PS 2320 Respuesta En Frecuencia pdf

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(1)Análisis de la Respuesta Frecuencial.

(2) Resolución de los modelos Hemos obtenido modelos de distintos sistemas físicos Sistema de primer orden: Función de transferencia. Entrada qo(t) Salida h1(t). A. dh1 * ( t ) = qo * ( t ) − q1 * ( t ) dt. 1 Cv. H1 (s ) = A Qo ( s ) s +1 Cv. Sistema de segundo orden: Entrada F(t) Salida x(t). d x (t ) 2. M. dt 2. = F (t ) − B. dx ( t ) dt. Función de transferencia. − k ⋅ x (t ). Prof. Silvana Revollar. 1 X (s ) M = F (s ) s2 + B s + K M M.

(3) Señales de prueba Las señales de prueba típicas son: En el tiempo. En Dom. Laplace. Entrada escalón: Representa un cambio abrupto en la entrada..  0 t ∠0 R* ( t )  R t ≥ 0. Entrada rampa: Representa una entrada que cambia con el tiempo de forma constante. 0 t ∠to R* ( t )   R t ≥ to. Entrada parábola: Es un cambio más rápido que el de la rampa.. R ( s) =. R s. R ( s) =. R s2. R ( s) =. R s3. 0 t ∠0 R* ( t )   Rt t ≥ 0. 0 t ∠0  R* ( t )  Rt 2 t≥0   2. Prof. Silvana Revollar.

(4) Clasificación de los sistemas En general, la función de transferencia de un sistema es de la forma:. X (s) K (Ta s + 1)(Tb s + 1)(Tc s + 1) .... K' ( s + za )( s + zb )( s + zc ) .... G (s) = ⇒ U (s) (T1s + 1)(T2 s + 1) (T3 s + 1) ( s + p1 )( s + p2 ) ( s + p3 ) Im. x p1. x p2. x. p3. Re. Prof. Silvana Revollar. Es una combinación de ceros y polos.

(5) Clasificación de los sistemas Los sistemas pueden clasificarse por orden o tipo : Orden. Tipo. 1er orden. 0. K G (s) = τ ⋅ s +1. 2do orden K ⋅ wn 2 G (s) = 2 s + 2ξ wn ⋅ s + wn 2. G ( s) =. K ⋅a s 3 + bs 2 + cs + d. K ⋅ wn 2 s 2 + 2ξ wn ⋅ s + wn 2. K G (s) = τ ⋅ s +1. G (s) =. K (s + a) s. G (s) =. K (s + a) s 2 + 3s + 5. I G (s) =. Orden n Sistemas de orden superior. G (s) =. Ejemplos. K ⋅c s (s + a). K G (s) = s. II G (s) =. K K ⋅c G (s) = 2 s (s + a) s 2. Prof. Silvana Revollar. G (s) =. K ( s + a). s 2 ( s 2 + 3s + 5 ).

(6) Sistemas a lazo cerrado. Prof. Silvana Revollar.

(7) Criterios del control • Precisión. La respuesta del proceso se debe mantener alrededor del valor de referencia Error= Ref-Var. medida •Velocidad de respuesta. El tiempo requerido para alcanzar el valor final debe estar dentro de unos límites razonables de acuerdo a las especificaciones del proceso. Constante de tiempo y tss •Estabilidad. La magnitud de las oscilaciones en la respuesta transitoria debe mantenerse dentro del rango permitido por el proceso. Polos de la FT del lado izquierdo del plano •Rechazo a perturbaciones. Se debe minimizar el efecto de los cambios en las variables de entrada que afectan al sistema •Señal de control. Debe cumplir las condiciones permitidas por los elementos de acción final. Prof. Silvana Revollar.

(8) Análisis de la respuesta en frecuencia El análisis de la respuesta frecuencial se basa en el estudio del comportamiento del sistema ante una entrada senoidal Donde G(s) es la función de transferencia entre la entrada x(s) y la salida y(s). El sistema es sometido a una entrada senoidal de la forma: Donde: X es la amplitud de la onda w es la frecuencia. Prof. Silvana Revollar. X ( s ) = X ⋅ sen ( w t ).

(9) Análisis de la respuesta en frecuencia X ( s ) = X ⋅ sen ( wt ). Y ( s ) = Y ⋅ sen ( wt + φ ). El sistema perturbado con esta entrada responde con una onda de la misma frecuencia (w) pero distinta amplitud (Y) y un ángulo de desfasaje ()entre onda y onda. Prof. Silvana Revollar.

(10) Análisis de la respuesta en frecuencia X ( s ) = X ⋅ sen ( wt ). Y ( s ) = Y ⋅ sen ( wt + φ ). Los métodos de análisis de la respuesta frecuencial se basan en el resultado de realizar un barrido de frecuencias y observar la variación en la amplitud y el desfasaje entre ambas ondas.. Matemáticamente, en la función de transferencia se hace s=jw, para expresarla respecto a todo el rango de frecuencias: Esta función es un número complejo que se puede expresar en función del módulo y argumento:. Prof. Silvana Revollar.

