( ) 11. EL CAMPO MAGNÉTICO. Concepto de campo magnético. Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.

11. E

L CAMPO MAGNÉTICO

.

Concepto de campo magnético.

• El campo magnético es un campo vectorial generado por determinadas sustancias, deno- minadas imanes, por partículas cargadas en movimiento y por corrientes eléctricas.

Actúa sobre ciertas sustancias, denominadas diamagnéticas, paramagnéticas y ferromagnéti- cas, sobre partículas cargadas en movimiento y sobre conductores por los que circule corrien- te eléctrica, de modo que aparece sobre ellas una fuerza denominada fuerza magnética.

Al campo magnético también se le denomina a veces inducción magnética, y suele notarse por Br

.

Unidad S.I. de campo magnético: tesla (T). 1 . T= 1kg⋅s⁻²⋅A⁻¹

• Las líneas de campo magnético siguen trayectorias cerradas.

En el caso de los imanes, por convenio, se denomina polo norte a aquél en el que nacen las líneas de campo y polo sur a aquél hacia el que se dirigen.

Fuerza magnética sobre una carga en movimiento.

• La fuerza que ejerce un campo magnético Br

sobre una partícula con carga q que se mue- va con velocidad viene dada por la expresión: vr

B v q Fr_m r r

∧

⋅

=

La fuerza magnética es, por tanto, perpendicular en todo momento a la trayectoria de la partí- cula y al campo magnético. Entonces:

– La fuerza magnética no ejerce trabajo alguno sobre la partícula.

– La fuerza magnética no produce variación en la energía cinética de la partícula.

– La fuerza magnética no produce variación en el módulo de la velocidad de la partí- cula.

– Si el campo magnético es uniforme y no actúa ninguna otra fuerza sobre la partícu- la, ésta describe una trayectoria circular cuyo radio puede obtenerse aplicando la 2ª ley de Newton.

• Ley de Lorentz.– Si una partícula con carga q se mueve con velocidad en una región donde existen un campo eléctrico E

vr r y un campo magnético Br

, la fuerza total que actúa sobre ella es:

(

^{E v B}

)

q

Fr r r r

∧ +

⋅

=

Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica.

• 1ª Ley de Laplace.– La fuerza total que un campo magnético Br

ejerce sobre un hilo por el que circula una corriente de intensidad I es:

∫

^∧

⋅

=

L

m I d B

Fr r r

l , siendo:

L ≡ lugar geométrico de los puntos del hilo conductor;

uI

d

dr r

⋅

= l

l , donde dl representa un elemento diferencial del hilo conductor y un vector unitario con la dirección y sentido en los que circula la intensidad de corriente.

urI

Si el campo magnético es uniforme, se tiene que:

α

⋅

⋅

⋅

=B I sen

F_m l ,

siendo:

α ≡ ángulo formado por el campo magnético y el hilo conductor.

Momento magnético.

• Momento magnético de una espira por la que circula corriente.– Se define como:

S I mr = ⋅ r , siendo:

I ≡ intensidad de corriente que circula por la espira;

Sr

≡ vector cuyo módulo es el área encerrada por la espira, cuya dirección es perpendicular al plano de la espira y cuya dirección viene dada por la regla del destornillador según el sentido en que circula la corriente.

Unidad S.I. de momento magnético: amperio-metro cuadrado (A⋅m²).

Si se trata de un solenoide formado por n espiras, su momento magnético total es:

S I n mr = ⋅ ⋅ r .

• Cuando una espira por la que circula corriente está inmersa en un campo magnético, actúa sobre ella un par de fuerzas.

El momento de dicho par de fuerzas cumple que:

B m Mr r r

∧

=

Campo magnético generado por una carga en movimiento.

• 2ª Ley de Laplace.– Una partícula con carga eléctrica q que se mueva con velocidad vr crea un campo magnético en un punto P, situado a una distancia d, que viene dado por la ex- presión:

2 r 0

d u q v B 4

r

r r ∧

⋅ π⋅

=μ ,

siendo:

2 7

0 =4π⋅10 m⋅kg/C

μ ⁻ ≡ permeabilidad magnética del vacío;

urr≡ vector unitario según la recta que une la partícula cargada con el punto P, y con sentido de la partícula hacia el punto.

d r u_r r^P

r r r −

= , siendo rr_P

el vector de posición de P y rr

el de la partícula cargada.

Campo magnético generado por una corriente eléctrica.

