UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE COMPUTACI ´ON MATEM ´ATICAS DISCRETAS I (6106)
Pr´actica: L´ogica de Predicados
Nota Preliminar:Para la realizaci´on de esta pr´actica se requieren los siguientes conceptos: Proposiciones abiertas, Universo del discurso, cuantificadores universal y existencial, valores de verdad de una proposici´on cuantificada, equivalencia e implicaci´on l´ogica de proposicio-nes abiertas y cuantificadas, proposicioproposicio-nes contrapositiva, rec´ıproca e inversa, negaci´on de proposiciones cuantificadas, reglas de ejemplificaci´on y generalizaci´on universal y existen-cial y demostraciones con cuantificadores.
Nota Importante: NO OLVIDEN JUSTIFICAR SUS RESPUESTAS. 1. Sea U=Z y considere las siguientes proposiciones abiertas:
P(x) :x≤3; Q(x) :x+ 1 es impar; R(x) :x >0.
Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
P(1). Q(1). ¬P(3). Q(6). P(7)∨P(7). P(3)∧P(4). ¬[P(−4)∨Q(3)] . ¬P(−4)∧ ¬Q(−3). P(3)∧[Q(3)∨R(3)]. ¬P(3)∧[Q(3)∨R(3)] . P(0)→[¬Q(−1)↔R(1)]. P(−1)↔Q(−2)]↔R(−3).
2. Sea P(x, y) :x+y≤6. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
P(2,1); P(8,4); P(0,6)
3. Sea U={ estudiantes de tu clase} y considere las siguientes proposiciones abiertas:
M(x, y) :x ha enviado ay un correo electr´onico.
T(x, y) :x ha llamado por tel´efono a y.
Traduzca las siguientes sentencias a lenguaje formal:
Hay un estudiante de tu clase que ha enviado a cada uno de los dem´as estudiantes un correo electr´onico.
Hay dos estudiantes en tu clase que se han llamado por tel´efono mutuamente. Todos los estudiantes de tu clase han enviado un correo electr´onico a Carlos. Hay al menos dos estudiantes en tu clase tales que uno ha enviado al otro un correo electr´onico y el segundo ha llamado por tel´efono al primero.
4. SeanUx ={ estudiantes de la Facultad }y Uy ={p´aginas web }. SeaW(x, y) defi-nido comoW(x, y) :x ha visitado la p´agina weby, donde x∈Ux yy∈Uy. Traduzca las siguientes sentencias a lenguaje formal:
W(Marta, www.ucv.ve). ∃x:W(x,www.ciens.ucv.ve). ∃y: (Jos´e P´erez,y).
∃y: (W (Carlos ´Alvarez, y) ∧W (David Garcia, y)).
5. Sea U={1,2,3,4,5,6} y considere la siguiente proposici´on abierta:
P(x, y) : x es m´ultiplo dey. Determine el valor de verdad de las siguientes proposi-ciones:
∃x∀y:P(x, y); ∀x∃y:P(x, y)
6. SeanU=Z. SeaQ(x, y) definido comoQ(x, y) :x+y=x−y. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
Q(2,0).
∃x∀y:Q(x, y).
∀x∃y:Q(x, y). ∃y∀x:Q(x, y).
7. Sea U=N. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: ∀m∃n:m < n. ∀m∀n:m < n. ∀n∃m:m < n. ∀n∀m:m < n. ∃n∀m:m < n. ∃m∃n:m < n. ∃m∀n:m < n. ∃n∃m:m < n. 8. Para cada una de las siguientes proposiciones:a)Simbolice.b)Establezca la negaci´on
de cada una de las simbolizaciones obtenidas.c) Traduzca las negaciones a lenguaje natural.
Para todo enteronque no sea exactamente divisible entre 2, se tiene que dicho entero es impar.
Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar.
Sik, mynson enteros tales que k−m ym−nson impares, entonces k−nes par.