(11) Análisis de la respuesta en frecuencia. La función se puede expresar en términos del módulo y el argumento:. G ( jw ) = Re ( G ( jw ) ) + Im ( G ( jw ) ) 2. Prof. Silvana Revollar. 2.

(12) Análisis de la respuesta en frecuencia. La información obtenida se pueda analizar mediante las siguientes representaciones: •Diagrama de Bode: Consta de dos gráficos, en uno se representa la magnitud en decibeles vs w y en otro el ángulo de fase vs w, la frecuencia w se presenta en escala logarítmica. •Diagramas polares: Se representan la magnitud. Prof. Silvana Revollar.

(13) Análisis de la respuesta en frecuencia. Prof. Silvana Revollar.

(14) Análisis de la respuesta en frecuencia. Prof. Silvana Revollar.

(15) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores: Bode Diagram. Bode Diagram 50. K=100 K=10. 40 Magnitude (dB). 20 K=1. 10. K=10. K G (s) = s. 0. -10 1. 30 20 10 0 -89. 0.5. Phase (deg). -89.5 0 -0.5. -90 -90.5. -1 0. 1. 10. -91. 10. 0. 1. 10. Frequency (rad/sec). 10 Frequency (rad/sec). Bode Diagram 30. Magnitude (dB). 20 10. G (s) =. 0. K=10. -10 -20 0. K s. G (s) =. -45 Phase (deg). Phase (deg). G (s) = K. Magnitude (dB). 30. -90 -135 -180 0. 1. 10. 10 Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar. K s2.

(16) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores: Bode Diagram. K G (s) = s. 50. Magnitude (dB). 40. Al variar la ganancia se observa que la fase es igual, pero la magnitud se desplaza en 20log(K) respecto a K=1 donde 20log(G(jw))=0 en w=1.. K=10. 20. 0 -89 -89.5 Phase (deg). K=100, en w=1 20log(G(jw))=40. 30. 10. Por eso con: K=10, en w=1 20log(G(jw))=20. K=100. -90 -90.5 -91 0. 1. 10. 10 Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar.

(17) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores: Bode Diagram 30. K=10. Magnitude (dB). 20 10. K=10. 0 -10 -20 0 -45. Phase (deg). Si se agrega un polo en el origen, la fase baja 90º y la magnitud presenta un incremente de 20dB/dec en la magnitud. -90 -135. G ( s) =. K s. G ( s) =. K s2. -180 0. 1. 10. 10 Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar.

(18) 1. τ . ( j. ω ). . . .( τ ω j 1 ( τ .ω .j. 1). 1. τ .ω .j. τ 2 .ω 2. Análisis de la respuesta en frecuencia 1). 1. Polos sobre el eje real: 1. G( s ). w>>1/T w=1/T. G ( jw ) = 1 G ( jw ) =. 1 Tw. G ( jw ) =. 1 2. τ .( j.ω ). 1. 20. log( G ) 20 log G ( jw) = 20 log. 20 log. dB. 0. 1 = −20 log Tw Tw. 1 = 3dB 2. 0. -10 -15 -20 0. -50. -100 -1 10. 10. 0. Frequenc y (rad/sec ). Prof. Silvana Revollar. . . .( τ ω j 1 ( τ .ω .j. 10. 1. τ .ω .j. 1). 1. 1). 2 2 τ .ω. Fase: 0º Fase: 90º Fase: 45º. B ode Diagram s. -5 P hase (deg); M agnitude (dB ). w<<1/T. τ .s. 1. 1.

(19) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores: Bode Diagram. Bode Diagram 100. 40. Magnitude (dB). Magnitude (dB). 60. 20. 0. -45. -90 10. 0. -50. -100 -90. Phase (deg). Phase (deg). -20 0. 50. -1. 0. 1. 10. 10. Frequency (rad/sec). G (s) =. 2. 10. 3. 10. -135. -180 -1. 10. 0. 10. 1. 2. 10. 10. Frequency (rad/sec). G ( s) =. K Ts + 1. Prof. Silvana Revollar. K s (Ts + 1). 3. 10.

(20) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores: Bode Diagram 60. K=10 20. 0. K=1. -20 0. Phase (deg). K G (s) = Ts + 1. Magnitude (dB). 40. -45. -90 -1. 10. 0. 10. 1. 10. Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar. 2. 10. 3. 10.

(21) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores (figura 1): Bode Diagram 100. G (s) =. Magnitude (dB). 50. 0. -50. Phase (deg). -100 -90. -135. -180 -1. 10. 0. 10. 1. 10. 2. 10. Frequency (rad/sec). W=1. Prof. Silvana Revollar. 3. 10. K s (Ts + 1).

