El Teorema de Silver

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El Teorema de Silver

Juan Jos´

e Canales Castillo

, Jes´

us Efr´

en P´

erez Terrazas

∗†Facultad de Matem´aticas, Universidad Aut´onoma de Yucat´anjperezt@correo.uady.mx

Abstract

Given a homomorphism of unitary rings η : R → S, Silver’s theorem says that the scalar restriction functor Fηis full if and only if η is a categorical epimorphism. We recall an elementary proof, we provide

examples of ring epimorphisms and some basic properties. Resumen

Dado un epimorfismo de anillos unitarios η : R → S el Teorema de Silver indica que el funtor restric-ci´on de escalares Fηes pleno si y solo si η es un epimorfismo (categ´orico). Se recuerda una demostraci´on

elemental, se presentan ejemplos de epimorfismos entre anillos y algunas de sus propiedades.

Keywords and phrases : Anillos, centro, epimorfismo de anillos, producto tensorial, Teorema de Silver.

2010 M athematics Subject Classif ication : 16-01, 16B50

1.

Introducci´

on

En este escrito todo anillo tiene unitario, denotado como 1, y se asumir´a que 1 6= 0.

Dado un anillo R, en el estudio de los R−m´odulos y sus propiedades con frecuencia se utiliza la existencia de un anillo S del que ya se conocen resultados acerca de los S−m´odulos, y se transfieren dichos resultados a los R−m´odulos. Por ejemplo, mediante una equivalencia de Morita se puede clasificar a los M2(k) −m´odulos,

donde k es un campo y M2(k) es el anillo de matrices de tama˜no 2 por 2 con entradas en k : resulta que los

M2(k) −m´odulos se pueden identificar con parejas (V, V ) , donde V es un k−espacio vectorial, y ya sabemos

que los k−espacios vectoriales est´an completamente determinados, hasta isomorf´ıa, por su dimensi´on. Otro caso en que se pueden aplicar ideas similares se presenta cuando se tiene un homomorfismo de anillos unitarios η : R → S, situaci´on que vamos a analizar en las siguientes p´aginas, comenzando por recordar las definiciones y conceptos b´asicos en la secci´on 2, mientras que en la secci´on 3 recordamos qu´e es el funtor restricci´on de escalares y algunos ejemplos de epimorfismos de anillos; en la secci´on 4 ya se demuestra el Teorema de Silver, mientras que en la quinta secci´on se muestran varios ejemplos que son de inter´es en la Teor´ıa de Representaciones de ´Algebras y donde se puede aplicar el mencionado teorema. En la ´ultima secci´on revisamos algunas propiedades de los epimorfismos de anillos unitarios, lo que puede ser ´util para determinar cu´ando un homomorfismo de anillos unitarios es o no un epimorfismo.

El presente art´ıculo se clasifica como “de revisi´on” y est´a enfocado a un tema especializado de Matem´ ati-cas, por lo que si bien la secci´on 2 es un listado de definiciones, el material que le sigue requiere que el lector

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est´e familiarizado con las nociones de anillos, inversi´on de subconjuntos multiplicativos, endomorfismos, ma-trices, anillos de polinomios y al final con el producto tensorial, as´ı como que est´e dispuesto a verificar por su cuenta las afirmaciones para las que no se proporciona una prueba.

2.

Nociones elementales

Definici´on 2.1 Dados los anillos R y S, se dice que la funci´on η : R −→ S es un morfismo de anillos unitarios si para r ∈ R, s ∈ S, y sus respectivos unitarios 1R y 1S, se cumple que:

η (r + s) = η(r) + η(s), η (rs) = η(r)η(s) η (1R) = 1S.

Definici´on 2.2 Sea R un anillo. Un R − m´odulo izquierdo es un grupo abeliano (A, +) junto con una “multiplicaci´on por un escalar”, es decir, existe una funci´on ϕ : R × A −→ A que satisface, para r, r1, r2∈ R

y a, a1, a2∈ A :

1. ϕ (r1+ r2, a) = ϕ (r1, a) + ϕ (r2, a) .

