Álgebra ( ) Noé Muñoz Elizondo

Álgebra

Noé Muñoz Elizondo

Como me gusta que no tengan vida social (como yo) he decido preparar este pequeño curso, ya que en las sesiones no alcanzamos a abarcar algunas de las cuestiones más básicas. Además de que les servirá (junto con lo que vimos en clase) para resolver los problemas que hay de tarea.

Comencemos con identidades que se cumplen para todos los números reales. Y que les serán útiles en varias ocasiones, tanto en álgebra como en TDN.

 Identidades









(

)





i

Estas identidades ya las demostramos en clase, excepto la primera y la última. Para la primera basta con hacer la resta de las fracciones del lado derecho para comprobarla. La demostración de la última, viene como un problema de la tarea.

 Definiciones

 Progresión aritmética: Es una serie ordenada de números (llamados términos), tal que la diferencia entre cada par de términos consecutivos es una constante, llamada

Podemos definir una sucesión de la siguiente manera:

La sucesión aritmética definida con y con la fórmula recursiva para todos sus términos, excepto

Es decir, basta definir el primer término de una sucesión y la diferencia entre cada par de términos consecutivos para definir toda la sucesión.

Ejemplo:

Tenemos la sucesión podemos definirla como la sucesión con y . Es decir para

 Progresión geométrica: La misma definición que una sucesión aritmética, sólo que en esta sucesión cada par de términos consecutivos NO tienen una diferencia en común, sino una razón, llamada

Definimos una sucesión geométrica de la siguiente forma:

La sucesión geométrica con y fórmula recursiva Ejemplo:

La sucesión geométrica con y , es la sucesión

 Serie: Una serie, es la suma de los términos de una sucesión matemática. Sea una sucesión, la serie de esa sucesión, está definida como

∑

Sumas Telescópicas

Problema 1 Encuentra el resultado de la suma

Solución: Espero recuerden que ya habíamos generado una fórmula para esta suma, y la demostramos por inducción. Lo que demostramos fue:

∑

Bueno, ahora resolveremos el problema de una forma simplemente algebraica, sin usar inducción. Usando la primera identidad que escribí al inicio:

aplicando la identidad en cada uno de los términos de la suma, obtenemos:

Las sumas de este estilo, son llamadas sumas telescópicas

∑

∑

Regularmente, en un problema de matemáticas, la suma telescópica vendrá disfrazada (como en el ejemplo anterior), y el reto fundamental será “desarmar” cada término de la suma, de tal manera que nos quede una suma telescópica.

Series infinitas

El resultado de una serie infinita se puede calcular, estudiando el comportamiento de la suma cuando crece, y mediante el concepto de límite, llegar a un resultado cuando crece indefinidamente.

En clase también hablamos de la paradoja de Zenón, que, esencialmente, decía que

converge a 1, es decir, que si sumamos los inversos multiplicativos de

las potencias de dos hasta , este número siempre se acercará a 1, sin llegar a él. Pero, si sumamos una cantidad infinita de fracciones, podemos llegar a ese valor:

∑

Esta es una serie infinita, y se resuelve de la siguiente manera: Veamos que, si n es finito

Entonces ∑

De una manera muy informal (ya que aún no manejan el concepto de límite) podemos decir que . Deducimos entonces que

∑

Es increíble como una suma de infinitos términos, puede darnos un número real.

∑ ∑

Factorizaciones

En clase ya trabajamos con factorizaciones, sólo se las dejo por si fueron unos bastardos y no las anotaron      _{si es impar}  Si es un divisor de , se puede factorizar con como factor:

La última factorización es la más importante, ya que de ella se desprenden las 4 últimas. Es un poco complicado entenderla al inicio, a mí me costaba trabajo factorizar directamente con esa fórmula. Veamos unos ejemplos para que vean cómo se comporta.

Problema: Desarrolla

Solución: Este problema ya lo habíamos visto en clase, y lo resolvieron aplicando binomios conjugados y la factorización 4. Podemos hacerlo directamente utilizando la última factorización. Como sabemos que 2 es divisor de 6, podemos decir que:

Fíjense que para asignar los exponentes de del factor derecho, del lado derecho de la ecuación. Simplemente se le restamos 2 al 6, luego a lo que quedó (4) le restamos otros dos,… así hasta que aparezca con exponente 0. Y por el contrario, inicia con exponente 0, y le vamos aumentando 2 a su exponente en cada término, hasta que llegue al exponente .

Otras factorizaciones

 Facotrización deSophie-Germain:

¿Qué pasa si ustedes desarrollan la expresión ?

Bueno, es fácil ver que les quedará un polinomio mónico de grado . Además, los coeficientes de serán el producto de .

Funciones

Por si algunos aún no tienen claro lo que es una función, ahí va otra vez…

 Definición:

Una función matemática, es una relación entre dos conjuntos, el primero (llamado Dominio) es el conjunto donde cada uno de sus elementos estará asignado a sólo un elemento del otro conjunto (llamado Codominio). Sea una función (se lee de a ), y un elemento de su dominio , decimos que es su elemento relacionado con el otro conjunto, entonces, es un elemento del codominio .

