Métodos Numéricos - Cap. 7. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias PVI 1/8

Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias (EDO)

Una Ecuación Diferenciales aquella ecuación que contiene diferenciales o derivadas de una o más funciones.

Una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO). Es aquella ecuación diferencial que contiene derivadas de una o mas funciones con respecto a una sola variable independiente.

Permiten modelar procesos dinámicos como: vaciado de recipientes, reactores químicos, movimientos amortiguados, desarrollos poblacionales; y situaciones estáticas como: deflexión de vigas y problemas geométricos.

A veces no hay una solución analítica, por lo que se necesitan aproximaciones numéricas.

Solución numérica de problemas

de valor inicial (PVI)

Los métodos numéricos permitirán obtener valores aproximados Yt

de la solución φ(t)en puntos tigualmente espaciados.

Yt ≈≈≈≈y(t) = φ(t)

La curva elegida de la familia y+Cse establece a partir del valor de

la función yen el valor inicialde la variable independiente (y(t0)).

Dada una ecuación diferencial

mediante técnicas de cálculo de primitivas se puede obtener la

función y(t) = y+C.

) y , t ( f dt dy = ej: dy _{2x 1, y x}2 _{x C} dt= − = − + -2 -1.5 -1 -0.5 0 0. 5 1 1.5 2 2. 5 3 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t φ (t) φ (t) φ (t) φ (t) Y0 (-2 )=6 y(t)+0 y(t)+1 y(t)+2

Método de Euler

o de la recta tangente

Se conocen: t0 , Y0= φ(t0) y Y’0=φ’(t0) = f(t0 ,φ(t0)) = f(t0,Y0)

Se obtiene un valor aproximado Y1de φ(t1)moviéndose a lo largo

de una recta tangente desde t0hacia t1

En general si h = tk-1- tk ) Y , t ( f ) t t ( Y ' Y ) t t ( Y Y t t Y Y ' Y ) Y , t ( f ) t t ( Y ) t ( ' ) t t ( Y Y t t Y Y ) t ( ' 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 -+ = + = ⇒ = + = + = ⇒ = φ φ ) Y , t ( hf Y Y_k+1= _k + _{k k} 0 0 0

( , ), , 1 cantidad de puntos a considerar ( ) m dy f t y t t t m dt y t y  = ≤ ≤ +    ₌ 

Gráficamente

1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) (t1 ,y1 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) ( t2 ,y2 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 ) (t3 ,y3 )

Ejemplo

h=.1 ⇒t0= 1 , t1= 1.1, t2=1.2, ...

La solución exacta es:

       = = ≤ ≤ = + = 1 0 0 1 2 1 2 2 . h , ) ( y t ), y , t ( f e t y t dt dy t 8666425 2 1 2 1 2 12 2 . ) e e ( . ) . ( ) e e ( t ) t ( y . t = − = − = φ 1818869 0 6847556 0 8666425 0 20 1 20 1 6847556 0 2718282 0 1 1 1 0 2718282 0 10 1 2718282 0 718282 2 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 1 1 1 2 0 0 0 1 0 0 . . . Y ) . ( E ) . ( . ) . , . ( f * . . ) Y , t ( hf Y Y ) . ( . . * . ) , ( f * . ) Y , t ( hf Y Y ) ( y ) ( ) t ( Y . h = − = − = ≈ = + = + = ≈ = = + = + = = = = = = φ φ φ φ φ Si h= 0.05 t0= 1,t1= 1.05, t2= 1.1, t3= 1.15, t4= 1.2 0969466 7696960 8666425 20 1 20 1 7696960 5159917 15 1 05 5159917 15 1 5159917 3063863 10 1 05 3063863 10 1 3063863 1359141 05 1 05 1359141 05 1 1359141 0 1 05 0 0 4 05 0 3 3 3 4 2 2 2 3 1 1 1 2 0 0 0 1 0 . . . Y ) . ( E ) . ( . ) ,. . ( f * . . ) Y , t ( hf Y Y ) . ( . ) ,. . ( f * . . ) Y , t ( hf Y Y ) . ( . ) ,. . ( f * . . ) Y , t ( hf Y Y ) . ( . ) , ( f * . ) Y , t ( hf Y Y Y . h = − = − = ≈ = + = + = ≈ = + = + = ≈ = + = + = ≈ = + = + = = = φ φ φ φ φ 1818869 0 6847556 0 8666425 0 20 1 2 1 0 ( . ) Y . . . Eh=. =φ − = − =

