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Analizadores de espectros: Reducción del ruido en la medida mediante promediado y filtrado

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Academic year: 2021

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Con frecuencia, las señales que se pretenden medir con un analizado-te de espectros contienen una con-siderable cantidad de ruido. Este ruido se considera como indeseable excepto en aquellos casos donde lo que se pretende medir es el propio ruido. Básicamente existen dos téc-nicas para reducir el ruido: el filtra-do y el promediafiltra-do.

En el filtrado, normalmente se usan filtros analógicos pero tam-bién pueden ser digitales, mientras que en el promediado casi siempre se implementa mediante técnicas digitales. Tanto el filtrado como el promediado se pueden clasificar como de pre-detección (antes del detector) o de post-detección (des-pués del detector).

Filtrado de pre-detección

El filtrado se puede descompo-ner en dos tipos: de pre-detección y de post-detección dependiendo de si el filtro se introduce antes o des-pués del detector según muestra la figura 1.

donde:

PN = cambio en el nivel de potencia kB = relación de los dos anchos de banda equivalente de ruido.

Figura 1. El filtrado de Predetención tiene lugar antes del detector mientras que el filtrado de post-detección se realiza después del detector.

R u i d o

La salida de la sección de fre-cuencia intermedia (IF) del analiza-dor de espectros siempre contiene ruido. Este ruido puede venir de la propia señal o circuito que se está midiendo o puede ser generado in-ternamente en el analizador ya que los circuitos del analizador añaden

Figura 2. Un filtro de pre-detección de banda ancha permite entrar más ruido que un filtro de banda estrecha.

ruido a la señal. El ruido presente a la entrada del detector degrada la medida en función de la relación señal/ruido.

Como muestra la figura 2, cuanto mayor ancho de banda de pre-detección, mayor es el ruido presente en la señal que entra en el detector y por tanto que se presen-tará en la pantalla del analizador.

Debido a que la resolución del ancho de banda (resolution band-width) del analizador es normal-mente estrecha, el ruido puede se puede considerar constante o blan-co en toda su banda de paso. La po-tencia de ruido es:

donde:

N0 = densidad de potencia espec-tral (W/Hz)

BWN = ancho de banda equivalen-te de ruido del filtro de predeequivalen-ten- predeten-ción (Hz)

La potencia de ruido se puede expresar en dBm (dB relativos a 1 mW).

Un cambio en un factor de 2 en el ancho de banda producirá una variación en el nivel de ruido de 3

dB, suponiendo que la densidad es-pectral de ruido es constante en todo el ancho de banda.

La figura 3 muestra el efecto producido en la pantalla del anali-zador debido al cambio en el ancho de banda de resolución (resolution bandwidth). Con un mayor ancho de banda, el ruido en la pantalla es mayor, mientras que un ancho de banda más estrecho reduce el rui-do.

Ejemplo 1

A una frecuencia determinada, un analizador de espectros mide un nivel de ruido de -70 dBm usando un ancho de banda de resolución de 1 kHz.

¿Cuál será la lectura del ruido con un ancho de banda de resolu-ción de 300 Hz? Suponer que el rui-do es un ruirui-do blanco y que los an-chos de banda dados son anan-chos de bandas equivalentes de ruido.

El ruido se reducirá por la rela-ción de los anchos de banda, expre-sado en dB.

Figura 3. Trazas con diferentes anchos de banda de resolución. El nivel del ruido correspondiente a un ancho de banda de 1 kHz es 20 dB inferior al del ancho de banda de resolución de 100 kHz. Denver Metrología Electrónica

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Filtros de pre-detección

Los filtros de pre-detección se identifican fácilmente en el diagra-ma de bloques de un analizador de barrido tradicional. El filtro más es-trecho en el camino de la señal an-tes del detector es el filtro de pre-detección. El ancho de banda de este filtro puede ser normalmente seleccionable por el usuario y apare-ce en el panel frontal como ancho de banda de resolución (resolution bandwidth) o ancho de banda de IF (IF bandwidth).

Filtrado de post-detección

Los filtros que se encuentran después del detector en la cadena de procesamiento de la señal se de-nominan filtros de post-detección. En los analizadores de barrido, los filtros de post-detección se llaman normalmente filtros de video. El fil-trado de post-detección no es capaz de reducir el nivel de ruido ya que el ruido ya ha sido detectado. Sin em-bargo, lo que si se puede reducir son las variaciones en el ruido; de esta forma, se pueden descubrir se-ñales muy próximas al nivel de rui-do (noise floor). Además si lo que se está midiendo es el propio ruido, los filtros de post-detección ayudan a estabilizar la medida. Es importan-te notar, en la figura 3, que hay una considerable variación en la ampli-tud del ruido con independencia del ancho de banda de resolución utilizado. Es decir, las fluctuaciones en el ruido no varían con el ancho de banda de resolución.

