Tema 1. Campo gravitatorio

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Cristina Fernández Sánchez www.nikateleco.es - cristinafstech@gmail.com

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Tema 1. Campo gravitatorio

1. Ley de gravitación universal

1.1 Características de las fuerzas gravitatorias 1.2 Principio de superposición

2. Campo gravitatorio

2.1 Intensidad de campo gravitatorio 2.2 Representación del campo gravitatorio

3. Carácter conservativo del campo gravitatorio. Estudio energético de la interacción gravitatoria

3.1 Energía potencial 3.2 Potencial gravitatorio

3.2.1 Superficies equipotenciales 3.3 Trabajo y diferencia de potencial

4. Aplicaciones

4.1 Peso de los cuerpos

4.2 Velocidad orbital y periodo de revolución 4.3 Velocidad de escape

4.4 Energía mecánica de un satélite en su órbita

4.5 Velocidad necesaria para poner un objeto en órbita

4.6 Energía o trabajo necesario para poner un objeto en órbita 4.7 Energía para cambiar de órbita de un satélite

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS (basados en CE)

• Asociar el campo gravitatorio a la existencia de masa y caracterizarlo por la intensidad del campo y el potencial.

• Reconocer el carácter conservativo del campo gravitatorio por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial gravitatorio.

• Interpretar las variaciones de energía potencial y el signo de la misma en función del origen de coordenadas energéticas elegido.

• Justificar las variaciones energéticas de un cuerpo en movimiento en el seno de campos gravitatorios.

• Relacionar el movimiento orbital de un cuerpo con el radio de la órbita y la masa generadora del campo.

• Conocer la importancia de los satélites artificiales de comunicaciones, GPS y meteorológicos y las características de sus órbitas.

• Interpretar el caos determinista en el contexto de la interacción gravitatoria.

• Conocer, utilizar y aplicar las TIC en el estudio de los fenómenos físicos.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y RELACIÓN CON LAS COMPETENCIAS CLAVE

CE 2.1. Asociar el campo gravitatorio a la existencia de masa y caracterizarlo por la intensidad del campo y el potencial. CMCT, CAA.

CE 2.2. Reconocer el carácter conservativo del campo gravitatorio por su relación con una fuerza central y asociarle en consecuencia un potencial gravitatorio. CMCT, CAA.

CE 2.3. Interpretar las variaciones de energía potencial y el signo de la misma en función del origen de coordenadas elegido. CMCT, CAA.

CE 2.4. Justificar las variaciones energéticas de un cuerpo en movimiento en el seno de campos gravitatorios. CCL, CMCT, CAA.

CE 2.5. Relacionar el movimiento orbital de un cuerpo con el radio de la órbita y la masa generadora del campo.

CE 2.6. Conocer la importancia de los satélites artificiales de comunicaciones, GPS y meteorológicos y las características de sus órbitas. CSC, CEC.

CE 2.7. Interpretar el caos determinista en el contexto de la interacción gravitatoria. CMCT, CAA, CCL, CSC.

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1. LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Kepler estaba convencido de que la causa del movimiento planetario era una fuerza de atracción que provenía del Sol, pero murió sin llegar a conclusiones definitivas sobre su naturaleza. En 1687, Isaac Newton publicó Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Principios matemáticos de filosofía natural).

En el tercero de los tomos describió el sistema solar resolviendo el problema de Kepler a través de su Ley de gravitación universal:

Dos cuerpos cualesquiera del Universo se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que existe entre sus centros.

𝑭_𝟏𝟐

""""""⃗ = −𝑮𝒎_𝟏𝒎_𝟐

𝒓_𝟏𝟐^𝟐 𝒓) = −𝑭_𝟏𝟐 """"""⃗_𝟐𝟏 [𝑁]

donde:

• G se llama constante de gravitación universal y su valor fue determinado experimentalmente por Henry Cavendish en 1978, 𝐺 = 6,67 · 10^#$$𝑁𝑚^%/𝑘𝑔^% (se dice universal porque es independiente de los cuerpos que se atraen y del medio en que se encuentren)

• r es la distancia de separación de las masas (si las masas no son puntuales, r se toma de centro a centro)

• el signo menos indica que las fuerzas gravitatorias son atractivas

1.1 Características de las fuerzas gravitatorias

• La fuerza está dirigida a lo largo de la recta de unión de las masas

• La fuerza es siempre atractiva

• Son fuerzas a distancia

• Siempre se presentan a pares, como afirma el principio de acción y reacción.