2. ϕ (r, a1+ a2) = ϕ (r, a1) + ϕ (r, a2) .

3. ϕ (1R, a) = a.

4. ϕ (r1r2, a) = ϕ (r1, ϕ (r2, a)) .

Por simplicidad denotaremos ϕ (r, a) como ra.

Ahora recordemos la definici´on de categor´ıa.

Definici´on 2.3 Una categor´ıa C consiste en una clase de objetos denotada por obj C, junto con una regla de correspondencia denotada Hom que asigna a cada par A, B ∈ obj C un conjunto de morfismos HomC(A, B)

de A a B, y una composici´on

HomC(B, C) × HomC(A, B) −→ HomC(A, C)

(g, f ) 7−→ g ◦ f que satisface los siguientes axiomas:

1. Es asociativa: si h ∈ HomC(C, D) , g ∈ HomC(B, C) y f ∈ HomC(A, B) , entonces (h ◦ g) ◦ f =

h ◦ (g ◦ f ) .

2. Cada HomC(A, A) contiene un elemento distinguido idA, el cual es una identidad. Esto es, si f ∈

HomC(A, B) , entonces f = f ◦ idA= idB◦ f.

Definici´on 2.4 Sean C y D categor´ıas. Un funtor F (covariante) entre las categor´ıas C y D es una regla de correspondencia de obj C a obj D que cumple lo siguiente:

1. A cada X ∈ obj C le asigna un objeto F (X) en obj D.

2. A cada morfismo f : X −→ Y en C se le asigna un morfismo F (f ) : F (X) −→ F (Y ) en D de manera que se cumplen las siguientes condiciones:

(3)

F (idX) = idF (X) para todo X ∈ obj C.

F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ) para todos los morfismos f : X −→ Y y g : Y −→ Z en C. Al fijar los objetos X, Y de C se tiene que el funtor F induce una funci´on entre conjuntos

FX,Y : HomC(X, Y ) −→ HomD(F (X), F (Y )) .

Se dice que F es fiel si para cada pareja X, Y de C se cumple que FX,Y es inyectiva, y que F es pleno si

para cada pareja X, Y de C se cumple que FX,Y es suprayectiva.

Dado un anillo R se denotar´a como R−Mod a la categor´ıa de los R−m´odulos izquierdos.

Definici´on 2.5 Una funci´on f : A −→ B entre dos R−m´odulos izquierdos A y B es un R−homomorfismo si

f (a + a0) = f (a) + f (a0) y f (ra) = rf (a), para cualesquiera a, a0∈ A y r ∈ R.

Junto con estas definiciones es posible encontrar mucha informaci´on complementaria en internet y en libros, por lo que dejaremos al lector la obtenci´on de tales herramientas adicionales.

3.

El funtor restricci´

on de escalares

Dado un morfismo de anillos unitarios η : R → S se induce un funtor Fη : S − Mod → R − Mod : sean

M ∈ S − Mod y f : M → N un S−homomorfismo, entonces Fη(M ) = M y Fη(f ) = f, donde al S−m´odulo

M se le asocia la estructura can´onica de R−m´odulo dada por rm = η(r)m, con r ∈ R y m ∈ M.

No es dif´ıcil verificar que Fη es un funtor, al cual se le conoce como el funtor restricci´on de escalares.

Observemos que dados M, N ∈ S−Mod se tiene una inclusi´on (Fη)M,N : HomS(M, N ) → HomR(M, N ) ,

luego Fη es fiel.

Notemos que si η : R → C es la inclusi´on can´onica y elegimos M = N = C, entonces la conjugaci´on usual τ : C → C es un homomorfismo de espacios vectoriales reales, pero no de espacios vectoriales complejos, por lo que en este caso Fη no es un funtor pleno.

El Teorema de Silver se˜nala que la plenitud del funtor Fη es equivalente a una propiedad de η que a

continuaci´on recordamos y ejemplificamos.

Definici´on 3.1 Se dice que el morfismo de anillos unitarios η : R → S es un epimorfismo si para cada pareja de morfismos de anillos unitarios σ1, σ2: S → T la identidad σ1η = σ2η implica la identidad σ1= σ2.