Si x es un n´umero real tal que x2 >16, entoncesx <−4∨x >4. Para todo n´umero real x, si|x−3|<7, entonces −4< x <10.
9. Sea U = R. Para cada uno de los siguientes casos, determine si la expresi´on de la derecha es la negaci´on de la expresi´on de la izquierda
∀x:x≥0 ∃x:x <0. ∃x:x+ 1>4 ∀x:x+ 1>4. ∀x∀y∀z:x+y=z ∃x∃y∃z:x+y6=z. ∃y∀x:xy≤2 ∀y∃x:xy≤2. ∀x:x+ 1≤3→x≤2 ∃x:x <2→x+ 1≥3. ∀x∃y:P(x)∧S(y) ∃x:∀y :¬P(x)∨S(y). ∀x∀y:x2+y <5 ∃x:∃y :x2+y≥5.
10. Simbolice los siguientes enunciados:
Todo el que ama a los hombres, ama tambi´en a los ni˜nos. Por lo tanto, el que no ama a los ni˜nos tampoco ama a los hombres.
Ning´un feo despierta pasiones; todos los atletas despiertan pasiones. Por lo tanto, ning´un atleta es feo.
Cualquier ejecutivo acaba cansado; nadie que acabe cansado es feliz. Por lo tanto, ning´un ejecutivo es feliz.
Todo sujeto sensible admira la pintura; Juan es un sujeto sensible. Por lo tanto, Juan admira la pintura
Todos los banqueros amasan su fortuna siendo generosos. Algunos mendigos no es cierto que hayan amasado su fortuna siendo generosos. Por lo tanto, ning´un mendigo es banquero.
Todas las selvas tropicales tienen color esmeralda. Nada que sea esmeralda est´a reseco. Por consiguiente, ninguna selva tropical est´a reseca.
Todos los cerdos tienen alas; algunos cerezos no tienen alas. Por consiguiente, hay cerezos que no son cerdos.
Ning´un enamorado suspira. Todos los deprimidos suspiran. En consecuencia, nadie que est´e deprimido est´a enamorado.
Ning´un individuo que siga estrictamente las leyes de la l´ogica tiene coraz´on. Todos los extraterrestres siguen estrictamente las leyes de la l´ogica. Por tanto, los extraterrestres carecen de coraz´on.
Quien ama apasionadamente acaba siendo desgraciado; quienes no pueden ocul-tar su pasi´on mueren prematuramente. Por lo tanto, si todos aquellos que acaban siendo desgraciados no pueden ocultar su pasi´on, entonces, todos aquellos que amen de forman apasionada mueren prematuramente.
Todo n´umero natural n puede escribirse ya sea en la forma 2k ´o en la forma 2k+ 1 para alg´un natural k.
Conjetura de Goldbach1: Todo n´umero par mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos n´umeros primos.
Para cadax ey si x es menor quey entonces no ocurre que y sea mayor que x. Definici´on de L´ımite: Sea f una funci´on real f :D ⊆ R → R. Decimos que el l´ımite de la funci´onf(x) esLcuando x tiende ap, denotado por l´ımx→pf(x) =L, conx ∈D y L ∈ R, si y solo si, para cada > 0 existe un δ > 0 tal que si se satisface que 0<|x−p|< δ se tiene que |f(x)−L|< .
Para cualesquiera x e y n´umeros reales positivos, si el producto entre ellos en mayor que 25 entonces alguno de ellos es mayor que 5.
Seaf :D → R con D y R subconjunto de los n´umeros reales. D se denomina Dominio yR se denomina Rango.
• La funci´onf es inyectiva, cuando no existe un mismo elemento en el Rango que tenga asociados elementos distintos en el Dominio.
• La funci´onf es sobreyectiva, cuando todo elemento del Rango es imagen de al menos un elemento del dominio.
