Método directo de diseño por peso mínimo de secciones de concreto reforzado en flexión

Método directo de diseño por peso mínimo de secciones

de concreto reforzado en flexión

Diego Miramontes De León1

1 _{Programa de Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería, Universidad Autónoma de Zacatecas, e-mail:} diego.miramontes@gmail.com, web: http://www.uaz.edu.mx/dmiram

Profesor de carrera desde 1983, Ingeniero Civil por la Universidad Autónoma de Zacatecas, Maestría en Construcción de estructuras por la Universidad Autónoma del Estado de México y Doctorado por el Instituto Nacional de Ciencias Aplicadas de Lyon, Fr. Actualmente profesor y subcoordinador del programa de doctorado interinstitucional en ingeniería civil del CUMex.

RESUMEN

En este trabajo, se replantea el procedimiento de diseño para elementos de concreto presforzado propuesto por Khachaturian y Gurfinkel al caso del concreto reforzado. Además de ser un método de diseño óptimo y directo, resultan expresiones simples cuando se utilizan hipótesis comunes como el bloque rectangular del concreto a compresión y comportamiento elastoplástico del acero, las cuales sugieren su programación. El procedimiento propuesto facilita el diseño de secciones rectangulares T o I en donde se pre-establecerá el nivel de deformación máxima del acero a tensión, además de elegir, si la sección se quiere con simple o doble refuerzo. El enfoque permite adaptar diferentes reglamentos de diseño para cumplir con los requisitos de seguridad impuestos, obteniéndose expresiones particulares para cada caso. Se presentan al final del trabajo, varios ejemplos para el reglamento de construcciones del Distrito Federal en donde se comparan los resultados entre el método propuesto y el método convencional.

1. INTRODUCCIÓN

En el diseño de secciones de concreto reforzado sujetas a flexión, es común proponer las dimensiones de la sección para posteriormente calcular el acero que se requiere para soportar el momento de diseño. Una vez calculado este acero, es necesario verificar que el acero requerido esté dentro de los límites definidos por el porcentaje de acero mínimo y máximo. También es común que sólo se verifique la fluencia del acero a tensión o compresión comparando la deformación unitaria que alcanza el acero. Si esto ocurre, la sección propuesta es correcta, en caso contrario, se modifican las dimensiones propuestas.

El procedimiento anterior, provoca una deformación en el refuerzo, que puede no estar previamente definida, por lo que se debe verificar que sea aceptable.

Un mejor intento de una deformación predefinida, es el establecer un valor del porcentaje de refuerzo por usar, y dejar como variable alguna dimensión de la sección o la relación entre las mismas.

Para una sección rectangular, el procedimiento descrito es relativamente simple, sin embargo, si se pretende diseñar una sección T ó I, las relaciones entre las dimensiones de la sección, pueden complicar la solución que determinará la cantidad de refuerzo que requiere tal sección.

En el presente trabajo, se describe un procedimiento de diseño directo, en el cual, el peso propio de la sección está implícito en las ecuaciones de diseño, lo que provoca que la sección tenga un peso mínimo de acuerdo a una forma preseleccionada (Khachaturian y Gurfinkel, 1979) . Es decir, el método propuesto requiere elegir entre una sección rectangular, T o I y además, escoger entre simplemente o doblemente armada y además, proponer una deformación unitaria deseada.

2. FORMULACIÓN ADIMENSIONAL

En este procedimiento se pueden determinar las dimensiones de la sección y el refuerzo para un valor predefinido de la deformación en el refuerzo a tensión, requiriéndose proponer un valor del peralte de la sección, y las relaciones geométricas que definen la forma de la sección. También se requiere conocer el valor del momento por carga viva, muerta, sobre impuesta, impacto etc. Se podrá observar que para cada valor en la deformación unitaria del refuerzo a tensión, se obtendrá una solución (Miramontes, 1989).

