CALCULO GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

CALCULO

GRADO EN INGEN. INFORM. DEL SOFTWARE. 12-13

TEMA 1. FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL

1.1: Conjuntos Numéricos.

Un conjunto es una colección de objetos. Los objetos de un conjunto se llaman los elementos del conjunto. Para indicar que un elemento x está en el conjunto

A

escribimos x∈A y para indicar lo contrario escribimos x∉A. A menudo se representan los conjuntos mediante llaves encerrando a sus elementos. Así pues 1∈

{

−1 ,0,1,2

}

pero 0∉

{

1 ,2,3

}

.

De los conjuntos numéricos se definen en primer lugar los números naturales N

{

1,2,3,. . .

}

= con los cuales se pueden realizar las operaciones de suma y multiplicación para que el resultado siga siendo un número natural.

Método de inducción.

Se considera el conjunto N =

{

1,2 ,3, . . .

}

. Sea

P

una propiedad que puede verificar o no un número natural; expresamos que

P

(n

)

es cierto si el número natural n verifica la propiedad

P

. Si se verifica

i)

P

(

1

)

es cierto, es decir, el primer número natural verifica

P

. ii) Si es cierto

P

(n

)

entonces también lo es

P

(

n

+

1

)

.

Entonces todo número natural verifica la propiedad

P

. Ejercicio:

Demostrar aplicando el principio de inducción que

2

)

1

(

...

2

1

+

+

+

n

=

n

n

+

∀n∈N Solución: Para n = 1 obtenemos

2

2

.

1

1

=

cierto

Supongamos, por hipótesis de inducción, que es cierta la igualdad para n y debemos demostrarla para n+1 :

2

)

2

)(

1

(

1

...

2

1

+

+

+

n

+

n

+

=

n

+

n

+

2

)

2

)(

1

(

2

)

1

(

2

)

1

(

1

2

)

1

(

1

...

2

1

+

+

+

n

+

n

+

=

n

n

+

+

n

+

=

n

n

+

+

n

+

=

n

+

n

+

A continuación se definen los números enteros

Z

=

{

. . .−3,−2,−1,0,1,2,3,. . .

}

con los cuales se pueden realizar las operaciones de suma, resta y multiplicación para que el resultado siga siendo un número entero. Seguidamente se consideran los números racionales

Q

=

{

p/q ; p,q∈Z y q ≠0

}

con los cuales se pueden realizar las cuatro operaciones elementales de suma, resta, multiplicación y división por un número distinto de cero.

Ejemplos:

0

.

5

2

0

.

3

3

1 =

0

.

142857

142857

7

1 =

…

0

.

1

6

6

1 =

número infinito de cifras decimales pero repetidas periódicamente.

Veamos ahora que 2 no es un número racional, es decir, que 2 no se puede expresar de la forma

p /

q

siendo esta una fracción irreducible (es decir que

p

y

q

no tienen divisores comunes a excepción de la unidad).

Si

2

=

p /

q

⇒

2

=

p

2

/

q

2

⇒

p

2

=

2q

2

⇒

p

2 es par

⇒

p

es par ; entonces

N k∈

∃ /

p

=

2

k

⇒

p

2

=

4k

2

=

2q

2

⇒

q

2

=

2k

2

⇒

q

2 es par

⇒

q

es par .

En este caso

p

y

q

serian pares lo que contradice el hecho de que

p

y

q

no tengan divisores comunes.

Los números como 2,

π

, … se les llama irracionales; el conjunto de los números racionales ampliado con los irracionales forman el conjunto de los números reales

R

.

Así, por ejemplo, las raíces de la ecuación polinómica

x

2

− x

3

+

1

=

0

son números reales

2

5

3

±

=

x

irracionales

Sin embargo, las raíces de la ecuación polinómica

x

2− x2 +3=0 no son números reales.

x

1

2

i

2

8

2

±

−

₌

_±

=

números complejos o imaginarios.

Si

A

y

B

son conjuntos, entonces decimos que

A

está contenido en

B

y lo representamos

A

⊂

B

si y sólo si todo elemento de

A

es también un elemento de

B

(se dice que

A

es un subconjunto de

B

).

Así, por ejemplo,

N

⊂

Z

⊂

Q

⊂

R

.

Producto cartesiano.

