Capítulo 10 Combinaciones y permutaciones

Capítulo 10

Combinaciones y permutaciones

¿Has jugado alguna vez póquer? Por si aún no lo has hecho, aquí hay una pequeña explicación de cómo ha-cerlo:

El póquer se juega con un juego de naipes, el cual consta de 52 cartas, la cantidad de jugadores puede variar. El juego comienza con la repartición de cartas, 5 a cada jugador. A estas 5 cartas se les llama “mano”. Una vez se han repartido las cartas, los jugadores pueden observarlas. El objetivo principal del juego es obtener la mejor combinación posible de cartas, es decir la mejor mano. De acuerdo a las reglas establecidas del póquer, podemos saber qué manos (combinaciones) son válidas y la jerarquía de ellas, veamos el siguiente cuadro

que explica esto:

Este cuadro nos muestra diferentes combinaciones de póquer (se mues

-tran en orden jerárquico de arriba hacia abajo), junto a cada combina

-ción aparece la probabilidad de obtener dicha mano. Como puedes ver, mientras menos probable sea obtener una mano, su jerarquía es mayor.

Por esta misma razón, una regla adicional del póquer, es que una vez se

han repartido las cartas, se le da a cada jugador la opción de cambiar una de sus cartas para aumentar sus probabilidades de éxito. De hecho,

dependiendo de cómo se haya decidido jugar, este procedimiento se

repite una o dos veces más, aumentando así las probabilidades de ob

-tener una mano favorable para ganar el juego. Recuerda que todos los jugadores tienen la misma probabilidad de mejorar su mano, por lo que siempre se está jugando con probabilidades. Sin embargo, es la decisión de cada jugador cambiar o no una carta y qué carta cambiar, por lo que

en dicho caso cuenta mucho el conocimiento del jugador en cuanto al

manejo de combinaciones y probabilidades.

Todo esto nos indica que podemos saber qué tan probable es obtener una mano de póquer, y esto lo podemos saber gracias a la combinacio

-nes y permutacio-nes en matemáticas. Las combinacio-nes no se limitan

únicamente al póquer, pueden aplicarse a muchos otros casos en los

que se usan distintos valores combinados para determinar un resulta

-do, como por ejemplo en un candado que tiene clave numérica, o por ejemplo las claves personales que utilizas para acceder a tus cuentas de correo o de redes sociales en internet. Pensemos en el ejemplo más

trivial y luego lo podremos expandir al mismo juego de póquer para ver

Imagina un candado que utiliza números para abrirse, como el siguiente:

ción): A y B. ¿Qué combinaciones puedo obtener cuando no repito ninguno de ellos? Observa:

AB BA

Esto es muy fácil obtener, pues

hay únicamente 2 elementos y no

se pueden repetir. Ahora imagina este caso con tres elementos, A, B, C. ABC ACB BAC BCA CAB CBA

Como puedes ver, en vez de 2 combinaciones, ahora tenemos 6. ¿Cómo llegamos matemáticamen

-te a es-te resultado? Observa la si -guiente ilustración: 1 2 1 1 1 2 3

Para hacerlo gráficamente vea

-mos la siguiente figura, tene-mos rectángulos de dos colores, gris y amarillo.

Al combinarlos sin repetición de

alguno de ellos encontramos que

tenemos dos combinaciones en total, observa que tenemos 2 rec

-tángulos o posiciones que deja

-mos fijas, mientras que varía una

de ellas, esto se expresa entonces

como 2×1.

