En agraïment a la meva esposa per la seva paciència envers un marit enganxat temporalment a un ordinador.
INDEX
pàgina
1. Una catifa en una habitació quadrada 5 2 Un canaló per la recollida d’aigua de pluja 6
3 La golfa i el moble llibreria 7
4 Costats d’un triangle en progressió aritmètica 8
5 Un quadrat perfecte 90
6 Una família de triangles 10
7 Punts i rectes 11
8 Per pujar una escala 12
9 Una altra família de triangles 13
10 Una torre i unes mesures angulars 14
11 Una segona torre 15
12 Angles d’un triangle en progressió aritmètica 16
13 La longitud d’una paraula 17
14 Una persona i un ocell 18
15 Vectors i rectes 19
16 Triangle de costats i àrea en progressió aritmètica 20
17 Expressió algebraica 21
18 Un matrimoni amb cinc fills 22
19 Set termes en progressió 22
20 Boles blanques i negres 23
21 Factorització d’un polinomi 24
22 Un punt interior d’un polígon regular 24
23 Divisibilitat de polinomis 25
24 Canvi de base en un polinomi 26
25 Boles blanques, negres i vermelles 27
26 Suma mínima de quadrats 27
27 Un safareig 28
28 Una successió de tres termes 29
29 El circuit 29
30 Un cistell de fruites 31
31 Segona factorització de polinomis 32
32 Un estoig amb monedes 33
33 Una bifurcació 34
34 Semblança de rectangles 35
35 Àrees parells i senars 37
37 Un tir parabòlic 40
38 Dues plantes aquàtiques 42
39 Triangles tangents 43
40 Una arcada de pedra 44
41 Les torres de Hanoi 45
42 Rectangles amb successió aritmètica i geomètrica 46
43 Recta i paràbola 48
44 Un dau i la seva puntuació 49
45 Dos quadrats tangents 51
46 La partició d’un quadrat 51
47 La formiga i la gota de mel 52
48 Un armari 54
49 La reflexió de la llum 54
50 La refracció de la llum 55
51 Centres de gravetat 56
52 Composició de polinomis 58
53 El punt de Fermat 59
54 Figures encaixades quadrades 60
55 Figures encaixades triangulars 61
56 El creixement d’un arbre 62
57 Una família pitagòrica 63
58 Successió de potències 65
59 La data de naixement 66
60 Trajectòria a l’interior d’un triangle 67 61 Circumferència tangent a altres tres del mateix radi 68
62 El problema de Descartes 69
63 Coordenades d’un triangle 71
64 Un trapezoide i dos triangles 72
65 Mosaics amb tres peces 73
66 Mosaics amb quatre peces 74
67 Equació diofàntica 75
68 Màxim cabdal 76
69 Aplicant desigualtats 78
70 Tres portes i un cotxe 81
71 Quatre portes i un cotxe 82
72 Enrajolament amb dues peces 84
73 El punt d’inflexió 85
En una habitació quadrada de costat 4m, s’hi vol col·locar una catifa quadrada de manera que toqui als costats, com indica la figura. Trobeu:
a)La funció A(x) que expressa l’àrea de la catifa en funció de la distància x entre els vèrtexs dels dos quadrats. b)Valor d’ x que fa que A(x) prengui el valor mínim. c)Valors d’ x que fan que A(x) prengui el valor màxim. d)Calculeu la probabilitat que en triar un punt a l’atzar de l’ interior de l’habitació aquest es trobi dins de la catifa. e)Factoritzeu la funció A(x).
Raonament
a) Aplicant el teorema de Pitàgores A(x) = L2= x2 + ( 4 – x )2 = 2 x2 -8 x + 16 funció parabòlica definida a l’interval x∈[ 0 , 4 ] b) El valor mínim s’assoleix al vèrtex de la paràbola amb una
abscissa 2
2 =
= − a
x b i ordenada y = 8, el vèrtex és V( 2 , 8) i el valor desitjat x = 2
c ) Atès que el vèrtex coincideix amb el punt mig de l’interval el valor màxim es troba als dos extrems que tenen per abscissa
− x 4 1
x
d) probabilitat P =
exterior quadrat,
àrea,
interior quadrat,
àrea,
= 16
16 x 8 - x
2 2 +
e)L’equació A(x)=0 no té solució i A(x) > 0 per tot x , això implica que el polinomi A(x) no es pot factoritzar.
Una cinta de metall d’amplada 40 cm, es doblega pels costats per formar una canonada per a la recollida d’aigua de pluja. Si anomenem x al valor de la paret vertical, trobeu:
a)La funció àrea A(x) de la secció de la canonada. b)La representació gràfica de la funció A(x). c)El valor d’ x que dóna una màxima capacitat. d)El m. c. d. dels valors numèrics A(5) i A(10). e)La descomposició factorial del polinomi A(x).