Por ejemplo, tenemos el conjunto de la pre-selección de la OMM en Zacatecas de este año, llamémosle conjunto (perdón si no aparecen visibles, pero están incluidos cuando escribí los tres puntitos, entre Herón y Oscar  ) Y Llamemos al conjutno de municipios de Zacatecas. Tenemos la función donde es la ciudad procedente de .

Podrán ver que la función no es inyectiva ni sobre-inyectiva (¿por qué?) y que el dominio de la función son ustedes y el codominio los municipios de Zacatecas, y el rango es el conjunto de las ciudades de donde proceden.

Bueno, no entraré en más con definiciones, ya que son muy pocas las propiedades que nos interesan de las funciones en esta tarea y no podemos perder tiempo, si quieren más información, es muy fácil encontrarla en internet (ya que no hay libro de álgebra en olimpiadas).

 Raíces de una función:

Esto también lo vimos en clase, igual no está de más. Tenemos la función definida por

Con éste es un polinomio de grado , y tendrá a lo más raíces reales.

Las raíces de una función polinomial , son aquellos valores que cumplen que =0. Es decir, son los valores en los que la gráfica de la función corta al eje .

Ejemplo: Para obtener las raíces de la función . Primero igualamos a 0, ya que buscamos las raíces

si podemos dividir ambos lados de la ecuación entre y obtenemos . Ahora, hacemos el caso y también cumple la igualdad.

Entonces, las raíces de la función son y . Podemos hacerlo de otra manera, tenemos que si es raíz de

Ahora, tenemos que el producto de dos números distintos es igual a cero, por lo tanto uno de ellos debe valer 0. Si es una solución; si , es decir es otra solución.

 Polinomios cuadráticos

Un polinomio cuadrático es simplemente un polinomio de segundo grado, de la forma

donde con .

Y sus soluciones o raíces están dadas por la fórmula

√

Si quieren entretenerse un momento, sustituyan el valor de con la fórmula en la ecuación, y se darán cuenta que la fórmula es cierta y por qué funciona.

 Relaciones de Cardano-Vieta

Ya las vimos en clase que si tenemos una función , sean y sus raíces, la suma de ellas nos da y el producto de ellas

.

Ahora, si queremos obtener sus raíces, igualamos a 0 “factorizamos”

( ) Sabemos que , entonces

( ) Sustituyendo

Sustituyendo y

Como ya escribí hace un momento, esto lo podemos factorizar de la siguiente forma:

Entonces, si tenemos que donde son sus raíces. Es decir, podemos factorizar un polinomio cuadrático, conociendo sus raíces.

Las relaciones da Cardano podemos aplicarlas para no sólo un polinomio de grado 2, sino para cualquiera de grado conociendo sus raíces.

Problema: Sea un polinomio mónico de grado , que satisface que , encuentra .

Solución: Seguramente ustedes han de pensar que pueden dar rápidamente la respuesta, y deducir que . Ya que han creído que la función está definida como pero ése es un polinomio de primer grado (o lineal), y el problema desde el inicio nos dice que el polinomio es de grado . Lo que sube su dificultad un poco.

Fijemos un nuevo polinomio , definido como . Es fácil ver que también es de grado y sigue siendo mónico (¿por qué?). Ahora, veamos tres cosas

Es decir, las tres raíces de son . Por Vieta y como sabemos que es mónico, podemos factorizarlo de la siguiente manera

Tenemos que

Donde ya es fácil calcular

Ecuaciones funcionales

Los problemas de este tipo en olimpiadas, se trata de buscar funciones que cumplan con ecuaciones dadas. Veamos unos ejemplos muy fáciles para que aprendan algunas técnicas para resolverlas.

Problema: Encuentra todas las funciones que cumplen para todo

Solución: Es fácil ver que la función identidad cumple ( ). Si el problema nos dice que la función cumple esa ecuación para todos los reales, los debe cumplir para cuando Entonces, la función cumple que

Y concluimos que la única función que cumple es . Ya que cuando el problema nos lleva a que es la única solución. Y es fácil ver que verifica cuando Problema: Encuentra todas las funciones que cumplen para todo

Solución: Al igual que en el caso anterior, podemos ver que si “quitamos” las la igualdad se cumple, lo que nos dice que, nuevamente, la función identidad es una solución. Veamos que como se cumple para cualesquiera reales, se cumple para cuando .

Entonces

Si podemos dividir ambos lados de la ecuación, y obtener una igualdad

Hemos encontrado la función que cumple para todo , pero el problema nos dice que debemos calcular para todos las reales. Nos falta obtener , para ello simplemente sustituimos en la primera ecuación, la que nos da el problema, y vemos qué pasa cuando y ambos distintos de . Además de que si son distintos de , sabemos que

De donde podemos concluir que la única función que cumple es para todo . Veamos que en los problemas pasados fue de mucha utilidad probar el caso para cuando , el caso para cuando .