Observa la figura a continuación:

Tenemos rectángulos de tres co

-lores: amarillo, gris y rojo. Pode

-mos observar que al combinarlos sin repeticiones de ninguno de los rectángulos, obtenemos 6 distin

-tas combinaciones y tenemos un arreglo más que en el caso ante -rior; es decir, que cuando tenemos

tres posiciones fijas, nos quedan

dos elementos para variar, y

lue-go éstas se vuelven posiciones fijas para las cuales tenemos un

elemento que podemos variar, lo

cual se expresa matemáticamen

-te como 3×2×1. Ahora supón que este canda

-do en vez de tener tres espacios para lograr la clave correcta, úni-camente tuviese dos espacios;

observa que cada espacio consta de 10 números (0, 1,2…9). Cuen

-ta men-talmente cuán-tas combi

-naciones pueden haber para que el candado pueda abrirse. ¿Ya lo has hecho? Si contaste 100 distin

-tas combinaciones lo hiciste co

-rrectamente. En este caso es fácil, pues basta con combinar cada di

-gito desde el cero hasta el 9 con

cada uno de los dígitos desde el

cero hasta el 9: 00,01,02…09, 10,11, 12,…20,21,…30,31,…hasta 90,91,92, 99.

Pero, ¿qué sucede cuando hay 10 espacios? Como se vuelve com -plejo el procedimiento, existe

uno ordenado para saber cuántas combinaciones existen y no hace falta contar la cantidad de com

-binaciones para saberlo. Veamos bien cómo se realiza esto, simplifi

-quemos aún un poco más el caso. Supongamos que tengo dos ele

-¿Puedes imaginar cuántas combinaciones tendríamos si tuviésemos 4 distintos elementos? Si pensaste en 4×3×2×1, tu idea es correcta. De hecho este concepto se expande a cualquier cantidad de elementos y en matemáticas se llama factorial. El factorial de un número n se define como el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a n. El factorial se denota como n!. Formalmente, la definición es:

, donde Π es el símbolo que indica producto. Por ejemplo, el factorial de 5 es: 5!= 5×4×3×2×1 = 120

Observa qué tan rápido incrementan las combinaciones, de hecho el factorial de 9 es 362,880 y el de 20 es ¡2,432,902,008,176,640,000! Con esta información puedes imaginar qué tan difícil es obtener la mano más alta en un juego de póquer (una flor imperial). Pronto veremos cómo encontrar esto. Por ahora recordemos el ejemplo del candado con dos o tres números. ¿Recuerdas que el candado de 2 posiciones tiene 100 combinaciones posibles? Esto también es parte de una combinación y la podemos encontrar numéricamente. En este caso, la única variante con respecto a los últimos ejemplos que vimos, por ejemplo en el que com

-binamos A y B, es que tenemos la posibilidad de repetir elementos, a la vez que tenemos más elementos con la misma cantidad de posiciones. Llamémosle a la cantidad de posiciones r, y a la cantidad de elementos n. En ese caso la cantidad total de combinaciones está dada por:

nr

Así por ejemplo en el caso de 2 posiciones y 10 números,, la cantidad total de combinaciones está dada por:

102_{= 100}

Con esta información, se vuelve más fácil calcular la cantidad de combi

-naciones del candado que tiene tres posiciones, sin tener que contarlas mentalmente, pues está dada por:

103_{= 1000}

A un arreglo en el cual el orden es importante, y por ende indica más posibles combinaciones, se le llama permutación. Por lo que estos can

-dados que observamos en los ejemplos son llamados can-dados de per

-mutación.

En este capítulo aprenderemos precisamente sobre combinaciones y permutaciones y sus aplicaciones.

141

permutaciones

10.1

U

conjunto finito de ele

-mentos se entiende

como cada una de las

posibles ordenaciones de todos

los elementos de dicho conjunto e interesa el lugar que ocupa cada

uno. Existen dos tipos de permu -taciones:

1. En las que se permite repetir

elementos del conjunto : por ejemplo la clave del candado

de tres espacios de arriba, po

-dría ser 2-2-2.

2. Sin repetición: por ejemplo

los tres mejores alumnos de

tu clase. Uno no puede ser el

primero y el segundo al

mis-mo tiempo.