11. Demuestre las siguientes equivalencias l´ogicas: ∀x:P(x)≡ ¬∃x:¬P(x). ∃x:P(x)≡ ¬∀x:¬P(x). ∀x: [P(x)∧Q(x)]≡ ∀x:P(x)∧ ∀x:Q(x). ∃x: [P(x)∨Q(x)]≡ ∃x:P(x)∨ ∃x:Q(x). ∀x: [P(j)→Q(x)]≡P(j)→ ∀x:Q(x). ∀x: [Q(x)→P(j)]≡ ∃x:Q(x)→P(j). ∃x: [P(j)→Q(x)]≡P(j)→ ∃x:Q(x). ∃x: [Q(x)→P(j)]≡ ∀x:Q(x)→P(j). ∀x∀y:P(x, y)≡ ∀y∀x:P(x, y). ∃x∃y:P(x, y)≡ ∃y∃x:P(x, y). ∀x∀y:P(x, y)≡ ¬[∃x∃y:¬P(x, y)]. ∃x∃y:P(x, y)≡ ¬[∀x∀y:¬P(x, y)]. 12. Demuestre las siguientes implicaciones l´ogicas:
∀x:P(x)⇒ ∃x:P(x). ∀x:P(x)∨ ∀x:Q(x)⇒ ∀x: [P(x)∨Q(x)]. ∃x: [P(x)∧Q(x)]⇒ ∃x:P(x)∧ ∃x:Q(x). ∃x∀y:P(x, y)⇒ ∀y∃x:P(x, y). ∀x: [P(x)→Q(x)]⇒ ∀x:P(x)→ ∀x:Q(x). 1
Christian Goldbach (1690 - 1764): Matem´atico ruso, enunci´o la conjetura en 1742, que a´un hoy no ha sido probada o refutada, tan solo se ha establecido que es verdadera para n´umeros menores a 1018
∀x: [P(x)→Q(x)]⇒ ∀x:P(x)→ ∃x:Q(x). ∀x: [P(x)→Q(x)]⇒ ∃x:P(x)→ ∃x:Q(x).
13. Demuestre mediante un contraejemplo que la siguiente implicaci´on l´ogica no es v´alida ∀y∃x:P(x, y)⇒ ∃x∀y:P(x, y).
14. Demuestre la validez o invalidez de los siguientes argumentos: ∀x∀y: (x <−1∧y >1)→x∗y < x ∀z:z <−1→z2 >1 −4<−1 ∴−4∗(−4)2 <−4 ∀x∀y: (x−y <0↔x < y) ∀w∀z: (w <1∧w >0)→z∗w < z (2/3)−1<0∧(2/3)>0 ∴(6∗2/3)<6 ∃x: [F(x)→G(a)] ∃x:G(x)→ ∀x:H(x) F(a) ∴∃x:H(x) ∀x: [C(x)∧(P(x)∨M(x))→ ¬Q(x)] ∀x: [E(x)→Q(x)] ∴∀x: [C(x)∧P(x)→ ¬E(x)] ∃x:A(x)→ ∀y: [B(y)→C(y)] ∃x:D(x)→ ∃y:B(y) ∴∃x: [A(x)→D(x)]→ ∃y:C(y) ∀x: [P(x)∨Q(x)] ∀x: [¬P(x)∧Q(x)→R(x)] ∴∀x: [¬R(x)→P(x)] ∀x: [P(x)∨Q(x)] ∃x:¬P(x) ∀x: [¬Q(x)∨R(x)] ∀x: [S(x)→ ¬R(x)] ∴∃x:¬S(x) ∀x: [P(x)∨R(x)] ∀x: [P(x)∧S(x)] ∴∀x: [R(x)∧S(x)] ∃x: [F(x)∧S(x)]→ ∀y : [M(y)→W(y)] ∃y: [M(y)∧ ¬W(y)] ∴∀x: [F(x)→ ¬S(x)] ∀x: [A(x)→ ∀y: [Q(y)→L(x, y)]] ∀x: [A(x)→ ∀z: [I(z)→ ¬L(x, z)]] ∃x:A(x) ∴∀y: [Q(y)→ ¬I(y)]