AxB=

{

(a,b)/a∈A y b∈B

}

Ejemplos: Si A=

{ }

0, 1 B=

{ }

1,2 AxB=

{

( )

0,1 ,(0,2),(1,1),(1,2)

}

BxA=

{

(1,0),(1,1) ,(2,0),(2,1)

}

Si A= B=

[ ]

0,1 , AxB=

{

(x,y) / x∈

[ ]

0,1 , y∈

[ ]

0,1

}

cuadrado unidad

Intersección.

A∩B=

{

x/x∈A y x∈B

}

; si

A

⊂

B

⇒

A

∩

B

=

A

Ejemplos:

A=

{

x∈R / x>1

}

, B=

{

x∈R / x<3

}

, A∩B=

{

x∈R / 1< x<3

}

Unión.

A∪B=

{

x / x∈A ó x∈B

}

; si

A

⊂

B

⇒

A

∪

B

=

B

Ejemplo: A=

{

x∈R / x>1

}

, B=

{

x∈R / x>3

}

A∩B=

{

x∈R / x>3

}

A∪B=

{

x∈R / x>1

}

Propiedades de orden en R

* o bien a<b , o b<a , o a=b * Si a≤b y b≤c, entonces

a

≤

c

* Si a≤b , entonces a+c≤b+c ∀c∈R

* Si a≤b y c>0 entonces ac≤bc

* Si a≤b y c<0 entonces ac≥bc . Por tanto si a≤b entonces −a≥−b

* Si a≤b, siendo

a y

b

no nulos del mismo signo, entonces

b

a

1

1 ≥

Valor absoluto de un número real.

Dado un número real x el valor absoluto de x, denotado por x, se define de la siguiente manera, x = x si x≥0 , x =−x si x≤0

Otras caracterizaciones son,

x =max

{

x, −x

}

; x = x2

interpretación geométrica: x =distancia entre x y 0. x− c = distancia entre x y c. Ejemplos:

x−1= x−1 si x≥1 ; x−1=1−x si x≤1

x

2

−

1

=

x

2

−

1

si

x

2

≥

1

;

x

2

−

1

=

1

−

x

2 si

x

2

≤

1

, es decir,

Ejercicio:

Hallar los x

∈

R

tales que x+3+ x−3 <8

Propiedades del valor absoluto.

Sean

x

,

y

∈

R

. Se verifica 1) x ≥0 y x =0

⇔

x=0 2) −x = x 3) xy = x y 4) − x ≤x≤ x 5) x ≤

δ

⇔

−

δ

≤x≤

δ

6) x− c ≤

δ

⇔

c−

δ

≤x≤c+

δ

7) x+ y ≤ x + y ; x−y ≤ x + y 8) x−y ≥ x − y 9) y x y x = si

y

≠

0

Ejercicio:

Hallar los x

∈

R

tales que x−2 ≥1 Solución:

x−2 ≥1

⇔

x−2≥1 ó x−2≤−1

⇔

x≥3 ó x≤1

Ejercicio:

Hallar los x

∈

R

tales que

x

2

−

1

≥

1

Solución:

x

2

−

1

≥

1

⇔

x

2

−

1

≥

1

ó

x

2

−

1

≤

−

1

⇔

x

2

≥

2

ó

x

2

≤

0

⇔

x

≥

2

ó x=0

⇔

x≥ 2 ó x≤− 2 ó x=0

Ejercicio:

Hallar los x

∈

R

tales que

1

1

≤

+

x

x

Solución:

1

1

≤

+

x

x

⇔

1

1

1

≤

+

≤

−

x

x

Si x>−1,

1

1

1

≤

+

≤

−

x

x

⇔

−x−1≤ x≤x+1

⇔

2x≥−1

⇔

x≥−1/2 Si x<−1 ,

1

1

1

≤

+

≤

−

x

x

⇔

−x−1≥x≥x+1 no existe x

Ejercicio:

Hallar los x

∈

R

tales que

1

1

2

+

≤

x

x

Conjuntos acotados.

Un conjunto

A

⊂

R

se dice que está acotado superiormente

⇔

:

∃

M

∈

R

/ x≤M ∀x∈A

M se denomina cota superior para

A

Un conjunto

A

⊂

R

se dice que está acotado inferiormente

⇔

:

∃

m

∈

R

/ x≥m ∀x∈A

m se denomina cota inferior para

A

Un conjunto

A

⊂

R

está acotado

⇔

: está acotado superior e inferiormente

⇔

∃

K

∈

R

+ / x ≤K ∀x∈A

Axioma del supremo (ínfimo).