• Ley de Biot y Savart.– Una corriente de intensidad I que circule por un conductor crea en un punto P de vector de posición rr_P

un campo magnético que viene dado por:

∫

₋^∧

⋅ π⋅

=μ

L

2 P 0 r

r r

u I d

B 4 r r

r r

r l

, siendo:

L ≡ lugar geométrico de los puntos del hilo conductor;

urr≡ vector unitario según la recta que une cada punto del conductor con el punto P, y con sentido del conductor hacia el punto.

d r u_r r^P

r r r −

= , siendo rr_P

el vector de posición de P y rr el del punto del conductor;

uI

d

dr r

⋅

= l

l , donde dl representa un elemento diferencial del hilo conductor y un vector unitario con la dirección y sentido en los que circula la intensidad de corriente.

urI

Cálculo del campo magnético generado por un hilo rectilíneo infinito por el que circula corriente, mediante la ley de Biot y Savart:

Consideraremos un hilo conductor infinito, que haremos coincidir con el eje OZ, y un punto P situado a una distancia R del conductor:

Emplearemos coordenadas cilíndricas.

El vector de posición de P viene dado por: rr_P =R⋅ur_ρ +z′⋅ur_z. uz

dz

dr r

⋅

=

l , si consideramos que la corriente circula en el sentido positivo del eje OZ;

( )

²

2 z

z

P r R u z u z u R z z

r −r = ⋅r_ρ + ′⋅r − ⋅r = + ′−

r ;

( )

²

2

z z

r

z z R

u z u z u u R

′− +

⋅

−

′⋅ +

= ⋅ ^ρ

r r

r r

. Aplicamos la ley de Biot y Savart:

( )

( )

( ) ( ^{( )} ) ^{( )}

( )

( )

∫

∫

∫

∞ +

∞ ϕ −

∞ +

∞

− ϕ

∞ +

∞

−

ρ

⋅

′− +

⋅ π ⋅

⋅

⋅

−μ

=

=

⋅

′− +

⋅ ⋅ π⋅

=μ

′− +

′⋅ +

⋅

∧

⋅ ⋅ π⋅

=μ

32 2 2

0

32 2 2

0 32

2 2

z 0 z

z z R u dz

4 R I

u z

z R

dz I R

z 4 z R

u z u R u I dz

B 4

r

r r r

r r

Calculamos aparte la integral

( )

( )

∫

R² + z′−z ^{2 32}

dz :

Sea

( )

² t ^dz ₂^dt_t³²

z 1 z z

z t 1

= ⋅

⇒

=

′−

− ⇒

= ′ . Entonces:

( )

( ) ^{∫ ∫ ( )}

∫

= ⋅ + ⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + ⋅

⋅

⋅

=

′−

+ ^{2 32 3}₂ ^{2 32 2 32}

2 2 1 R t

dt

t t R t 1

2

dt z

z R

dz .

Sea du

R u dt 2 R

1 t u

t R 1

u _{2 2}

2 2

2 ⋅ ⋅

=

− ⇒

=

⇒

⋅ +

= . Entonces:

( )

( ) ^{∫ ( )}

∫

⋅ ′− +

′−

−

⋅ = +

− ⋅

⋅ =

−

⋅ =

=

′−

+ ^{2 32 2 2 2 2 2 2 2 2}

2 R z z R

z z t

R 1 R

1 u

R 1 u

R du z

z R

dz .

Por tanto:

( ) ( )

ϕ.

−∞ ϕ

→ +∞

ϕ →

⋅ ⋅ π

⋅

= μ

⇒

⎟⇒

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

⋅ π ⋅

⋅

⋅

−μ

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

′−

⋅

′−

− + −

′−

⋅

′−

−

⋅ π ⋅

⋅

⋅

−μ

=

R u 2 B I

R u 2

4 R I R

z z R

z lím z

R z z R

z lím z

4 u R B I

0

2 0

2 2 z 2

2 2 z 2

0

r r

r r r

Cálculo del campo magnético generado por un hilo rectilíneo finito por el que circula corriente, mediante la ley de Biot y Savart:

Si consideramos un hilo de longitud L, que situamos sobre el eje OZ de modo que su punto medio coincida con el origen de coordenadas, y procedemos como en el caso anterior, se ob- tiene que el campo magnético en un punto situado en el plano XY viene dado por:

ϕ ϕ

−

ϕ ⋅

⋅ +

⋅

⋅ π

⋅

⋅

= μ

⇒ +

⋅

⋅ π ⋅

⋅

⋅

=μ

⎥⎥

⎦

⎤ +

⋅ ⋅ π ⋅

⋅

⋅

=μ u

R 4 L R 2

L B I

4 R R L u L 4

R I R

z R u z 4

R B I

2 2

0

2 2 2 0

L2

L2 2 2 2

0 r r r r

r

Cálculo del campo magnético generado por una espira circular por la que circula corriente, mediante la ley de Biot y Savart:

