Medidas de deformación y tensión

(1)

Introducci ´on Conceptos Gener ales de MMC Hiperelasticidad Viscoelasticidad y Da ˜no Conclusiones

´ Indice

1 Introducci ón 2 Conceptos Gener ales de MMC Medidas de def or maci ón y tensi ón Densidad de potencia y energ ´ıa libre Pr incipios de las ecuaciones constitutiv as 3 Hiperelasticidad Funci ón de densidad de energ ´ıa Tensor de elasticidad Simetr ´ıas mater iales Incompresibilidad y cuasi-incompresibilidad 4 Viscoelasticidad y Da ño Viscoelasticidad Da ño 5 Conclusiones M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(2)

´ Indice

(3)

Introducci

´on

Mater ial el ástico Un mater ial es el ástico cuando su estado tensional depende exclusiv amente de su def or maci ón instant ánea. M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(4)

Introducci

´on

(cont.)

Mater ial hiperel ástico Un mater ial hiperel ástico es un mater ial el ástico que se def or ma con un trabajo independiente del camino de carga. Ambos conceptos son equiv alentes en prob lemas unidimensionales ,pero no par a var ias dimensiones . Los ejemplos t´ıpicos de mater iales hiperel ásticos son los elast ómeros . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(5)

Introducci ón Conceptos Gener ales de MMC Hiperelasticidad Viscoelasticidad y Da ño Conclusiones Medidas de def or maci ón y tensi ón Densidad de potencia y energ ´ıa libre Pr incipios de las ecuaciones constitutiv as

´ Indice

(6)

Medidas

de

la

def

or

maci

´on

Gr adiente de def or maci ón F : F = ∂ x ∂ X . La relaci ón de vol úmenes es J = det (F ). Velocidad de def or maci ónD : D = sim ! ∂ v _∂x " = 1 (L 2 + L T ), siendo L = ∂ v = _∂x ˙ F·F − 1 . Tensor de def or maci ón de Green E : dx ·d x− dX ·d X = 2d X ·E ·d X ⇒ E = 1 (F 2 T ·F − 1)= 1 (C 2 − 1) siendo C el tensor de Cauch y-Green por la derecha. M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(7)

Medidas

de

la

tensi

´on

Tensor de tensiones de Cauch y σ : σ ·d a = df . Pr imer tensor de Piola-Kirchhoff (PK1, tensor de Piola) P : P ·d A = df ⇒ P = Jσ ·F − T . (Se puede demostr ar usando da = JF − T ·d A .) Tensor de tensiones nominal: N = P T . Segundo tensor de Piola-Kirchhoff (PK2) S : S· dA = F − 1 ·d f ⇒ S = JF − 1 ·σ ·F − T . Tensor de tensiones de Kirchhoff: τ = Jσ . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(8)

Medidas

de

la

tensi

´on

(cont.)

Velocidades

objetiv

as

de

la

tensi

´on

Velocidad de Jaumann: σ ∇ J = D σ − _Dt W ·σ − σ ·W T , con L = D + W . Velocidad de Tr uedell: σ ∇ T = D σ _Dt + di v( v )σ − L· σ − σ ·L T Velocidad de Green-Naghdi: σ ∇ G = D σ − _Dt Ω ·σ − σ ·Ω T , con Ω = ˙ R·R T . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(9)

Densidad

de

potencia

y

energ

´ıa

libre

Var

iab

les

conjugadas

en

la

potencia

Tensi ón de Cauch y/v elocidad de def or maci ón: ˙ W= Jσ :D . Tensi ón nominal/v elocidad del gr adiente de def or maci ón: ˙ W= P : ˙ F. Tensi ón PK2/v elocidad del tensor de Green: ˙ W= S : ˙ E. M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(10)

Densidad

de

potencia

y

energ

´ıa

libre

(cont.)