El error se reduce aprox. a la mitad

Error en la fórmula de Euler

Otra forma de deducir la fórmula del método de Euler para encontrar

una aproximación de la solución y(t)del P.V.I. con solución única es

usando el desarrollo en serie de Taylor alrededor del punto tk, ⇒

Error local ek+1= O(h2) Form. Euler

(

)

{ 1 1 1 1 2 1 2 + + ≤ ≤ + + + + + + + + = + k k k k k k t t k ) n ( n k ) n ( n k )) t ( , t ( f k k t k ( ) ! n h ) t ( ! n h ) t ( ' ' ! h ) t ( ' h ) t ( ) h t ( ξ φ ξ φ φ φ φ φ φ L 3 2 1 3 2 1 Error acumulado

Si hse reduce a la mitad el error

se reducirá a la mitad ) h ( O Ch ) ( ' ' t T h ) ( ' ' m m t T h ) ( ' ' m h ) ( ' ' h e E k k k m k k m k k T = =       − = = − = = = =

∑

∑

− = − = + ξ φ ξ φ ξ φ ξ φ 2 2 2 2 0 0 2 1 0 2 1 0 1 h C

Método de Euler mejorado o

método Heun

Método Euler

Aproximando por la media aritmética de sus valores en los extremos del intervalo

Como la incógnita Yk+1aparece como uno de los argumentos en el segundo miembro de la ecuación (en este caso el método se dice

implícito), se reemplaza Y_k+1por el valor que se obtuvo usando la fórmula de Euler sencilla (el método se convierte en explícito), obteniendo: ) , ( 1 k k k k Y hf t Y Y₊ = +

[

( , ) ( , )

]

2 1 1 1 + + + = k + k k + k k k f t Y f t Y h Y Y

[

( , ) ( , ( , ))

]

2 1 1 k k k k k k k k f t Y f t Y hf t Y h Y Y₊ = + + ₊ + No se conoce Por Euler

Graficamente

1 1.05 1.1 1.15 1.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) (t0 ,y0 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) ( t1 ,y1 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t2 ,y2 ) (t1 ,y1 *) (t1 ,y1 *) (t1 ,y1 *) (t1 ,y1 *) f( t0 ,y0 ) f( t0 ,y0 ) f( t0 ,y0 ) f( t0 ,y0 ) f(t1 ,y1 * ) f(t1 ,y1 * ) f(t1 ,y1 * ) f(t1 ,y1 * ) f(t1 ,y1 *) f(t1 ,y1 *) f(t1 ,y1 *) f(t1 ,y1 *)

Error en el método Heun

∫

∫

∫

= = − ⇒ = + 1 0 1 0 1 0 t t 0 1 0 1 t t t t dt )) t ( y , t ( f ) t ( y ) t ( y ) t ( y ) t ( y dt )) t ( ' y dt )) t ( y , t ( f

Precisión:En el extremo final del intervalo E(y(b),h) ≈Ch2

Si se toma la mitad del paso E(y(b),h/2)≈C h2_{/4∴Si se reduce h a la} mitad se espera que el error se reduzca a la cuarta parte

Otra forma de deducir la fórmula de Heun

Para obtener y(t) podemos integrar y’(t) en [t0, t1]

) h ( O h ) ( ' ' y a b h ) ( ' ' y ) h ( O h ) ( ' ' y ))) t ( y , t ( f )) t ( y , t ( f ( h ) t ( y ) t ( y M k 2 2 1 3 T 3 3 1 1 0 0 0 1 12 12 E pasos M en 12 error 2 = − ≈ = = = ⇒ + + ≈

∑

= ξ ξ ξ

Aplicando trapecios para calcular la integral, con h=t1-t0

Ejemplo

[

]

[

]

[

]

[

]