Raonament
a) Funció àrea A(x) = x( 40 – 2x ) = -2 x2 + 40 x funció parabòlica
b) Representació gràfica A(x)=0
⎩⎨
⎧
=
⇒ =
20 0 x
x vèrtex V(10 ,200) x
x 2 40− 2
f(x)=-2 x^2 + 40 x
Graph Limited School Edition
-35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65
-40 -20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
x y
c) La màxima capacitat és equivalent a la màxima secció A(x) que s’assoleix al vèrtex d’abscissa 10
2 =
= − a
x b i ordenada y = 200.
d) A(5)=150 A(10)=200 ; 150=2·3·5·5, 200=2·2·2·5·5 m c d (150 , 200) = 2·5·5 = 50
e) A(x)=0
⎩⎨
⎧
=
⇒ =
20 0 x
x aleshores A(x) = - 2 x ( x - 20 )
En una golfa que té les parets en forma de triangle equilàter d’amplada 4m, s’hi vol col·locar una llibreria rectangular. Es demana: a) La funció f(x) que dóna l’altura de la llibreria en funció de la seva amplada x. b) La funció g(x) que dóna la capacitat de la llibreria en funció de la seva amplada x. c) La representació gràfica d’ambdues funcions. d) El valor d’x que dóna la màxima capacitat.
Raonament 3
a) Aplicant la semblança de triangles
2 / 2
2 )
(x x
f h
= − i aïllant l’altura f(x) = (4 )
2
3 − x que és una funció lineal
b) Àrea del rectangle g(x) = x · f(x) = -
2
3 x2 + 2 3 x que és una funció parabòlica
c)Gràfica de les dues funcions:
f(x)=- 0.866 x^2 + 3.464 x f(x)=-0.866 x + 3.464
Graph Limited School Edition
-0.6-0.4-0.2 0.20.40.60.81 1.21.41.61.8 22.22.42.62.8 33.23.43.63.844.24.4
-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x y
d) La màxima capacitat la dóna el valor del vèrtex V( 2 , 2 3 ) que ens informa d’una amplada x = 2m i una capacitat màxima de 2 3m2
Un triangle rectangle té els seus costats en progressió aritmètica.
Si es fa girar al voltant del costat petit genera un con de volum π 3. Calculeu: a) Les dimensions del triangle. b) L’àrea
x
) f (x
3
= 2 h
4
4
Raonament:
a) Costats del triangle: x , x + d , x+2d aplicant el T.
Pitàgores ( x + 2 d )2 = x2 + ( x + d )2 ⇒ x2 – 2d x – 3 d2 = 0 ⇒ x = - d o x = 3 d. La solució negativa no és factible resultant com a única solució: costats: 3 d , 4 d , 5 d
2 16
) 3 ( ) 4 3 ( 1 3
128π= 1π 2 = π 2 = 3 ⇒ =
= r h d d d d
V ,les dimensions
del triangle són: 6cm 8cm 10cm
b) La superfície lateral i total són respectivament,
S l = π·r·g = 80 π cm2 S t = π·r·g+π·r2= 144π cm2
Demostreu, aplicant la identitat de polinomis, que el producte de quatre nombres consecutius més una unitat és un quadrat perfecte.
Raonament:
n ( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) + 1 = n4 + 6 n3 +11 n2 + 6 n + 1 x
d x+
d x 2+
0 1 n n+1 n+2 n+3
5
( n2 + a n + b )2 = n4 + 2 a n3 + ( 2b + a2 ) n2 + 2ab n + b2 Identificant coeficients,
⎩⎨
⎧
=
=
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
⎧
⇒
=
=
= +
=
1 3 1
6 2
11 2
6 2
2 2
b a b
ab a b
a
Sistema compatible resultant:
n ( n + 1 )( n + 2 )( n + 3 )( n + 4 )+ 1 = ( n2 + 3n + 1 )2
Una família de triangles té per costats els següents polinomis:
2x2+1 2x2+2 4x2+1. Es demana:
a) La funció P(x) perímetre del triangle. b) La Representació gràfica de la funció P(x). c) La funció polinòmica A(x) de l’àrea del triangle. d) Solucions de l’equació: A(x) = P(x). e) Els valors d’ x per tal que el triangle sigui rectangle.
Raonament:
a) Perímetre P(x) = 8x2+4 funció polinòmica de segon grau b) Representació polinòmica de la funció P(x)
f(x)=8x^2+4
4 6 8 10 12 14 16 18 y
2 x2 + 1 2 x2 + 2
4 x2 + 1
6
c) Per calcular la funció àrea aplicarem la fórmula de Herón, semiperímetre: p = 4 x2 + 2
A(x) = p(p−a)(p−b)(p−c) = (4x2 +2)(2x2 +1)(2x2)(1) )
1 2
(
2 2 +
= x x per tot valor d’x.
d) L’equació A(x) = P(x) ⇒ 2x ( 2 x2 + 1 ) = 8 x2 + 4 ⇒
⇒
=
−
⇒
=
−
+1)(2x 4) 0 2x 4 0
(2x2 x = 2
e) Aplicant el teorema de Pitàgores,
( 4 x2 + 1 ) 2 = ( 2 x2 + 2 ) 2 + ( 2 x2 + 1 ) 2 ⇒2x4 − x2 −1=0 1
x 1
x2 = ⇒ =±
⇒
Trobeu:
a)L’equació de la recta (r) perpendicular a 3x+4y=25 que passa per l’origen de coordenades. b) El punt (P) simètric de l’origen respecte de la recta 3x+4y=25. c) L’equació de la recta (s) simètrica de 3x+4y=25 respecte de l’origen. d) La recta 3x+4y=25 determina amb els eixos un triangle rectangle; si fem girar el triangle al voltant de la recta es generen dos cons units per la base. Calculeu el seu volum.