En un proceso ter modin ámico re versib le (mater ial ter moel ástico) se satisf ace ρ0 (T ˙η − ˙ U)+ S : ˙ E= 0, siendo η (= kB ln Ω ) la entrop ´ıa y U la energ ´ıa inter na. Se define como energ ´ıa libre (de Helmholtz) ψ = U − T η. Si la def or maci ón es isoter ma, S = ρ 0 ∂ψ ∂E , adopt ándose W = ρ 0 ψ . Si la def or maci ón es isoentr ópica, S = ρ0 ∂ U ∂ E , adopt ándose W = ρ0 U . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(11)

Pr

incipios

de

las

ecuaciones

constitutiv

as

In var iancia del sistema de coordenadas .Esto motiv a el desarrollo de las ecuaciones en for ma tensor ial. Deter minismo respecto a la histor ia. Pr incipio de acci ón local .Si adem ásse ignor an der iv adas super iores a las pr imer as ,entonces el mater ial es simple . Pr incipio de equipresencia :si una var iab le independiente aparece en una ecuaci ón constitutiv a, tambi én debe aparecer en el resto salv o que viole otro pr incipio . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(12)

Pr

incipios

de

las

ecuaciones

constitutiv

as

(cont.)

Objetividad mater ial :in var iancia respecto a mo vimientos de sólido r´ıgido del marco de ref erencia. Admisibilidad f´ısica respecto a las ecuaciones de balance y a la segunda le y de la ter modin ámica. Simetr ´ıas mater iales :isotrop ´ıa, anisotrop ´ıa transv ersal, matr iz is ótropa ref orzada con var ias familias de fibr as. .. M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(13)

Pr

incipios

de

las

ecuaciones

constitutiv

as

(cont.)

Ejemplo:

Hipoelasticidad

Mater ial hipoel ástico Una le y hipoel ástica relaciona una medida objetiv a de la velocidad de la tensi ón con la velocidad de def or maci ón y la tensi ón instant ánea, σ ∇ = f( σ ,D ). Es habitual la relaci ón lineal σ ∇ = C :D . La funci ón f debe ser objetiv a respecto a la tensi ón. Las le yes hipoel ásticas se usan pr incipalmente par a def or maciones el ásticas peque ñas . P ar a gr andes def or maciones ,el trabajo realizado en caminos cerr ados de def or maci ón no es necesar iamente nulo (no admisibilidad f´ısica), con tensiones residuales . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(14)

Introducci ón Conceptos Gener ales de MMC Hiperelasticidad Viscoelasticidad y Da ño Conclusiones Funci ón de densidad de energ ´ıa Tensor de elasticidad Simetr ´ıas mater iales Incompresibilidad y cuasi-incompresibilidad

´ Indice

(15)

Funci

´on

de

densidad

de

energ

´ıa

Mater ial hiperel ástico Un mater ial es hiperel ástico cuando existe una funci ón de densidad de energ ´ıa de def or maci ón que es un potencial de la tensi ón: S = ∂ W . _∂E Si W = W F (F ), entonces W F (F )= W F (Q ·F ) par a todo Q or togonal (objetividad mater ial). Por tanto ,si Q = R T , W F (F )= W F (R T ·( R ·U )) = W F (U )= W C (C )= W E (E ). M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(16)

Tensor

de

elasticidad

La relaci ón entre S y E no es lineal. En un esquema impl ´ıcito del MEF se apro xima la soluci ón linealizando respecto a var iaciones de configur aci ón instant ánea, par a lo que se necesita el tensor de cuar to orden C = ∂ S ∂ E . Si el mater ial es hiperel ástico , C = ∂ 2 W ∂ E ∂ E = 4 ∂ 2 W ∂ C ∂ C . Por tanto ,en este caso ,adem ásde las simetr ´ıas menores , C ijkl = C jikl = C ijlk ,se dispone de las ma yores ,C ijkl = C klij . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(17)

Simetr

´ıas

mater

iales

Isotrop

´ıa

Simetr ´ıa mater ial: W (Q T ·C · Q )= W (C ), par a todo Q or togonal . Por tanto ,W puede ser expresado en funci ón de los in var iantes de C ,W = W (I 1 ,I 2 ,I 3 ), siendo I 1 = tr (C ), I 2 = 1 2 # (tr (C )) 2 − tr (C 2 ) $ e I 3 = det (C )= J 2 . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(18)

Simetr

´ıas

mater

iales

(cont.)

Isotrop

´ıa

(cont.)

