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PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005

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(1)

http://emestrada.wordpress.com PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA

2005

MATEMÁTICAS II

TEMA 1: MATRICES Y DETERMINANTES

 Junio, Ejercicio 3, Opción A

 Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B

 Reserva 2, Ejercicio 3, Opción B

 Reserva 4, Ejercicio 3, Opción A

 Septiembre, Ejercicio 3, Opción B

(2)

R E S O L U C I Ó N

a) Para que la matriz A tenga inversa su determinante tiene que ser distinto de cero.

2 1

4 3 7

3 2

A = = − − = − ⇒

− La matriz A tiene inversa

1

2 3 2 1 2 1

1 2 3 2

( ) 7 7

3 2

7 7

7 7

t

d t

A A

A

− − − −

     

−  −   

   

= = = =  

− −  − 

 

b)

1 1 1

( )

( ) ( )

t t t t t

t t

A X C B B B A X B B C B B C B

A A X A B C B X A B C B

⋅ + ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ − ⋅ = − ⋅ ⇒

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅

2 1 0 3 4 6

0 1 0 1 2 0

7 7 7 7

1 1

3 2 3 1 2 1 1 4 1 26

0 2

7 7 7 7

X

    − 

         

= − ⋅ −   − −   ⋅ − = −  Sean las matrices: A 2 1 , B 0 1 0 y C 1 2 0

3 2 3 1 2 1 1 4

     

     

     

= = =

== == ==

= −−−−  = −−−−  =−−−−  a) ¿Tiene A inversa?. En caso afirmativo, calcúlala.

b) Determina la matriz X que cumple queA X⋅⋅⋅⋅ ++++C B⋅⋅⋅⋅ t ====B B⋅⋅⋅⋅ t, siendo Bt la matriz transpuesta de B.

MATEMÁTICAS II. 2005. JUNIO. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

(3)

R E S O L U C I Ó N

1 1 1

1 1 1 1 1

0 0 0 0

A X A B B A A X A A B X A A B

X A A A B A X A B A

 

⋅ ⋅ = + = ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒

 

⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅

Vamos a calcular la matriz inversa de A.

1

( )

1 2 1 1

1 1

1 3 2 3

2 3

1 1

t d t

A A

A

− − −

   

−     

   

= = − = − = − − 

Por lo tanto, la matriz X será:

1 1 1 1 5 2 1 1 4 3

2 3 1 3 2 3 3 2

X = A ⋅ ⋅B A =− −    ⋅ −    ⋅ − −    = −  Halla la matriz X que cumple que: 0 0

0 0 A X A B  

⋅ ⋅ − =

⋅ ⋅ − =

⋅ ⋅ − =

⋅ ⋅ − =  

 

 

 

  siendo 3 1

2 1

A  

==== −−−− −−−−  y 5 2

1 3

B  −−−− 

====  

 

 

 

 

MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 1. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

(4)

R E S O L U C I Ó N

a)

0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0

1 0 b 1 0 b 1 0 b 0 0 1 0 0 0

− − −

         

− −  ⋅ − − − ⋅ − −  +  = 

         

         

         

2

0 0 2 0 0 0

0 0 2 0 0 0 2

2 0 2 0 0 0

b

b b

b b b

 −   

 −  = ⇒ =

   

 − −   

   

b) A X⋅ = ⋅2 At ⇒ X = ⋅2 A1⋅At;

2 0 1 0 1 1 2 6 8

2 1 1 1 0 1 0 2 2 6

1 0 0 1 1 2 0 2 2

X

− − −

     

     

= ⋅  ⋅  = − − 

−  − −   − 

     

Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea

0 0 1

1 1 1

1 0 A

b

−−

 − 

 

 

 

 

 

 

 

= − −

= − −

= − −

= − − 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) Determina el valor de b para el que A2−−−−2A+ =+ = . + =+ =I 0

b) Para b = 2 halla la matriz X que cumple que A X⋅⋅⋅⋅ −−−−2At == , donde ==0 A denota la matriz t transpuesta de A.

MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 2. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

(5)

R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la matriz AxI

2 1 1 0 2 1

1 2 0 1 1 2

x

A xI x

x

     − 

− = − ⋅  = 

     − 

Dicha matriz no tendrá inversa para aquellos valores que anulen su determinante, luego:

2 1 2 1

4 3 0

1 2 3

x x

x x

x x

−  =

= − + = ⇒ 

−  =

b) 2 1 2 1 2 1 1 0 0 0 4

1 2 1 2 1 2 0 1 0 0 3

a

a b

b

           = −

⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇒ 

          =

          

Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea 2 1 1 2 A  

=

=

==  

 

 

 

 

a) Halla los valores de x para los que la matriz A− ⋅− ⋅− ⋅− ⋅ no tiene inversa. x I b) Halla los valores de a y b para los que A2+ ⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅a A+ ⋅ =+ ⋅ = . + ⋅ =+ ⋅ =b I 0

MATEMÁTICAS II. 2005. RESERVA 4. EJERCICIO 3. OPCIÓN A.

(6)

R E S O L U C I Ó N

a) Si A es una matriz cuadrada de orden n, sabemos que se cumple quen k A⋅ =kn⋅ A ; en nuestro caso como A es una matriz de orden 3, tenemos que: −3A = −( 3)3⋅ A = −( 27) 2⋅ = −54

Por otro lado, sabemos que: 1 1 1 1 1

1

A A I A A A A I A

A

⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = = ⇒ = ; luego en

nuestro caso será: 1 1 1 A 2

A

= =

b) 2 2 2 2 4

2 2 2

c b a c b a a b c

f e d f e d d e f

i h g i h g g h i

= ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante está multiplicada por un mismo número, dicho número podemos sacarlo fuera del determinante multiplicándolo”. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si en un determinante se cambian entre si dos filas o columnas, el determinante cambia de signo”.

c) 0 2

a b a c a b a a b c a b c

d e d f d e d d e f d e f

g h g i g h g g h i g h i

− −

− = + − = − = −

− −

En el primer paso hemos aplicado la propiedad de los determinantes que dice: “Si una fila o columna de un determinante es suma de dos sumandos, dicho determinante puede descomponerse en suma de dos determinantes colocando en dicha fila o columna el primer y segundo sumando, respectivamente. En el segundo paso hemos aplicado la propiedad que dice: “Si un determinante tiene dos filas o columnas iguales, el determinante vale 0”.

Sabiendo que 2

a b c

A d e f

g h i

= =

= =

= =

= = , calcula, indicando las propiedades que utilices, los siguientes

determinantes:

a) 3 A−−−− y A1 ; b)

2 2 2

c b a

f e d

i h g

; c)

a b a c

d e d f

g h g i

−−

−−

MATEMÁTICAS II. 2005. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 3. OPCIÓN B.

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