El planteamiento propuesto se basa en las suposiciones básicas de la resistencia a flexión de elementos de concreto reforzado, que se enlistan a continuación :

1. La distribución de la deformación en el concreto, varía linealmente con la profundidad al eje neutro.

2. La deformación del acero es igual a la deformación en el concreto a nivel del refuerzo. 3. Los diagramas esfuerzo-deformación de los materiales son conocidos.

4. La falla ocurre cuando la deformación en el concreto en la fibra a compresión máxima alcanza el valor de

5. La deformación promedio en una barra de acero no es notablemente diferente a la deformación máxima de esa barra.

Las suposiciones anteriores pueden expresarse en las siguientes ecuaciones : s u(d c)/c 1) ø ( ) i s _i i s s f   2)

Es decir, el esfuerzo está en función de la deformación, donde representa la función de variación.



u   y s s s u f d A f A f cb     0 ' ) ( ) / ( 3)



d c



f A d c f A d f b c Mr / _u



u ( )  _s' _s(  ') _{s y}  0 2 2      4)

La ecuación (1) incluye la aplicación de las suposiciones 1, 2 y 5, considerando implícito el principio de Bernoulli y el de adherencia.

La ecuación (2) implica la aplicación del diagrama esfuerzo-deformación del acero, mientras que la ecuación (3) (condición de equilibrio) y la ecuación (4) (suma de momentos) implican ambas, la aplicación del diagrama esfuerzo-deformación del concreto, así como la aplicación de la suposición 4.

La solución simultánea de las ecuaciones (1) a (4) es aplicable a secciones rectangulares, o secciones T o I, donde la profundidad del eje neutro (c) no debe ser mayor del espesor del patín superior (t).

Cuando la profundidad del eje neutro es mayor que el espesor del patín a compresión de la sección, las ecuaciones (3) y (4), pueden expresarse como la suma de los volúmenes de compresión, resultantes sobre el alma y el patín, de la siguiente forma :

 

   



 



   c t c c t c s s s y u u u u u f A f A d f bc d f c b / 0 / ' ' ) ( / / '      _   3´) 



  



u

 

    u u d d f A c d f A d f bc d f c b Mr s y s s c t c u u            ( ) / ( ) ( ') / ' / ' ' 0 2 2 2 2 4´)

Donde los primeros términos de las dos ecuaciones corresponden a la compresión y momento que se presentan sobre el alma de ancho b '.

Si la ecuación de equilibrio (en unidades de fuerza) se divide por (bdf_c'), se transforma en una expresión adimensional quedando :





 

_' 0 ' ' / c y c s u f f p f f p d f fc d c 



u     5)

De igual forma la ecuación de momentos puede dividirse entre (bd2f_c') para expresarla adimensionalmente, resultando :







      u d d d c f f p d c f f p d f f d c bd f Mr Q c s c y u c c     2 0 ' ' ' 2 2 ' ( ) (1 / ) ' ( / ) ( '/ ) ) / ( 6)

Para el caso de secciones con patín las ecuaciones (5) y (6) se pueden expresar como :

_' / ) ( ' / ) ( 0 ' ' ( ) ' ) / )( / ' 1 ( ) ( ) / )( / ' ( c c t c c c t c c u c u f fy p f fs p d f f d c b b d f f d c b b u u u    

_



           5´) ) /' / ( ' ) / 1 ( ) ( ) / )( /' 1 ( ) ( ) / )( /' ( ' / ) ( ' / ) ( 0 ' 2 2 2 ' 2 ' 2 c d d d f f p d c f f p d f f d c b b d f f d c b b f bd Mr Q c s c t c c y c t c u c u c c u u u        

_

_

            6’)

El momento último provocado por las cargas aplicadas al elemento, se puede expresar como la suma del momento debido al peso propio y el correspondiente a las cargas sobre impuestas, multiplicadas por el factor de carga como :

v v m m u Fc M Fc M M   7)

Para efecto de evitar una falla frágil, se requiere que al menos :

y

u s

s 

El requisito mínimo de diseño consistirá en que Mr = Mu, donde el momento debido al peso

propio, se puede expresar como :

F AL Mm / 2   9)

En donde:  = peso volumétrico del concreto.