El estado tensional queda deter minado seg ún S = ∂ W _∂E = 2 ∂ W _∂C = 2 3 % i=1 ∂ W _∂I i ∂ I i ∂ C , siendo ∂ I1 ∂ C = 1, ∂ I 2 ∂ C = I 1 1 − C y ∂ I 3 ∂ C = I 3 C − 1 . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(19)

Simetr

´ıas

mater

iales

(cont.)

Isotrop

´ıa

(cont.)

Ejemplos: mater ial neo-Hook eano (compresib le) W = 1 λ 2 0 (log J) 2 − µ 0 log J + 1 µ 2 0 (I 1 − 3) . Ejer cicio pr opuesto .Demostr ar que en peque ñas def or maciones se ver ifica la ecuaci ón de Lam é: σ = 2µ 0 ε + λ0 tr (ε )1 . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(20)

Simetr

´ıas

mater

iales

(cont.)

Mater

iales

compuestos

ref

orzados

con

fibr

as

Se consider a una matr iz is ótropa ref orzada con N familias de fibr as ,seg ún las direcciones definidas en la configur aci ón de ref erencia por los vectores unitar ios Aα (α = 1, .. ., N ). La funci ón de densidad de energ ´ıa es de la for ma W (C ,A α ). Debe ser in var iante respecto a rotaciones de la matr iz y de las fibr as en la configur aci ón de ref erencia. Siguiendo a Spencer (1984), W puede expresarse como W = W (I1 ,I2 ,I3 ,I 4( αβ ) ,I 5( αβ ) ,η αβ ), siendo I 4(αβ ) = Aα ·C ·A β ,I 5( αβ ) = Aα ·C 2 ·A β ,η αβ = Aα ·A β . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(21)

Incompresibilidad

y

cuasi-incompresibilidad

Muchos elast ómeros tienen poca compresibilidad en compar aci ón con la rigidez a cor tante . La incompresibilidad corresponde con la restr icci ón J = 1, resultando S = 2 ∂ W _∂C + γ C − 1 , siendo γ un escalar . Si el mater ial es is ótropo ,W = W (I 1 ,I 2 ). Frecuentemente la incompresibilidad no se fuerza de for ma estr icta, sino penalizando la densidad de energ ´ıa debida al cambio de volumen. Esto se facilita con la descomposici ón aditiv a W = Wiso ( ¯ _C)+ Wvol (J ), siendo ¯ _C= J − 2/ 3 C . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(22)

Incompresibilidad

y

cuasi-incompresibilidad

(cont.)

Ejemplos

Mater ial neo-Hook eano modificado: W iso = 1 µ 2 0 (¯I 1 − 3) . Mater ial de Moone y-Rivlin: Wiso = c 1 (¯I 1 − 3)+ c 2 (¯I 2 − 3) . Mater ial de Yeoh: Wiso = c1 (¯I1 − 3)+ c2 (¯I1 − 3) 2 + c3 (¯I1 − 3) 3 . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(23)

Incompresibilidad

y

cuasi-incompresibilidad

(cont.)

Ejemplos

(cont.)

Mater ial de Ogden: W iso = N % p= 1 & µ p αp N % a= 1 ¯ λ αp a ' , siendo ¯ λa = J − 1/ 3 λ a . Mater ial is ótropo de Demir ay (1972) par a modelizar paredes ar ter iales: _Wiso = c 1 c 2 # exp ( c 2 (¯I ₂ 1 − 3) ) − 1 $ . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(24)

Incompresibilidad

y

cuasi-incompresibilidad

(cont.)

Ejemplos

(cont.)

Mater ial de Holzapf el, Gasser y Ogden (2000) par a modelizar paredes ar ter iales con dos or ientaciones pref erenciales de las fibr as de col ágeno: W iso = c 1 (¯I 1 − 3)+ k 1 _2k 2 2 % α= 1 # exp ( k 2 * κ(¯I 1 − 3)+( 1 − 3κ )( ¯ I 4( αα ) − 1) + 2 ) − 1 $ . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(25)

Introducci ón Conceptos Gener ales de MMC Hiperelasticidad Viscoelasticidad y Da ño Conclusiones Viscoelasticidad ñoDa

´ Indice

(26)

Viscoelasticidad

Muchos mater iales ,como los elast ómeros ,presentan un compor tamiento depediente del tiempo denominado viscoelasticidad. La pr incipal car acter ´ıstica de esta respuesta es una memor ia desv aneciente . Un modelo esquem ático de viscoelasticidad lineal es el gener alizado de Maxw ell. E∞ _E m ηm σ E1 η1 M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(27)

Viscoelasticidad

(cont.)