Raonament:
a)Feix de rectes perpendiculars a 3x+4y=25: 4 x – 3 y + ? = 0
3x+4y=25 r
P
s
7
La recta cercada és: 4 x – 3 y = 0
b) Punt M intersecció de les rectes r i s :
⎩⎨
⎧
=
−
=
= +
0 3 4
25 4
3
y x
y M x
⇒ M( 3 , 4 ) .El punt P simètric respecte de l’origen O és un extrem de l’interval OP on M és el punt mig.
P = 2 M - O = (6 , 8 ) – ( 0 , 0 ) = ( 6,8 )
c) La recta paral·lela a 3x+4y=25 que passa per l’origen és:
3x+4y=0 i la paral·lela a una mateixa distància serà:
3x+4y= -25 .
d) Punts de tall amb els eixos ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎟ ⎛
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
4 ,25 0 0
3 ,
25 i
radi dels cons d = d(O,recta r) = 5 4
3
25 0 0
2
2 =
+
−
+ u.
V = ( )
3 1
2 1
2 h h
d +
π h1 +h2 =
12 125 4
25 3
25 2 ⎟2 =
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ u.
V = ( )
3 1
2 1
2 h h
d +
π =1/3 π ·52·(125 / 12 ) u3
Per pujar una escala podem fer-ho saltant un esglaó o bé saltant-ne dos. Si f(n) representa el nombre de maneres diferents de pujar una escala d’ n esglaons, es demana:
a) Raona la fórmula recurrent, f ( n ) = f( n – 1 ) + f( n – 2 ).
b) Calcula f(1) i f(2). c) Apliqueu la recurrència per calcular f(8) i f(9). d) Trobeu el m.c.m. i m.c.d. de f(8) i f(9).
1
n
2
8
Anomenem f( n ) al nombre de maneres de pujar una escala d’n esglaons
a) El primer moviment pot ser pujar al primer esglaó o bé saltar al segon. Si saltem al primer esglaó, les maneres d’arribar a l’últim esglaó són f( n – 1 ), si saltem al segon esglaó, les maneres d’arribar a l’últim són f(n – 2) . Aleshores: f( n ) = f(
n – 1 ) + f( n – 2 )
b) Cas particular: f( 1 ) = 1 i f( 2 ) = 2
c) Aplicant la recurrència: f( n ) = f ( n – 1 ) + f ( n – 2 )
f(1)=1 f(2)=2 f ( 3 ) = 1 + 2 = 3 f ( 4 ) = 2 +3 = 5 f( 5 )= 3 + 5 = 8. f ( 6 ) = 5 + 8 = 13 f ( 7 ) = 8 + 13 = 21 f( 8 ) = 13+21=34 i f ( 9 ) =21+34= 55
successió de Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...
d) m c d ( 34 , 55 ) = 1 m c m ( 34 , 55 )=34·55
Una família de triangles té per costats els polinomis:
2x+1 2x2+2x 2x2+2x+1. Es demana:
a) Demostreu que són rectangles per tot valor positiu d’ x. b) Calculeu les fraccions algebraiques que representen al sin(B) i cos(B) de l’angle menor. c) Resoleu l’equació sin(B) = cos(B).
d) Comproveu la identitat sin2(B)+cos2(B) = 1 Raonament:
2 x + 1 2 x2 + 2 x
2 x2 + 2 x + 1 A
B C
9
2 2
2 2
2
2 2x 1) -(2x 2x) (1)(4x 4x 1) (2x 1)
(2x + + + = + + = + →
2 2
2 2
2 2x 1) (2x 1) (2x 2x)
2x + + = + + +
(
b) sin B=(2x+1)/(2x2+2x+1 cos B= (2x2+2x)/( 2x2+2x+1) c) sin(B) = cos(B) → 2 x + 1 = 2 x2 + 2 x →
2
± 2 x=
d) sin2(B)+cos2(B) = 1
) 1 2 2
(
) 2 2
( )
1 2 2
(
) 1 2 (
2 2
2 2
2 2
2
+ = + + +
+ +
+
x x
x x
x x
x
atès que: (2x2 +2x+1)2 =(2x+1)2 +(2x2 +2x)2
Des d’un punt A situat a una certa distància de la base d’una torre es visualitza un punt fix sota un angle de 60º. Si ens retirem a un punt B es divisa el mateix punt sota un angle de 30º. Sota quin angle es divisa el punt fix si el visualitzem des del punt mig del segment AB?
Raonament:
h h h
A M
B 30º 60º
h
d x d
10
x
= h
3 i
d x
h 2 3
1
= + ⇒ x = d tg Mº =
d x
h + =
x h 2 =
2
3 ⇒ Mº = 40’9º
Des d’un punt A situat a una certa distància x de la base d’una torre es visualitza un punt fix C sota un angle (2αº) . Si ens retirem a un punt B es divisa el mateix punt sota un angle meitat que l’anterior. Si la distància entre A i B fa les cinc terceres parts de la distància x del punt A al peu de la torre, calculeu l’altura h del punt fix en funció de la distància x.
Raonament:
α tg 1 tg2α 2tgα x
tg2α h 8x
3h 8x/3
tgα h 2
= −
=
=
=
Substituint en la última expressió les dues primeres resulta,
A B
2αº
αº
x 3
5x
C
h 11
2 2
2
2 64x 9h
48hx 64x
1 9h 4x 3h x
h
= −
−
= ⇒ 48 x2 = 64x2 –9 h2 ⇒
9h2 = 16 x2 ⇒ h = 3 4x
En un triangle els seus angles estan en progressió aritmètica i l’altura relativa al costat més gran el divideix en dues parts directament proporcional a 1 i 3. Calculeu:
a) Els tres angles del triangle. b) La mitjana aritmètica i la mitjana geomètrica dels tres angles. c) Si el costat petit mesura 12 cm, calculeu el perímetre i l’àrea del triangle.