Esto es, las fuerzas 𝐹"""""⃗ y 𝐹_$% """"""⃗ tienen igual módulo y dirección, pero sentidos _%$

opuestos.

• El valor de G es tan pequeño que, a menos que alguna de las masas sea muy grande, la fuerza de atracción es inapreciable.

• Son fuerzas conservativas

!

_!

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4

1.2 Principio de superposición

Si tenemos más de una masa puntual actuando sobre una dada, el Principio de Superposición nos dice que la fuerza total sobre esa masa será la suma de las que ejercen cada una de las masas 𝑚_& que actúan sobre ella por separado.

𝑭_𝑻

""""⃗ = : 𝑭"""⃗₍

𝑵

𝒋+𝒊

Cabe decir que este principio podrá ser empleado también para otras magnitudes definidas a lo largo del tema: intensidad de campo gravitatorio, energía potencial y potencial gravitatorio.

2. CAMPO GRAVITATORIO

Las fuerzas a distancia son aquellas a las que se ven sometidas las partículas por acción de otra partícula. Para poder explicar esta interacción, Michael Faraday introdujo el concepto de campo: el campo gravitatorio está definido como la región del espacio en donde actúan las fuerzas gravitatorias; es la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que le rodea por el hecho de tener masa.

Cada partícula produce, alrededor de ella, su campo correspondiente, el cual actúa sobre una segunda partícula que, a su vez, origina también su propio campo.

Este campo, al actuar sobre la primera, origina la interacción mutuamente entre las dos partículas.

Si ese campo lo crea la Tierra se habla de campo gravitatorio terrestre.

Dicho campo se denominará además central pues siempre está dirigido hacia el punto donde se encuentra la masa que lo crea (en este caso Tierra).

2.1 Intensidad de campo gravitatorio

Es la fuerza que ejerce el campo gravitatorio terrestre sobre la unidad de masa colocada a una altura h de su superficie (𝑅_- = 6370𝑘𝑚, 𝑀_- = 5,97 · 10^%.𝑘𝑔):

𝒈

""⃗ =𝑭"""""⃗_𝒈

𝒎 → 𝒈""⃗ = −𝑮𝑴_𝑻

𝒓^𝟐 = −𝑮 𝑴_𝑻

(𝑹_𝑻+ 𝒉)^𝟐𝒓H [𝑁/𝑘𝑔]

Se dirige siempre hacia la partícula que crea el campo. Sobre la superficie de la Tierra (ℎ = 0) tiene un valor (en módulo) de:

𝑔₀ = 𝐺 𝑀_-

(𝑅_-+ 0)^% = 𝐺𝑀_-

𝑅_-^% = 9,8 𝑚/𝑠^%

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5 el cual disminuye al aumentar la altura, según la relación:

𝑔

𝑔₀ =𝐺 𝑀_- (𝑅_-+ ℎ)^%

𝐺 𝑀^- 𝑅_-^%

=

(𝑅_-+ ℎ)1 ^% 1 𝑅_-^%

= 𝑅_-^%

(𝑅_-+ ℎ)^% = L 𝑅_- 𝑅_-+ ℎM

%

𝒈 = 𝒈_𝟎L 𝑹_𝑻 𝑹_𝑻+ 𝒉M

𝟐

Obtenido 𝑔⃗, si me piden calcular la fuerza sobre una masa hago:

𝑭_𝒈

"""""⃗ = 𝒎 · 𝒈""⃗

2.2 Representación del campo gravitatorio

Se hace a través líneas que indiquen su dirección y sentido. En cualquier punto del espacio, el vector 𝑔⃗ es tangente a las líneas de campo gravitatorio, las cuales se dibujan siguiendo las reglas siguientes:

• Tienen sentido hacia la masa

• Se dibujan uniformemente espaciadas

• El número de líneas es proporcional al valor de la masa

• La densidad de líneas en una zona del espacio es proporcional a la intensidad del campo en dicho punto. Es decir, el 𝑔⃗ es más intenso donde las líneas están más próximas.

