Podemos concluir que f (x) será divisible por (x c) (x c 1 ) (x c m 1 ) Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces distintas.

Teorema del Resto

El resto obtenido de la división de p(x)∈ ℂ(𝑥) y b ∈ ℂ, por (x – b), es igual al valor numérico del polinomio f (x) para x = b, e decir

p (x) = (x – b)q(x) + p(b)

Evaluando en x = c.

Raíces de polinomios

Si c es una raíz de f (x), entonces p (x) = (x – c) f ₁(x)

Donde f ₁(x) es un poliniomio de grado n – 1.

Sea p(x) un polinomio con coeficientes reales o complejos. Definimos una ecuación algebraica como

p(x) = 0

Cualquier número que satisface la ecuación se llama raíz.

De acuerdo con el grado del polinomio la ecuación se llama: lineal, cuadrática, cúbica, etc.

Un polinomio de grado n no puede tener más de n raíces distintas.

Si c₁ es otra raíz de f (x), entonces (x – c) f ₁(c₁) = 0

De donde f ₁(c₁) = 0 y f ₁(c₁) es divisible por (x – c₁). f ₁(x) = (x – c₁) f ₂(x)

Donde f ₂(x) es un polinomio de grado n – 2. Podemos concluir que f (x) será divisible por

Sea 𝕂 uno delos conjuntos: ℚ, ℝ o ℂ . Un polinomio es factorizable o reducible en 𝕂(𝑥) si y sólo si se puede expresar a lo menos como un producto de dos polinomios de grado mayor o igual a 1 en 𝕂 𝑥 .

Ejemplo

El polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥4 − 3𝑥3 + 3𝑥2 − 3𝑥 + 2 es un polinomio factorizable en ℂ(𝑥) , pues

𝑝 𝑥 = 𝑞(𝑥)(𝑥 − 𝑖) donde 𝑞(𝑥) ∈ ℂ(𝑥) y

Ejemplo

Si 𝑝 𝑥 = 𝑥2 + 1 y 𝑝 𝑥 no es factorizable en

ℝ(𝑥). Sin embargo si consideramos 𝑝 𝑥 ∈ ℂ, es factorizable pues 𝑝 𝑥 = 𝑥 + 𝑖 (𝑥 − 𝑖)

Teorema Fundamental del Álgebra.

Si

𝑝(𝑥) ∈ ℂ(𝑥)

es un polinomio no

constante

(𝑔𝑟 𝑝(𝑥) ≥ 1)

, entonces

𝑝(𝑥)

Observación.

Si 𝑝(𝑥) ∈ ℂ(𝑥) y 𝑏₁ es una raíz compleja de 𝑝(𝑥), entonces 𝑝 𝑥 = 𝑞₁ 𝑥 𝑥 − 𝑏₁ donde 𝑞₁(𝑥) ∈ ℂ(𝑥).

Siguiendo este procedimiento se llega a factorizar

𝑝(𝑥) completamente en factores de la forma

(𝑥 − 𝑏), obteniéndose de este modo todas las raíces de 𝑝 𝑥 .

Ahora si 𝑏₂ es raíz de 𝑞₁(𝑥) resulta que

𝑞₁ 𝑥 = 𝑞₂ 𝑥 𝑥 − 𝑏₂ , luego:

Teorema (De la factorización).

Si

𝑝 𝑥 ∈ ℂ 𝑥 − 0

y

𝑔𝑟 𝑝 𝑥 = 𝑛 > 0

,

entonces

𝑝(𝑥)

es factorizable en un

producto de

𝑛

factores de la forma

(x − b)

.

Es decir:

Ejemplo Consideremos el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 − 𝑥2 + 𝑥 − 2; con 𝑝 𝑖 = 0 , es decir, 𝑝 𝑥 = 𝑥 − 𝑖 𝑞(𝑥) donde: 𝑞 𝑥 = 𝑥3 + 1 + 𝑖 𝑥2 + 𝑖 − 2 𝑥 − 2𝑖 = 0 Solución.

Si dividimos 𝑞(𝑥) por 𝑥 + 𝑖 resulta:

𝑞 𝑥 = (𝑥 + 𝑖)𝑞₁(𝑥)

Donde 𝑞₁ 𝑥 = 𝑥2 + 𝑥 − 2

Y resolviendo 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0, se tiene que 1 y −2

son raíces de 𝑞₁ 𝑥 .

Criterio de las raíces complejas de un polinomio real. Si 𝑝(𝑥) ∈ ℝ(𝑥) y 𝑏 es una raíz compleja de 𝑝(𝑥), entonces el complejo conjugado de 𝑏 es también una raíz de 𝑝(𝑥).