Raonament:
a) Si C<B<A són angles en progressió aritmètica de constant d:
C = B – d , B=B , A = B + d atès que,
A + B + C = 180º implica 3B = 180º , B = 60º a = 4 x cos60º =
c
= x 2
1 c = 2 x h= 4x2 − x2 = 3x b = 9x2 +3x2 =2 3x aplicant el teorema del sinus, sin A =
b
a sin B = 3 1
4 · = ⇒ A = 90º i C= 30º
x 3x
h
c b
12
b) Mitjana aritmètica = 60º 3
º 180
3 + = =
+ B C
A i la mitjana
geomètrica = 3 A· CB· = 3 30·60·90= 54’51º
c) si el costat petit c = 2 x = 12 cm ⇒ x = 6 cm aleshores , c = 12 cm b = 12 3 cm a = 24 cm
perímetre: P = 12 ( 3 + 3 ) cm i l’àrea A = 72 3 cm2
“
Si a cada paraula d’aquest text tancat entre cometes li donem una longitud igual al nombre de caràcters que la forma, en triar una paraula a l’atzar” ,
trobeu:a) La probabilitat de triar una paraula de longitud 5, si considerem que cada paraula té la mateixa probabilitat de ser triada. b) La mitjana aritmètica, el mode i la mediana de totes les longituds. c) Si acceptem la mitjana aritmètica com a vàlida, quantes paraules esperem trobar-nos en un text que conté 2.000 caràcters?
Raonament:
Longitud = x i Freqüència = n i x i n i
1 2 2 2 6 12 3 3 9 4 2 8 5 5 25 6 3 18 7 4 28 8 1 8 9 1 9 total 27 119
13
a) P ( x5 ) = 275
b) mitjana aritmètica = x =
119 = 4’4 mode = x27 2 = 2 mediana = x5 = 5
c) 454'5 4
'
2000 =4 ⇒ esperem trobar unes 454 o 455 paraules de longitud 5.
Una persona comença a caminar apropant-se a una torre amb una velocitat constant de 4 m/s. Al mateix instant, un ocell situat a dalt de la torre deixa caure una molla de pa de manera que la persona i la molla de pa arriben al mateix punt en el mateix temps. Si l’altura de la torre és cinc vegades més gran que la distància recorreguda per la persona, calculeu:
a) El temps de caiguda de la molla de pa. b) L’altura de la torre si no tenim en compte el fregament de l’aire sobre la molla de pa. ( g≅10 m/s2 )
Raonament:
a) l’espai d’un moviment de lliure caiguda amb acceleració constant g ≅ 10 m/s2 és : h = 2 5 2
2
1 gt = t i l’espai horitzontal t
v s = ·
h = 2 21 gt 14
b) altura de la torre: h = 2
21 gt = 5 t2 = 80 m.
Si: A( 2,-5) i B(4,6) són els extrems d’un segment. Calculeu:
a) El punt mig M del segment AB. b)El punt P que divideix el segment en dues parts directament proporcionals a 1 i 2, més proper d’A. c) Lloc geomètric ( s ) de tots els punts que disten de B el doble del punt A . d) Equació de la recta (t) que passa per l’origen de coordenades i divideix el segment AB en dues parts iguals. e) El traslladat del segment AB mitjançant el vector
) 5 , 3 (
v= − f) El transformat del segment AB mitjançant una homotècia al de centre el punt C(2,4) i constant k=3.
Raonament:
a) punt mig del segment AB: M = 2
B A+
= ( 3 , 2 1 )
b) punt que divideix el segment AB en dues parts directament A
B
M P
t
s
15
proporcionals a 1 i 2. P = 3
1 2A+ B
= ( 3 8 ,
3
−4 )
c) punt genèric del pla: P ( x , y ), condicionat per l’equació, dist2 ( P , B ) = 4 dist2 ( P , A ) això implica;
( x – 4 )2+( y – 6 )2= 4 [( x – 2 )2 + ( y + 5 )2 ] ⇒ 3 x2 + 3 y2 – 8 x + 52 y + 64 = 0
d) la recta OM té per pendent
6 1 3
2 /
1 =
m = i la seva equació és: y =
6 1 x
e) el traslladat del segment AB pel vector v= (−3,5): A’ = A + v = ( -1 , 0 ) B’ = B + v = ( 1 , 11 )
f) A''=C +3CA= ( 2 , - 23 ) B ''=C +3CB= ( 8 , 10 )
En un triangle, els costats i l’àrea són quatre valors en progressió aritmètica. Trobeu-hi:
a) La constant diferència de la progressió en funció del costat mitjà x. b) El perímetre del triangle en funció d’x. c) De tots aquests triangles, trobeu aquells que tenen els costats enters.