1818869 6847556 8666425 20 1 Euler Con 083279 8583146 8666425 20 1 20 1 8583146 7681324 2 1 3423778 1 1 2 1 3423778 2 7681324 3423778 1 1 1 3423778 10 1 3423778 2718282 1 1 0 1 2 1 0 2 2718282 718282 2 1 0 1 1 0 0 1 2 1 0 1 0 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 . . . Y ) . ( E . . . Y ) . ( E ) . ( . ) ,. . ( f ) ,. . ( f . . ) Y , t ( f ) Y , t ( f h Y Y . ) ,. . ( f * . . ) Y , t ( hf Y Y ) . ( . ) ,. . ( f ) , ( f . ) Y , t ( f ) Y , t ( f h Y Y . . * . ) , ( f * . ) Y , t ( hf Y Y ) ( ) t ( Y . h . h * * * * = − = − = = − = − =        ≈ = = + + = + + = = + = + =     ≈ = + + = + + = = = + = + = = = = = = φ φ φ φ φ φ     = = ≤ ≤ + = 1 . 0 h , 0 ) 1 ( y 2 t 1 , e t y t 2 dt dy 2 t

Método de la Serie de Taylor

Si y=φ(t)es la solución exacta del P.V.I. con solución única y φ(t)

tiene al menos las tres primeras derivadas continuas en el intervalo

de interés⇒

Reemplazando φ(tk), φ’(tk), φ’’(tk)por sus valores aproximados

Yk, Y’k= f(tk,Yk) y Y’’k= ft(tk,Yk)+ fy(tk,Yk) f(tk,Yk) respectivamente

con error { 3 2 1 3 2 1 3 2 1 )) t ( , t ( f k k k y k k t k t t k k )) t ( , t ( f k k t k k k k k k k k k ) t ( ' )) t ( , t ( f )) t ( , t ( f ) t ( ' ' ) ( ' ' ' ! h ) t ( ' ' ! h ) t ( ' h ) t ( ) h t ( φ ξ φ φ φ φ φ ξ φ φ φ φ φ + = + + + = + + +1 ≤ ≤ 1 3 2 3 2 k 2 k k 1 k Y'' 2 h ' hY Y Y + = + + hφ'''

( )

ξk 3 6 1

Ejemplo

2 2 _{1 2} 1 0 0 1 t dy y t e , t dt t y( ) , h .  = + ≤ ≤    _{= =}  k 0 k k 0 0 t ' 2 k k k k k k t ' 2 0 0 0 0 0 0 t t '' 2 ' k t k k Y k k k k 2 k k k k k k t t '' 2 ' 0 2 0 0 0 0 0 0 2 Y f(t ,Y ) Y t e t 2 Y f(t ,Y ) Y t e 2.71828 t 2 2 Y f (t ,Y ) f (t ,Y )f(t ,Y ) Y t e 2t e Y t t 2 2 Y Y t e 2t e Y 2.71828 4.71828 2 * 2.71828 13.5913 t t = = + = = + = = + = + + + = + + + = + + = 0 0 2 2 1 1 0 0 0 1 0 2 2 ' '' ' '' k k k k Y y( t ) y( ) h h Y+ Y hY Y Y Y hY Y = = = = + + ⇒ = + + 2 2 1 0 0 0 1 0 1 2 71828 13 5913 0 3397 2 2 ' h '' . Y =Y +hY + Y = +. * . + . = .

Método de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta se fundamenta en el método de la serie de Taylor, buscando la exactitud de este método pero sin tener que calcular derivadas parciales y de orden superior de la

función y(t).

Existen métodos de Runge-Kutta de diferentes ordenes, el orden lo define el orden de la derivada en el término de la serie de Taylor donde ésta se corte.

R-K de segundo orden

La fórmula de los tres primeros términos de la serie de Taylor es

2 1 2 ' '' 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 k k k k k k k t k k y k k k k k k k k k t k k y k k k k k k k k k t k k y k k k k h Y Y hY Y h Y hf t Y f t Y f t Y f t Y h h h Y f t Y f t Y f t Y h f t Y f t Y h h h Y f t Y f t Y f t Y h f t Y f t Y h + = + +   = + + _ + _=   = + + + _ + _=   = + + _ + + _=

[

]

( , ) ( , ( , ) ) 2 2 k k k k k t k k h h Y f t Y f t h Y f t Y h = + + + + Por Taylor ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) si ( , ) k k k k t k k Y k k k k f t h Y g f t Y f t Y h f t Y g g f t Y h + + ≈ + + =

La siguiente fórmula se conoce como la Fórmula general de

Runge-Kutta de segundo orden.