Posib

le

gener

alizaci

´on

a

gr

andes

def

or

maciones

Requisito: W ∞ (C )= W ∞ vol (J )+ W ∞ iso( ¯ _C). La tensi ón PK2 es de la for ma S = S ∞ vol + Siso , con Siso = S ∞ iso + m _% _a=1 Qa . Ecuaciones de ev oluci ón: ˙ Qa + Qa τa = ˙ S iso ,a ,donde τa son los tiempos de relajaci ón (τa = ηa /E a ), y Siso ,a tensores definidos a par tir de C . Go vindjee y Sim ó proponen S iso ,a = β ∞ aS ∞ iso ( ¯ _C). M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(28)

Da

˜no

Cuando se carga de for ma cuasi-est ática un elast ómero , habitualmente la cur va de descarga y poster ior recarga se encuentr a por debajo que la inicial: ef ecto Mullins . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(29)

Da

˜no

(cont.)

Requisito: W 0 (C )= W vol (J )+ W 0, iso ( ¯ _C). Una var iab le inter na escalar ζ se adopta de for ma que W = W (C ,ζ ). En par ticular , W (C ,ζ )= Wvol (J )+( 1 − ζ )W 0, iso ( ¯ _C), donde (1 − ζ ) es el factor de reducci ón por da ño. La var iab le de da ño ζ depende de α (t )= m áx s∈ [0 ,t ] W0 (s ), Por ejemplo (seg ún Miehe) ζ (α )= ζ ∞ * 1 − e − α / ι + . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(30)

´ Indice

(31)

Conclusiones

La elasticidad lineal es válida par a peque ñas def or maciones (gener almente inf er iores al 5 %). La hiperelasticidad es la apro ximaci ón habitual par a mater iales que m uestr an gr andes def or maciones el ásticas . Todo mater ial hiperel ástico queda deter minado por su funci ón de densidad de energ ´ıa de def or maci ón W , funci ón escalar de la def or maci ón E . Si el mater ial es is ótropo ,W puede expresarse en funci ón de los in var iantes del tensor de Cauch y-Green por la derecha C ,que a su vez se puede expresar a par tir de los alargamientos pr incipales . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(32)

Ejercicios

1 Se ensa ya a tracci ón uniaxial una barr a con secci ón inicial A 0 ,constitu ´ıda por un mater ial neo-Hook eano incompresib le con m ódulo de elasticidad inicial E 0 .Se pide deter minar la fuerza (nor malizada con E0 A0 )en funci ón del alargamiento (hasta 2), anal ´ıticamente y usando FEAP . 2 Se infla un globo que inicialmente tiene di ámetro 1 m y espesor 0, 01 m, hasta alcanzar un di ámetro de 5 m. Est áconstitu ´ıdo por una goma de m ódulo de elasticidad inicial 3 MP a, cuy o compor tamiento se apro xima a un mater ial neo-Hook eano incompresib le .Se pide deter minar la ev oluci ón del di ámetro con la presi ón inter ior ,tanto anal ´ıticamente como usando FEAP . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(33)

Ejercicios

(cont.)

3 Un tubo de di ámetro 1 m y espesor 0, 01 m se infla mientr as se impide su alargamiento longitudinal, hasta alcanzar un di ámetro de 4 m. Est áconstitu ´ıdo por un caucho natur al cuy o compor tamiento a tracci ón uniaxial es el presentado en la figur a siguiente .Se pide ajustar un modelo de mater ial incompresib le de Moone y-Rivlin, y usar lo par a deter minar la ev oluci ón del di ámetro del cilindro con la presi ón inter ior ,tanto anal ´ıticamente como utilizando FEAP . M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño

(34)

Ejercicios

(cont.)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Tensión nominal (MPa)

Alargamiento ( − ) M étodo de los Elementos Finitos par a An álisis No Lineal Elasticidad, Viscoelasticidad y Da ño