A = área de la sección transversal. L = claro.

F = Factor que define las condiciones de apoyo. F es igual a 8 para una viga

simplemente apoyada con carga uniforme.

Entonces se puede plantear :

v v m m c Fc M Fc M f FrQbd2 '   10)

Ya que se pretende aplicar un diseño adimensional, se requerirá definir un factor de forma, que represente la concentración del área de la sección alrededor del eje neutro, definido como :

A/bh

ø 11)

Entonces b A/øh, que sustituido en (10) y despejando M queda : m

v m v m c m M Fc Fc Fc f FrQAd F AL M    øh / ' 2 2 12) Ahora despejando A : F L Fc f FrQd M Fc Fc A m c v m v 2 ' 2 øh    13)

La ecuación (13) representa el área requerida de concreto, que está en función del momento por carga viva Mv (más la muerta sobre impuesta en caso de existir), del factor de forma  (que

indica cómo se distribuirá el área de la sección) y del parámetro adimensional Q (momento resistente), que a su vez está en función de la relación _'

c y

f f

p (índice de refuerzo).

En la ecuación (5) y (6) (o 5' y 6') aparece la relación c/d, que del diagrama de deformaciones unitarias (Figura 1) puede verse que es igual a :

u s u d c      14)

Figura 1.- Deformaciones en una sección de la viga y esfuerzo resultantes.

Si _u para el concreto es 0.003 y al menos _s _y para el acero puede definirse la máxima relación de c/d como : 003 . 0 003 . 0 max       y d c  15)

La ecuación (15) concuerda con la definición de falla balanceada en concreto reforzado (González y Robles, 2000). El valor de d deberá ser lo más cercano posible al peralte h, pero asegurando un recubrimiento adecuado para el refuerzo inferior en tensión.

As i As u  s  i b Fs i F s Cc c f c =f( c )

‏

=

A

s f( s ) =A s f s d

La relación entre los factores de forma , y los parámetros geométricos de una sección (Figura 2) se puede expresar por :







 _  _  h t b b k ' 1 2 1 h t ø 16)

Figure 2.- Geometría de secciones transversales

Donde los diferentes valores de k, t, o b'/b pueden definir una sección rectangular, una sección T, o una I simétrica o asimétrica.

El procedimiento de diseño requiere que sean conocidos el claro L, la carga viva Wv, los factores

de carga y resistencia FCv, FCm y Fr, diagramas de esfuerzo-deformación (que para el concreto

puede usarse el bloque rectangular equivalente), y la condición de ductilidad s, de modo que

para un valor propuesto de h, A se determinará como sigue :

1. Asignar un valor a d lo más próximo a h, pero previendo el recubrimiento. 2. Proponer la forma de la sección por medio de b'/b, t/h y K, para calcular . 3. Calcular la relación c/d, de acuerdo a la condición de ductilidad.

4. Calcular p fy/f´c (a partir de la condición de Equilibrio).

5. Calcular Q y sustituirlo en la expresión de A.

6. Con las relaciones de forma, determinar la sección definitiva. 7. Obtener el área de acero a partir del paso 4.

Puede resultar muy cómodo el utilizar un bloque rectangular equivalente en lugar del volumen parabólico, que para este caso, se modificarán las expresiones (5) y (6) (o 5' y 6' según corresponda) y dependiendo del código de diseño por aplicar.

