w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i
Revista
Internacional
de
Métodos
Numéricos
para
Cálculo
y
Diseño
en
Ingeniería
Pandeo
3D
de
estructuras
de
barras
de
sección
de
tipo
doble-T
M.
Cacho-Pérez
a,∗y
A.
Lorenzana
Ibán
baEscueladeIngenieríasIndustriales,UniversidaddeValladolid,Valladolid,Espa˜na bPaseodelCauce,59,47011Valladolid,Espa˜na
i n f o r m a c i ó n
d e l
a r t í c u l o
Historiadelartículo:
Recibidoel5deoctubrede2014 Aceptadoel3deseptiembrede2015 On-lineelxxx Palabrasclave: Pandeo3D Bimomento Flexiónbiaxial
r
e
s
u
m
e
n
Este trabajo consiste en determinar la carga crítica de pandeo con deformaciones de flexión y torsióndeunabarradeacerodeseccióndetipodoble-T.Parasucálculo,seconsideraelmodelo3Dde flexióndebarrasesbeltas(teoríadelaflexióndeNavier-Bernouilli)yelmodelodetorsiónnouniforme oporalabeorestringido(teoríadelatorsióndeVlasov).
©2015TheAuthors.PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.ennombredeCIMNE(Universitat PolitècnicadeCatalunya).EsteesunartículoOpenAccessbajolalicenciaCCBY-NC-ND (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
Buckling
of
3D
beam
structures
with
wide-flange
section
type
Keywords: 3DBuckling Bimoment
Biaxiallybendingmoments
a
b
s
t
r
a
c
t
Thisworkisbasedoncalculatingthecriticalbucklingloadwithbendingandtorsionaldeformationsof asteelwide-flangesectiontype.Tosolvetheproblemisconsideredthe3Dbendingmodelofslender beams(theoryofNavier-Bernoullibeams)andthemodelofthetorsionisnonuniformorbywarping restricted(Vlasovtorsiontheory).
©2015TheAuthors.PublishedbyElsevierEspaña,S.L.U.onbehalfofCIMNE(UniversitatPolitècnica deCatalunya).ThisisanopenaccessarticleundertheCCBY-NC-NDlicense (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
1. Introducción
Eluso cada vez másfrecuente de estructuras formadas por elementos muy esbeltos y livianos y el empleo de materiales
∗ Autorparacorrespondencia.
Correoselectrónicos:[email protected](M.Cacho-Pérez),[email protected] (A.LorenzanaIbán).
altamente resistentes permiten realizar grandes construcciones queresultabanimpensableshastahacepoco.Porello,elanálisis delainestabilidaddedichasestructurashacobradogran impor-tanciayhadesplazadoincluso,enmuchoscasos,elclásicoanálisis resistente,centradoúnicamenteenlaaparicióndetensionesque superanellímiteelásticodelmaterial.
Numerososestudiosytrabajosdeinvestigaciónsehan dedi-cadoalanálisisdelpandeodetipologíasestructuralestalescomo barras,placasy láminas,desde el punto devista experimental, analíticoocomputacional.Esteúltimoenfoquehaexperimentado un gran avance en los últimos a ˜nos, gracias a dos factores: el perfeccionamientoprogresivodelosmétodosnuméricosde simu-lación,sobretodoelgranaugedelmétododeloselementosfinitos, yla mejora imparabledelas prestacionesdelascomputadoras actuales.
Son innumerables los estudios y las investigaciones dedi-cados al análisis de fenómenos de inestabilidad estructural, pero fue Euler (1744) el primero en proporcionar, de forma analítica, resultados del estudio del pandeo de columnas, que http://dx.doi.org/10.1016/j.rimni.2015.09.005
0213-1315/©2015TheAuthors.PublicadoporElsevierEspaña,S.L.U.ennombredeCIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).EsteesunartículoOpenAccessbajola licenciaCCBY-NC-ND(http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/).
posteriormenteseríancompletadosporLagrange(1788).Unsiglo mástarde,apareciólateoríageneraldelabifurcacióndelequilibrio, desarrolladaporPoincaré(1885),yLiapunov(1892)ledioun tra-tamientomásriguroso,desdeelpuntodevistamatemático.Otra aportaciónimportantealdesarrollodeesteproblemafuelateoría nolinealdebifurcacióndeKoiter(1945),dedicadasobretodoal pandeodeplacasyláminas.