Ejemplo

Para el polinomio 𝑝 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥3 − 2𝑥2 − 2𝑥 − 3,

𝑥 = 𝑖 es una raíz, luego 𝑥 = −𝑖 también es una raíz, pues 𝑝 −𝑖 = 0.

Criterio de las raíces irracionales de un polinomio con coeficientes racionales.

Si 𝑝(𝑥) ∈ ℚ(𝑥) y 𝑚 + 𝑛 𝑘 es una raíz de 𝑝 𝑥

donde 𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℚ, 𝑘 ∈ (ℝ − ℚ) , entonces

𝑚 − 𝑛 𝑘 , también una raíz de 𝑝(𝑥). Ejemplo

Para el polinomio 𝑝 𝑥 = 2𝑥4 − 5𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 1, 𝑥 = 5+ 17

4 es una raíz de 𝑝(𝑥), luego 𝑥 =

5− 17 4

0 1 2 2 2 2 1 1x a x a x a x a a x a P n n n n n n            ... Sea

Si P admite raíces racionales, éstas raíces serán de la forma

q p

donde p es divisor de a₀ y q es divisor de a_n Criterio de las raíces racionales de un polinomio con coeficientes enteros.

Si P = x3 _{- 2x}2 _{– x + 2} a₀ = 2 y a_n = 1, entonces: p: divisores de 2 son  2 ;  1 q: divisores de 1 son  1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 _{ }           q p

Los valores p/q hallados pueden ser posibles raíces.

Si las raíces no son racionales; son irracionales o complejas, en ese caso no estarán entre los valores hallados de la forma p/q

Hallar las raíces de Solución: 1 2 2 3 _ 2 _{ }  _{x x x} P Identificamos a_n = 2 y a₀ = -1. Los divisores de a₀ son p =  1

Los divisores de a_n son p =  1;  2 Las posibles raíces son de la forma:

2 1 2 1 1 1      _{; ; ;} q p Ejemplo

-1 1 2 2 1 ₃ 3 1 2 2 -1 2  0

1 No es raíz del polinomio -1 -1 2 -2 -3 ₅ -5 3 -6 2 -1 2

 0 -1 No es raíz del polinomio -1 2 1 0 ₂ 1 0 0 2 -1 2

 1/2 ES raíz del polinomio

2 1

2 -1 -1 2 0 2 2 1   0

No es raíz del polinomio

2 1



Hemos encontrado que 1/2 es raíz del polinomio, entonces es posible escribir

1 2 2 3 _ 2 _{ }  x x x P _como P ( x )( 2x 2) 2 1 2 _  

Buscamos ahora raíces para el polinomio múltiplo de menor grado.

2 1 2 5

De (2x2 _{+ 2) = 0 despejamos x}    2 0 2x 2 2_x 2  2 x   1   i Entonces: 1 2 2 3 _ 2 _{ }  x x x P  ( x  )( x i )( x  i ) 2 1 2

Las raíces son ₁ = 1/2 ; ₂ = i ; ₃ = -i

Observe que se cumple que: si P tiene raíces racionales, éstas son de la forma p/q; en este caso existe una raíz racional y dos raíces complejas

Para encontrar las raíces de 3 2 11 3 2 1 3 _ 2 _{ }  _{x x x} P

Multiplicamos previamente todo el polinomio por 2, para eliminar los coeficientes con forma de fracción y hallamos un polinomio equivalente.

6 11 6 2 3 _{  }  x x x P

Que este polinomio es equivalente al polinomio dado, significa que sus raíces son las mismas Ejemplo

p =  1;  2;  3;  6 y q =  1, por lo tanto las posibles raíces son:

6 3 2 1      ; ; ; q p -6 1 1 -5 ₆ 6 -5 0 1 -6 11 1 entonces 6 11 6 2 3 _{  }  x x x P ) x x )( x (  1 2  5 2  6 

Buscamos ahora las raíces de ( x 2  5x2  6)

Aplicando División Sintética

Aplicando la fórmula de la ecuación de segundo grado encontramos las raíces de x 2  5x 2  6  0

         2 1 5 1 2 6 1 4 5 5 ( )2 x2 = 3 x₃ = 2

Las raíces de son

x₁ = 1; x₂ = 2; x₃ = 3 6 11 6 2 3 _{  }  _{x x x} P

Comprobamos que las raíces obtenidas son racionales (enteros) y están incluidas entre las posibles raíces de la forma p/q .

Pero recordemos que este es un polinomio equivalente del que realmente nos interesa, y que hemos comenzado multiplicando por 2 para trabajar “con mas comodidad”; de manera que lo recomponemos dividiendo todo el polinomio factoreado por 2

)

x

)(

x

)(

x

(

P





1



2



3

Regla de los signos de Descartes.