Observaci´on 3.2 Si el morfismo de anillos unitarios η : R → S es una funci´on suprayectiva entonces es un epimorfismo.

Veamos que un epimorfismo de anillos no necesariamente es una funci´on suprayectiva.

Ejemplo 3.3 Sea ι : Z ,→ Q la inclusi´on can´onica, es decir que ι(n) = n1, y sean σ1, σ2: Q → T morfismos

de anillos unitarios.

Sea n un entero positivo y denotemos n = 1T+ . . . + 1T donde hay n sumandos. Entonces tenemos, para

i ∈ {1, 2} , que σi  1 n  n = nσi  1 n  = σi  1 n  + . . . + σi  1 n  = σi n n  = 1T,

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luego σi 1n es el ´unico inverso multiplicativo de n en T, lo que denotamos como n−1.

De la regla de los signos para anillos se sigue que σi −1n  = −n−1.

Entonces es f´acil verificar que σi mn = mn−1, para i ∈ {1, 2} y m ∈ Z, luego σ1= σ2.

Ejemplo 3.4 Sean R un dominio entero, c ∈ R − {0} y S = 1, c, c2, . . . , cn, . . . , el subconjunto mul-tiplicativo generado: la inclusi´on can´onica ι : R → RS−1 es un epimorfismo de anillos unitarios, pues si σ : RS−1 → T es un morfismo de anillos unitarios necesariamente σ c−1

= (σ(c))−1, lo que podemos verificar con un argumento similar al del ejemplo previo.

4.

El Teorema de Silver

Sea M un S−m´odulo izquierdo, y recordemos que en particular M es un grupo abeliano. Se denota por EndZ(M ) al conjunto de homomorfismos de grupos f : M → M, esto es, al conjunto de endomorfismos de grupos de M. Es conocido que EndZ(M ) tiene una estructura can´onica de anillo unitario, donde la multiplicaci´on se corresponde con la composici´on usual de funciones y la funci´on identidad es el unitario, y es claro que si M no es el m´odulo cero entonces la funci´on identidad es diferente del endomorfismo cero.

El siguiente resultado es parte del corolario 1.3 de [6], mientras que la prueba que se muestra la tomamos de [2] y solo le agregamos detalles.

Teorema 4.1 [Teorema de Silver] Sea η : R → S un morfismo de anillos unitarios. Fη es un funtor

pleno si y solo si η es un epimorfismo.

Demostraci´on: Consideremos M, N ∈ S − Mod, entonces la acci´on de S sobre cada uno de los m´odulos induce morfismos de anillos unitarios φM : S → EndZ(M ) y φN : S → EndZ(N ) dados por φM(s)[m] = sm

y φN(s)[n] = sn.

Sea g ∈ HomR(Fη(M ) , Fη(N )) . Se define ψg: S → EndZ(M ⊕ N ) como

ψg(s) =  φM(s) 0 φN(s)g − gφM(s) φN(s)  , es decir que ψg(s)  m n  =  φM(s)[m] φN(s) [g(m)] − g (φM(s)[m]) + φN(s)[n]  =  sm sg(m) − g (sm) + sn  . Verifiquemos que ψges un morfismo de anillos unitarios:

ψg(1s)  m n  =  1Sm 1Sg(m) − g (1Sm) + 1Sn  =  m g(m) − g (m) + n  =  m n  , es decir que ψg(1s) es el homomorfismo identidad.

Dados s1, s2∈ S tenemos que

ψg(s1+ s2)  m n  =  (s1+ s2) m (s1+ s2) g(m) − g ((s1+ s2) m) + (s1+ s2) n  =  s1m s1g(m) − g (s1m) + s1n  +  s2m s2g(m) − g (s2m) + s2n  = ψg(s1)  m n  + ψg(s2)  m n  , luego ψg(s1+ s2) = ψg(s1) + ψg(s2) .