Lapérdidadeestabilidadylaaparicióndepuntosde bifurca-ciónsonfenómenoshabitualesenelestudiodelamecánicadel mediocontinuo.Enel análisisestructural,existeuna gran can-tidadde bibliografía dedicada al estudio delpandeo debarras, placasyláminas,tantodesdeelpuntodevistaanalítico (Timos-henko y Gere,1961; Chajes, 1974), como numérico (Bathe y Dvorkin,1975;Seydel,1979;Riks,1972,yBushnell,1982,entre otros).
Porotrolado,labarraesunatipologíaestructuralquehatenido undesarrolloextenso.Suformulaciónhasidoobjetoderevisión continuamente,intentandoincorporartodoslosefectos observa-dosexperimentalmente.Enestetrabajo,sepresentaunmodelode barratridimensionalconformulacióngeométricamentenolineal. Elmodelodebarraincorporadeformacionesacortanteyatorsión, asícomoelefectodelalabeo.Desdeelpuntodevista computacio-nal,lainclusióndelalabeoseresuelveconlaadicióndeunséptimo gradodelibertadalosseishabitualesdelaformulaciónclásica,que representalaamplituddelalabeoencadaseccióndelabarra.Dicho efectoesdegranimportanciaparaciertostiposdesecciones,como losperfilesdepareddelgaday,sobretodo,lasseccionesabiertas yenqueelalabeoaparecerestringido,quedanlugaratorsiónno uniforme.
Unadelasaplicacionesprácticasdeestemodeloeslasimulación numéricadefenómenosdeinestabilidad,sobretodoenaquellos casosenqueelalabeoesfundamental,comoocurreenloscasosde pandeolateralopandeoportorsión.
Lospuntosenquelamatrizderigidezdeunaestructurallegaa sersingularsedenominanpuntoscríticosytienenunagran impor-tanciadesde el punto de vista de la estabilidad estructural.El significadofísicodeestospuntosenunanálisislinealesla apa-ricióndedesplazamientosindeterminadosenunestadodecarga constante.Lógicamente,enunanálisisnolineal,ellonosucede, perolaconsecuenciaeslaaparicióndegrandesdesplazamientos yrotacionesy,enlamayoríadeloscasos, ungranaumentode lastensiones.Enmuchasocasiones,pues,laestructurapierdesu funcionalidad,bienseaporcolapsoplásticooporlaapariciónde desplazamientosnoadmisibles.
Losproblemasasociadosalfenómenodelpandeoenelementos estructuralesdeaceroson,enocasiones,lacausamásimportante defallomecánico[1,3,4,26,27].Porotrolado,seconsideraqueel métodoexactoqueplanteaelestudiodetalladodelosproblemas deinestabilidadestructuraldelasbarrasdeaceropresentauna grandificultadmatemática[12,13,24,29].Además,nosiemprese conocenconprecisiónlasrestriccionesexistentesenlosextremos deltramomáscríticodelabarra,locualhacequelosresultados obtenidosseanpocofiables[7,9].
Sinembargo,laformulacióndelmétodomatricialderigidez3D paraelcasodenolinealidadgeométricaenhipótesisdelinealidad materialfacilitalaestimaciónteórica delacargacríticade pan-deodeformasistemáticaconlaayudadelordenador[10,11,21,23]. Ellopermiteabordarproblemasconcasosdecargay condicio-nesdecontornoen desplazamientosque nose incluyenen los casosdescritos enla normativa vigente, y cuyo cálculo lógica-mentees necesarioabordarconrigoryconsuficienteprecisión desde el punto de vista práctico y de la seguridad estructural [2,5,8,14].
Eltrabajosehaorganizadodelamanerasiguiente:enprimer lugar,trasestaintroducción,sepresentalametodologíautilizada. Acontinuación,semuestranvariosejemplosdeaplicacióny,enel
últimoapartado,sepresentanlasprincipalesconclusiones obteni-dasdeestetrabajo.
2. Metodología
Todoproblemadeinestabilidadrequiereplantearelequilibrio enlaconfiguracióndeformadadelaestructura.Paraelcasode inte-rés,esnecesarioanalizarlabarraobjetodeestudiocomoelemento estructuralespacialo3D.Portanto,lomássencilloesformularlas ecuacionesdeequilibriodefuerzasymomentosdeformaintegral apartirdelprincipiodelostrabajosvirtuales(PTV),que,enelcaso delasbarras,tienelaexpresiónsiguiente[6,17,18,19]:
V ıε+ςıς+ςıς dV= S tiıuids (1) dondeeslatensiónnormal;ς,ςsontensionestangenciales;εesladeformaciónlongitudinal;ς,ςsonlasdeformaciones transversales;tieselvectordefuerzasexternasdesuperficieyui sonlascomponentesdedesplazamientodelospuntosmateriales deaplicacióndedichosistemadecargasexteriores.