La salida del detector se podría considerar (en un período corto de tiempo) como si fuera un valor cons-tante (DC) con algo de ruido super-puesto (Figura 4a). El nivel de DC representa la cantidad de energía presente dentro del ancho de ban-da de pre-detección a la entraban-da del detector. Esta energía puede venir

de señales espectrales discretas, de ruido o puede ser una suma de los dos. El ruido en el nivel de DC es la variación estadística de la energía de pre-detección, que es producido por el ruido en la medida. Aplican-do un filtro paso-bajo a la salida del detector, se puede reducir la varia-ción en la salida del detector (Figu-ra 4b) consiguiéndose una salida más estable y libre de fluctuaciones. No obstante, esto no reduce el nivel de DC, por ello, el filtrado de post-detección puede reducir las varia-ciones en la salida del detector pero

no afecta al nivel de salida medio. Con un filtro de post-detección an-cho, la varianza del ruido es bastan-te grande. En cambio, con un filtro de post-detección más estrecho, la varianza del ruido se reduce consi-derablemente. No obstante, darse cuenta que el valor medio del ruido medido permanece constante y so-lamente las fluctuaciones o variacio-nes del ruido son diferentes. Mien-tras el filtrado de post-detección no reduce el nivel de ruido medio, la reducción en la varianza reduce el nivel de pico del ruido y por tanto, puede revelar señales de muy bajo nivel que no se pueden observar con mayores anchos de banda de post-detección.

El ruido en una medida no siempre es indeseable. La señal que se pretende medir puede consistir únicamente de ruido o alguna com-binación de ruido y líneas espectra-les. En este caso, el ruido va a ser parte de la medida. Sin filtrado de post-detección, la medida tenderá a variar debido a los efectos del ruido. Con filtrado de post-detección se alisarán estas variaciones para pro-ducir una medida de ruido estable y por tanto más fácilmente medible.

Filtros de post-detección

En los analizadores de espectro de barrido, el filtro de post-detec-ción se puede implementar median-te un filtro paso-bajo analógico a la

Figura 4. (a) La salida del detector consiste en un nivel constante de continua (DC) con algo de ruido. (b) Aplicando un filtro paso-bajo a la salida del detector se elimina el ruido sin alterar el nivel de DC.

Es importante distinguir entre ruido de pre-detección y ruido de post-detección. El ruido de pre-de-tección se puede reducir mediante un filtrado de pre-detección más es-trecho, disminuyendo el nivel de ruido antes del detector. El ruido de pre-detección será detectado y con-tribuirá al nivel absoluto a la salida del detector. El ruido de post-detec-ción es la variapost-detec-ción en el ruido de pre-detección. Esta variación se puede reducir mediante un filtrado apropiado pero el nivel de DC que representa el ruido de pre-detección no se puede reducir mediante el fil-trado de post-detección.

Para comprender el efecto del filtrado de post-detección de una medida típica, consideremos la pan-talla de un analizador como la que se muestra en las figuras 5.a y 5.b.

Figura 5. (a) La varianza de ruido es relativamente alta con un amplio ancho de banda de video. (b) Un ancho de banda de video más estrecho produce una varianza de ruido significativamente más pequeña.

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salida del detector. Este filtro es nor-malmente un filtro de un solo polo; a menudo un simple circuito RC. También se puede implementar me-diante técnicas digitales siempre que la señal siempre que la señal halla sido digitalizada. El filtro de vi-deo reduce la respuesta del analiza-dor y quizás sea necesario aumen-tar la velocidad de barrido.

El usuario se puede preguntar qué anchos de banda elegir para el filtrado de pre-detección y post-de-tección. Muchos analizadores mo-dernos tienen algoritmos para selec-cionar automáticamente los dos va-lores. Pero quizás, en medidas críti-cas es necesario modificar los valo-res dados por defecto para optimi-zar los resultados.

Promediado

El promediado fue originalmen-te utilizado en los analizadores FFT como método de reducción del ruido. Con una mayor utilización de las técnicas digitales en los analizadores de espectros de barri-do, el promediado también se está utilizando en este tipo de instru-mentos.