Sea 𝑝(𝑥) ∈ ℝ(𝑥) y 𝑝(0) ≠ 0. Si escribimos

𝑝 𝑥 = 𝑎_𝑛𝑥𝑛 + 𝑎_𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎₁𝑥+𝑎₀ Y observamos los signos sucesivos de los

𝑎_𝑖 ≠ 0, 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … 1,0, entonces:

• El número de raíces positivas de 𝑝(𝑥) es igual al número de variaciones de signos en coeficientes sucesivos de 𝑝 𝑥 , o bien este número de variaciones disminuído en un entero par.

• El número de raíces negativas de 𝑝(𝑥) es igual al número de variaciones de signos en coeficientes sucesivos de 𝑝 −𝑥 , o bien este número de variaciones disminuído en un entero par.

Ejemplo

Indica número de raíces positivas y negativas del polinomio

𝑝 𝑥 = 3𝑥6 + 4𝑥5 + 3𝑥3 − 𝑥 − 3

Solución:

Como 𝑝(0) ≠ 0 y 𝑝(𝑥) ∈ ℝ(𝑥), podemos utilizar la regla de Descartes para ver el número de raíces positivas. La sucesión de coeficientes distintos de cero viene dado en la siguiente tabla.

En el polinomio hay un solo cambio. Por lo tanto el número de raíces positivas solo puede ser una.

Ahora probaremos la cantidad de cambios de signo de 𝑝(−𝑥): 𝑝 −𝑥 = 3 −𝑥 6 + 4 𝑥 5 + 3 𝑥 3 − −𝑥 − 3

𝑝 −𝑥 = 3𝑥6 − 4𝑥5 − 3𝑥3 + 𝑥 − 3

Así que P(-x) tiene tres variaciones de signo por lo cual tiene máximo tres raíces negativas o una raíz negativa (ya que el máximo de raíces “3” es disminuido en un número par 3 -2= 1).

La siguiente tabla resume el tipo de raíces que podemos encontrar:

Raíces Múltiples y Regla de la Derivada.

Definición. Sea 𝑝(𝑥) un polinomio real. 𝑏 es raíz de multiplicidad 𝑚 de 𝑝 𝑥 ⇔ 𝑥 − 𝑏 𝑚 es divisor de 𝑝(𝑥) y 𝑥 − 𝑏 𝑘 no es divisor de 𝑝 𝑥 , ∀𝑘 > 𝑚.

Ejemplo

En un polinomio de grado 8 (que tiene n raíces) pueden haber, por ejemplo 2 raíces dobles, una triple y una simple, en ese caso será

) x ( ) x ( ) x ( ) x ( a P  _n  ₁ 2  ₂ 2  ₃ 3  ₄ ₁ es raíz doble ₃ es raíz triple ₂ es raíz doble ₄ es raíz simple

Teorema. (Regla de la derivada) Si 𝑝(𝑥) ∈ ℝ(𝑥) y

𝑏 ∈ ℝ, entonces: 𝑏 es raíz de multiplicidad 𝑚 de

𝑝 𝑥 ⇔ 𝑝 𝑏 = 𝑝′ 𝑏 = ⋯ = 𝑝 𝑚−1 𝑏 = 0 y

𝑝 𝑚 (𝑏) ≠ 0. Ejemplo

Sea 𝑝 𝑥 = 𝑥5 − 5𝑥4 + 10𝑥3 − 10𝑥2 + 5𝑥 − 1. Encontrar las raíces racionales de 𝑝 𝑥 y la multiplicidad de cada una.

Solución. Como 𝑝 𝑞 ∈ ℚ, 𝑝 𝑞 es raíz de 𝑝 𝑥 = 0 ⇒ 𝑝 factor de 1 𝑞 factor de 1 Luego las posibles raíces son 𝑝

Evaluando en el polinomio posibles valores de 𝑝

𝑞, tenemos que

1 es una raíz, luego 𝑝 1 = 0.

Utilizando la regla de la derivada:

𝑝′ 𝑥 = 5𝑥4 − 20𝑥3 + 30𝑥2 − 20𝑥 + 5 ⇒ 𝑝′ 1 = 0 𝑝′′ 𝑥 = 20𝑥3 − 60𝑥2 + 60𝑥 − 20 ⇒ 𝑝′′ 1 = 0

𝑝′′′ 𝑥 = 60𝑥2 − 120𝑥 + 60 ⇒ 𝑝′′′ 1 = 0 𝑝(4) 𝑥 = 120𝑥 − 120 ⇒

Así 1 raíz de multiplicidad 5

𝑝(4) 1 = 0 𝑝(5) 𝑥 = 120 ≠ 0