A partir de las magnitudes representadas en la figura 1 y tomandocomobaselateoría de laflexión deNavier-Bernouilli ylateoríadelatorsióndeVlasov,sehacelasiguientedefinición deesfuerzosinternosenlabarra:
f=
A ςdA= dm dς =m f= A ςdA= dm dς =m fς= A dA=P m= A dA m= A dA mς=Tω+Tsv;Tω=−mω mω= A ωdA (2)dondefςeselesfuerzoaxil;f,fsonlosesfuerzoscortantes;m, msonlosmomentosflectores;mςeselmomentotorsor;mωes elesfuerzobimomento;Aeseláreadelaseccióntransversaldela barra;,sonlascoordenadasdelpuntomaterialdelasección;Tsv
eltorsorsegúnlateoríadelatorsiónuniformeodeSaint-Venant;Tω eseltorsorrestringido,yωesloqueseconocecomoáreasectorial principalenlateoríadelatorsiónnouniformedeVlasov.
En cuanto a las solicitaciones exteriores, en el modelo 1D/unidimensionalsedefinencomocargasporunidadde longi-tudsegúncadaunodelosejesdereferencia:q,q,qς,siendoestas lasmáshabitualesenestetipodeproblemas.
ς
ξ
η
O
f
ηf
ξf
ςm
ηm
ξm
ωm
ςLa necesidad de plantear el equilibrio en la configuración deformadaoactualrequiereladefinicióndedeformaciónde Euler-Lagrange,quellevaalassiguientesrelacionesentredeformaciones ydesplazamientos: ε=uς,ς+ 1 2
u2 ,ς+u 2 ,ς+u2ς,ς ς=uς,+u,ς+(u,u,ς+u,u,ς+uς,uς,ς) ς=uς,+u,ς+(u,u,ς+u,u,ς+uς,uς,ς) (3)Tambiénseasumelahipótesisdepeque ˜nosdesplazamientos, conlocualresulta:
u=u0−(−e)ς
u=u0+(−e)ς
uς=uςc−u0−u0+ως
(4)
dondeu,u,uςsonlascomponentesdedesplazamientodeun puntomaterialcualquieradelabarrasegúncadaunodelosejesde coordenadas;u0,u0,uς sonlosdesplazamientosdelospuntos de la directriz de la barra; ς es el ángulo girado por la sec-ciónsegúnelejelongitudinal;ςeslamagnituddelalabeodela seccióncorrespondiente,y,porúltimo,
e,esonlascotasdela posicióndelcentrodeesfuerzoscortantesconrespectoalcentro degravedaddelasección.
Según los modelos de flexión y torsión adoptados, se llegan a plantear las siguientes ecuaciones de compatibilidad-comportamiento: P=EAuςc m=−EIu 0 m=−EIu0 mω=EIως Tsv=GKTς A=
A dA I= A 2dA I= A 2dA Iω= A ω2dA KT= 1 3 N i=1 bie3i (5)dondeI,Isonlosmomentosprincipalesdeinercia,Iωeselmódulo dealabeoyKTeslaconstantederigideztorsional.
2.1. Aproximacióndedesplazamientos
Encuantoalcampodedesplazamientos,seasumequelasbarras sonsuficientementeesbeltasparaconsiderardespreciableelefecto delasdeformacionestransversalesasociadasalosesfuerzos cor-tantes,locualimplicalasrelacionessiguientes:
0=u0;0=u
0 (6)
Paralosdesplazamientoslongitudinales,sesuponeuna varia-ciónlineal: uςc
ˇ=n1 ˇuςc , n1 ˇ=1−ˇ;ˇ (7) dondeˇ=ς⁄
L es lacoordenada longitudinaladimensional en elelementoy
uςc =upςc;uqςc
Tsonlosvaloresnodalesdel des-plazamientolongitudinal.
