4

2 x si ) 3

( ₂

2

bx x

x x ax

f . Calcula a y b para que f sea

derivable en todo R.

5) [Cantabria 2011] Determina los valores de a y b para que













 





0 x 2 si

1

0 x si ) ( ) ·

( bsen x² a x e x f

x

sea continua en x=0.







 



 si x 0

2

0 x si )

(

x b a x

f

x

. Calcula a y b para que f sea derivable en todo R.

7) [Castilla-La Mancha 2014]

a) Calcula los valores de los parámetros a,bR para que la función















 

0 x si 3

·

0 x si ) 2

( 2

2

ex

b x

a x x x

f sea continua y derivable en x=0.

b) Para los valores encontrados, calcula la ecuación d ela recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x=0.

8) Encuentra un polinomio de grado 2, P(x)¸tal que P(1)=1 y P’(2)=2. ¿Es único este polinomio?

9) Calcula simplificado al máximo:

a) D(arctg senhx)

b) )

cos 1

cos ( 1

x arctg x

D 



c) )

) 5 3 (

) 3 2

(( ₇

10



 x D x

d) D(ln sen(2x1))

(10)

e) D((2x² 8)^cos^x)

10) [Pista: La derivada de un polinomio de grado 3 es un polinomio de grado 2]

a) Encuentra un polinomio de grado 3 sin ningún punto singular.

b) Encuentra un polinomio de grado 3 con un punto singular.

c) Encuentra un polinomio de grado 3 con dos puntos singulares.

d) ¿Puede haber un polinomio de grado tres con tres puntos singulares?

11) De las siguientes funciones halla f⁽¹⁰(x) a) f(x) x·e²^x

b) f(x) x· x

c) f(x)sen(2x11) d) f(x)lnx

e) 5 8 76)·(2 11 11 2)

143 ( 3

)

(x  x⁶ x⁵  x³ x x⁴  x³  x²  x

f 

12) Encuentra unas funciones f(x) y h(x) tales que f(0)=1, h(x)=x·f(x) y h’(3)=2.

13) Resuelve los siguientes límites por la regla de L’Hôpital:

a) 



 ^

 x

e e^x ^x

x 1 cos

lim

0

b) 





 x x

x x

x 5 log

ln lim 3 ₂

2

c) 

 

 1 1 )

(

lim^ senx x 

x

d)   

 x

x x

senh

x

1 5 cosh lim 3

0

e) 

 sec2 1

lim

x

x x



f)



^



^



0 2

1 cos lim1

x

x e

x

g)  



 ·(2 1) lim ^{1 x}^/

x x

h) [Andalucía 2009] 

 

 )

1 1 ln

( 1

lim^x 1 x x2

14) La función f(x)3x⁵ 15x⁴25x³15x² 2presenta un pinto singular que es un máximo local, otro punto singular que es un mínimo local y otro punto singular que no es ni máximo ni mínimo local. Identifícalos.

6.- Teoremas de Rolle y del valor medio.

(11)

1) Determina si es aplicable el Teorema de Rolle a las funciones f en el intervalo en que se especifica. En caso afirmativo, encuentra todos los valores de c en los que f’(c)=0.

a) f(x)(x1)·(x2)·(x3) en el intervalo [1, 3]

b) 4 4 1

4 4 ) 4

( ₂

2







 

x x

x x x

f en el intervalo [-1, 2]

c) 1

) 4

( ₂

2







 

x x

x x x

f en el intervalo [1, 3]

d) f(x) x| |1 en el intervalo [1, 3]

e) f(x)(x1)·(x2)·(x3) en el intervalo [-2, 2]

f) 1

) 1

( 

  x x e f

x

en el intervalo [0, 2]

g) f(x) x³ 3x5 en el intervalo [-2, 1]

2) Determina a para que la función

a x x

ax x x

f 2 12

) 6

( ₂

2





  cumpla las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3]. Halla los puntos de la gráfica en el intervalo en los que la tangente es horizontal.

3) [Baleares 2012] Sea a



¹^,¹



y sea 3 ) 3

( ²

3





 x ax x

x

f . Demuestra que la

función se anula exactamente en un valor de x.

4) [Madrid 2011] Demostrar que la ecuación 4x⁵ 3xm0 sólo tiene una raíz real, cualquiera que sea el número m. Justifica la respuesta indicando qué teoremas se usan.