Las técnicas de promediado se pueden dividir también en pre-de-tección y postsección de forma simi-lar al filtrado de pre y post-detec-ción. El filtrado y el promediado son operaciones muy similares y produ-cen efectos parecidos. Sin embargo, hay algunas diferencias sutiles pero importantes.

Antes de nada decir que el pro-ceso de promediado se va a exponer de forma genérica, sin referencias a las aplicaciones del analizador.

Muchos parámetros eléctricos se pueden considerar formados por dos elementos:

El ruido y la señal contaminada por el ruido pueden ser tratadas so-bre una base estadística. La varian-za, , se define como:

donde:

x(t) = valor medido s(t) = señal ideal medida

n(t) = ruido que contamina a la señal

Donde E[ ] indica el valor esperado. La varianza es el cuadrado de la desviación estándar, . La varianza nos proporciona una medida de cuánto varía un parámetro que con-tiene ruido de su valor medio. Si el ruido tiene un valor medio cero, en-tonces el valor medio de x(t) es igual a s(t), la señal deseada.

Normalmente cuando un pará-metro medido es promediado, la parte de señal de x(t) será retenida mientras que la parte de ruido, n(t), será reducida. Esto supone que la porción de señal está correlaciona-da con la velocicorrelaciona-dad de muestreo, produciendo el mismo valor en cada muestra. Del mismo modo, el ruido se supone que no está corre-lacionado con la velocidad de muestreo su valor variará con cada muestra. Cualquier porción de x(t) que está correlacionada con la velo-cidad de muestreo tenderá a ser re-tenido después del promediado. De modo contrario, cualquier porción que no esté correlacionada tenderá a promediarse y desaparecer.

Relación de varianzas

El promediado se puede consi-derar como un proceso con una entrada x(t) y una salida y(t) como muestra la figura 6. Tanto la entra-da como la salientra-da tienen su corres-pondiente varianzas, . Me-diante el promediado, la varianza de la señal medida se reduce y por tan-to y(t) es una mejor aproximación a la señal deseada, s(t). La relación de varianzas (VR) se usa como una figu-ra de mérito del proceso de prome-diado.

donde:

= varianza de la señal no pro-mediada

= varianza de la señal prome-diada

La varianza de una señal está asociada con su potencia de ruido (no su tensión). La desviación están-dar, que es la raíz cuadrada de la varianza se debe usar para analizar el ruido en términos de tensión. Ya que la relación de varianza está relacionada con la potencia, puede tomar la forma de decibelios mediante:

Figura 6. El Promediado produce una señal de salida, y(t), que tiene una varianza más pequeña que la señal de entrada, x(t).

Ejemplo 2

Para un proceso de promediado dado, la varianza de una salida pro-mediada es 0,2 veces la varianza de la entrada. Si la potencia de ruido a la salida es -45 dBm, ¿Cuál es la po-tencia de ruido a la salida del proce-so de promediado?

Promediado general

En general, el promediado se realiza mediante muestreo de la señal en puntos discretos en el tiem-po, y posteriormente ponderando las muestras con algún algoritmo. Matemáticamente se puede expre-sar como: donde: w1, w2, w3, … , wn = factores de ponderación x1, x2, x3, … , xn = últimas N mues-tras de x(t)

yN = salida promediada actual La relación de varianza para el proceso de promediado se puede expresar como la suma de los cua-drados de los factores de pondera-ción.

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Este método de promediado requiere que N muestras de x(t) sean siempre almacenadas junto con la salida promediada, yN obtenida me-diante suma de los valores ponde-rados xN. Cuando una nueva mues-tra xN es adquirida, la muestra xN más vieja se descarta y la nueva es almacenada en memoria.

La mayoría de los analizadores de espectros utilizan algoritmos de promediado que minimizan la can-tidad de memoria necesaria. Aquí, describiremos dos de los métodos de ponderación más comúnmente empleados. Estas funciones de pon-deración reducen enormemente los requerimientos de almacenamiento (y hasta cierto punto, la complejidad de cálculo) mientras proporcionan una mejora significativa del ruido.

Ponderación lineal

La forma más obvia de ponde-rar los datos es hacerlo de forma igualitaria. Después de todo, todas las muestras son igualmente váli-das. La relación de varianzas para el promediado lineal es:

(Promediado lineal) [E-10] Donde N es el número de muestras promediadas. Por tanto, para N medidas promediadas juntas (“N promedios”), la potencia de ruido se reduce en un factor N y la tensión de ruido en un factor √N.