3. ADAPTACIÓN A DIFERENTES REGLAMENTOS DE DISEÑO

3.1 Reglamento de construcciones del Departamento del Distrito Federal

El procedimiento descrito antes, puede adaptarse a diferentes reglamentos de diseño, como el del Instituto americano del concreto (ACI por sus siglas en inglés), el Reglamento de construcciones del Departamento del Distrito Federal (RCDDF, 2004) o el de Reglas técnicas de concepción y cálculo de obras y construcciones en concreto armado por estados límite (BAEL, 2008), entre otros. Si además, se utiliza el bloque rectangular equivalente a compresión para el concreto, las expresiones resultantes son más simples que las obtenidas en el apartado anterior. Ya que el procedimiento general se aplicará a diferentes reglamentos, en lo que sigue se usará la misma numeración para las ecuaciones de uno u otro.

Aplicando pues el procedimiento adimensional descrito en 2 para las Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones para el Distrito Federal se tiene que el equilibrio de fuerzas está dado por la ecuación (3) y se transforma ahora en :

y s s s cab A f A f f ''  ' 

Si se toma en cuenta que a=0.8c y para cambiarlo a su forma adimensional debe dividirse por bd fc '' resultando en : '' '' ' ) / ( 8 . 0 c y c s f f p f f p d c   17)

Para el momento flexionante en forma adimensional resulta :

) / 8 . 0 1 ( ) / ' / 8 . 0 ( ' ) / ( 32 . 0 2 _'' 2 '' c d f f p d d d c f f p d c bd f Mr Q c y c s c       18)

Para el caso de secciones con patines, si la profundidad del bloque rectangular a compresión rebasa el espesor del patín, las ecuaciones (17) y (18) se transforman en :

'' '' ' ) / ' )( / 8 . 0 ( ) / ' 1 ( / c y c s f f p f f p b b d c b b d t     17´)

El momento flexionante, en forma adimensional es : ) / 8 . 0 1 ( ) / ' / 8 . 0 ( ' ) / 5 . 0 ( ) / 8 . 0 )( / ' 1 ( / _{'' ''} 2 '' c d f f p d d d c f f p d t d c b b d t bd f Mr Q c s c s c         18´)

El área de la sección transversal, puede expresarse en función de las relaciones geométricas por :







t/h1 k b'/b(1 2t/h)



bhø

bh

A     19)

Ya que se quiere imponer una valor de la deformación del acero a tensións (condición de

ductilidad), la relación (c/d) será siempre conocida, por lo tanto, la profundidad del eje netro c también se conocerá.

3.2 Reglamento europeo para concreto armado por estados límite BAEL

Para el caso del BAEL, el equilibrio de fuerzas se muestra en la Figura 3. En lo que sigue, yu quien es

la profundidad del eje neutro a partir de la fibra más comprimida, se nombrará c, 0.8yu, quien es

la profundidad del bloque a compresión, se nombrará a y para el esfuerzo del concreto se usará

f''c para dejar como válidos los coeficientes correspodientes a , y yb.

Figure 3.- Bloque rectangular del concreto comprimido

Con las adaptaciones anteriores, todas las ecuaciones presentadas en 3.1 también son válidas para el reglamento europeo.

4. VALIDACIÓN

Se compararán las geometrías resultantes para diferentes secciones transversales utilizando el método convencional de diseño y el propuesto en este trabajo. Ya que en el método convencional, la deformación del acero a máxima tensión no es definida a priori, será necesario utilizar la geometría obtenida a fin de comparar los resultados del porcentaje de refuerzo. Es importante notar que para el acero se usará una ley elasto-plástica perfecta, lo que hace el procedimiento más simple. En los ejemplos que siguen, se usará un coeficiente de seguridad para las cargas permanentes tales como la carga viva y peso propio de 1.4. Para un caso dado, deberá consultarse el apéndice A.3.1 del BAEL, las NTC-RCDDF, el ACI o el reglamento que se aplique. Debido a la similitud planteada entre los volúmenes de compresión de al menos dos reglamentos, se considera que los ejemplos muestran resultados similares para los apartados 3.1 y 3.2.