Se deben encontrar los valores a, b, y α, β tales que la fórmula

tenga la exactitud del método de los tres primeros términos de la serie de Taylor sin tener que calcular derivadas de orden superior de

la función φ(t).

Para a=b=1/2 y α=β=1 es la fórmula de Heun o Euler mejorado

    + + = = + + = + ) K h,Y hf(t K ) ,Y hf(t K bK aK Y Y k k k k k k 1 2 1 2 1 1 con β α

[

]

1 1 1 ( , ) ( , ( , ) ) 2 2 k k k k k k t k k Y+ =Y + hf t Y + h f t +h Y +f t Y h K1 K2

R-K de cuarto orden

La fórmula de Runge-Kutta que más se utiliza es equivalente a la fórmula de los cinco primeros términos de la serie de Taylor, o sea un método de Runge-Kutta de orden cuatro.

           = =          + + = + + = + + = = + + + + = + 0 0 0 3 k k 4 2 k k 3 1 k k 2 k k 1 4 3 2 1 1 ) ( ) Y , hf(t K ) 2 1 Y , 2 1 hf(t K ) 2 1 Y , 2 1 hf(t K ) Y , hf(t K con ) 2 2 ( 6 1 y t y Y K h K h K h K K K K Y Y_{k k}

Con error local de orden O(h5_{) y error total de orden O(h}4_),

siempre y cuando la solución tenga las primeras cinco derivadas continuas.

Graficamente

Ejemplo

    = = ≤ ≤ + = 1 . 0 h , 0 ) 1 ( y 2 t 1 , e t y t 2 dt dy 2 t ) K K 2 K 2 K ( 6 1 Y Y 0 Y 4 3 2 1 0 1 0 + + + + = = 5 2 2 1 3 0 0 4 2 0 0 3 1 0 0 2 0 0 1 10 * 08 . 2 8666425 . 8666217 . ) 2 . 1 ( y Y Error 8666217 . Y 3459103 . ) 4266908 . ) 3475269 )(. 2 ( ) 3409444 )(. 2 ( 27182818 (. 6 1 0 Y 4266908 . ) 3475269 ,. 1 . 1 ( f 1 . ) K Y , h t ( hf K 3475269 . ) 2 3409444 . , 05 . 1 ( f 1 . ) K 2 1 Y , h 2 1 t ( hf K 3409444 . ) 2 27182818 . , 05 . 1 ( f 1 . ) K 2 1 Y , h 2 1 t ( hf K 27182818 . ) 0 , 1 ( f 1 . ) Y , t ( hf K − = − = − = = = + + + + =          = = + + = = = + + = = = + + = = = =

Cálculo de tamaño del intervalo

Ej: para el método RK4

5 2 / 15 ) 2 ( 16 h E E C₌ k− k ⇒ En el extremo final del intervalo E(y(b),h) ≈Ch4 Si se toma la mitad del paso E(y(b),h/2) ≈C h4_/16

Si se reduce ha la mitad se espera que el error se reduzca en 1/16. Se podría estimar un hadecuado para mantener un error menor que un εdado. El valor Cserá dependiente del problema.

Considerando el error local Ek=Ch5, y que con la mitad de hse necesitan evaluar 2 puntos para evaluar k

[ ] [ ]

(

)

2E = 2Ch 32 E - 2E = Ch - 2C h 32= 15 16 k /2 5 k k /2 5 5 ⇒ Ch5

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

5 1 5 k 5 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 E do Consideran 15 16 2 2 1 1 / k / k k / k / k k / k / k k k C h Ch h y y C y y E E E ) ( y E ) ( y       = ⇒ = = − = ⇒ − ≈ −    + ≈ + ≈ ε ε φ φ