• Dos líneas no pueden cortarse nunca

3. CARÁCTER CONSERVATIVO DEL CAMPO GRAVITATORIO.

ESTUDIO ENERGÉTICO DE LA INTERACCIÓN GRAVITATORIA

Recordando la definición de fuerza conservativa, en gravitación el trabajo 𝑊_2→4 realizado por la fuerza gravitatoria no depende del camino seguido por la masa sino sólo de los puntos final e inicial.

La característica esencial para las fuerzas conservativas es que solo para ellas es posible asociar una energía potencial.

3.1 Energía potencial

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6 La energía potencial gravitatoria terrestre es el trabajo que realiza el campo gravitatorio de la Tierra cuando se traslada la masa m desde una altura h hasta el infinito¹. Su fórmula general es:

𝑬_𝑷 = −𝑮𝑴_𝑻𝒎

𝒓 = −𝑮 𝑴_𝑻𝒎

𝑹_𝑻+ 𝒉 [𝐽]

Su origen es arbitrario, pues solo tienen sentido físico las variaciones de 𝐸₆. Si me llevo esta expresión a la de trabajo asociado a las fuerzas conservativas (Tema 0):

𝑊_2→4 = −∆𝐸₆ = −(𝐸₆₄− 𝐸₆₂) = 𝐸₆₂− 𝐸₆₄ =

= −𝐺𝑀_-𝑚 1

𝑟₂ − L−𝐺𝑀_-𝑚 1

𝑟₄M = 𝐺𝑀_-𝑚 1

𝑟₄− 𝐺𝑀_-𝑚1 𝑟₂

𝑾_𝑨→𝑩 > 𝟎 → 𝑬_𝑷𝑨 > 𝑬_𝑷𝑩 𝑾_𝑨→𝑩 < 𝟎 → 𝑬_𝑷𝑨 < 𝑬_𝑷𝑩 La masa m se desplaza por acción de

las fuerzas del campo gravitatorio La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio La masa m disminuye su energía

potencial gravitatoria con la distancia La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria con la distancia Esto ocurre cuando se acercan dos

masas

Esto ocurre cuando se separan dos masas

Es un proceso espontáneo Es un proceso no espontáneo

3.2 Potencial gravitatorio

El potencial gravitatorio proporciona el trabajo cuando se traslada la unidad de masa (1kg) desde un punto al infinito:

𝑽 =𝑬_𝑷

𝒎 → 𝑽 = −𝑮 𝑴

𝑹_𝑻+ 𝒉 [𝐽/𝑘𝑔]

Obtenido 𝑉, si me piden calcular la energía potencial de una masa hago:

𝑬_𝑷= 𝒎 · 𝑽

3.2.1 Superficies equipotenciales

1 En el infinito la masa está lo suficientemente alejada para que no se sientan los efectos gravitatorios de la masa de la tierra

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7 Para terminar este apartado, señalar que las

superficies equipotenciales son superficies formadas por puntos de igual potencial. Como los puntos a igual distancia de la masa tienen igual potencial, las superficies equipotenciales serán esferas concéntricas y, además, perpendiculares a las líneas de fuerza del campo gravitatorio.

El trabajo realizado por el campo gravitatorio para trasladar una masa desde un punto a otro de la misma superficie es nulo.