5) Demuestra que si 0   /2 se tiene que sen  sen   . [Pista: usa el teorema del valor medio]

6) Sea













 

2 x si 2

2 x ) si

(

2

x b ax x x

f . ¿Existen valores a y b por los que f satisface la hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo [0,4]. Razona tu contestación y en caso afirmativo calcula dichos valores y el número c cuya existencia afirma el teorema.

7) Sea













 

2 x si

2 x ) si

( ₃ ₂

2

bx x

ax x x

f . ¿Existen valores a y b por los que f satisface la hipótesis del Teorema del valor medio en el intervalo [-4,2]. Razona tu contestación y en caso afirmativo calcula dichos valores y los números c c cuya existencia afirma el teorema.

(12)

8) Sea f(x) px² qxr

a) Aplica el teorema del valor medio en el intervalo [3, 13] y obtén el c cuya existencia afirma el teorema. ¿Notas algo interesante?

b) Aplica el teorema del valor medio en el intervalo [a, b] y obtén el c cuya existencia afirma el teorema. ¿Notas algo interesante?

9) Sea x x

f 1

) ( 

a) Aplica el teorema del valor medio en el intervalo [3, 12] y obtén el c cuya existencia afirma el teorema. ¿Notas algo interesante?

b) Aplica el teorema del valor medio en el intervalo [a, b] y obtén el c cuya existencia afirma el teorema. ¿Notas algo interesante?

10) El Teorema del valor medio pude usarse para calcular aproximadamente valores de una función cuando se conoce un valor cercano a esta y el valor de la derivada. El razonamiento es el siguiente: supongamos que queremos calcular aproximadamente f(b) y conocemos f(a) y f’(a). El teorema del valor medio nos asegura que existe

) , ( ba

c  tal que

a b

a f b c f

f 

 ( ) ( ) )

(

' , es decir f(b) f(a) f'(c)·(ba). Pero entonces baca f(b) f(a) f'(c)·(ba) f(a) f'(a)·(ba). Se tiene, pues, la aproximación baca f(b) f(a) f'(a)·(ba) a) Calcula aproximadamente ³ 8'12 [Pista: f(x)³ x, a=8, b=8’12]

b) Calcula aproximadamente ln(1'1) c) Calcula aproximadamente e⁰^'¹ d) Calcula aproximadamente

03 ' 0 1

4 sen



e) Calcula aproximadamente ²⁰e ´

11) Demuestra el Teorema de Cauchy: Sean ^f,^g:



^a,^b



^R, continuas en [a,b] y derivables en (a,b). Supongamos se cumple también que f(a) f(b) y que

0 ) ( ' ) ,

(  

 a b f x

x . Entonces, existe c ( ba, )tal que

) ( '

) ( ' ) ( ) (

) ( ) (

c f

c g a f b f

a g b

g 



[Pista: Considera h(x)(g(b)g(a))·(f(x) f(a))(f(b) f(a))·(g(x)g(a))]

7.- Funciones crecientes y decrecientes. Cálculo de

máximos y mínimos locales.

(13)

1) Halla k para que la función f(x)2x³ 3x² k tome el valor 0 en su mínimo local.

2) ¿Para qué valores de b la función f(x)x³ bx² 7x5 es creciente?

3) ¿Para qué valores de m la función f(x)mxsenx es creciente? ¿Y decreciente?

4) De las siguientes afirmaciones, hay dos verdaderas y dos falsas. Demuestra las afirmaciones verdaderas y pon contraejemplo de las falsas:

a) La suma de funciones crecientes y definidas en el intervalo ( 0, ) es creciente.

b) El producto de funciones crecientes y definidas en el intervalo ( 0, ) es creciente.

c) La suma de una función creciente y una decreciente nunca es creciente.

d) Si f es creciente y h(x) f(7x)entonces h es decreciente.

5) De las siguientes funciones, halla sus intervalos de crecimiento y decrecimiento así como sus máximos y mínimos locales.

a) ( ) 5 ₂ 12

  x x x f

b) ( ) ₂⁸ x x x

f 



c) f(x)(2x5)·e^³^x d) f(x)senxcosx

e) f x _x

2 1 ) 1 (  

f) f(x) x·(x1)(x2)

g) 



 



 

 6· 3

)

( x

tg arc x

x f

6) Las siguientes afirmaciones se pueden usar para demostrar muy simplemente el caso dual de ciertos teoremas cuando se tiene demostrado el caso directo (como se ha hecho en la proposición 7,1, apartados c y d).