Método R-K-Feldberg

6 5 4 3 1 6 5 4 2 1 n 1 n 5 4 3 1 n 1 n 5 4 3 2 1 n n 6 4 3 2 1 n n 5 3 2 1 n n 4 2 1 n n 3 1 n n 2 n n 1 k 55 2 k 50 1 k 75240 2197 k 4275 128 k 360 1 E k 55 2 k 50 9 k 430 . 56 561 . 28 k 825 . 12 6656 k 135 16 y z k 5 1 k 4104 2197 k 2565 1408 k 216 25 y y k 40 11 k 4104 1859 k 2565 3544 k 2 k 27 8 y , 2 h hf(x k k 4104 845 k 513 3680 k 8 k 216 439 y h, hf(x k k 2197 7296 k 2197 7200 k 2197 1932 y , h 13 12 hf(x k ) k 32 9 k 32 3 y h, 8 3 hf(x k ) k 4 1 y h, 4 1 hf(x k ) y , hf(x k + + − − = + − + + + = − + + + = − + − + − + = − + − + + = + − + + = + + + = + + = = + + s h z_n y_n = −       + + ε 2 _{1 1} 1 4 | | / ε= tolerancia sh= paso óptimo

Sistemas de EDOs de primer orden

Modelo predador-presa

Movimiento vertical de los resortes acoplados

Corrientes en una red eléctrica

Péndulo doble

Sistemas de EDOs de primer orden

Se aplica algún método

(preferiblemente Runge-Kutta de orden cuatro) a cada una de las ecuaciones del sistema.

Ejemplo:

dx x 2y f(t, x,y) _{x(0) 6} dt _h=0.02 dy y(0) 4 3x 2y g(t,x, y) dt = + = =   =  = + =          + + + = + + + = + + + = = + + + + = + ) Y , (t hf K ) Y , (t hf K ) Y , (t hf K ) Y , (t hf K con k k k k k k k k k k k 1 y x y y x y y x y k y y y y y k k K , K X h K , K X h K , K X h , X ) K K K K ( Y Y 3 3 2 4 2 2 2 3 1 1 2 2 2 4 3 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 1 0 0 0 0 2 1 y ) , y(t x ) t ( x ) y , x , t ( f ' y dt dy ) y , x , t ( f ' x dt dx = = = = = = ... X Xk k 6 1 1= + + 1f 0 0 0 2f 0 0 1f 0 1g 3f 0 0 2f 0 2g 4f K h f(t ,x ,y ) 0.02 f(0,6,4) .28 1 1 1 K h f(t h, x K ,y K ) 2 2 2 0.02 f(0.01,6.14,4.26) .2932 1 1 1 K h f(t h, x K ,y K ) 2 2 2 0.02 f(0.01,6.1466,4.2694) .2937 K h f(t = = = = + + + = = = + + + = = = ₀ h,x₀ K , y_{3f 0} K ) _3g 0.02 f(0.02,6.2937,4.5396) .3074 + + + = = 1g 0 0 0 2g 0 0 1f 0 1g 3g 0 0 2f 0 2g K h g(t ,x ,y ) 0.02 g(0,6,4) .52 1 1 1 K h g(t h,x K ,y K ) 2 2 2 0.02 g(0.01,6.14,4.26) .5388 1 1 1 K h g(t h,x K ,y K ) 2 2 2 0.02 g(0. = = = = + + + = = = + + + = 4g 0 0 3f 0 3g 01,6.1466,4.2694) .5395 K h g(t h,x K ,y K ) 0.02 g(0.02 6.2937 4.5395) = = + + + = + + ( ) ( )

(

)

( ) 1 0 1f 2f 3f 4f 1 0 1g 2g 3g 4g 1 x x K 2K 2K K 6 1 6 .28 2(.2932) 2(.2937) .3074 6.2935 6 1 y y K 2K 2K K 6 1 4 .52 2(.5388) 2(.5395) .5592 4.5393 6 = + + + + = + + + + = = + + + + = + + + + = f(t, x,y) x 2y g(t,x,y) 3x 2y h=0.02 = + = +

EDOs de orden N

Si la ecuación es de orden ≥2, se transforma la ecuación en un sistema de EDOs de primer orden. Ejemplo:

   ≤ ≤ = = + + − 5 . 1 t 1 , 0 ) 1 ( y 1, y(1) ) ln( * 2 2 ' 3 ' '' 2_{y ty y t t} t ) ln( * 2 2 2 ' '' t t y t y t y = − + ⇒ Se transforma el P.V.I. en un

sistema de EDOs de primer orden. •Se despeja el diferencial de mayor orden.