Sinembargo,paralaaproximacióndedesplazamientos trans-versalesalasección,sesuponeunavariacióncúbica:
u0
ˇ=n3 ˇ u0 ; u0 ˇ=n3 ˇ u0 n3 ˇ=1−3ˇ2+2ˇ3;ˇ−2ˇ2+ˇ3;3ˇ2−2ˇ3;ˇ3−ˇ2 (8) donde u0 = up0;Lp0;uq0;Lq0 T y u0 = up0;Lp0;uq0;Lq0 Tson los valores de los desplazamientos ydegirosescaladosenlasseccionesextremasdelelemento.
Y,porúltimo,tambiénseasumeunavariacióncúbicaparael girosegúnelejelongitudinal:
ς
ˇ=n3 ˇς (9) dondeς = pς;Lpς,ς;qς;Lς,ςq Tsonlosvaloresdelgiroydel alabeoescaladoenlosnodosdelelemento.
2.2. Ecuacionesaproximadas
Paraelcálculodelasecuacionesdeequilibriomecánico,también sesuponequeelesfuerzoaxilesconstanteyquelosmomentos flectorestienenunavariacióndetipolinealalolargodelelemento debarraconsiderado: 1)Flexiónenelplanoς−: EI L3K 220 33
u0 + P LK 110 33 u0 +⎛
⎝
Pe−mp L K 110 33 −f K33111+K33100⎞
⎠
ς =⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
fp −mp/L fq −mq/L⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(10) 2)Flexiónenelplanoς−: EI L3K 220 33 u0 + P LK 110 33 u0 − Pe−mp L K 110 33 −f K111 33 +K33100 ς =⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
fp −mp/L fq −mq/L⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(11) 3)Torsión: EI ω L3 K 220 33 + GKT L K 110 33 ς +⎛
⎝
Pe−mp L K 110 33 −f K111 33 +K33010⎞
⎠
u0 − Pe−mp L K 110 33 −f K33111+K33010 u0 +⎛
⎝
Kp L K 110 33 + Kq−Kp L K 111 33⎞
⎠
=⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
mpς mpω/L mqς mqω/L⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
(12)dondeKp,Kqsonloscoeficientesquecuantificanelefecto Wag-nerencadaunodelosextremosdelelemento:nodoinicial(p) ynodofinal(q). 4)Extensión: EA L K 110 11
uςc = Pp Pq (13)Ydondesehahechousodeladefinicióndelassiguientes matri-ces: 30·K110 33 =
⎡
⎢
⎢
⎣
36 3 −36 3 3 4 −3 −1 −36 −3 36 −3 3 −1 −3 4⎤
⎥
⎥
⎦
; 30·K111 33 =⎡
⎢
⎢
⎣
18 3 −18 0 3 1 −3 −1/2 −18 −3 18 0 0 −1/2 0 3⎤
⎥
⎥
⎦
30·K100 33 =⎡
⎢
⎢
⎣
−15 −3 −15 3 3 0 −3 1/2 15 3 15 −3 −3 −1/2 3 0⎤
⎥
⎥
⎦
; K220 33 =⎡
⎢
⎢
⎣
12 6 −12 6 6 4 −6 2 −12 −6 12 −6 6 2 −6 4⎤
⎥
⎥
⎦
K010 33 = K100 33 T ; K11110= 1 −1 −1 1 (14) 2.3. MatrizderigidezAcontinuación,seorganizanyseescalanelvectordegradosde libertadyelvectordefuerzasdelelemento,delamanerasiguiente:
{u} =
up;up;upς; p ς;L p ;Lp;L p ς;u q ;u q ;uqς; q ς;L q ;Lq;L q ς T F =fp;fp;Pp;mpς;mp;mp;m p ω;fq;f q ;Pq;mqς;mq;mq;m q ω T (15) Así,elconjuntodeecuacionesdeequilibriodelabarrapuede expresarsedeformamatricialcomoseindicaacontinuación:F =K· {u}
K=(KS+KG)
(16)
LamatrizKSeslapartematerialdelamatrizderigidezytiene laexpresiónexplícitasiguiente:
