Apariencia de los objetos que se mueven a altas velocidades

Apariencia de los objetos que se

mueven a altas velocidades

5.1

Introducci ´on

Ya hemos visto que cuando los objetos se mueven a muy altas velocidades con respecto a un observador, ´estemideque se contraen en la direcci ´on del movimiento. No se produce contracci ´on en las otras direcciones. No olvidemos quelas medidas nos dicen c ´omo son realmente los objetosy que por tanto sonrealmente diferentes para cada observador.

Nos ocuparemos ahora de estudiar qu´e aspecto tendr´ıan estos objetos si pudi´eramos

verlosofotografiarlos. Curiosamente, esta cuesti ´on no se empez ´o a considerar hasta 1959.

Verun objeto significa recibir luz procedente de ese objeto. En un diagrama espacio-tiempo es f´acil encontrar la posici ´on en que se encontrabacada parte de un objeto en el momento de emitir los rayos de luz que forman suimagen. Para ello basta trazar l´ıneas a 45◦ respecto a los ejes. Ladistancia del observador a cada punto del objeto es importante.

Existen varios mecanismos que alteran la imagen que tenemos de un objeto en reposo cuando lo vemos en movimiento. El primero, la contracci ´on de Lorentz, no altera s ´olo la imagen, sino que constituye un cambio real de las dimensiones del objeto. En la excelente webThrough Einstein’s Eyes [?] pueden verse v´ıdeos de simulaciones por ordenador con explicaciones de los distintos efectos (incluyendo distorsiones de color debidos al efecto Doppler, que discutiremos en el Tema 6).

5.2

Mecanismos de distorsi ´on de las im´agenes

la longitud del vag´on se contrae un factor γ = 1/

√

1−v2_/c2_{, el factor de Lorentz, en la}

direcci ´on del movimiento (efecto monodimensional). Pero eso no es todo.

5.2.2 Rotaci ´on aparente

Miremos ahora el vag ´on de Gertrudis con m´as detenimiento cuando su punto medio pasa frente a nuestro objetivo a gran velocidad. No s ´olo vemos que su longitud es me-nor, tambi´en vemos partes del vag´on que no ver´ıamos si ´este estuviera en reposo respecto a nosotros (Fig.5.1). Durante el tiempo que emplea la luz en recorrer una distancia igual a la anchura del vag ´on, la parte del vag ´on que nos impedir´ıa ver la esquina posterior trasera del vag ´on se aparta de la trayectoria que sigue la luz y podemos verla. Este efecto tridimensional, llamadorotaci´on de Terrellse magnifica cuando el vag ´on va m´as r´apido y tiene lugarcuando la distancia al observador es suficientemente grande.

v

reposo

Figura 5.1: Vag´on a gran velocidadvisto desde el and´en.

5.2.3 Retrasos de la luz

Supongamos ahora que en el centro del vag ´on de Gertrudis hay una barra delgada si-tuada verticalmente (Fig. 5.2). Supongamos que el objetivo de nuestra c´amara est´a a la altura del punto medio de la barra. Entoncesla luz de los puntos m´as alejadosdel centro de la barra llegan a la c´amara con retraso. El efecto neto es unaimagen combada. Este efecto bidimensional esm´as acusado cuando la distancia al observador es peque ˜na.

v

vista lateral

vista frontal

5.2.4 Ejemplos

En las siguientes figuras se muestran fotograf´ıas de objetos que se mueven a diferentes velocidades frente a una c´amara situada a distintas distancias.a _{En ellas se combinan los}

tres efectos descritos anteriormente. Las dos primeras muestran objetos bidimensionales y las otras tres objetos tridimensionales.

5.3

San Jorge y el drag ´on

San Jorge, portando una lanza de 2 m, cabalga a la incre´ıble velocidad de(√3/2)chacia un drag ´on frente al que hay un foso de 3 m de anchura. Seg ´un cuenta la conocida leyenda,San Jorge mata al drag´on. ¿C ´omo es posible?

Estudiemos el correspondiente diagrama espacio-tiempo (Fig.5.9).

B

x

x’

C

A

D

dragon

foso

S. Jorge

punta de lanza

l. simultaneidad S. Jorge

−2

−4

−6

−8

t’

−2 3

−(4+2 3)

E

rayo de luz t

Figura 5.9: Diagrama espacio-tiempo con origen com´un en el instante en que muere el drag´on.

5.3.2 Sucesos importantes

Suceso A: Posici ´on de San Jorge cuandopara ´ella punta de su lanza hiere al drag ´on. ´El no sabe todav´ıa que ha matado al drag´on pero ´esa es la posici´on fat´ıdica: 0.5 m antes del foso para San Jorge y 1 m detr´as del foso para el drag ´on. San Jorge no se ha ca´ıdo al foso, de eso no hay duda.