Raonament:
16
a) semiperímetre p = 3x / 2 per calcular l’àrea aplicarem la fórmula de Herón,
A = p(p−a)(p−b)(p−c) = ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 2
2
2 2 2
3x x x d
si ⎥
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ ⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 2
2
2 2 2
3x x x d
= x + 2d ⇒ 2
2 2
2
) 2 16 (
) 4 (
3x x − d = x+ d
⇒ x x d x d
16 2 ) 2 (
3 2 − = +
⇒ 3x3 – 6 x2 d = 16 x + 32 d
⇒ d( 32 + 6 x2 ) = 3 x3 – 16x ⇒ d =
) 2 16 x 3 ( 2
) 2 16 x 3 ( x
+
−
b) Perímetre: P = 3 x
c) d =
) 2 16 x 3 ( 2
) 2 16 x 3 ( x
+
− = ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
− +
16 3
1 32
2 x2
x ⇒ cap valor tret de
d=0.
Si anomenem al perímetre d’un rectangle 2s i a la seva àrea p, d
x− x
d x+
y x
17
mesura de la base i y la de l’altura.
Raonament:
( x – y )2 = ( x + y )2 – 4 x y = s2 – 4p aleshores, ( x - y )24 = [ s2 – 4 p ]12
Se sap que un matrimoni té 5 fills. En analitzar el seus sexes, es demana: la probabilitat de trobar-nos almenys dos nois i una noia.
Raonament:
Casos desfavorables: cinc nois + cinc noies + 4 noies i un noi P = 1 – p(cinc nois) - p(cinc noies) - p(1noi i 4 noies)
P = 1 -
5
1 ⎟2
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ -
5
21 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ - 5
5
1 ⎟2
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ = 1 – 7 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ 32
1 = 3225
En una progressió geomètrica de set termes, els tres primers sumen 7, i els tres últims 112. Trobeu els set termes de la progressió.
y
x xy
19 18
Raonament:
a a.r a.r2 a.r3 a.r4 a.r5 a.r6 Condicions:
a ( 1 + r + r2 ) = 7 i a r4 ( 1 + r + r2 ) = 112 Conclusions:
7
=112 +
+
+ +
)
r2 r 1 ( a
) r2 r 1 ( r4
a ⇒ 7 r4 = 112 ⇒ r4 = 16 ⇒ r = ±2
a) si r = 2 ⇒ 7a = 7 ⇒ a = 1 1 2 4 8 16 32 64
b)si r = - 2 3a = 7 a = 7 / 3
7/3 -14/3 +28/3 -56/3 +112/3 -224/3 +448/3
En una bossa hi ha x boles blanques i x + n boles negres.
Calculeu els possibles valors d’ x i n per tal que la probabilitat d’obtenir bola blanca sigui
n 1 . Raonament:
P = x n n
x 1
2 =
+ → n
x n x+ =
2 → x =
−2 n
n = 1 + 2 2 n− n-2 té que dividir a 2 aleshores, n = 3 o n = 4.
a) si n = 3 x = 3 blanques n + x = 6 negres b) si n = 4 x = 2 blanques n + x = 6 negres
20
Donat el polinomi:p(x)= x31 −x30 + x29 −...+ x−1 es demana:
a) La divisió de p(x) entre x16 +1. b) La factorització del polinomi p(x). c) Les solucions de l’equació p(x)=0.
Raonament:
p(x) = x31 – x30 + x29 - ... +x - 1 a) p(x) =
1 ) 1 ( 32
+
− x
x = ( 1)
1 ) 1
( 16
16
+ +
− x
x
x = (x15 - x14+ ...+ x –1)(x16+1)
→
1 ) (
16 + x
x
p = x15 - x14 + ...+ x – 1
b) p(x) =
1 ) 1 ( 32
+
− x
x = ( 1)
1 ) 1
( 16
16
+ +
− x
x
x =
1 ) 1 )(
1 )(
1 (
8 8
16
+ + −
+ x
x x
x
p(x) =
1
) 1 )(
1 )(
1 )(
1 )(
1 8 4 2 2
+
− +
+ +
+
x
x x
x x
(x16 p(x) =
1 ) 1 ) (
1 )(
1 )(
1 )(
1
2 2
4 8
+ + −
+ +
+ x
x x x
x (x16
p(x)= ( x16 + 1 )( x8 + 1 )( x4 + 1 ) ( x2 + 1 )( x – 1 ) c) p(x) = 0 ⇒ ( x – 1 ) = 0 ⇒ x = 1
Demostreu que en tot polígon regular d’n costats de perímetre P i àrea A, en triar un punt del seu interior, la suma de les seves distàncies als costats és constant Determineu aquesta constant Raonament:
22 21
h i = altura del triangle T i
A = àrea del polígon = 2
L( h 1 + h 2 + ... + h n ) k = h 1 + h 2 + ... + h n =
P A n L
A 2· · 2 =
Donat el polinomi (x+1)20 +a(x+1)+b , determineu a i b de manera que sigui divisible per 3x2 +6x+1
Raonament:
P(x) = (x+1)20 +a(x+1)+b
Efectuem un canvi a la base (x + 1 ) al polinomi Q(x) Q(x) = 3 x2 + 6 x + 1
3 6 1 -3 -3
-1 ↓
3 3 2
-1 ↓ -3
3 0
-1 ↓
3
Q(x) = 3 x2 + 6 x + 1 = 3 (x+1)2+0(x+1)+2 si Q(x) divideix a L
23
P(x) → Q(x)=0 → (x+1)2 ≡ 3
−2
→ (x+1)20 ≡ 1010
10
3 2 3
2⎟ ≡
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
Residu de la divisió: P(x):Q(x) R(x)= +a(x+1)+b 3
2
10 10
b
x
a + +
+ ( 1) 3
2
10 10
= 0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
−⎛
⇒ =
0 3 2 10 a
b
Expresseu el polinomi: p(x)= x5 −5x4 −3x+6 en base (x+1) . Raonament:
p(x)= x5 −5x4 −3x+6
fem un canvi a la base (x+1): efectuem per Ruffini les successives divisions per ( x + 1 )
1 -5 0 0 -3 6
-1 ↓ -1 6 -6 6 -3
1 -6 6 -6 3 3
-1 ↓ -1 7 -13 19
1 -7 13 -19 22
-1 ↓ -1 8 -21
1 -8 21 -40
-1 ↓ -1 9
1 -9 30
-1 ↓ -1
1 -10
-1 ↓
1
p(x)=1(x+1)5-10(x+1)4+30(x+1)3-40(x+1)2+22(x+1)+3 24
Una bossa conté 13 boles de les quals 4 són negres, 6 són blanques i 3 són vermelles. De quantes maneres es pot treure un conjunt de 3 boles per tal que contingui almenys una bola de cada color.