KS=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 0 0 0 b 0 0 −a 0 0 0 b 0 0 e 0 0 0 f 0 0 −e 0 0 0 f 0 m 0 0 0 0 0 0 −m 0 0 0 0 i 0 0 j 0 0 0 −i 0 0 j c 0 0 −b 0 0 0 d 0 0 g 0 0 −f 0 0 0 h 0 k 0 0 0 −j 0 0 n a 0 0 0 −b 0 0 SIM e 0 0 0 −f 0 m 0 0 0 0 i 0 0 −j c 0 0 g 0 k⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(17)dondeloscoeficientesdelamatrizson:
a=12EI L3 e= 12EI L3 i= 12EIω L3 + 36 30 GKT L b= 6EI L3 f = 6EI L3 j= 6EIω L3 + 3 30 GKT L c= 4EI L3 g= 4EI L3 k= 4EIω L3 + 4 30 GKT L d= 2EI L3 h= 2EI L3 n= 2EIω L3 − 1 30 GKT L m=EAL (18)
Porotrolado,lamatrizKG eslamatrizgeométrica, también denominadamatrizdetensióninicial,ysedefinepor:
KG=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a 0 0 e b 0 f −a 0 0 −k b 0 g a 0 −e 0 b −f 0 −a 0 k 0 b −g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m −i i n −e e 0 −m s −s q c 0 h −b 0 0 i d 0 j c −h 0 −b 0 −i 0 d −j z −f f 0 −n t −t p a 0 0 k −b 0 −g a 0 −k 0 −b g SIM 0 0 0 0 0 m −s s −q c 0 w c −w r⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(19)siendosustérminos: a= 3630PL b= 3 30 P L c=304 PL d=−301 PL e=3036L
Pe−mp −303f e= 36 30L Pe−mp −303f f= 3 30L Pe−mp f= 3 30L Pe−mp g=303LPe−mp −303f g= 3 30L Pe−mp −303 f h= 4 30L Pe−mp − 1 30f h = 4 30L Pe−mp − 1 30f i=−303LPe−mp +306f i= 3 30L Pe−mp +306 f j=− 1 30L Pe−mp j= 1 30L Pe−mp k=3036LPe−mp −3330f k= 36 30L Pe−mp −3330f w= 4 30L Pe−mp − 3 30f w = 4 30L Pe−mp − 3 30f s=303LPe−mp +303 f s= 3 30L Pe−mp +303 f t=− 1 30L Pe−mp + 1 30f t =− 1 30L Pe−mp + 1 30f m= 36 30LK p + 18 30L Kq−Kp z= 4 30LK p + 1 30L Kq−Kp n= 303LKp+303LKq−Kp p=−301LKp−601LKq−Kp q= 3 30LK p r= 4 30LK p + 3 30L Kq−Kp (20) 2.4. FuerzasdeempotramientoEncasodetenercargasaplicadasdentrodelelementobarra, debecalcularsesuefectoequivalenteenlosnudos.Ylaecuación delcomportamientomecánicodelelementobarrasemodifica lige-ramente[15,25,30]:
F =K· {u} +
Femp (21) siendoFempelvectordefuerzasdeempotramientodelelemento.Portanto,estevectordefuerzasdeempotramientosedebe cal-cularsobrelabasedesuexpresiónenelPTV:
(Pp;Pq)=−
1 o qςn1 ˇ·L·dˇ fp,mp/L;fq,mq/L =− 1 o qn3 ˇ·L·dˇ fp,mp/L;f q ,mq/L =− 1 o qn3 ˇ·L·dˇ (22)Dehecho,siseparticularizaparaelcasomáshabitualdecarga distribuidauniforme,seobtiene:
(Pp;Pq)=
−qςL 2 ;− qςL 2 fp,mp/L;fq,m q /L = −q2L;−q12L;−q2L;qL 12 fp,mp/L;fq,mq/L =−qL 2 ;− qL 12;− qL 2 ; qL 12 (23)2.5. Ensamblajedeloselementos
Unavezdeterminadoelcomportamientomecánicodecada ele-mentobarra,dadoporlaecuación(21),esnecesarioimponerlas condicionesdeequilibrioydecompatibilidadde desplazamien-tosenlosnodos.Esteprocesoesconocidoenlaformulacióndel métododirectoderigidezcomolaetapadeensamblajedelamatriz derigidezdelaestructuraydelvectordefuerzas[16,20,22].