Problema: Encuentra todas las funciones que cumplen para todo ( )

Solución: Dense cuenta que el problema es muy parecido al anterior, pero, en este se encuentra una mayor dificultad, ya que el lado izquierdo presenta una estructura más abstracta. Para resolverlo utilizaremos un nuevo truquito…

Veamos que el problema no nos dice mucho cuando , ya que no conocemos el valor de no de

( ) Veamos qué pasa cuando

Esto significa que existe un número que cumple que Veamos qué pasa cuando

( ) Como sabemos que , entonces

Ahora sí, conociendo que nos es muy útil ver qué pasa cuando ( )

Si podemos dividir ambos lados entre y obtenemos y como sabemos ya que . Concluimos que la única función que cumple es para todo

Desigualdades

También en clase empezamos a ver desigualdades, así que me evitaré escribir los 4 axiomas del inicio y todas las demostraciones que hicimos en clase. Simplemente les recordaré que cuando trabajamos con desigualdades y tenemos solamente números positivos, podemos sumar, multiplicar, sacar raíz, potencializar en ambos lados de la desigualdad y ésta se sigue conservando. Aún cuando trabajemos con número entre el intervalo (0, 1) ya que en ese intervalo las potencias se comportan de manera distinta que en el intervalo (1, ).

Comencemos por demostrar la desigualdad MA-MG para números reales positivos, ya que en clase no pude concluir el caso . Aunque verán que ya lo tenía en las manos y hasta podía concluirlo de dos formas, uno se bloquea si trabaja bajo presión…

Desigualdad MA-MG

Para números reales positivos, se cumple que su media aritmética es siempre mayor o igual a su media geométrica y la igualdad se cumple si y sólo si

√

Demostración de Cauchy Schwarz (Cochi Suárez) La demostración se hace por inducción

BI: El caso es trivial y el caso lo demostramos en clase.

 Demostración de

HI: Supongamos que se cumple para cualesquiera números reales positivos. Demostración Tenemos la colección de números . Llamemos √ √ Por HI

√ Por el axioma de transitividad, tenemos que

√ Sustituyendo los valores de obtenemo:

√

Hemos llegado a la primera parte de la demostración.

 Demostración

HI: supongamos que la desigualdad se cumple para números reales positivos. Demostración para :

Tenemos la colección de números y los números

√

.

Como todos son números positivos, podemos aplicar HI en la colección de número, que son y deducir que

√ Sustituyendo √ _√ Tenemos que De donde Es decir √

Ahora sí, podemos usar la desigualdad MA-MG para cualquier colección de número reales positivos.

Problema: Sean y una permutación de los primeros números (es decir, que son las en otro orden) Demuestra que

Solución: Me di cuenta que a varios de ustedes les cuesta trabajo el simple hecho de iniciar la demostración de una desigualdad. Creo que se debe a que tienen miedo de estar haciendo un procedimiento totalmente erróneo o un procedimiento que simplemente no los llevará a ningún lado. Pues aunque sea así, ustedes deben enfrentar un problema, ya que es de la única forma en la que puedan solucionarlo, a menos de que su experiencia sea bastante grande para la dificultad del problema. Bueno, iniciemos…

Tenemos que todas las fracciones que tenemos, son positivas, ya que sus cocientes son positivos, por lo que podemos aplicar la desigualdad MA-MG en todos ellos y obtenemos que

√

Como la colección de las es la misma que la de las sus producto también es el mismo, por la famosa ley “el orden de los factores no altera el producto”, entonces

√ Multiplicamos por ya que es positivo y obtenemos que

Nos falta muchísimo por ver en desigualdades, espero poder verlos en otra ocasión para ver más problemas, porque escribirlos es muy tardado.

Problemas para entregar de tarea:

1.- Encuentra la suma de los primeros 2013 términos de la sucesión aritmética con y .

2.- Encuentra la suma de los primeros 2013 términos de la sucesión geométrica con y .

3.- Sea una sucesión definida con y la fórmula recursiva . Encuentra una fórmula NO recursiva para todo con

4.- Encuentra el resultado de la suma

5.-Demuestra la identidad

∑

(Hint: Considera que y crea una suma telescópica) 6.- Encuentra el valor de la suma

(Hint: Escríbanlo con notación sumatoria y utilicen las propiedades que vimos en clase) 7.-Encuentra el resultado de la suma como una fracción de la forma con

∑

8.- En base al problema anterior, demuestra que 9.- Encontrar el resultado de la suma

∑

11.-Sean números reales con y cumplen que

Determina todas las posibles ternas y todos los posibles valores de (Hint: considera que jijijiji)

12.- Desarrolla

13.- Demuestra sin utilizar congruencias (operación módulo), que para cualquier entero positivo , el número

Es divisible por 600.

14.- Encuentra las raíces de definida por

15.- Sea un polinomio mónico de grado 4, que cumple que . Encuentra el valor de

16.- Sea una función que verifica para todos las que

Calcula

17.- Encuentra todas las que cumplan para cualesquiera que

18.- Sean tales que Demuestra que 19.- Sean tales que Demuestra que

(Hint: Sustituir donde puedas

20.- Demuestra que para se cumple que