Una combinación es un arreglo de los elementos de un conjunto fini

-to en el que el orden no importa. La principal diferencia entre una combinación y una permutación,

es que el orden es importante en

las permutaciones y en las combi -naciones no lo es. Así por ejemplo,

podría decir que mi ensalada es

una combinación de lechuga, to

-mate, pimientos y cebolla (a la vez podría decir que es una combina

-ción de cebolla, tomate, pimientos y lechuga), pero no podría decir que la combinación de mi candado es 2-6-1, si éste se abre con 1-2-6; es decir que estoy utilizando los mismos elementos pero en distin -to orden, y es-to no es así cuando

se trata de una permutación.

En este sentido, una permutación de un conjunto finito S, de n ele

-mentos, es equivalente a la bi

-yección de {1,2…n} a S, en el cual,

cualquier elemento i puede ser

mapeado al i-ésimo elemento de la secuencia. En este sentido, exis

-ten n! permutaciones de S.

En términos sencillos, podemos

decir que : el número de

permu-taciones que tiene un conjunto finito de elementos es igual al fac -torial de ese número de

elemen-tos. Así por ejemplo, el conjunto S₁={1,2,3}, tiene las permutacio

-nes: {1,2,3}, {1,3,2},{2,1,3},{2,3,1}, {3,1,2},{3,2,1}, y el total de permu

-taciones está dado por 3!=6

Recordemos

A. Permutaciones con repeti -ción

Éste es el caso que vimos en la in-troducción que se refería al can-dado de permutación en el que la

cantidad de permutaciones que se puede obtener depende de la can

-tidad de elementos disponibles para cada posición, y de la canti

-dad de posiciones. Llamemos de nuevo a la cantidad de elementos n, y a la cantidad de posiciones r,

entonces vemos que:

Es decir que tenemos n cantidad

de elementos en cada posición,

por lo que la cantidad de permu

-taciones, será n×n×n…multiplica -do tantas veces como posiciones existan, en este caso, como

pode-mos ver en la ilustración, r veces.

Entonces, de forma general pode-mos decir que la fórmula para el número de permutaciones con

re-petición es:

n

r

B. Permutaciones sin repetición

Las permutaciones sin repetición también las vimos en la introduc

-ción. En este caso las permutacio -nes no pueden ser tantas como

cuando hay repetición, pues a

cada espacio de la permutación le corresponde un único elemen-to para cada arreglo del reselemen-to ele-mentos de dicha permutación, en

vez de n posibles elementos. Re -cuerda nuestra ilustración de la

in-troducción con rectángulos de co -lores al respecto de este

concep-to. Otra forma de visualizar esta

idea es la siguiente, tomemos el

conjunto de letras {C,R,O,S,A}, en este caso los conjuntos {O,S,C,A,R} y {R,O,S,C,A} son permutaciones

del conjunto mencionado, pero

la permutación {S,A,R,R,O} no lo

es pues en ella se repite un

ele-mento (al menos no es una per

-mutación sin repetición como las que estamos tratando ahora). Con

esta idea en mente, tomemos un

conjunto S de tamaño n, para éste, existen n posibles permutaciones cuando dejamos fijo el primer ele -mento o variamos únicamente el

primer elemento. Después de ha

-ber utilizado el primer elemento,

nos quedan n-1 permutaciones

disponibles, después de haber uti -lizado el segundo nos quedan n-2, y así sucesivamente hasta llegar a

la última permutación, 1. Por eso,

cuando estamos tomando todos los elementos de un conjunto, el Ejercicio:

Basado en las permutacio

-nes con repetición, calcu

-la cuántas posibles c-laves podría tener un sitio de internet si te piden utilizar 8 caracteres. Te piden que

la clave tenga letras y

nú-meros. Asume que hay 26

letras en el teclado y 10

dí-gitos posibles (del 0 al 9). Respuesta:

368_{= 2,821,109,907,456}

Si probásemos manual

-mente cada clave posible,

asumiendo que nos toma 5 segundos ingresar la

cla-ve, enviarla y recibir una notificación del sitio que la clave es incorrecta, ¡nos tomaría 447,284 años pro