Cuando la ponderación lineal se usa en instrumentación, el resul-tado final promediado (con todas las N medidas promediadas juntas) no se puede visualizar hasta que to-das las N medito-das sean adquirito-das. Muchos instrumentos presentan re-sultados intermedios del proceso de promediado de forma que el usua-rio tenga algo de información sobre la medida sin tener que esperar hasta que se completen las N ad-quisiciones. La ponderación lineal se suele implementar como un

prome-dio finalizado. Es quiere decir que, después de que se toman las N me-didas, los datos se descartan y cual-quier promediado posterior co-mienza con datos completamente nuevos. Para un número de mues-tras dado, la ponderación lineal pro-porciona la mejor relación de va-rianzas posible. Cuanto mayor es el número de muestras que son pro-mediadas conjuntamente, mayor es la reducción de ruido obtenida, todo a expensas de un mayor tiem-po de medida.

Ponderación exp.

La función de ponderación pue-de ser una función exponencial don-de las muestras más recientes se tienen mayor peso que las muestras adquiridas previamente. Aunque una función de ponderación expo-nencial puede parecer más comple-ja de cálculo, en realidad, se puede implementar con un algoritmo más simple. La salida promediada se calcula mediante la suma de la muestra de entrada actual multipli-cada por el factor 1/k y la muestra previa multiplicada por 1-(1/k). Un único registro acumulador se usa para almacenar el valor de n-1.

[E-11] El promediado exponencial no se suele implementar como prome-dio finalizado ya que no hay un nú-mero N que defina el núnú-mero de muestras a adquirir. Por el contrario, este algoritmo continúa ejecutándo-se indefinidamente. Una muestra recientemente adquirida se ponde-ra primero fuertemente y poste-riormente el factor de ponderación para esa misma muestra decrece gradualmente a medida que se van adquiriendo nuevas muestras. La ponderación geométrica tiene la ventaja de seguir las variaciones en la señal medida.

Si el promediado ha estado ejecutándose durante un tiempo suficiente (muchas más muestras

que el valor de k), la relación de va-rianzas es:

(Promediado exponencial) [E-12] La función de ponderación ex-ponencial produce una respuesta al escalón muy similar a la de un filtro paso-bajo de un solo polo (ver figu-ra 7). Si la entfigu-rada en el proceso de promediado empieza en cero y abruptamente cambia a un valor constante, la salida sube de forma exponencial y alcanza de forma asin-tótica el valor final de la entrada. La constante de tiempo de este sis-tema, T viene dada por:

[E-13]

Figura 7. La respuesta al

escalón de un proceso de promediado con ponderación exponencial es una función exponencial.

Como el factor k es alto, la constante de tiempo es práctica-mente k. Después de k muestras, la respuesta al escalón alcanzará el 63% del valor final, exactamente lo mismo que se podría esperar de un sistema analógico de un sólo polo. En una media exponencial pura, el usuario deberá tenerlo en cuenta y esperar varias constantes de tiempo para que la medida se estabilice. Se-leccionar un valor grande de k pro-porcionará máxima reducción de rui-do, a expensas de un incremento en el tiempo de medida y una respues-ta más lenrespues-ta a los cambios.

El promediado exponencial pre-senta un problema de inicialización y es que si el registro de acumula-ción yn-1 arranca en cero, llevará k muestras llegar al 63% del valor fi-nal. Llevará incluso más tiempo an-tes de que el proceso de promedia-do produzca una salida próxima al verdadero valor. Una solución es cargar la primera muestra en yn-1 y que luego arranque el proceso de promediado. Así se obtiene que la

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salida promediada esté muy próxi-ma al valor correcto, aunque depen-de depen-de lo “buena” que sea esta pri-mera muestra. Desafortunadamen-te, esto también produce que la pri-mera muestra se pondere mucho más que las otras sobre todo cuan-do se elige un valor de k grande ya que las muestras subsiguientes son ponderadas muy ligeramente.

Una mejor solución al proble-ma de inicialización es comenzar el algoritmo de promediado con un valor de k bajo y cargar el valor de la primera muestra en el registro yn-1. A medida que el algoritmo de prome-diado progresa, el valor de k se va incrementando automáticamente para finalmente detenerse en el va-lor seleccionado por el usuario. Esta técnica tiene el efecto de producir una ponderación cuasi lineal sobre las primeras muestras adquiridas. Posteriormente, cuando el valor de k alcanza el valor seleccionado por el usuario, el algoritmo proporciona un promediado exponencial puro.