Parallevaracaboesteproceso,unrequisitoprevioesexpresar laecuación(21)enunsistemadereferenciaglobal (x,y,z),común paratodosloselementosbarraqueformanlaestructuraobjetode análisis.Esdecir,serequiereuncambiodebase3Ddelsistema deejeslocalalsistemaglobal,paraobtenerparacadaelementola matrizderigidezenlascoordenadasglobales:
(K)g=TT·K·T (24)
siendoTlacorrespondientematrizdetransformaciónde coorde-nadasdelocalesaglobales.ElvectorFeqv eselvectordefuerzas
equivalentesenlosnodos,queyasehaexpresadoenelsistema globalsegúnlafórmulasiguiente:
Feqv=−TT·Femp (25) Acontinuación,sellevaacabolafasedeensamblajedelamatriz derigidezydelvectordefuerzas,ysellegaaunaexpresiónmatricial querepresentalasecuacionesdeequilibrioentodoslosnodosde laestructura,estoes:
Fest +
Feqv =Kest· {uest} (26) dondeFesteselvectordefuerzasaplicadasenlosnodos,Feqvesel
vectordefuerzasequivalentes,Kestesloqueseconocecomomatriz derigidezdelaestructuray{uest}eselvectordedesplazamientos enlosnodosdelaestructura.
2.6. Pandeo/Inestabilidad
Porúltimo,enestetrabajointeresaestimarlosvaloresdelas cargas críticas quepueden originar fenómenos deinestabilidad estructuralasociadosadeformacionesdeflexióny/otorsióncon respectoalcentrodeesfuerzoscortantes[14,16,28,31].
Parallevaracaboestecálculo,lomásinmediatoes,enprimer lugar,imponerenelsistemadeecuaciones(26)lascondicionesde contornoendesplazamientos,girosylaposibilidaddealabeode losnodosdelaestructuraquesepretendeanalizar.
Por tanto,los valorescríticosde cargasonaquellospara los cualeslarigidezdelaestructurasereducealvalornulo,estoes:
Kest∗ ()=0⇒cri (27) siendoelfactordecargaproporcional,uncoeficienteporelcual semultiplicaatodaslascargasquesolicitanlaestructura,yKest∗ () eslamatrizderigidezdelaestructuratraslaimposicióndelas condicionesdecontornoenlosdesplazamientos.h
b
e
e
1e
1Figura2. PerfillaminadodelaserieIPE.
P
P
Figura3.Vigabiapoyada,sometidaacompresión.
Tabla1
Pandeoporflexiónenelplanodébil(planoς−) P1=
L 2 E·I=782413.0 n P1(N) 2 788980,0 4 782814,0 8 782439,0 16 782415,0 20 782414,0 3. ResultadosydiscusiónAcontinuación,sepresentanvariosejemplosdeaplicaciónde lametodologíaexpuestaenelapartadoanterior.
Paratodosloscálculos,losdatosson:longitud (L=4m), sec-ción de tipo doble-T (h=300mm,b=150mm,e1=10.7mm, e=7.1mm), que corresponde al perfil comercial IPE300 (véaselafig.2),yelacerocomomaterial
E=2.1·1011Pa,=0.3, y=275MPa.
3.1. Pandeocondeformacionesdeflexióny/otorsión
Elejemploconsisteenunavigabiapoyada,sometidaensus sec-cionesextremasaunacargadecompresióncentradadevalorP (fig.3).Losapoyossonambosdetipohorquilla,esdecir,talesquese impideelgirolongitudinal,mientrasquesepermiteellibrealabeo delasección.
Latabla1indicaelprimervalorcríticodelacarga.Paraeste tipodeperfil,unaseccióncondoblesimetría,elvalorteóricoP1se correspondeconlaconocidafórmuladeEuleryequivaleal fenó-menodeinestabilidadporflexiónenelplanodébildelperfil.En dichatabla,tambiénseindicanlosresultadosobtenidosconla for-mulacióndeestetrabajo(columnadeladerecha),donde (n) indica elnúmerodeelementosquesehanconsiderado.
Latabla 2 indica el valor crítico de la carga P2,asociado al fenómenode inestabilidad por torsiónalrededor delcentro de esfuerzoscortantesdelperfil.Elvalorteóricoseindicaenlatablay
Tabla2
Pandeoportorsión P2=
GKT+ L 2 E·Iω A I+I =1.95319·106 n P2(N) 2 1.96056·106 4 1.95369·106 8 1.95322·106 16 1.95319·106 20 1.95319·106 Tabla3Pandeoporflexiónenelplanofuerte(planoς−)
P6=
L 2 E·I=1.08294·107 n P6(N) 2 1.02045·107 4 1.00772·107 8 1.08298·107 16 1.08294·107 20 1.08294·107M
M
Figura4.Vigabiapoyada.Momentospuntualesenlosextremos.
q
Figura5. Vigabiapoyada.Cargadistribuidauniforme.