(5)

Dados s1, s2∈ S tenemos que ψg(s1)  ψg(s2)  m n  = ψg(s1)  s2m s2g(m) − g (s2m) + s2n  =  s1s2m s1g (s2m) − g (s1s2m) + s1(s2g(m) − g (s2m) + s2n)  =  s1s2m s1s2g(m) − g (s1s2m) + s1s2n  = ψg(s1s2)  m n  , luego ψg(s1) ◦ ψg(s2) = ψg(s1s2) .

Denotemos por 0 al homomorfismo cero de M en N, y notemos que ψg = ψ0 si y solo si g es un

homomorfismo de S−m´odulos.

Como g es un R−homomorfismo se cumple que ψgη = ψ0η.

Luego, si suponemos que η es un epimorfismo de anillos unitarios, obtenemos que todo homomorfismo de R−m´odulos de Fη(M ) en Fη(N ) es un homomorfismo de S−m´odulos, as´ı que Fη es un funtor pleno.

Ahora supongamos que Fη es un funtor pleno.

Sean σ1, σ2: S → T morfismos de anillos unitarios tales que σ1η = σ2η.

Notemos que a trav´es de σi se induce una estructura de S−m´odulo sobre T para cada i, es decir que

Fσ1(T ) = T1 y Fσ2(T ) = T2, donde T1= T = T2como grupos bajo la suma.

La identidad de las composiciones nos indica que Fη(T1) = T0 = Fη(T2) como R−m´odulos, as´ı que

el morfismo identidad pertenece a los R−morfismos de Fη(T1) en Fη(T2) ; por plenitud de Fη existe un

S−morfismo f : T1 → T2 tal que Fη(f ) es la identidad de T0 : es claro que f (t) = t para cada t. Se sigue

que σ2(s) = s1T = sf (1T) = f (s1T) = f (σ1(s)) = σ1(s) para cada s, por lo que σ1= σ2, as´ı que η es un

epimorfismo. 

En el ejemplo 3.3 vimos que la inclusi´on can´onica de los enteros en los racionales es un epimorfismo de anillos, as´ı que del teorema previo, 4.1, podemos concluir que si V y W son Q−espacios vectoriales, entonces las transformaciones Q−lineales de V en W coinciden con los homomorfismos de grupos, es decir, HomQ(V, W ) = HomZ(V, W ) . Por ejemplo, si elegimos V = W = Q, tenemos que si f ∈ EndZ(Q) entonces existe un racional qf tal que f (q) = qqf para cada racional q.

N´otese que el funtor restricci´on de escalares inducido por el epimorfismo del ejemplo 3.3 no es denso, pues no todo grupo abeliano tiene estructura de espacio vectorial sobre los racionales, como es el caso de los grupos abelianos finitos.

Corolario 4.2 Sean η : R → S y η0 : S → S0 morfismos de anillos unitarios: 1. Si η y η0 son epimorfismos entonces η0η es un epimorfismo.

2. Si η0η es un epimorfismo entonces η0 es un epimorfismo. Si adem´as Fη0 es un funtor denso, entonces

η tambi´en es un epimorfismo.

Demostraci´on: Sean σ1, σ2: S0→ T morfismos de anillos unitarios.

1.- Supongamos que η y η0 son epimorfismos y que σ1η0η = σ2η0η; como η es epimorfismo se cumple la

identidad σ1η0= σ2η0, y como η0 es epimorfismo se cumple la identidad σ1= σ2: se ha verificado que η0η es

un epimorfismo.

2.- Ahora comencemos por suponer que η0η es un epimorfismo y que se cumple que σ1η0 = σ2η0, luego

(6)

Por el teorema 4.1 el funtor Fη0η es pleno, y por la identidad Fη0η = FηFη0 se tiene que Fη es pleno si

Fη0 es denso, as´ı que por el mismo teorema η es un epimorfismo. 

Observaci´on 4.3 Sean R un anillo y R[x] el respectivo anillo de polinomios, entonces la inclusi´on can´onica j : R → R[x] es un morfismo de anillos unitarios pero no es un epimorfismo, pues los morfismos de anillos identidad Id : R[x] → R[x] y la evaluaci´on cero evals=0 : R[x] → R[x] claramente son distintos entre s´ı, y

cumplen que evals=0j = Idj = j.