Raonament:
a) amb ordre: P3 · C41 · C61 · C31 = 6 · 4 · 6 · 3 = 432 b) sense ordre: C41 · C61 · C31 = 4 · 6 · 3 = 72
Donada l’equació: x2 +(m−2)x−(m−3) =0. Trobeu el valor d’m que fa mínima la suma dels quadrats de les seves solucions.
Raonament:
Donada l’equació:
0 ) 3 (
) 2
2 +(m− x− m− =
x Si les dues solucions són:{ a , b } La suma i el producte compleixen:
S = a + b = 2 – m P = a b = 3 – m Fent operacions:
26 25
a2 + b2 = m2 – 2m – 2 funció polinòmica de segon grau definida a l’interval m∈(−∞,1− 3)∪(1+ 3,∞). La seva gràfica representa una paràbola i el seu valor mínim correspon al vèrtex d’abscissa m =1 que no pertany a l’interval de definició i aleshores el valor òptim és l’extrems de l’interval més proper al vèrtex , m = 1 - 3 i m = 1 + 3
Un safareig té tres aixetes: A , B , C. Si obrim A i B, s’omple en dues hores; si obrim A i C, s’omple en tres hores; i si obrim B i C s’omple en sis hores. Quant tardarà en omplir-se en obrir les tres aixetes?
Raonament:
A omple en una hora 1/x part del dipòsit B omple en una hora 1/y part del dipòsit C omple en una hora 1/z part del dipòsit
A+B omple en una hora 1/x + 1/y = 1/2 del dipòsit A+C omple en una hora 1/x + 1/z = 1/3 del dipòsit B+C omple en una hora 1/y + 1/z = 1/6 del dipòsit A+B+C omple en una hora 1/x + 1/y + 1/z =
= (1/2+1/3+1/6)/2 = 1/2 del dipòsit
A B C
A B C
27
Tres nombres estan en progressió aritmètica i els seus quadrats en progressió geomètrica. Calculeu les raons de les progressions i els tres nombres.
Raonament:
Tres nombres en progressions aritmètica:
a – d a a + d
Els seus quadrats en progressió geomètrica:
( a – d )2 a2 ( a + d )2
Condició: a4 = ( a – d )2( a + d )2 → a2 = ± ( a2 – d2 ) a) Primer cas:
a2 = a2 – d2 → d = 0 → nombres : a, a, a r = 1 b) Segon cas:
a2 = - a2 + d2 → d = ± 2a
→⎩⎨⎧
−
=
− +
+
= +
−
2 2
) 2 1 ( 2
, , 2
) 2 1 ( 2
, , 2
r a a
a a a
r a a
a a a
Un circuit té forma de quadrat i la longitud del seu costat és de 14 Km. Si a una distància x de cada vèrtex s’uneixen aquests punts, es forma un nou circuit que torna a ser un quadrat. Dos cotxes circulen un per cada circuit i a la mateixa velocitat.
Trobeu:
x A
B
C
29 28
B al mateix temps en sentit horari, calculeu el recorregut de cada cotxe fins a la primera topada. b) Si la distància AB és de 6km i surten d’A i B, al mateix temps i en sentit horari, calculeu el recorregut de cada cotxe fins a la primera topada.
Raonament:
a) L = 14 km → l = 82 +62 = 10 km
Condició d’arribada dels dos cotxes en un mateix temps a un dels quatre punts B;P;Q;R
10 m = 14 n → 5 m = 7 n → m = 7λ, n = 5λ Condició per coincidir en el mateix punt B o p o Q o R
m - n = 4k → 7λ-5λ=4k → 2λ = 4k → λ parell Primera topada
λ=2 S = 10 m = 14 n = 140 km coincideixen en Q b) L = 14 km → l = 82 +62 = 10 km
Condició d’arribada dels dos cotxes en un mateix temps a un dels quatre punts B;P;Q;R
10m = 6 + 14 n → 5 m = 7 n + 3 → m= n + 5
3 2n+
→ n=5λ+1 , m=7λ+2
Condició per coincidir en el mateix punt B o p o Q o R m - n = 4k → 2λ+1 = 4k
senar = parell IMPOSSIBLE no coincideixen x
A B
C P
Q R
L l
En un cistell hi ha 200 fruites entre peres i pomes. El nombre de PERES, FRUITES PODRIDES i POMES formen progressió aritmètica amb diferència = nombre de PERES PODRIDES.