143

cálculo del número de permuta

-ciones posibles se realiza de la si -guiente manera:

n(n-1)(n-2)(n-3)…1

En notación formal, se escribe n!

y como vimos antes, a esto se le

llama el factorial de un número. Le llamaremos a la cantidad de

elementos de la permutación r

y recordemos que la cantidad

de elementos del conjunto es n,

como estamos utilizando en este

caso todos los elementos del

con-junto, en este caso r=n. Entonces la notación para la cantidad de

permutaciones es la siguiente:

nPr =n!, cuando r=n

Ahora pensemos en otro caso, ¿qué pasa cuando r≠n? Es decir, ¿qué sucede si quiero saber cuán -tas permutaciones de tamaño 2

tiene un conjunto de tamaño 5?

Por ejemplo, para nuestro

con-junto {C,R,O,S,A}, el subconcon-junto {R,O,S,A} es una permutación de tamaño 4, el subconjunto {R,A,S} es una permutación de tamaño 3. Entonces, la cantidad de permuta

-ciones sin repetición de tamaño r en un conjunto de tamaño n, está

dada por

n (n-1) (n-2) (n-3)…(n-r+1)

Lo cual en notación de permuta

-ciones y factoriales se escribe de

la siguiente forma

Veamos un ejemplo. Toma el con

-junto S={a,b,c,d}. Todas las per -mutaciones de 2 elementos sin

repetición que se pueden obtener

de este conjunto son las siguien-tes:

{a,b} b,a},{a,c},{c,a},{a,d},{d,a} {b,c}{c,b}{b,d}{d,b}

{c,d}{d,c}

El total de permutaciones es 12. Ahora calculemos la cantidad de

permutaciones con la fórmula que aprendimos:

Propiedades del factorial

• Se define el factorial de 0:

0!= 1

Esto es fácil de observar desde el

punto de vista que el factorial de

un número indica la cantidad de permutaciones posibles o arre -glos, y dado el elemento 0, existe

sólo una permutación posible.

• Factorial de n+1 (n+1)!= (n+1) n!

Observa que con esta propiedad también se cumple con la propie

-dad del factorial de 0.

• Factorial de

Expresado de otra forma:

Veamos un ejemplo, tomemos por ejemplo el caso en el que n=4 y m=7, entonces:

De tal forma que podemos utilizar

la propiedad mencionada, pues

es evidente que se simplificarán

siempre aquellos factores en el numerador con los del denomina-dor que sean iguales o menores a

C. Combinaciones sin repetición

Para ilustrar cómo funcionan las

combinaciones sin repetición ve

-remos cómo funciona la lotería. En este caso estamos hablando de la lotería en la cual se tiene una tómbola con cierta cantidad de bolas y a cada bola le corresponde un número. Supongamos que el

resultado consta de un arreglo de

6 números y en muchas loterías el orden de los números (elemen

-tos) no importa. Por ello estamos hablando de una combinación. También al salir una bola, ésta se

queda fuera y ya no puede volver

a salir, por eso estamos hablando que es un evento sin repetición. Veamos un ejemplo sencillo antes de pasar a analizar las combina

-ciones y probabilidades de sacarse la lotería. Tomemos el conjunto

Otra notación que se utiliza co -múnmente para referirse a una

combinación es la siguiente , la cual se lee n de r en r. Calculemos las combinaciones del

siguiente ejemplo:

Hemos encontrado la misma

can-tidad de combinaciones que la que encontramos anteriormente.

Recordemos:

NOTA

Muchas calculadoras pueden eje-cutar las funciones de combinación y permutación directamente, busca las teclas, que por lo regular indican “nPr” y “nCr”, para permutaciones y combinaciones

respectiva-mente, tal como se mues-tra en la imagen.