•Se reemplazan las funciones por otras equivalentes, de manera de eliminar las diferenciales de orden

superior _     = = = = + − = = = = 05 0 0 1 1 1 g) y, (t, 2 2 2 2 1 . h , ) g( , ) y( f ) t ln( * t y t g t ' ' y ' g ) g , y , t ( f g ' y

(

)

(

)

5 0986161855 . ) 049396996 . , 99875 ,. 025 . 1 ( 05 . 2 , 2 , 2 10 * 4698498 . 2 ) 049396996 . , 99875 ,. 025 . 1 ( 05 . 2 , 2 , 2 098793992 . ) 05 . , 1 , 025 . 1 ( 05 . 2 , 2 , 2 10 * 5 . 2 ) 05 . , 1 , 025 . 1 ( 05 . 2 , 2 , 2 1 . )) 1 ln( 1 1 2 0 1 2 ( 05 . ) 0 , 1 , 1 ( 05 . , , 0 ) 0 ( 05 . ) 0 , 1 , 1 ( 05 . , , 2 2 0 2 0 0 2 3 3 1 2 0 2 0 0 1 3 2 1 0 1 0 0 2 2 3 1 1 0 1 0 0 1 2 2 2 0 0 0 2 1 1 0 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 − = = − =         + + + = − = = − =         + + + = − = − =         + + + = − = − =         + + + = − = + − = = = = = = = − − f K g K y h t hf K f K g K y h t hf K f K g K y h t hf K f K g K y h t hf K f g y t hf K f g y t hf K f f f f f f f f f f f f f f       = = = = + − = = = 0.05 h 0, g(1) 1, y(1) g) y, (t, f ) t ln( * t y t 2 g t 2 ' g ) g , y , t ( f g ' y 2 2 1

(

)

(

)

0986883023 0973094592 0998616185 2 0987793992 2 1 6 1 0 2 2 6 1 9975215819 10 930809278 4 10 4698498 2 2 10 5 2 2 0 6 1 0 1 2 2 6 1 0973094592 0986161855 9975301502 05 1 05 10 930809278 4 0986161855 9975301502 05 1 05 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 4 3 2 1 0 1 3 3 3 4 3 2 1 0 1 2 3 0 3 0 0 2 4 3 1 3 0 3 0 0 1 4 . ) . ) . ( ) . ( . ( ) K K K K ( y g . ) * . ) * . ( ) * . ( ( . ) K K K K ( y y . ) . , ,. . ( f . K g , K y , t hf K * . ) . , ,. . ( f . K g , K y , t hf K f f f f f f f f f f f f f f − = − − + − + − + = = + + + + = = − − + − + + = = + + + + = − = − = + + = − = − = + + = − − − − M

Comados Matlab

[ T, Y, S ] = comando (‘F’, tspan, y0, opciones, p1, p2,... ) comando:

•Ode45:Compara resultados de Runge-Kutta de orden 4 y 5. Dormand-Prince

•Ode23:Compara resultados de Runge-Kutta de orden 2 y 3. Bogacki and Shampine.

•Ode113:Multipaso, Adams-Bashforth-Moulton

• Los comandos Odexxs, Odexxt y Odexxtb, :Comparan resultados

Parámetros de entrada:

‘F’: función conteniendo dy/dt, o vector columna de funciones dyi/dt

tspan:vector conteniendo el intervalo de integración [t0, tfinal] ó

puntos a evaluar [t0, t1, t2,..., tfinal]ó [t0:h:tfinal].

y0: vector de condiciones iniciales.

opciones:creadas con odeset.

p0, p1, p2, ...: opciones pasadas a la función/es.

Parámetros de salida:

T: vector de puntos t.

Y: matriz solución, cada fila corresponde a cada valor t, cada columna

a yi.

S: estadísticas de los cálculos