Por otra parte, la respectiva evaluaci´on cero eval0s=0 : R[x] → R es un morfismo de anillos unitarios

suprayectivo, y se cumple que la composici´on eval0s=0j es la identidad de R en R, la que obviamente es un

epimorfismo.

Observaci´on 4.4 La condici´on adicional del segundo inciso del corolario 4.2 en realidad es restrictiva: si η0η es un epimorfismo entonces η0es un epimorfismo, luego por el teorema 4.1 se tiene que Fη0 es un funtor pleno,

y claramente es fiel, as´ı que si adem´as suponemos que es denso entonces es una equivalencia de categor´ıas.

5.

Algunos ejemplos de epimorfismos

En esta secci´on k denotar´a un campo arbitrario, mientras que k hx1, x2, . . . , xni es la k−´algebra generada

por n variables no conmutativas.

5.1.

Polinomios

Propiedad Universal de k hx1, x2, . . . , xni: Sean Λ una k−´algebra y λ1, λ2, . . . , λn ∈ Λ elementos

arbitrarios. Existe un ´unico morfismo de k−´algebras φ : k hx1, x2, . . . , xni → Λ tal que φ (xi) = λi para cada

i, el cual es conocido como morfismo de evaluaci´on. (Este enunciado se puede generalizar, ver proposici´on 1.3.15 de [5]).

Sean m, n enteros positivos con m ≥ n. Sea α : {1, . . . , n} → {1, . . . , m} una funci´on inyectiva. Por la propiedad universal existe un ´unico morfismo de k−´algebras φ : k hx1, x2, . . . , xmi → k hy1, y2, . . . , yni tal

que φ (xi) = 0 si i /∈ Imα y φ (xi) = yα−1(i)si i ∈ Imα.

Es claro que φ es suprayectivo, as´ı que por el teorema 4.1 se tiene que el funtor restricci´on de escalares Fφ: k hy1, y2, . . . , yni − Mod → k hx1, x2, . . . , xmi − Mod es pleno.

Notemos que este ejemplo en particular nos indica que hay al menos dos formas can´onicas de sumergir la categor´ıa k[x]−Mod en k hy, zi −Mod, y destaquemos que en la primera categor´ıa son bien conocidos los m´odulos de dimensi´on finita, por ser k[x] un dominio de ideales principales, mientras que en k hy, zi −Mod no han sido clasificados los m´odulos de dimensi´on finita (es un problema de tipo salvaje, ver el cap´ıtulo 22 de [2]).

5.2.

Anillos de matrices triangulares

Sean m, n enteros positivos tales que m ≥ n. Sea α : {1, . . . , n} → {1, . . . , m} una funci´on inyectiva. Denotemos por en

j al j−´esimo vector can´onico de kn y por emi al i−´esimo vector can´onico de km.

Existe una ´unica transformaci´on k−lineal Tα : km → kn determinada por Tα(emi ) = 0 si i /∈ Imα y

Tα(emi ) = enα−1(i) si i ∈ Imα.

Luego existe un morfismo de anillos unitarios suprayectivo ψα:  k 0 km k  →  k 0 kn k  dado por ψα  c1 0 v c2  =  c1 0 Tα(v) c2  .

(7)

5.3.

Anillos de matrices triangulares y polinomios

Hay un morfismo de anillos unitarios θ :  k 0 kn k  →  k hx1, x2, . . . , xn−1i k hx1, x2, . . . , xn−1i k hx1, x2, . . . , xn−1i k hx1, x2, . . . , xn−1i 

dado por (en este momento la t significa transponer, es decir que el vector es vertical)

θ  c0 1 0 (c0, c1, . . . , cn−1) t c02  =  c0 1 0 c0+P n−1 i=1 cixi c02  .