3.3 Trabajo y diferencia de potencial

El trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar la unidad de masa de un punto A a un punto B es:

𝑾_𝑨→𝑩

𝒎 =−(𝐸₆₄− 𝐸₆₂)

𝑚 =𝐸₆₂

𝑚 −𝐸₆₄

𝑚 =𝑽_𝑨− 𝑽_𝑩

Si en lugar de la unidad de masa se traslada una masa 𝑚 del punto A al B:

𝑾_𝑨→𝑩 = 𝒎(𝑽_𝑨− 𝑽_𝑩)

4. APLICACIONES

4.1 Peso de los cuerpos

Es la fuerza con la que la Tierra atrae a ese cuerpo: 𝒑""⃗ = 𝒎 · 𝒈""⃗

Aquí se demuestra el por qué 𝑔⃗ se conoce como aceleración de la gravedad (basta con comparar la expresión con la segunda ley de Newton 𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗).

El peso puede:

• Hacer caer el objeto sobre la superficie terrestre.

• Mantener un objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra. Aquí, el peso actúa como fuerza centrípeta (imprescindible para describir una órbita cerrada)

OJO:

• Masa es una magnitud escalar propia de cada cuerpo que indica la resistencia que este ofrece a ser acelerado. Es una constante independiente del lugar en que se encuentre el cuerpo y se mide en kg en el SI.

• Peso es una magnitud vectorial cuyo valor depende del lugar donde se encuentre el cuerpo: disminuye al aumentar la distancia a la superficie de la Tierra y es diferente en cada planeta/satélite. Su unidad en el SI es el N.

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4.2 Velocidad orbital y periodo de revolución

Para que un satélite gire en una órbita circular alrededor de la Tierra debe estar sometido a una fuerza centrípeta. Dicha fuerza la suministra la atracción gravitatoria terrestre, de modo que la velocidad lineal con que gira viene de:

𝐹₉ = 𝐹_: → 𝐺𝑚𝑀_-

𝑅₀^% = 𝑚𝑎_: = 𝑚𝑣^%

𝑅₀ → 𝒗 = ^𝑮𝑴_𝑻 𝑹_𝟎

donde 𝑀_- y 𝑚 representan la masa de la Tierra y la del satélite, respectivamente, y 𝑅₀ = 𝑅_-+ ℎ es el radio de la órbita. Será menor cuanto mayor sea 𝑅₀.

El periodo de revolución viene dado por:

𝑣 = 𝜔𝑅₀ =2𝜋

𝑇 𝑅₀ → 𝑻 =𝟐𝝅𝑹_𝟎

𝒗 = 𝟐𝝅^ 𝑹_𝟎^𝟑 𝑮𝑴_𝑻

OJO: un satélite geoestacionario es el que gira alrededor de la Tierra con un periodo igual al de rotación de esta (24h). Por lo tanto, permanece siempre en la misma posición respecto de la Tierra. Su órbita debe de estar situada en el plano del ecuador terrestre.

4.3 Velocidad de escape

Es la velocidad mínima necesaria para que un cuerpo pueda abandonar el campo gravitatorio donde se encuentra y alejarse indefinidamente del planeta. El cálculo de esta velocidad puede hacerse recurriendo a la conservación de la energía mecánica, ya que nos movemos bajo una fuerza conservativa. Teniendo en cuenta que se considera que un cuerpo escapa de la órbita de un planeta cuando:

• llega a una distancia infinita del planeta (𝐸_6< = 0)

• llega con velocidad nula (𝐸_=< = 0)

𝐸_>0= 𝐸_>< → 𝐸₌₀+ 𝐸₆₀= 𝐸_=<+ 𝐸_6<

1

2𝑚𝑣_?^%− 𝐺 𝑚𝑀_-

𝑅_-+ ℎ= 0 → 𝒗_𝒆 ≥ ^𝟐𝑮𝑴_𝑻 𝑹_𝑻+ 𝒉

Por ejemplo, 𝑣_{?_B?CDE} = 10,3𝑘𝑚/𝑠, 𝑣_{?_-F?GGH}= 11,2𝑘𝑚/𝑠, 𝑣_{?_>HGI?} = 5𝑘𝑚/𝑠.