Suceso B: La punta de la lanza hiere de muerte al drag ´on. Este suceso es simult´aneo al suceso A para San Jorge (lo que no quiere decir que ´el se entere en ese instante) pero ocurre 2√3 m-luz, es decir 11.5 ns, despu´es que el primero para el drag ´on. Suceso C: San Jorge se cae el foso si sigue en l´ınea recta a la misma velocidad. La punta de su lanza ya hab´ıa matado al drag ´on pero ´el a ´un no lo ha visto: morir´ıa sin saber que ha logrado su objetivo.

Suceso D: San Jorgever´ıaque ha matado al drag ´on si ´el mismo sobrevive en su ca´ıda al foso y se queda justo all´ı, o bienver´ıamuerto al drag ´on si frena a tiempo desde la posici ´on fat´ıdica y se queda junto al muro a esperar la imagen de la muerte del drag ´on, que llega en ese instante. Para frenar justo despu´es de la posici ´on

fat´ıdica San Jorge tiene que haber hecho previamente los c´alculos de d ´onde est´a esa posici ´on, pues ´el no ve que ha matado al drag ´on hasta este instante en que le llega la imagen. Adem´as el caballo de San Jorge debe ser capaz de pararse en un tiempo record ... pero no importa, todo es fant´astico en esta historia.

Suceso E: Sale el ´ultimo rayo de luz que, procedente de San Jorge, llega al drag ´on antes de morir.

Suceso Para San Jorge Para el drag ´on

[m] (x0,t0) (x,t) A (−2, 0) (−4,−2√3) B (0, 0) (0, 0) C (−2, 1/√3) (−3,−4/√3) D (−6−3√3, 6+3√3) (−3, 3) E (−2,−2) (−4−2√3,−4−2√3) x = γ(x0+vt0) t = γ(vx0+t0) v =√3/2 γ=2

5.3.3 Versi ´on de San Jorge

Para San Jorge su lanza mide 2 m y hay un foso de 1.5 m delante del drag ´on. Por tanto, 0.5 m antes de llegar al foso la punta de su lanza toca al drag ´on y ´este muere. Realmente

la lanza que ´el lleva es lo bastante larga como para alcanzar al drag ´on por encima del foso, gracias a la contracci ´on de Lorentz.

Lo que ve San Jorge: Como ya hemos dicho, San Jorge no ve que ha matado al drag ´on hasta un rato despu´es de haberlo atravesado con su lanza, haber frenado y haber es-perado junto al foso. Suponemos que San Jorge hab´ıa hecho los c´alculos y sab´ıa d ´onde ten´ıa que empezar a frenar, de modo que ha evitado caerse al foso. Debe tener cuidado porque la luz que le informa de su distancia al borde del foso le llega con retraso, as´ı que visualmente le parece que est´a m´as lejos de lo que en realidad est´a. Recordemos una vez m´as que las im´agenes distorsionan la realidad. De hecho, a ´el le parece que el foso tiene una longitud (aparente) de 6+3√3≈11.2 m y su lanza es de s ´olo 2 m (v´ease el Ejercicio 5.1), as´ı que, si se f´ıa de sus sentidos, le parecer´a imposible alcanzar al drag ´on.

5.3.4 Versi ´on del drag ´on ... si pudiera contarlo

Para el drag ´on, San Jorge se acerca con una lanza de 1 m, as´ı que se cree a salvo porque le protege un foso de 3 m. ´Estas sonsus medidas. As´ı que se echa a dormir y se olvida de San Jorge. Cuando San Jorge est´a a 4 m de ´el (1 m detr´as del foso) se firma su sentencia de muerte. Eso ocurre 2√3 m-luz, es decir 11.5 ns, antes de sentir una punzada en el coraz ´on.

¿C ´omo es que una lanza que, para el drag ´on,mide realmente1 m puede cruzar un foso que mide realmente3 m, sin que San Jorge la suelte?La punta de la lanza no est´a conectada causalmente con la empu ˜nadura(est´a fuera de su cono de luz), es decir, no puede “saber” que San Jorge frena antes de caer al foso hasta un momento posterior y por tanto la punta avanza alcanzando al drag ´on. La lanza se romper´a o se deformar´a (recordemos que no existen s ´olidos r´ıgidos en Relatividad), pues San Jorge se queda al otro lado del foso.

Moraleja

¡¡Desconf´ıa de objetos peligrosos que se acerquen a t´ı a velocidades relativistas!!

Ejercicios

5.1 Demuestra que la longitud aparente de un objeto al que nos aproximamos (longi-tudinalmente) con velocidad β=v/ces

Laparente=γ(1+β)L0

donde L0 es la longitud propia del objeto yγ es el correspondiente factor de Lo-rentz. ¿Y si nos alejamos del objeto? ¿Y si es el objeto el que se acerca o aleja? Aplicando este resultado al ejemplo de San Jorge y el drag ´on:

a) ¿Cu´ales son las longitudes real y aparente de la lanza y el foso para San Jorge?