Verifiquemos que θ es un epimorfismo, suponiendo morfismos de anillos unitarios σ1, σ2:  k hx1, x2, . . . , xn−1i k hx1, x2, . . . , xn−1i k hx1, x2, . . . , xn−1i k hx1, x2, . . . , xn−1i  → T tales que σ1θ = σ2θ.

N´otese que σ1 y σ2coinciden sobre las matrices

 1 0 0 0  ,  0 0 1 0  ,  0 0 0 1  ,  0 0 xi 0  para i ∈ {1, . . . , n − 1} . Denotemos como σj  0 1 0 0  = tj, para j ∈ {1, 2} , σ1  0 0 1 0  = t0, σ1  1 0 0 0  = t00 y σ1  0 0 0 1  = t000.

Luego se tienen las identidades t1t0 = t00, t2t0 = t00, t0t1 = t000, t0t2= t000, t1t000 = t1 y t2t000 = t2, as´ı que

(t1− t2) t0= 0 y (t1− t2) = (t1− t2) t000 = (t1− t2) t0t1= 0t1= 0, es decir que t1= t2.

Entonces σ1 y σ2 coinciden en un conjunto de matrices que generan a todas las posibles matrices del

dominio, por lo que dichos morfismos son iguales.

Luego, el teorema 4.1 nos indica, en particular, que es posible sumergir la categor´ıa k[x]−Mod en la categor´ıa de los



k 0

k2 k



−m´odulos izquierdos, lo que se aplica en la clasificaci´on de los m´odulos de dimensi´on finita correspondientes a la llamada ´Algebra de Kronecker (ver secci´on 7 del cap´ıtulo 8 de [1]).

Una idea similar se puede encontrar en la proposici´on 3.9 de [4], donde se estudian anillos de divisi´on y bim´odulos.

6.

Algunas propiedades de los epimorfismos de anillos unitarios

El siguiente resultado es la proposici´on 1.1 de [6], y aqu´ı mostramos una prueba que nos pareci´o m´as natural.

Proposici´on 6.1 Sea η : R → S un morfismo de anillos unitarios, entonces η es un epimorfismo si y solo si el mapeo can´onico m : S ⊗RS → S inducido por la multiplicaci´on es un isomorfismo.

Demostraci´on: Sean j1 : S → S ⊗RS y j2 : S → S ⊗RS los homomorfismos de grupos dados por

(8)

Si suponemos que m es un isomorfismo entonces necesariamente s ⊗ 1 = 1 ⊗ s para cada s ∈ S, luego j1= j2.

Sean σ1, σ2 : S → T morfismos de anillos unitarios tales que σ1η = σ2η, los cuales inducen la misma

estructura de R − R−bim´odulo sobre T. Luego se tienen el mapeo can´onico inducido por la multiplicaci´on, m0: T ⊗RT → T, es decir, m0(t1⊗ t2) = t1t2, y el mapeo σ1⊗ σ2: S ⊗RS → T ⊗RT.

Consideremos las composiciones

S j1 // S ⊗RS σ1⊗σ2// T ⊗ RT m0 // T S j2 // S ⊗RS σ1⊗σ2// T ⊗ RT m0 // T

y notemos que σ1= m0(σ1⊗ σ2) j1y que m0(σ1⊗ σ2) j2= σ2: como se tiene que j1= j2entonces σ1= σ2,

es decir que η es un epimorfismo.

Ahora supongamos que η es un epimorfismo: por el teorema 4.1 tenemos que HomR(S, S ⊗RS) =

HomS(S, S ⊗RS) ; es inmediato que j2 ∈ HomR(S, S ⊗RS) , luego j2 tiene que ser un homomorfismo de

S−m´odulos izquierdos, lo que solo es posible si 1 ⊗ s = s ⊗ 1 para cada s ∈ S. Como consecuencia se tienen las identidadesPn

i=1(s1,i⊗ s2,1) =

Pn

i=1(1 ⊗ s1,is2,1) = 1 ⊗ (

Pn

i=1s1,is2,1) , de las que se sigue que

j2 es suprayectiva; notemos que mj2 es el morfismo identidad sobre S, luego j2 y m son isomorfismos de

S − S−bim´odulos. 