Contesteu les qüestions següents:
a)Si triem una fruita a l’atzar, calculeu la probabilitat que sigui PODRIDA. b) Si ens quedem amb les PERES PODRIDES més les POMES BONES i en triem una a l’atzar, calculeu la probabilitat de que sigui una fruita BONA.
Raonament:
PERES + POMES = 200 x + y + z + t = 200
( PERES, FRUITES PODRIDES i POMES ) formen progressió aritmètica amb diferència = nombre de PERES PODRIDES.(y) x + y x + 2 y = y + t x + 3 y = z + t
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
− +
= + + + +
0 200 t
y x
t z y x
→
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
=
−
=
t y
t x
100 100 2
PERES BONES = x
POMES BONES = z
POMES PODRIDES = t
PERES PODRIDES = y
= PERES BONES
= POMES BONES
= POMES PODRIDES
= PERES PODRIDES
30
a)
fruites podrides = y + t = 100 p(fruita podrida) =
2 1 100 = 200 b)
peres podrides + pomes bones = y + z = 300 –3 t = 3 ( 100 – t ) fruites bones = z = 200 – 2 y = 2 ( 100 – t )
p[fruita bona/(peres podrides+pomes bones )]= 3 2
Donats els polinomis:
⎩⎨
⎧
+ + +
+
=
−
−
−
−
=
1 5 6
5 )
(
1 3 2
) (
2 3
4
2 3
4
x x
x x
x q
x x
x x x
p calculeu:
a) El seu (m. c. d.). b) La descomposició factorial de p(x) i q(x).
c) Resoleu les equacions p(x) = 0 i q(x) = 0.
Raonament:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+ + +
+
=
−
−
−
−
=
1 2 5
3 6 4 5
) (
1 2 3
3 2 ) 4
(
x x
x x
x q
x x
x x x p
a) aplicant l’algoritme d’Euclides:
x4+5x3+6x2+5x+1 x4-x3-2x2-3x-1 x4-x3-2x2-3x-1 3x3+4x2+4x+1 C=1 C=1/3 x – 7/9 R=2(3x3+4x2+4x+1) R=-2/9(x2+x+1)
3x3+4x2+4x+1 x2+x+1 C=3x+1
R=0
C=1 C=1/3 x – 7/9 C=3x+1 x4+5x3+6x2+5x+1 x4-x3-2x2-3x-1 3x3+4x2+4x+1 x2+x+1 R=2(3x3+4x2+4x+1) R=-2/9(x2+x+1) R=0
m c d ( p(x) , q(x) ) = x2 + x + 1
b) 4 3 2 2 2
31
p(x) = ( x2 + x + 1 )( x2 - 2x – 1 )
x2 - 2x – 1 = 0 x = 1 ± 2 x2+x+1=0 cap solució real p(x)= (x2 + x + 1 )( x2 - 2x – 1 ) = (x2+x+1)(x-1+ 2)(x-1- 2) x4 + 5x3 + 6x2+ 5x + 1 : x2 + x + 1 = x2 + 4x + 1
q(x) = ( x2 + x + 1 )( x2 + 4x + 1 )
x2+ 4x + 1 = 0 x = 2 ± 3 x2+x+1=0 cap solució real q(x)= ( x2 + x + 1 )( x2 + 4x + 1 )= (x2+ x+1)(x-2+ 3)(x-2- 3) c)
p (x) = 0 → x = 1 ± 2 q(x) = 0 → x = 2 ± 3
Una moneda té un diàmetre de 50 mm. i una altura de 2 mm.
Es vol construir un estoig cilíndric de manera que, en el cercle de la base, hi encaixin exactament set monedes. Calculeu:
a) Dimensions de l’estoig amb capacitat per a 70 monedes. b) Espai desaprofitat dins de l’estoig. c) Diàmetre d’una altra moneda tangent a tres de les monedes anteriors per la part exterior.
Raonament:
2 R = 150 mm R = 75 mm
h
2 R
2 r
32
V = π R2h = 353.429 mm3 = 353’429 cm3
b) V’ = 77 ( π · 25 2 · 2) = 302.378’3 mm3 = 302’378 cm3 V – V’ = 51’05 cm3, 14’4% d’espai desaprofitat
c) 1002 = r2 + r2 – 2 · r · r · cos 120º = 3 r2 r = 3
3
100 = 57’74 mm
Un grup d’ n persones surt del punt A(1,1) i cada vegada que un subgrup arriba a una bifurcació, el grup es divideix en tres parts iguals sense recular. Si expressem per am,n el nombre de persones que arriben al punt de trobada (m,n), calculeu:
a) El nombre mínim de persones que té el grup inicial per arribar a tots els punts de bifurcació de la quarta fila i el nombre de persones a que passen pel punt B(4,3). 4,3
b) El nombre mínim de persones que té el grup inicial per arribar a tots els punts de bifurcació de la cinquena fila i la suma de totes les persones que han passat per alguna bifurcació de la cinquena fila.
c) Demostreu que: am,n = (am−1,n−1 +am−1,n +3am−2,n−1)/3 Raonament:
) 1 , 1 A(
) 3 , 4 B( )
1 , 2 (
) 1 , 4 (
33
Es compleix la llei de recurrència:
3
, 1 1
, 2 1
,
1n m n m n
m n m,
a a
a a − − + − − + −
= a)
n
n/3 n/3
n/9 5n/9 n/9 n/27 n/3 n/3 n/27
Si: n/27 = 1 n = 27 mínim nombre de persones que surten del punt A per arribar a tots els punts de la quarta fila.