Tabla4
Vigabiapoyada.Momentospuntualesenlosextremos
Mcri= L
EI GKT+ L 2 EIω Mcri=159570.0 n Mcri(N·m) 2 160470.0 4 159631.0 8 159574.0 16 159570.0Pandeoporflexiónenelplanodébil(planoς−)ytorsión).
coincideconelqueseobtieneenestetrabajoparaalmenosdieciséis elementosbarra.
Porúltimo,porsuinterésteórico-práctico,seincluyeelvalorde lacargacríticaP6asociadoalfenómenodeinestabilidadporflexión enelplanofuertedelperfil(tabla3).Secompruebaque,puestoque elproblemadeinestabilidadesnolineal,siseempleaunnúmero suficientedeelementosdetipobarraseobtieneconprecisiónla soluciónexacta,segúnlaexpresiónteóricadeEuler.
3.2. Pandeolateralovuelco
Estesegundo ejemplocorresponde al problema deuna viga biapoyada solicitadaporcargas deflexión enel plano vertical, momentos concentrados en lassecciones extremas de la barra (fig.4)ocargadistribuidauniforme(fig.5)alolargodetodoel elemento.Denuevo,seconsideraqueambosapoyossondetipo horquilla.
Latabla4indicaelvalordelmomentocríticodevuelcotanto teóricocomoestimadoconlametodologíadeestetrabajoparael casodelafigura4.Secompruebaquelosresultadostienen preci-siónsuficiente,desdeelpuntodevistapráctico,inclusoempleando unnúmerobajodeelementosporbarra,porejemplo4.Yque,sise
Tabla5
Vigabiapoyada.Cargadistribuidauniforme
n qcri(N/m) 2 109.298,0 4 94.735,8 8 91.330,6 16 90.528,7 20 90.433,8
Pandeoporflexiónenelplanodébil(planoς−)ytorsión)
M M
P P
Figura6.Vigabiapoyada.Cargas(M,P).
P
P
q
Figura7.Vigabiapoyada.Cargas(q,P).
Tabla6
Vigabiapoyada.Cargas(M,P)detracción
P=+1.0·105N n Mcri(N·m) 2 174.635,0 4 173.805,0 8 173.748,0 16 173.745,0 20 173.744,0 Tabla7
Vigabiapoyada.Cargas(M,P)decompresión
P=−1.0·105N n Mcri(N·m) 2 146.073,0 4 145.221,0 8 145.163,0 16 145.159,0 20 145.159,0
aumentaelnúmero,seobtienelasoluciónteóricaexacta, concre-tamentesiseemplean16elementosbarra.
Acontinuación,semuestranlosresultadosparaelcasodecarga distribuida(figura5,v.tabla5).Endichatabla,seincluyenlos valo-rescríticosdelacargadistribuidaqueoriginanelfenómenodela inestabilidad,condeformacionesdeflexiónenelplanodébildel perfiljuntocontorsiónalrededordelcentrodeesfuerzoscortantes. 3.3. Pandeocombinado/Pandeo3D
Estecasoreproduceelproblemaanteriorconunacarga adicio-nal(P)detracciónodecompresión.Seconsideran,denuevo,los casosdemomentospuntuales(fig.6)ycargadistribuida(fig.7).
Enlastablas6y7,semuestranlosresultadosestimados del momentocríticodevuelcoparaloscasosdemomentos concen-tradosenlosextremosdelabarraycargaadicionaldetracción (tabla6)odecompresión(tabla7).Sicomparamosestosvalores conlosobtenidosenelejemploanterior(v.tabla4),secomprueba queunacargaadicionaldecompresiónayudaaqueelfenómenode pandeoocurraantes,esdecir,aunniveldecargamenoryque,en cambio,unaxildetracciónrigidizalabarrayaumentaelvalordel
Tabla8
Vigabiapoyada.Cargas(q,P)detracción
P=+1.0·105N n qcri(N/m) 2 118.599,0 4 102.948,0 8 99.254,5 16 98.385,9 20 98.283,2 Tabla9
Vigabiapoyada.Cargas(q,P)decompresión
P=−1.0·105N n qcri(N/m) 2 99.790,2 4 86.355,1 8 83.244,5 16 82.511,3 20 82.424,6 P P P P P P
Figura8. Pórtico3D.Cargaspuntuales.
momentoflectornecesarioparaquepuedaoriginarseelfenómeno deinestabilidad.
Como es lógico, la conclusiónes exactamente la misma en el caso de la carga distribuida uniforme. Para ello, se pueden comparar los resultados de las tablas 8 y 9 (tracción y com-presión,respectivamente)conelcasosinesfuerzoaxiladicional (v.tabla5).