4.1 Viga simplemente apoyada con refuerzo simple a tensión

Se diseñará, por el método propuesto, una viga simplemente apoyada en la que se desea que las cargas aplicadas uniformemente distribuidas, se sostengan con una sección rectangular y simplemente reforzada. El peralte total de la sección será de 60cm, con una deformación deseada en el acero a tensión de 0.003, una resistencia del concreto de f_c'' = 250 kg/cm2 (24.517Mpa) y una longitud de la viga de 10m.

Figura 4. Viga simplemente apoyada con refuerzo simple

Los datos del problema son :

''

c

f = 250 kg/cm2 (24.517Mpa), h = 60cm, d = 55cm,



s= 0.003 , L = 10m, Wv = 2 T/m, ø = 1

(rectangular)

4.2 Método propuesto

El momento último debido a la carga viva es :

8 ) 10 ( 2 2  Mu = 25 T-m

Para una deformación del acero a tensión de 0.003>y, se tiene :

5 . 0 003 . 0 003 . 0 003 . 0    d c

De la condición de equilibrio de fuerzas :

4 . 0 ) 5 . 0 ( 8 . 0 8 . 0    d c q Ya que : aqd 0.4(55)22

donde a es la profundidad del bloque equivalente. El momento adimensional es :

 



1 0.80.5



0.32 4 . 0 ) 5 . 0 ( 32 . 0 8 . 0 1 32 . 0 2 2                          d c q d c Q

Por lo tanto, el área necesaria de la sección transversal de concreto es : 65 . 1708 8 ) 1000 ( 0024 . 0 ) 60 )( 1 ( 4 . 1 ) 170 ( ) 55 )( 32 . 0 ( 9 . 0 2500000 2 2    A cm2

Para una sección rectangular =1, entonces :

47 . 28 ) 60 ( 1 65 . 1708    h A b  cm

El porcentaje de acero está dado por :

0162 . 0 4200 ) 170 ( 4 . 0 ''    y c f qf p

2 37 . 25 ) 55 )( 47 . 28 ( 0162 . 0 cm pbd A_s   

Verificando el equilibrio interno de fuerzas se tiene :

00 . 554 , 106 ) 4200 ( 37 . 25    A_sf_y T 80 . 477 , 106 ) 22 )( 47 . 28 ( 170 ''    f ba C _c 4.3 Método convencional

Para diseñar el refuerzo por este método, se requiere incluir el peso propio de la sección, por lo que, tomando el peso volumétrico del concreto como :

3

/ 2400kg cm c 

 (23.535kN/cm3)

El ancho de la sección de acuerdo al método propuesto fue de 28.47cm. Por lo tanto el área de la sección transversal resulta en :

2 20 . 1708 ) 60 ( 47 . 28 cm bh A   En metros cuadrados es de : 2 1708 . 0 000 , 10 2 . 708 , 1 m 

El peso de la viga por unidad de longitud es 0.1708(2.4)0.41T /m, por lo que la carga última es :

m T

WD 2.41(1.4)3.374 / (33.088kN/m) Por lo anterior, el momento de diseño es :

cm kg m t l W M D D   42.175  4'217,500  8 ) 10 ( 374 . 3 8 2 2 (41,359.55kN-cm)

Con este valor es posible calcular el índice de refuerzo :

 

170(28.47)(55) 0.4 45 . 0 00 . 500 , 217 ' 4 1 1 '' 45 . 0 1 1  ₂    ₂   cbd f Mu q

Y con lo anterior, se obtiene el porcentaje de acero a tensión necesario : 01619 . 0 4200 170 4 . 0 ' '    fy c f q p El área de acero es : 2 37 . 25 ) 55 )( 47 . 28 ( 0162 . 0 cm pbd As  

Comparando los resultados entre ambos métodos, se tienen los mismos resultados (Tabla 1) Tabla 1 : Comparación de resultados entre ambos métodos

Parámetro Método propuesto Método convencional

Índice de refuerzo, q 0.4 0.4

Ancho de la sección, b (cm) 28.47 28.47

Refuerzo a tensión, As (cm 2

) 25.37 25.37

En el método convencional, la deformación del acero no es conocida. Simplemente se admite que el acero alcanza al menos la deformación de fluencia. Para verificar eso, es usual comparar el porcentaje de acero p dado por la condición de falla balanceda imponiendo c=0.003 y al

mismo tiempo s=y=fs/Es (15).