S={a,b,c,d}. ¿Qué posibles combi -naciones de dos elementos

exis-ten? Recuerda que a diferencia de

las permutaciones, en este caso el orden no es importante, por lo

que decir {a,b} ó {b,a} es lo mismo, es decir que es la misma combi -nación, pues no nos importa el

orden. Veamos entonces las dife

-rentes combinaciones: {a,b},{a,c}{a,d}{b,c}{b,d}{c,d} Como puedes ver en este caso hay solamente 6 combinaciones (a di -ferencia de 12 permutaciones en

el caso equivalente).

El número de combinaciones se calcula a través de la siguiente fór -mula:

145

Paso 1: Presiona la tecla del número corres-pondiente a n, en este caso 5.

Paso 2: Presiona la tecla “shift” y luego presio-na la tecla “ ” (o aquélla en la que se encuentre designada “nCr”)

Paso 3: Presiona el número correspondiente a r, en este caso 3.

Ejercicio: calcula la cantidad de combinaciones de 3 ele

-mentos que pueden haber

en un conjunto de 5 ele-mentos, es decir ₅C₃.

Paso 4: Presiona la tecla “=” y obtén el resul-tado.

Como puedes ver el resultado es 10. Comprué-balo:

Veamos cómo se realiza esto en la calculadora (obser

-va que en este ejemplo se está utilizando una calcula

-dora Casio fx-82ES, por lo que el procedimiento variará según el modelo, pero la idea general es la misma).

2

2

3

1

E

tóm-bola que tiene 49 tóm-bolas numeradas. Para ganar la

lotería, es necesario tener la

com-binación correcta de 6 bolas. Esto significa que basta con que tenga -mos los mis-mos números en

nues-tro billete de lotería, pero no hace

falta que aparezcan en el mismo

orden. Calcula cuántas combina

-ciones posibles existen y luego determina la probabilidad de que alguien gane la lotería.

Solución:

Como tenemos 49 bolas numera

-das y necesitamos saber cuántas combinaciones de 6 elementos existen, diremos que n=49 y r=6.

Entonces:

Esto significa que en ese caso exis

-ten 13,983,816 combinaciones, por lo que la probabilidad de ga

-nar la lotería con un billete es de 1 en 13,983,816. Expresado en por -centaje sería lo siguiente:

Ejemplo:

Ahora regresemos al tema de la

introducción de este capítulo,

¿cómo calcular la probabilidad de obtener un póquer una vez nos

naciones que hay inicialmente: si tenemos un total de 52 cartas

y nos reparten 5, significa que el total de combinaciones está dado

por ₅₂C₅. Luego, debemos encon

-trar cuántas combinaciones de póker se pueden obtener, para lo cual debemos observar que exis

-ten 13 distintos tipos de cartas (A,2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K) y ne

-cesitas obtener 1 de estos tipos. Además de ello necesitas que se repita ese tipo de carta 4 veces con los 4 distintos manjares que hay; corazones, diamantes, trébo

-les y espadas, por lo que la canti

-dad de combinaciones de póker que hay está dada por ₁₃C₁×₄C_4.

Posterior a eso recordemos que aún falta que nos repartan 1 carta

más, pues una mano de un póquer tiene 5 cartas. Como en teoría te

-nemos un póquer en la mano ( o al menos hemos contabilizado todas las posibles manos de póquer), sabemos que quedan 12 tipos de

cartas en vez de 13, y necesitamos

obtener 1 carta cualquiera de los 4 manjares que hay, por lo que la cantidad de combinaciones que hay del resto de cartas está dado

por ₁₂C₁×₄C₁. Si utilizamos estas combinaciones, la probabilidad de obtener un póquer está dada por

la siguiente expresión

Así que en porcentaje, la proba

147

D. Combinaciones con repeti -ción

Supón que puedes elegir 3 ritmos

de música para las siguientes

can-ciones que van a sonar en la fiesta y sabemos que hay un total de 5 ritmos disponibles. ¿Cómo podría

-mos saber cuántas combinaciones

hay en total? En esta ocasión los

podemos repetir.