Observaci´on 6.2 Es f´acil verificar que hay un homomorfismo can´onico y suprayectivo de R − R−bim´odulos R ⊗ZR → R ⊗QR, y es conocido que R tiene dimensi´on infinita como Q−espacio vectorial, luego R ⊗QR  R

como bim´odulos, lo que implica que R ⊗ZR  R como bim´odulos, por lo que la proposici´on 6.1 nos indica que las inclusiones can´onicas Z → R y Q → R no son epimorfismos.

Corolario 6.3 (1.2 de [6]) Sea η : R → S un epimorfismo de anillos unitarios. 1. η env´ıa al centro de R en el centro de S.

2. Si R es conmutativo entonces S es conmutativo. 3. Si R es un campo entonces η es un isomorfismo.

Demostraci´on:

1.- Denotemos por C al centro de R, y notemos que S es un C−m´odulo izquierdo bajo la acci´on c·s = sη(c) para s ∈ S y c ∈ C. M´as a´un, como los elementos de C conmutan con los de R se tiene que S ⊗RS es un

C−m´odulo izquierdo.

Por la proposici´on 6.1 se cumple que s ⊗ 1 = 1 ⊗ s para s ∈ S, luego 0 = c · (s ⊗ 1 − 1 ⊗ s) = sη(c) ⊗ 1 − η(c) ⊗ s = 1 ⊗ sη(c) − 1 ⊗ η(c)s, por lo que sη(c) = η(c)s para s ∈ S y c ∈ C.

2.- Por el inciso previo Imη est´a contenido en el centro de S, as´ı que S ⊗RSop es un anillo, donde Sop es

el anillo opuesto a S, es decir que son iguales como grupos abelianos pero que la multiplicaci´on de Sop es la

multiplicaci´on de S en el orden opuesto: s1∗ s2= s2s1 para s1, s2∈ S.

Adem´as S es un S ⊗RSop−m´odulo bajo la acci´on determinada por (s1⊗ s2) · s = s1ss2.

Dado que por la proposici´on 6.1 tenemos que s ⊗ 1 = 1 ⊗ s, se sigue que 0 = (s ⊗ 1 − 1 ⊗ s) · s0 = ss0− s0s

para s, s0∈ S.

3.- Es claro que η es inyectivo y por el inciso previo S es conmutativo.

Sean R0= η (R) y s ∈ S y consideremos el subanillo generado por R0 y s, al que vamos a denotar R0[s]. Es sencillo verificar, por ejemplo usando el corolario 4.2, que la inclusi´on can´onica j : R0 −→ S es un epimorfismo, luego, por la proposici´on 6.1 se tiene un isomorfismo m : S ⊗R0S −→ S.

(9)

Es conocido que tensorizar sobre un campo proporciona un funtor exacto (aplicar, por ejemplo, el corolario 1.7.23 de [5]), es decir que tenemos un homomorfismo inyectivo R0[s] ⊗R0R0[s]

j⊗j

−→ S ⊗R0S.

Es claro que Im (m (j ⊗ j)) = R0[s], as´ı que m (j ⊗ j) : R0[s] ⊗R0R0[s] −→ R0[s] es un isomorfismo.

Si s fuese trascendente sobre R0 entonces se inducir´ıa un isomorfismo de R0−algebras R0[x, y] −→ R0[z],

lo que es imposible (uno es un Dominio de Ideales Principales y el otro no).

Si s es algebraico sobre R0 usamos que m (j ⊗ j) es una transformaci´on R0−lineal, por lo que para el natural n = dimR0(R0[s]) se cumple que n2= n, luego n = 1 y as´ı s ∈ R0: se ha mostrado que R0= S. 

Ahora es f´acil demostrar la versi´on conmutativa de 4.1.2 de [3].

Corolario 6.4 Sea η : R → S un epimorfismo de anillos unitarios con R conmutativo. Si cada elemento de η(R) − {0} tiene inverso multiplicativo en S entonces S es igual al campo generado por η(R).