Este tipo de ponderación com-bina las ventajas de ambas, lineal y exponencial. Proporciona una bue-na mejora de la varianza propia de la ponderación lineal en las prime-ras muestprime-ras pero con la ventaja del seguimiento de los cambios de la ponderación exponencial. Por esta razón, el algoritmo de ponderación exponencial modificado es el utili-zado con mayor frecuencia en la ins-trumentación de medida.

Promediado en análisis espectral

La discusión previa se ha cen-trado en los principios generales de promediado junto con las funciones de ponderación comúnmente utili-zadas. Ahora veremos como éstas funciones de ponderación se apli-can a los datos muestreados, dejan-do claro en primer lugar, en qué di-mensión tiene lugar el promediado. El promediado trazo-a-trazo se lleva a cabo tomando una muestra

a una frecuencia particular y prome-diándola con muestras de la misma frecuencia correspondientes a otras trazas o barridos. Así son la mayor parte de los algoritmos de prome-diado utilizados en analizadores de espectros.

El promediado de punto-adya-cente se realiza promediando juntos varios puntos de datos pertenecien-tes a un mismo barrido. Por ejem-plo, el punto de frecuencia n-ésimo se podría calcular mediante un pro-mediado lineal de los puntos de fre-cuencia n-1, n y n+1.

Promediado vs filtrado

Una importante pero sutil dife-rencia entre promediado y filtrado en los analizadores, es la dimensión en la que el promediado/filtrado tiene lugar. Como el filtrado tiene lugar en la sección de Frecuencia In-termedia, el analizador va filtrando a medida que va barriendo en fre-cuencia. Para que el filtrado no dis-torsione la medida, el tiempo de barrido no debe ser muy pequeño. Cuanto más estrecho es el ancho de banda de resolución y/o el filtro de video, más lento será el barrido.

El promediado traza-a-traza, promedia los datos a partir de dife-rentes barridos. Esto no produce deformación en el eje de la frecuen-cia y tampoco afecta a la velocidad de barrido. Por supuesto, se deben producir varios barridos por lo que se ralentiza la medida. Los ingenie-ros que están familiarizados con el procesamiento digital de señal reco-nocerán que lo que aquí se ha lla-mada promediado se puede tratar como un simple filtro digital. La fun-ción de transferencia del algoritmo de promediado se puede determi-nar mediante Transformadas-Z.

Alisado (smoothing)

Las funciones de alisado usan funciones de promediado de pun-to-adyacente para reducir la

canti-dad de fluctuaciones debidas al rui-do en la traza de medida. Esto es distinto de otras técnicas de prome-diado que combinan puntos de da-tos de diferentes trazas para produ-cir el resultado final. Se promedian N puntos de la traza para producir un punto “alisado”, siendo N impar. Los (N-1)/2 puntos previos, los (N-1)/ 2 puntos siguientes y el punto ac-tual se suman conjuntamente con la ponderación apropiada. La fórmula general de alisado es:

donde: yN = datos de salida alisados para un tamaño n; xk = datos de entrada no-alisada para un tamaño k; w-(N-1)/2 a w(N-1)/2 = coeficientes de ponderación; N = número de pun-tos utilizados en el algoritmo de ali-sado (N es impar)

Todos los puntos de datos pro-ceden de la misma traza de medida. Una implementación simple de un algoritmo de alisado es usar so-lamente 3 puntos (N=3) para el ali-sado de los datos.

Si el usuario tiene control sobre la cantidad de alisamiento emplea-do para presentar la traza, se debe aplicar un buen juicio. Es posible alisar una traza hasta el punto don-de apenas proporcione una infor-mación útil. El usuario debe selec-cionar un nivel de alisamiento que permita reducir el ruido sin cambiar sustancialmente la forma de la tra-za. Ya que el algoritmo de alisado opera sobre los datos después del detector, es un tipo de promediado de post-detección. Su efecto es simi-lar al filtrado de video excepto en dos cosas. Primero, usa datos ante-riores y posteante-riores al punto de in-terés, mientras que el filtro de video normalmente sólo promedia puntos a la izquierda del punto de interés. Segundo, no tiene impacto sobre la velocidad de barrido aunque un ex-cesivo alisado puede distorsionar la traza de forma similar un barrido rá-pido en un filtro de video.

Referencias

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