(22) Análisis de la respuesta en frecuencia Diagramas de Bode de algunos factores: Bode Diagrams 40 30 20. G ( s) =. 10 0 -10 -20 -30 -40 -80 -100 -120 -140 -160 -180 10 -2. 10 -1. 10 0. Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar. 10 1. K s (Ts + 1).

(23) Análisis de la respuesta en frecuencia Factores cuadráticos:. 1. G( s ). 2. ζ. 2. s. ωn. ωn. 2. G( j. ω ). w>>wn. .s. 1. 1. w<<wn. 1. ω. 2. 2. ωn. 2. 2.ζ .. ω. 1. 1. 20. log( G ). 2. 10. log 1. ωn. 20. log( G ) 20. log( G ). G( j. ω ). 0. dB. 40. log. ω ωn. w=wn Prof. Silvana Revollar. Fase: 0º Fase: 180º. ω. 2. 2.ζ .. ωn2 ω. 2. 2. ω 2. ζ . ωn. 2. ω 2. ζ . ωn. ωn. 2. ω2 ωn2. ω . j ωn 2. 2.

(24) Análisis de la respuesta en frecuencia Factores cuadráticos:. G( j. ω ). 1. 1. G( j . ω ) 1. ω. 2. 2. ζ .. ωn. 2. ω2. 2. ωn2. 2.ζ .. ω ωn. 20 log G ( jw ) = −20 log 2ξ 1 2ξ 1 − ξ 2. wr = wn ⋅ 1 − 2ξ 2 ξ>0.7 Mr=1 ξ→0 Mr → ∞. ω. G ) 10. log 1 Bode Diagram s. 2. 2. ωn. 2. ωn. 2. 2. ζ .. ω. 2. ωn. 2. w=wn Mr = G ( jw ) =. ωn. 2. 2. ζ .. ω. 20. log(. 0. ω . j ωn. P has e (deg); M agnitude (dB ). 1. ω2. 2. -50. -100 0 -50 -100 -150 -200 -1 10. 10. 0. Frequenc y (rad/s ec ). Prof. Silvana Revollar. 10. 1. 10. 2.

(25) Análisis de la respuesta en frecuencia Conclusión general respecto a los Diagramas de Bode: G (s) = Bode Diagram 100. K (Ta s + 1)(Tb s + 1) s (T1s + 1)(T2 s + 1)(T2 s + 1). 50. Magnitude (dB). 0. -50. m=20dB/dec(z-p). -100. -150. -200 -90. φ=90°(z-p). Phase (deg). -135. -180. -225. -270 -3. 10. -2. 10. -1. 10. 0. 10. 1. 10. 2. 10. Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar. 3. 10. 4. 10. 5. 10.

(26) Análisis de la respuesta en frecuencia Forma general de los diagramas polares:. Prof. Silvana Revollar.

(27) Análisis de la respuesta en frecuencia Forma general de los diagramas polares:. Prof. Silvana Revollar.

(28) Análisis de error Diagramas de Bode de algunos factores: ess = lim(s → 0 )s. G (s) =. K (Ta s + 1)(Tb s + 1)(Tc s + 1) ..... 1 ⋅ R(s ) 1 + G (s) H ( s). Tipo/Entrada. Escalón. Rampa. Parábola. 0. 1 1 + Kp. inf. inf. I. 0. 1/Kv. inf. II. 0. 0. 1/Ka. (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1). Kv = lim(s → 0)sG( s) H ( s ). Kp = lim(s → 0)G ( s ) H ( s ). Tipo I. Tipo 0 Kp = lim ( s → 0 ). K (Ta s + 1)(Tb s + 1)(Tc s + 1) ..... (T1s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1). =K. Kv = lim ( s → 0 ) s. K (Ta s + 1)(Tb s + 1)(Tc s + 1) ..... Prof. Silvana Revollar. s (T1 s + 1)(T2 s + 1)(T3 s + 1). =K.

(29) Análisis de error Sistema Tipo 0: Bode Diagram. 20logK=40dB. 50. Magnitude (dB). 0. -50. -100. Phase (deg). -150 0. -90. -180. -270 -2. 10. -1. 10. 0. 10. 1. 10. 2. 10. Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar. 3. 10. 4. 10.

(30) Análisis de la respuesta en frecuencia Sistema tipo I: Bode Diagrams 80. 20logK=20dB. 60 40. Phase (deg); Magnitude (dB). 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240 -260 -280 10-2. La intersección de la asíntota con 0dB ocurre en w=K=10. 10-1. 100. 101. 102. En w=1, prolongando la recta correspondiente al polo en el origen. Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar.

(31) Análisis de la respuesta en frecuencia Sistema Tipo II:. Phase (deg); Magnitude (dB). Bode Diagrams 60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -160 -180 -200 -220 -240. 20logK=-20dB w=sqrt(K). -200 -240 -280 -320 -360 10-2. 10-1. 100. 101. W=1. Frequency (rad/sec). Prof. Silvana Revollar. 102. 103.

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