Supongamos que los ritmos dispo

-nibles son los siguientes: a. Dubstep

b. Salsa c. Reggae d. Punk Rock e. Reggaetón

Podría ser que eligieras 3

cancio-nes de corrido de reggae, o bien 1 canción de salsa y 2 de reggaetón.

No importa, el punto es las

com-binaciones que podemos hacer. Veamos esta idea con una ilustra -ción

Supón que tenemos un robot al

cual le damos la instrucción de se-leccionar los ritmos, y en este caso le pedimos que escoja 3 canciones

de reggae. Los ritmos están co -locados en una consola tal como

aparecen en el cuadro de arriba, y para pedirle al robot que seleccio -ne las cancio-nes le damos

instruc-ciones de avanzar cada vez que no queremos un ritmo y parar cada

vez que queremos uno. Al avance lo simbolizaremos con una flecha “→”, y al detenimiento con un círculo “○”. Entonces, como que -remos 3 canciones de reggae, le daríamos la siguiente instrucción:

→ → ○ ○ ○

→ →

Y con esto el robot termina la lista de canciones. Veamos qué sucede si quiero 1 canción de Dubstep , 1 de reggae y 1 de Punk Rock:

○ → → ○ →

○ →

¿Qué tal si quiero 2 de salsa y 1 de

reggaetón?:

→ ○ → → →

○ ○

¿Has notado algo en común entre todas las instrucciones que se le

dieron al robot? Si observas, hay siempre 7 instrucciones que le tenemos que dar al robot, 3 que

tomamos de 5 que son el total, y si a este 5 le restamos 1 ya que se

refiere al resto del recorrido, po -demos notar que las instrucciones son:

3+5-1=7

Lo cual podemos generalizar como r+n-1

Esto indica que siempre que

que-remos saber las combinaciones con repetición, tenemos r+n-1 po

-siciones, y si deseamos saber las r combinaciones que existen usare -mos la siguiente fórmula:

,

Si resolvemos nuestro ejemplo de

los ritmos de música, veremos que

tenemos la siguiente cantidad de combinaciones con repetición

Dubstep Salsa Reggae Punk Rock Reggaetion

Ejercicios.

1. Las placas de circulación de

vehículos de Guatemala constan

de 3 letras y 3 dígitos, respectiva

-mente. ¿Cuántas placas diferentes

pueden construirse?

2. ¿De cuántas formas pueden co

-locarse 6 libros en una librera? 3. ¿Cuántos números telefónicos

de ocho dígitos existen si ninguno de ellos puede empezar con cero o con 1?

4. Luis planea pasar a comer y lue

-go ir al cine. ¿En cuántas maneras puede planificar esto si dispone de

5 menús diferentes y 3 películas?

5. En una clase de 30 alumnos, 20 juegan fútbol y el resto balon

-cesto. ¿De cuántas maneras se

pueden seleccionar 3 alumnos de

entre los que juegan al fútbol y 2 de entre los que juegan al balon -cesto?

6. En una reunión de un grupo de amigos hay cinco hombres y seis mujeres. Para la hora del almuerzo deciden que cuatro de ellos irán al

supermercado cercano a comprar

comida.

a) ¿De cuántas maneras se pue -den elegir a los cuatro amigos que

irán?

b) ¿Y si tienen que ir dos hom

-bres y dos mujeres?

7. Cuatro libros de matemáticas, seis de física y dos de química se

van a colocar en una estantería

a)¿Cuántas colocaciones distintas son posibles si:

b) ¿Los libros de cada materia han

de estar juntos?

c) ¿Sólo los de matemáticas tienen

que estar juntos?

8. En una urna hay 9 bolas, 3 blan

-cas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

9. En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 paste

-les?.

10. ¿De cuántas maneras puede Susy seleccionar su ropa para una fiesta entre 5 vestidos y dos sacos de un ropero de 9 vestidos y 3 sa -cos?