4.4 Energía mecánica de un satélite en su órbita

Si el satélite describe una órbita circular estará sometido a una fuerza centrípeta (𝐹_: = 𝑚 · 𝑎_C) originada por la acción gravitatoria de la Tierra sobre él:

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𝐹₉ = 𝐹_: → 𝐺𝑚𝑀_-

𝑅_J^% = 𝑚𝑣^%

𝑅_J → 𝑣^% = 𝐺𝑀_- 𝑅_J

de donde se deduce que la energía cinética del satélite es:

𝐸₌ =1

2𝑚𝑣^% =1

2𝐺𝑚𝑀_- 𝑅_J Entonces:

𝐸_> =𝐸₆ + 𝐸₌ = −𝐺𝑚𝑀_- 𝑅_J +1

2𝐺𝑚𝑀_-

𝑅_J → 𝑬_𝑴= −𝟏

𝟐𝑮𝒎𝑴_𝑻 𝑹_𝑶

El signo negativo de la EM indica que está atrapado dentro del campo gravitatorio terrestre. Si tuviera signo positivo representaría un cuerpo libre de la acción gravitatoria terrestre (su órbita es abierta).

4.5 Velocidad necesaria para poner un objeto en órbita

Supongamos que se lanza un satélite desde la superficie de la Tierra (posición 1) hasta alcanzar una órbita determinada (posición 2). Si:

• aplicamos la conservación de la energía mecánica

• teniendo en cuenta que en la posición 2 se cumple que 𝐹₉ = 𝐹_: y 𝑣_%^% = 𝐺_M^>^!

"#

𝐸_>$= 𝐸_>% → 𝐸_6$+ 𝐸_=$ = 𝐸_6%+ 𝐸_=%

−𝐺𝑚𝑀_- 𝑅_- +1

2𝑚𝑣_$^% = −𝐺𝑚𝑀_- 𝑅_J% +1

2𝑚𝑣_%^%

−𝐺𝑀_- 𝑅_- +1

2𝑣_$^% = −𝐺 𝑀_- 𝑅_J%+1

2𝐺 𝑀_-

𝑅_J% → −𝐺𝑀_- 𝑅_- +1

2𝑣_$^% = −1 2𝐺 𝑀_-

𝑅_J%

1

2𝑣_$^% = −1 2𝐺 𝑀_-

𝑅_J%+ 𝐺𝑀_-

𝑅_- → 1

2𝑣_$^% = 𝐺𝑀_-L1

𝑅_-− 1 2𝑅_J%M

𝒗_𝟏 = ^𝟐𝑮𝑴_𝑻L𝟏

𝑹_𝑻− 𝟏

𝟐𝑹_𝑶𝟐M

4.6 Energía o trabajo necesario para poner un objeto en órbita

De las explicaciones anteriores:

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10 𝐸_>$= 𝐸_6$= −𝐺𝑚𝑀_-

𝑅_- 𝐸_>%= 𝐸_6%+ 𝐸_=% = −1

2𝐺𝑚𝑀_- 𝑅_J queda:

𝑊_C?:= Δ𝐸_> = 𝐸_>%− 𝐸_>$= −1

2𝐺𝑚𝑀_-

𝑅_J − L−𝐺𝑚𝑀_-

𝑅_- M = −1

2𝐺𝑚𝑀_-

𝑅_J + 𝐺𝑚𝑀_- 𝑅_-

𝑾_𝒏𝒆𝒄= 𝚫𝑬_𝑴 = 𝑮𝒎𝑴_𝑻L𝟏 𝑹_𝑻− 𝟏

𝟐𝑹_𝑶M

4.7 Energía para cambiar de órbita de un satélite

Si el satélite pasa desde una órbita a otra de radio mayor (𝑅_FCF:FHP < 𝑅_<FCHP) necesita una energía calculada por:

𝑊_C?: = Δ𝐸_> = 𝐸><FCHP− 𝐸>FCF:FHP → 𝚫𝑬_𝑴=𝟏

𝟐𝑮𝒎𝑴_𝑻k 𝟏

𝑹_{𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍}− 𝟏 𝑹_{𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍}l