Consideraremos una espira por la que circula corriente:

Br

I

De acuerdo con la ley de Biot y Savart, el campo magnético en el centro de la espira es:

( )

k

R 2 d I R k

4 I R

u u

d I R

B 4 ^{2 0}

0 2 0

0 2

0 r r r r

r ⋅

⋅

⋅

=μ ϕ

⋅

⋅ ⋅ π

⋅

= μ

−

∧

⋅ ϕ

⋅ ⋅ π⋅

=μ

∫

^{π ϕ ρ}

∫

^π , siendo R el radio de la espira.

Ley de Ampère.

• Ley de Ampère.– La circulación del campo magnético a través de una trayectoria cerrada cualquiera es igual a μ0 multiplicada por la intensidad de corriente neta que atraviesa la tra- yectoria:

I d

B ₀

L

⋅ μ

=

∫

^r ⋅ ^{rl ,} siendo:

L ≡ trayectoria cerrada que tomamos para aplicar la ley de Ampère;

I ≡ intensidad de corriente neta que atraviesa a la trayectoria L;

Br

≡ campo magnético generado por la corriente de intensidad I;

uI

d

dr r

⋅

= l

l , siendo dl un elemento diferencial de longitud de la trayectoria L y un vector unitario según dicha trayectoria cuyo sentido viene dado por la regla del destornillador según el sentido en que circula la corriente.

urI

• Puesto que la circulación del campo magnético a través de una trayectoria cerrada no tiene porqué ser nula, la fuerza magnética es una fuerza no conservativa.

• La ley de Ampère se emplea para calcular campos magnéticos generados por corrientes eléctricas.

Cálculo del campo magnético generado por un hilo rectilíneo infinito por el que circula corriente, mediante la ley de Ampère:

Tomaremos como trayectoria cerrada una circunferencia de radio R que rodea al hilo conduc- tor, que hacemos coincidir con el eje OZ:

Emplearemos coordenadas cilíndricas.

De acuerdo con la ley de Biot y Savart, el campo magnético en un punto cualquiera de la cir- cunferencia es Br =B⋅ur_z ∧urρ =B⋅kr⋅

(

ϕ⋅ri +senϕ⋅rj

) (

=B⋅ ϕ⋅rj −senϕ⋅ri

)

=B⋅urϕ

cos

cos .

Por otra parte, dr=d ⋅ur_I =d ⋅ur_ϕ. l l

l

Entonces, aplicando la ley de Ampère se tiene que:

R 2 B I I B

R 2 I d

R B I u

d R u

B ² _{0 0} ⁰

0 0 2

0 π⋅

⋅

= μ

⇒

⋅ μ

=

⋅

⋅ π

⇒

⋅ μ

= ϕ

⋅

⋅

⇒

⋅ μ

=

⋅

⋅ ϕ

⋅

⋅

⋅

∫

∫

^{π rϕ rϕ π .}

Por tanto, el campo magnético generado por un hilo infinito por el que circula corriente en el sentido positivo del eje OZ es: ⋅ _ϕ

⋅ π

⋅

= μ u

R 2

Br ⁰ I r .

Cálculo del campo magnético generado por un solenoide por el que circula corriente, mediante la ley de Ampère:

Cuando tenemos un solenoide, el campo magnético que crea cada espira fuera de él tiende a cancelar el que crean las espiras contiguas, por lo que suele considerarse que fuera del sole- noide el campo magnético es nulo.

En el interior del solenoide, el campo magnético que crea cada espira tiende a sumarse al que crean las demás. Si consideramos despreciable el radio de las espiras frente a la longitud del solenoide, el campo magnético en el interior puede considerarse uniforme e igual al que existe en el eje central. Puede calcularse mediante la ley de Ampère:

Tomamos la trayectoria ABCDEFA:

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

^{⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅}

FA EF

DE CD

BC AB

ABCDEFA

d B d

B d

B d

B d

B d

B d

Br rl r rl r rl r rl r rl r rl r rl . Como Br =0 en el exterior,

0 d B d

B d

B

FA EF

AB

=

⋅

=

⋅

=

⋅

∫ ∫

∫

^{r rl r rl r rl .}

Como Br es paralelo al eje del solenoide en el interior,

0 d B d

B

DE BC

=

⋅

=

⋅

∫

∫

^{r rl r rl .}

Entonces: B d B d B CD

CD ABCDEFA

⋅

=

⋅

=

⋅

∫

∫

^{r rl r rl .}

Por tanto: B⋅CD=μ₌ ⋅I⋅n⋅CD⇒B=μ₀ ⋅I⋅n, siendo:

I ≡ intensidad de corriente que circula por cada espira;

n ≡ número de espiras por unidad de longitud.