Demuestra que:

a) f es creciente  g(x)=-f(x) es decreciente.

b) f es decreciente  g(x)=-f(x) creciente.

c) a es un máximo local de f  a es un mínimo local de g(x)=-f(x) d) Si a es un mínimo local de f  a es un máximo local de g(x)=-f(x)

7) Se quiere construir una piscina de forma ortoédrica de base cuadrada. Se dispone de 192 m² de baldosas para cubrir las paredes y el fondo de la piscina. Halla las

(14)

dimensiones de la piscina para que su capacidad sea máxima.

8) En un rectángulo de 4m de perímetro se sustituyen dos lados opuestos por semicircunferencias exteriores. ¿Entre qué valores se encuentra comprendida el área de la figura resultante?

9) En un cono de radio R y altura H inscribimos un cono invertido con el vértice en el centro de la base del cono mayor. Calcula las dimensiones del cono pequeño para que su volumen sea máximo.

10) Dados los puntos A(0,3) y B(4, 5) señalamos un punto M en el eje de abscisas de forma que la distancia AM+MB sea mínima. Halla M.´

11) [País Vasco 2007] Un trozo de alambre de longitud 20 cm se divide en dos trozos.

Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble que su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Encontrad las longitudes de dichos trozos para que sea mínima la suma de las superficies del rectángulo y el cuadrado.

12) [Valencia 2012] Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices )

, ( ), , ( ), 12 , 0

( B x x² C x x²

A  siendo x²12. Obtén razonadamente:

a) El área del triángulo T e función de la abscisa x del vértice C.

b) La coordenadas de B y C para que el área de T sea máxima.

13) [Asturias 2011] Se desea diseñar un libro de forma que cada página tenga 600 cm² de área. Sabiendo que los márgenes superior e inferior son de 4 cm cada uno y los laterales de 2 cm cada uno, calcule la dimensión d ela página para que el área impresa sea máxima.

14) A investigar

La demostración de la proposición 7.2 está copiada casi literalmente del estupendo libro Calculus de M. Spivak. Sin embargo, hay una afirmación que no resulta, desde mi punto de vista, del todo evidente: “Eso significa que f crece en



a,a^



y decrece en



^a^^,^a



. En consecuencia, f tiene un mínimo local en a”

a) ¿Es cierto que si una función crece en



a,a



y decrece en



^a^,^a



tiene un mínimo local en a?

b) Considérese la función









 



0 x si 0

0 x 1 si )

(x x²

f . ¿En qué intervalo abierto es

creciente? ¿En qué intervalo abierto es decreciente? ¿Tiene máximos? ¿Tiene mínimos?

c) Plantéese si la afirmación de Spivak es correcta en todas las circunstancias.

d) ¿Qué condición ha usado Spivak para la función f que no ha mencionado en su demostración?

15) A investigar

[Ejercicio difícil. Véase el ejercicio anterior para entender por qué es necesario demostrar este enunciado para una correcta demostración de la proposición 7,2]

Demuéstrese que si una función es continua en a y f crece en



a,a^



y decrece en



^a^^,^a



entonces f tiene un mínimo local en a.

(15)

8.- Concavidad y convexidad. Puntos de inflexíón.

1) De las siguiente funciones indica los intervalos donde son cóncavas o convexas asi como sus puntos de inflexión:

a) f(x) x⁶ 120x² b) f(x) x·(x1)(x2) c)

2 2 )

(x e x x

f  

d) f(x)sen3x e) f(x)x² 2cosx

f) 3 44

) 2

( ₂

  x x x f

2) Demuestra que f es convexa en I si y sólo si –f es cóncava en I.

3) Usando el ejercicio anterior o directamente, demuestra que dados f :DR, D

I  intervalo abierto son equivalentes:

i. f es cóncava en I.

ii. Para todo a,b,cI con acb si A=(a,f(a)), B=(b,f(b)), C=(c,f(c)), la recta AC tiene menor pendiente que la recta CB.

4) Usando el ejercicio 2 o directamente prueba el apartado ii de la proposición 8.2