4.4 Viga simplemente apoyada con sección T y simple refuerzo

En este ejemplo se desea soportar la carga viva uniformemente distribuida con una sección T y con refuerzo simple. El peralte total de la sección será de 35cm, la deformación impuesta en el acero a tensión será de 0.005 y la resistencia del concreto de f_c'=200 kg/cm2 (19.613Mpa). La longitud de la viga será de 7m y seguirá siendo simplemente apoyada.

4.5 Método propuesto

Los datos para este caso, incluyendo las relaciones de forma son : ' c f = 200 kg/cm2 (19.613Mpa), h = 35cm, d = 30cm, L = 7m, Wv = 1 T/m, t/h = 0.2, b’/b =0.2,



s = 0.005 m T M_v  6.125  8 ) 7 ( 1 2 32 . 0 35 ) 7 ( 2 1 2 . 0 2 . 0           t = 0.2 (35) = 7cm

Imponiendo la deformación deseada en el acero :

375 . 0 003 . 0 005 . 0 003 . 0    d c 25 . 11 ) 30 ( 375 . 0   c a0.8(11.25)9cm

a  t, por lo tanto, la sección es definitivamente T. Calculando ahora el índice de refuerzo y el momento adimensional y el área de la sección transversal requerida :



1 0.2



0.8



0.375

 

0.2 0.252 24 . 0     q                   _               d c q d t d c b b d t Q 1 ' 0.8 0.5 1 0.8











0.80.375 0.50.24



0.252



1 0.8



0.375





0.211 ) 2 . 0 1 ( 24 . 0       Q 67 . 458 8 ) 700 ( 0024 . 0 ) 35 )( 32 . 0 ( 4 . 1 ) 136 ( ) 30 )( 211 . 0 ( 9 . 0 00 . 500 , 612 2 2    A cm2

A partir del factor de forma, se calculan ahora las dimensiones de la sección :

cm h A b 40.95 ) 35 ( 32 . 0 67 . 458     b'0.2b0.2(40.95)8.19cm

A partir del índice de refuerzo previamente calculado, se obtiene el porcentaje de refuerzo y con ello, el área de acero requerida :

00816 . 0 4200 ) 136 ( 252 . 0 '    y c f qf p 2 02 . 10 ) 30 )( 95 . 40 ( 00816 . 0 cm pbd As    Verificando el equilibrio : 15 . 103 , 42 ) 4200 ( 02 . 10    Asfy T



'( )



136



(40.95)(7) 8.19(9 7)



41,212.08 '' _{     }  f bt b a t C _c 4.6 Método convencional

En este caso, debe de tomarse el ancho calculado con el método propuesto, a fin de comparar los resultados del refuerzo necesario para ambos métodos, es decir b=40.95cm. De los datos anteriores, el peralte total es de 35cm y la resistencia del concreto de 200 kg/cm2 (19.613Mpa). Nuevamente el peso volumétrico del concreto se tomará como :

3

/ 2400kg cm c 

 (23.535kN/cm3) El área de la sección transversal con las dimensiones obtenidas es :

2 97 . 515 ) 7 35 ( 19 . 8 ) 95 . 40 ( 7 ) ( ' h t cm b tb A      

En metros cuadrados se tiene : 2

051597 . 0 000 , 10 97 . 515 m 

La carga debida al peso propio resulta en : wm=0.051597(2.4)0.1238T /m con lo que la carga

de diseño y el momento último son :

m T W_D 1.1238(1.4)1.57 / cm kg m T l W M D D   9.63  963,686.63  8 ) 7 ( 57 . 1 8 2 2