Demostraci´on: Recordemos que por el corolario 6.3 el anillo S es conmutativo. Sea K el campo contenido en S generado por η(R) y factoricemos η como R η1

−→ K−→ S, donde j es laj inclusi´on can´onica.

Por el corolario 4.2 se tiene que j es un epimorfismo, as´ı que por el corolario 6.3 necesariamente K = S.  Observaci´on 6.5 Los resultados previos nos indican que:

1. La inclusi´on can´onica de R en los cuaterniones H no es un epimorfismo.

2. Ninguno de la infinidad de morfismos de anillos unitarios de C en H es un epimorfismo. Ahora parafraseamos una parte del corolario 1.3 de [6].

Corolario 6.6 Sea η : R → S un epimorfismo de anillos unitarios. La pareja de funtores (S ⊗R , Fη) es un

par adjunto.

Demostraci´on: Sean M ∈ R − Mod y N ∈ S − Mod. Consideremos la composici´on S ⊗RN 1⊗ιN// S ⊗ RS ⊗SN m⊗1 // S ⊗ SN m0N // N , a la que denotare-mos como mN, donde ιN : N → S ⊗S N es el isomorfismo can´onico ιN(n) = 1 ⊗ n, m0N : S ⊗S N → N

es el isomorfismo can´onico determinado por m0N(s ⊗ n) = sn, y m : S ⊗RS → S es el isomorfismo de la

proposici´on 6.1. Entonces mN es un isomorfismo de S−m´odulos y est´a determinado por mN(s ⊗ n) = sn. N´otese que S ⊗RFη(N ) = S ⊗RN.

Definimos α : HomR(M, Fη(N )) → HomS(S ⊗RM, N ) indicando que α(f ) es la composici´on

S ⊗RM

1⊗f // S ⊗ RN

mN

// N

y β : HomS(S ⊗RM, N ) → HomR(M, Fη(N )) , donde β(g) es la composici´on

M j // S ⊗RM

g // N

(10)

No es dif´ıcil verificar que βα(f )[m] = α(f ) [1 ⊗ m] = f (m) y que αβ(g) [s ⊗ m] = sβ(g)[m] = sg [1 ⊗ m] = g [s ⊗ m] : se sigue que α y β son mutuamente inversas.

Por otra parte, es inmediato que estas asignaciones son homomorfismos de grupos y que son naturales

en ambas variables. 

Observaci´on 6.7 El corolario 6.6 es inmediato del isomorfismo de adjunci´on usual entre homomorfismos y tensores y el isomorfismo can´onico Fη(N ) ∼= HomS(S, N ) , ambos al considerar la estructura can´onica de

S − R−bim´odulo de S. Adem´as, en una de las composiciones de la prueba del mencionado corolario, se pudo usar que hay un isomorfismo can´onico de R−m´odulos Fη(N ) ∼= S ⊗SN cuando se considera la estructura

can´onica de R − S−bim´odulo de S.

Agradecimientos

Los autores apreciamos la eficiencia de los ´arbitros y lo valiosas que han sido para mejorar este escrito sus sugerencias y recomendaciones.

Referencias

[1] M. Auslander, I. Reiten, S. Smalø. Representations Theory of Artin Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 36, New York, 1995.

[2] R. Bautista, L. Salmer´on and R. Zuazua. Differential Tensor Algebras and their Module Categories, London Mathematical Society Lecture Notes Series 362. Cambridge University Press, Cambridge, 2009. [3] P. M. Cohn. Skew Field: Theory of General Division Rings (Encyclopedia of Mathematics and its

Applications 57), Cambridge University Press, 2008.

[4] J. De-Vicente, E. Guerrero, E. P´erez. On the endomorphisms ring of generic modules of tame triangular matrix algebras over real closed fields, Aportaciones Matem´aticas, Memorias 45 (2012) 17-53.

[5] L. H. Rowen. Ring Theory (Student Edition). Academic Press, Inc., San Diego C.A. (1991). [6] L. Silver. Noncommutative Localizations and Applications, Journal of Algebra 7 (1967) 44-76.

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