3.4. Inestabilidaddeunaestructuraespacial
Como últimoejemplo,se haelegido resolver una estructura espacialdebarrasdetipopórtico3D.Elsistemadebarrasquese quiereanalizarseilustraenlasfiguras8y9.Soncasosde car-gaspuntualesydecargadistribuidauniforme,respectivamente.Se suponequetodaslasbarrastienenlamismalongitud(L),quelas basesdelospilaresestánperfectamenteempotradasyquetodos losnudossonrígidos.TodaslasbarrassondeperfildetipoIPE300 ysudisposiciónespacialeslaqueseindica(v.figuras8y9).
q q q q q q q
Figura9. Pórtico3D.Cargadistribuidauniforme.
Tabla10
Pórtico3D.Cargaspuntuales.Cargacríticadepandeo
n Pcri(N) 2 379.356,0 4 417.295,0 8 511.979,0 16 550.498,0 20 555.725,0 Tabla11
Pórtico3D.Cargadistribuidauniforme.Cargacríticadepandeo
n qcri(N/m) 2 30.626,4 4 42.512,4 8 47.688,4 16 49.733,9 20 50.052,0
Paraelcasodelpórticoconcargaspuntuales(fig.8),los resul-tadosdelacargacríticadepandeoestimada semuestranenla tabla10.Secompruebaque,debidoalanolinealidaddelproblema, esnecesarioemplearunnúmeroelevadodeelementosporbarra delaestructura.
Enesteúltimoejemploycasodecarga(v.tabla11),seconfirma que,desdeelpuntodevistaprácticodelanálisisdeestructuras reales,losresultadosseobtienenconprecisiónnuméricasuficiente ydelladodelaseguridadutilizandodiscretizacionesdelconjunto decuatroelementosporbarradelaestructuraen3D.
4. Conclusiones
Enestetrabajo,seresumelametodologíadeanálisisnolinealde estructurasespacialesdebarrasquepermiteresolverproblemas deinestabilidadcondeformacionesdeflexióny/otorsión,asícomo calcularelmomentocríticodevuelcoparacualquiercasodecarga
ycondicionesdesustentación,ycombinacionesdelassituaciones anteriores,queesloqueduranteeldesarrollodeltrabajoseha decididodenominarpandeocombinadoopandeo3D.
Asimismo,sedalaposibilidaddeaplicarestametodologíaal estudio de las inestabilidades de sistemas espacialesde barras quesedeformansegúnelmodelogeneralde tracción/compresión-flexión-torsión.Dichaestructura3Dserásusceptibledepandear porlacombinacióndedeformacionesdeflexiónsegúnambos pla-nosydetorsiónrespectodelcentrodeesfuerzoscortantesdela sección.
Seobservalaimportanciadeincluirefectoscomolas deforma-cionesacortanteytorsiónyelalabeoenlaformulacióndelabarra, sobretodoesteúltimo,paraelanálisisdelpandeolateralenperfiles conbajarigideztorsional,comoeselcasodelosperfilesabiertos depareddelgada.Enmuchasocasiones,los momentosocargas críticashallados alconsiderar el fenómenodelalabeo sonmuy inferioresalosobtenidosenaquelloscasosenquenoseha consi-deradodichofenómeno.Porello,esimportanteutilizarunmodelo debarraquetengaencuentaesteefectoparaelanálisisdelpandeo lateral.
Estetrabajoposibilitalarealizacióndenuevascurvasde pan-deoparaunamayorcantidaddeperfiles,condicionesdeapoyoy tiposdecarga.Puedeserdeayudaparaelproyectistalarealización deestascurvas,queproporcionanelagotamientoporlaaparición deinestabilidadyque,porotrosmedios,analíticoso experimenta-les,seríaimposibleomuycostosoobtener.Ademásdelascurvas depandeolateral,tambiénsepuedenrealizaranálisisdepandeo porflexión,torsión,flexotorsión,etc.Elúnicoefectoquenopodría analizarseporestemétodoseríalaabolladuradepartesdel per-fil,aunqueesteestudiotambiénpodríarealizarse medianteuna discretizacióndelperfilpormediodeelementosdetipolámina.
Portanto,losproblemasqueestetrabajopermitenresolvervan másalládeloscasosparticularesrecogidosenlanormativavigente, quesoloconsideraelestudiodeelementosestructuralesaislados.
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