 

136(40.95)(30) 0.243 45 . 0 63 . 686 , 963 1 1 '' 45 . 0 1 1  ₂    ₂   cbd f Mu q

La distancia al eje neutro se puede calcular como aqd=7.29cm t, en consecuencia, sí se trata de una sección T. El acero que equilibra la fuerza de compresión dada por el patín es :

y f c sf f t b f A ''  = 2 43 . 7 4200 ) 7 )( 19 . 8 95 . 40 ( 136 cm   Y el momento resistente es : cm kg t d f A F M_{f R sf y}            0.9(7.43)(4200)(30 3.5) 743,822.35 2

El momento que queda por equilibrar es :

M’ = MD – Mf = 219,864.28 kg-cm

Con este momento se calcula el índice de refuerzo necesario y con ello el porcentaje de acero :

 

136 (8.19)(30) 0.284 45 . 0 28 . 864 , 219 1 1 45 . 0 1 1 _{'' 2 2} '        bd f M q c 0092 . 0 ''   y c f f q

p , Por lo tanto el refuerzo del alma es As = 2.26cm2

El acero total en la sección es As = 9.69cm2. Nuevamente se comparan los resultados entre ambos

métodos en la Tabla 2.

Tabla 2 : Comparación de resultados entre ambos métodos

Parámetro Método propuesto Método convencional

Índice de refuerzo, q 0.252 0.244

Ancho de la sección, b (cm) 40.95 40.95

Refuerzo a tensión, As (cm 2

4.7 Viga simplemente apoyada con sección T y doble refuerzo por el método propuesto

A diferencia de los ejemplos anteriores, ahora se desea que en la viga haya doble refuerzo para soportar las cargas aplicadas. El peralte total de la sección será de 45cm, la deformación en el acero a tensión será de 0.004, la resistencia del concreto f_c''=250 kg/cm2 (24.517Mpa) y la longitud de la viga será de 8m (Figura 6).

Figura 6. Viga simplemente apoyada con sección T y doble refuerzo

Los datos completos para el problema, en donde se incluyen las relaciones de forma, así como el porcentaje de refuerzo que se quiere a compresión, son :

''

c

f = 250 kg/cm2 (24.517Mpa), h = 45 cm, d = 40 cm, L = 8 m, Wu = 2 T/m, b’/b =0.2,



s = 0.004, t/h = 0.3, d’ = 5 cm, q’ = 0.3q, d’/d = 0.125

El momento último debido a la carga viva, el espesor del patin y el factor de forma son :

m T Mu  16.00  8 ) 8 ( 2 2 , t = 0.3 (45) = 13.5cm, 0.30.2



12(.3)



0.38,

Se impone ahora la deformación deseada en el acero a tensión, con lo que se calcula la profundidad del eje neutro :

429 . 0 003 . 0 004 . 0 003 . 0    d c c0.429(40)17.16

La profundidad del bloque a compresión es :

73 . 13 ) 16 . 17 ( 8 . 0   a

comprobación. Ahora se calculará el índice del refuerzo a tensión, recordando que el índice a compresión q’ se impuso como una fracción de q :

q q'0.3 q0.3375



10.2



0.8



0.429

 

0.2 0.3q0.3390.3q 339 . 0 3 . 0   q q 339 . 0 7 . 0 q 0.484 7 . 0 339 . 0   q q'0.3q0.3(0.484)0.145

Ahora se calcula el momento adimensional :

                  _      _               d c q d d d c q d t d c b b d t Q 1 ' 0.8 0.5 ' 0.8 ' 1 0.8











1 0.8(0.429



0.3966 484 . 0 125 . 0 ) 429 . 0 ( 8 . 0 145 . 0 ) 337 . 0 ( 5 . 0 ) 429 . 0 ( 8 . 0 ) 2 . 0 1 ( 337 . 0         Q

El área de la sección transversal es :