El sentido de B viene dado por la regla del destornillador según el sentido en que circula la corriente.

r

Fuerza entre dos conductores paralelos.

• Dados dos conductores rectilíneos infinitos y paralelos, separados una distancia d, al ser

⋅ ϕ

⋅ π

⋅

= μ u

d 2 Br ⁰ I r

el campo magnético creado por cada uno en los puntos ocupados por el otro

conductor, se obtiene que la fuerza por unidad de longitud que cada uno ejerce sobre el otro es:

d 2

I F_L ⁰ I

⋅ π

⋅ ′

⋅

=μ , siendo:

I, I’ ≡ intensidad de corriente que circula por cada conductor.

Dicha fuerza magnética es atractiva si las corrientes circulan en le mismo sentido, y repulsiva si lo hacen en sentidos contrarios.

Materiales magnéticos.

• Los átomos de un material, debido al giro de los electrones en torno al núcleo, se compor- tan como espiras por las que circula corriente, por lo que se les asocia un momento magnéti- co, denominado momento orbital. Lo mismo ocurre con los propios electrones: debido a su movimiento de rotación en torno a sí mismos se les asigna un momento magnético denomina- do momento de espín. La suma de ambos momentos es igual al momento atómico.

Debido al movimiento de los electrones, cada átomo genera un campo magnético. Cuando los momentos atómicos de los átomos del material están orientados al azar, los campos magnéti- cos generados por cada átomo se cancelan unos con otros, por lo que el campo magnético neto generado por el material es nulo. Si, por algún motivo, los momentos atómicos se orientan preferentemente en una dirección, el material genera un campo magnético no nulo, y se dice que está magnetizado.

• Se define la magnetización de un material como:

V M m^m

r r

= , siendo su momento mag- nético neto y V su volumen.

mrm

0 Mr r

≠ cuando el material está magnetizado.

Se define la intensidad de campo magnético o excitación magnética como: 1 B M H

0

r r

r ⋅ −

=μ ,

siendo Br

el campo magnético existente en el interior del material. Entonces, ^B 0

(

^{H M}

)

r r r =μ ⋅ + . Hr

representa, por tanto, el campo magnético que existiría en la región ocupada por el material si éste no estuviera presente, dividido por μ0.

Se dice que un material isótropo y homogéneo es lineal desde el punto de vista magnético cuando Mr _m Hr

⋅ χ

= , siendo χ_m na constante del material denominada susceptibilidad mag- nética. En el vacío, _m =

u χ 0.

En este tipo de materiales, B y H son proporcionales: Br Hr

⋅ μ

= , siendo μ=μ₀⋅

(

1+χ_m

)

la permeabilidad magnética del medio. _m

0

r =1+χ

μ

= μ

μ se denomina permeabilidad magnética relativa del medio.

• Los materiales magnéticos se clasifican según la reacción del material ante un campo magnético en:

– Diamagnéticos.– Son materiales lineales en los que Mr y Hr

tienen sentidos opuestos. Tienen . Por tanto, cuando se colocan en el seno de un campo mag- nético externo, se induce en ellos un campo magnético de sentido opuesto, de modo que el campo magnético neto en su interior es menor que el externo. Ejemplos: bismu- to metálico, benceno.

m <0 χ

– Paramagnéticos.– Son materiales lineales en los que Mr y Hr

tienen el mismo sentido. Tienen . Por tanto, cuando se colocan en el seno de un campo magné- tico externo, se induce en ellos un campo magnético de igual sentido, de modo que el campo magnético neto en su interior es mayor que el externo. Son sustancias que con- tienen electrones desapareados.

m >0 χ

– Ferromagnéticos.– Son materiales no lineales. Están divididos en regiones, de- nominadas dominios, dentro de las cuales los momentos atómicos tienen igual direc- ción sentido. Los momentos magnéticos netos de dominios diferentes no son paralelos, pero al colocarse en el seno de una campo magnético, se alinean. Estas sustancias pierden sus propiedades magnéticas cuando se calientan por encima de una temperatu- ra característica de cada material, denominada punto de Curie. Ejemplo: hierro.