En el punt B(4,3) 9 3 =
= n
a4,3 persones b)
n n/3 n/3
n/9 5n/9 n/9
n/27 n/3 n/3 n/27
n/81 13n/81 11n/27 13n/81 n/81
S = a5,1 +... a+ 5,5 = 61n/81
Donat un rectangle de dimensions( a x b ) tal que a > b, calculeu la relació entre a i b de manera que:
a) En partir-lo per la meitat, els dos rectangles resultants siguin semblants al rectangle inicial.
) 1 , 1 A(
) 3 , 4 B( )
1 , 2 (
) 1 , 4 (
34
b)En retallar un quadrat de costat b, el rectangle que queda és semblant al rectangle inicial.
Raonament:
a)
a2 b
ba = → 2 b2 = a2 → a = 2 b Fixada una superfície: S = a b = 2 b2
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
S a
b S
· 2
2
· 2
b)
a
2 a b
a
2 a
b
b a−b
b a− a
b a
b b
a
= − → a2 – b a – b2 = 0 → a = 2
) 1 5
( −
b
En un polígon regular d’un nombre parell de costats, triem un punt de seu interior i l’unim amb el seus vèrtexs i els triangles resultants els numerem ordenadament. Demostreu:
La suma de les àrees senars coincideixi amb la suma de les àrees parells.
Raonament:
b
b a−b a−b
a
35
I = suma de les àrees senars P = suma de les àrees parells Hem de demostrar que: P = I
DEMOSTRACIÓ:
Àrea del triangle (PSR) = T1 Àrea del triangle(PQR) = T2
Àrea del triangle (QRS) = K ( constant) T1 + T2 = A k + K
per tenir la mateixa altura
a b A
T
k
=
−1
1 → 1 = Ak−1 a T b
per tenir la mateixa altura
a b A
T
k
=
+1
2 → 2 = Ak+1 a T b
T1 + T2 = A k + K → A A A K a
b
k k
k− + + )= +
( 1 1
A) NOMBRE DE COSTATS = 2n aK
aA A
A
b( 1 + 3) = 2 + b(A2 + A4)= aA3 +aK aK
aA A
A
b( 3 + 5)= 4 + b(A4 + A6)= aA5 +aK aK
aA A
A
b( 5 + 7) = 6 + b(A6 + A8) =aA7 +aK
···
aK aA
A A
b( 2n−1 + 1)= 2n + b(A2n + A2)= aA1 +aK
TOTAL TOTAL
b ·2 · I = a· P + n · a · K b ·2 · P = a· I + n · a · K
⎩⎨
⎧ → − = − → =
−
=
−
= bI aP bP aI I P
aI bP naK
aP bI
naK 2 2
2 2
a
b
P
Q
R
1 S
k−
A Ak
+1
Ak
En un taulell de 5x5 caselles, trobeu-hi: a) Nombre total de (rectangles + quadrats) que és poden visualitzar format per caselles sense trencar. b) Nombre total de quadrats i de rectangles formats per caselles sense trencar.
Raonament:
A)TAULELL DE 5x5 caselles
a)La intersecció de dues rectes horitzontals amb dues rectes verticals dóna un rectangle o un quadrat. Totes les maneres de seleccionar aquestes rectes són:
C
C
26· 26 = 15·15 = 225b) Quadrats de longitud 1 = 5 · 5 = 52 Quadrats de longitud 2 = 4 · 4 = 42 Quadrats de longitud 3 = 3 · 3 = 32 Quadrats de longitud 4 = 2 · 2 = 22 Quadrats de longitud 5 = 1 · 1 = 12
Total de quadrats = 25 +16 +9 +4 +1 = 55 Total de rectangles = 225 – 55 = 170
36
B)TAULELL D’ n x n caselles
a)La intersecció de dues rectes horitzontals amb dues rectes verticals dóna un rectangle o un quadrat. Totes les maneres de seleccionar aquestes rectes són:
C C
n2+1· n2+1 =2
)!
1 (
! 2
)!
1 ( ⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− + n n b)
Quadrats de longitud 1 = n · n = n2
Quadrats de longitud 2 = ( n – 1 )( n – 1 ) = ( n – 1 )2
...
Quadrats de longitud ( n – 1 ) = 2 · 2 = 22 Quadrats de longitud n = 1 · 1 = 12
Total de quadrats = 12+22+···+n2 =
6
) 1 2 )(
1
(n+ n+ n
Total de rectangles =
2
)!
1 (
! 2
)!
1
( ⎟⎟
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
− + n
n -
6
) 1 2 )(
1
(n+ n+ n
Una bala de canó es llança amb una velocitat inicial v i amb un angle d’inclinació α. Si les equacions del moviment en un temps t són:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
− α
=
α
=
gt2
2 t 1 ).
sin . v ( y
t ).
cos . v ( x
es demana,
a) Aïlla t de la primera equació i substitueix a la segona per obtenir l’equació del moviment y = f(x) on f(x) és un polinomi de segon grau. b) Cerqueu el vèrtex d’aquesta paràbola que ens dóna la màxima alçada i el temps d’arribada al vèrtex. c)
37