70 . 413 8 ) 800 ( 0024 . 0 ) 45 )( 38 . 0 ( 4 . 1 ) 170 ( ) 40 )( 3966 . 0 ( 9 . 0 00 . 500 , 612 2 2    A cm2

Con el área conocida, se calculan las dimensiones de la sección a partir de las relaciones geométricas : cm h A b 24.19 ) 45 ( 38 . 0 70 . 413 _    , b'0.3b0.3(24.19)7.26cm

Con los índices de refuerzo y con las dimensiones de la sección, se obtienen los porcentajes y cantidades de acero requeridas :

0196 . 0 4200 ) 170 ( 484 . 0 ''    fy qf p c , 0.0058 4200 170 145 . 0 '        p 2 96 . 18 ) 40 )( 19 . 24 ( 0196 . 0 cm pbd As   , 2 69 . 5 ) 40 )( 19 . 24 ( 0058 . 0 ' 's pbd cm A   

Sólo como última comprobación, el equilibrio de fuerzas internas es : kg Asfy T  18.96(4200)79,632.00





kg C170(24.19)(13.50)7.26(13.7313.5) 5.69(4200)79,697.92

5. PROGRAMACIÓN

Ya que el método propuesto es directo, la programación de los siete pasos descritos en la formulación adimensional resulta sencilla. Un ejemplo de esta programación se muestra en la Figura 7. Es conveniente recordar que no se requieren procedimientos iterativos. Las diferentes opciones de forma de la sección transversal, simple o doble refuerzo, más los datos propios de un problema dado deben aparecer en el menú del programa (Castañón, 2009).

6. CONCLUSIONES

Se propuso un método de diseño directo para secciones de concreto reforzado sujetas a flexión. Las dimensiones de la sección transversal quedan definidas por la geometría deseada, entre ellas, rectangular, T o I, además de definir, desde el inicio del diseño, si se quiere que sea simplemente armada o con refuerzo a compresión. Otro aspecto importante del método, es que la deformación del acero a tensión se impone a un valor deseado, por lo general, mayor al de fluencia, con lo que se garantiza la ductilidad de la viga.

El procedimiento de diseño es directo y puede adaptarse a diferentes reglamentos. En este trabajo se mostró la posibilidad de adaptarlo a dos de ellos, en donde se consideraron con valor unitario, la mayoría de los factores que se intervienen en el reglamento BAEL para conservar la generalidad de su aplicación.

Por último debe agregarse que el procedimiento propuesto es directo y resulta adecuado para su programación, siendo ésta muy simple, ya que no requiere de aproximaciones.

7. BIBLIOGRAFÍA

-Castañón Romo N, (2009).- Programación del método de diseño a flexión por ductilidad en secciones de concreto reforzado. Tesis de Maestría en Ingeniería, Fac. Ingeniería, UAZ.

-González Cuevas O & Robles F.V. (2000)- Aspectos fundamentales del concreto reforzado.- Ed. Limusa. 675p.

-Khachaturian N., & Gurfinkel, G., (1979).- Concreto Presforzado. Ed. Diana, México. 506p. -Miramontes De León D. (1989).- Diseño adimensional por ductilidad en elementos de concreto a flexión, XV Congreso de la Academia Nacional de Ingeniería, A.C. Zacatecas, México.

-RCDDF, Gaceta Oficial del Distrito Fedral. (2004.)- Tomo 1, 103 Bis.- Normas Técnicas Complementarias del Reglamento de Construcciones del Departamento del Distrito Federal. pp 88-194.

-Règles BAEL 91 (DTU P18-702) (2008) : Règles techniques de conception et de calcul des ouvrages et constructions en béton armé suivant la méthode des états limites + Amendement A1 (février 2000), Edition S153-Septembre 2008.