CAPÍTULO III
EQUILIBRIO DEL SÓLIDO RÍGIDO
El equilibrio de un sólido rígido se refiere a las condiciones que debe cumplir un sólido para estar en reposo de traslación y de rotación, o bien, para moverse en sentido traslacional o rotacional con velocidad constante.
3.1 Equilibrio en dos dimensiones
En dos dimensiones, las ecuaciones se reducen a las siguientes:
0 0 0 A y x M F F
3.1.1 Equilibrio de un sólido sometido a dos fuerzas
Para que un sólido rígido sometido a dos fuerzas esté en equilibrio, necesariamente las dos fuerzas deben tener la misma recta soporte (línea de acción), módulos iguales y sentidos opuestos.
B A R2 R1 Fa Fb Fc F1 F2 F3
Figura 3.1. Sólido sometido a dos fuerzas.
Para que se cumpla que MA 0, la línea de acción de R2debe pasar por A.
Para que se cumpla que MB 0, la línea de acción de R1debe pasar por B.
Para que se cumpla Fx 0, las componentes de las dos fuerzas deben tener
3.1.2 Equilibrio de un sólido sometido a tres fuerzas.
Para que un cuerpo sometido a tres fuerzas esté en equilibrio, la condición necesaria es que éstas deben ser concurrentes a un punto o paralelas.
B A
R2 R1
Figura 3.2. Sólido sometido a dos fuerzas.
F1 F2
F3 D
Figura 3.3. Sólido sometido a más de dos fuerzas.
Además la resultante de las fuerzas también debe ser nula.
Cuando las fuerzas son paralelas también se pueden cumplir las condiciones de equilibrio cumpliendo ciertas condiciones de sentido de las fuerzas y magnitudes adecuadas para que se anulen tanto la fuerza resultante como el momento.
F1 d1 = F2 d2
la línea de acción de F1 debe
pasar también por D para que
ninguna fuerza produzca
momento respecto de este punto
0 MD
Articulación F1 F2 F3 d1 d2
Figura 3.4. Sólido sometido a más de dos fuerzas paralelas.
3.2 Equilibrio en tres dimensiones
En tres dimensiones, el equilibrio de un sólido rígido queda definido por las siguientes seis ecuaciones:
0 0 0
Fx Fy Fz
Mx 0
My 0
Mz 0Estas seis ecuaciones implica tener seis incógnitas que representan en general reacciones en apoyos y uniones.
3.3 Consideraciones sobre equilibrio 3.3.1 Dos dimensiones
a) Un sólido rígido está estáticamente determinado si se cumple que el número de fuerzas de ligaduras o incógnitas no es ni mayor ni menor que tres.
Rodillo
b) Si un cuerpo no cumple con las condiciones anteriores se dice que está estáticamente indeterminado. Esto ocurre cuando las tres ecuaciones de la estática en 2-D no son suficientes o no son satisfechas todas.
c) En el caso de tener un mayor número de incógnitas, éstas no podrán ser calculadas todas por falta de ecuaciones.
Figura 3.6. Sólido estáticamente indeterminado.
d) Cuando se tienen menos incógnitas, ocurre que una de las igualdades no se cumplirá con lo que no se satisface la condición necesaria de equilibrio (2D ó 3D). Existen casos particulares en los cuales se puede cumplir la condición de equilibrio que es cuando las componentes de la ecuación sean nulas.
Figura 3.7. Sólido estáticamente indeterminado.
e) Hay casos en los cuales se tienen tres incógnitas pero no se cumple la condición de equilibrio. A estos casos se les conoce como cuerpos impropiamente ligados.
Figura 3.8. Sólido impropiamente ligado.
Un sólido está impropiamente ligado cuando sus apoyos, aunque pueden generar un número suficiente de reacciones, están dispuestos en tal forma que las reacciones sean paralelas o concurrentes.
Conclusión: Un sólido bidimensional está completamente ligado y las reacciones en sus apoyos están estáticamente determinadas si y sólo si introducen tres incógnitas y éstas no son paralelas ni concurrentes.
3.3.2 Tres dimensiones
Si se tienen más de seis incógnitas se dice que algunas reacciones están estáticamente indeterminadas.
Si las reacciones introducen menos de seis incógnitas implica que algunas de las ecuaciones no se satisface en condiciones generales de carga, es decir, el sólido rígido está “parcialmente ligado”
Problema 3.1: Sabiendo que el módulo de la fuerza vertical P es de 400 N, determinar la tensión de cable CD y la reacción en B.
A 250mm 100 mm P T C 250 mm 70º D B 0
MB ) ( 5 , 183 0 25 . 0 º 55 1 . 0 º 70 T sen T N sen P
Fx 0
N R T Rx cos35º0 x 150,3 ) ( 2 , 505 0 º 35 R N sen T P Ry y ) ( 1 , 527 N RB 55º 250 35º 55º Figura 3.9. Problema 3.1. B P T xR
yR
Problema 3.2. La escala AB de longitud L y masa m, puede levantarse mediante el cable BC.
Determinar la tensión T necesaria para despegar el extremo B del suelo y las reacciones en A.
Hallar también las reacciones en A.
h
A C
L
B
Problema 3.3. El poste está sostenido mediante una rótula en A y dos cables BD y BE. Despreciando el peso del poste, determinar la tensión de cada cable y la reacción en A.
Observación. Se trata de un cuerpo impropiamente ligado ya que, si la fuerza se dirige hacia otra dirección, los cables no sostienen el poste.
A T W y A x A
Figura 3.10(a). Problema 3.2.
Figura 3.10(b). Problema 3.2.
2 cos 2 cos 2 cos 0 2 cos
mg T L sen L W T L sen T L W MA
10 m 7 m 6 m 6 m 8.4 kN 6 m y C B D A E x z
Figura 3.11(a). Problema 3.3.
Solución: BE BE BD BD BD BD T T T T ˆ ˆ Figura 3.11(b). Problema 3.3. A L C B x R y R z R 8.4 kN BD T BE T
11 6 , 11 7 , 11 6 ˆ 11 6 , 11 7 , 11 6 ˆ BE BD