Sea

A

un conjunto de números reales acotado superiormente. Entonces

A

tiene extremo superior o supremo, denotado por

sup

A

, que coincide con la menor de las cotas superiores. Sea

A

un conjunto de números reales acotado inferiormente. Entonces

A

tiene extremo inferior o ínfimo, denotado por

inf

A

, que coincide con la mayor de las cotas inferiores. Si el supremo pertenece al conjunto

A

se llama máximo y se denota maxA. Si el ínfimo pertenece al conjunto

A

se llama mínimo y se denota

min

A

.

Intervalos acotados.

Dados

a

,

b

∈

R

se tiene

(

a ,b

)

=

{

x∈R / a<x<b

}

intervalo abierto ;

[ ]

a,b =

{

x∈R / a≤x≤b

}

cerrado

(

a,b

]

=

{

x∈R / a< x≤b

}

;

[

a,b

) {

= x∈R / a≤x<b

}

Intervalos no acotados.

Dados

a

,

b

∈

R

se tiene

(

a,∞

)

=

{

x∈R / x>a

}

;

[

a,∞

)

=

{

x∈R / x≥a

}

(

−∞,b

)

=

{

x∈R / x<b

}

;

(

−∞ ,b

]

=

{

x∈R / x≤b

}

;

(

−∞,∞

)

=R Ejercicio

Hallar, si existen, el supremo, ínfimo, máximo y mínimo de los subconjuntos de

R

siguientes: a) A=

( )

0,4

sup

A

=

4 ;

inf

A

=

0 ; no existe máximo ni mínimo de

A

. b) B= N =

{

1,2,3, . . .

}

inf

B

=

min

B

=

1

; no existe supremo ni máximo de

B

. c)

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

,

...

4

1

,

3

1

,

2

1

,

1

d)

D

=

{

x

/

x

2

+

5

x

−

6

≤

0

}

0

6

5

2

+ x

−

=

x

⇔

2

7

5

2

24

25

5

−

±

=

+

±

−

=

x

; x=1 ó x=−6

x

2

+ x

5

−

6

≤

0

⇔

(

x

−

1

)(

x

+

6

)

≤

0

⇔

(

x

−

1

)

≤

0

y

(

x

+

6

)

≥

0

ó

(

x

−

1

)

≥

0

y

(

x

+

6

)

≤

0

⇔

x≤1 y x≥−6 ó x≥1 y x≤−6

⇔

x≤1 y x≥−6

D=

[

−6,1

]

sup

D

=

max

D

=

1

; inf D=minD=−6

1.2: Funciones reales de una variable real.

Nociones preliminares.

Se llama función real de variable real a toda aplicación f :D⊂R→R , donde D es un conjunto de números reales denominado dominio de la función. Designaremos por

x

a un elemento de D y por y= f(x) a su imagen por la aplicación f .

Dom

f

=

{

x

∈

R

/

f

(

x

)

∈

R

}

,

Im

f

=

{

y

∈

R

/

∃

x

∈

D

,

f

(

x

)

=

y

}

= f(D) Ejemplos:

f

(

x

)

=

x

2 Dom f = R

Im f

= ,

[

0

+∞

)

f(x)= x+4 Dom f

=

[

−

4

,

+∞

)

Im f

= ,

[

0

+∞

)

1 1 ) ( − = x x f

Dom

f

= R

−

{}

1

Im

f

= R

−

{ }

0

El conjunto de todos los puntos del plano

(

x

,

f

(

x

)

)

con

x

∈

D

forman la gráfica de la función f

Ejemplos:

f

(

x

)

=

x

f

(

x

)

= x

+

1

Función monótona.

Sea f :D⊂ R→ R una función real de variable real, y

S

⊂

D

.

f es monótona creciente en

S

⇔

:

∀

x

₁

,

x

₂

∈

S

x

₁

<

x

₂

⇒

f

(

x

₁

)

≤

f

(

x

₂

)

f es monótona decreciente en

S

⇔

:

∀

x

₁

,

x

₂

∈

S

x

₁

<

x

₂

⇒

f

(

x

₁

)

≥

f

(

x

₂

)

f es estrictamente creciente en

S

⇔

:

∀

x

₁

,

x

₂

∈

S

x

₁

<

x

₂

⇒

f

(

x

₁

)

<

f

(

x

₂

)

f es estrictamente decreciente en

S

⇔

:

∀

x

₁

,

x

₂

∈

S

x

₁

<

x

₂

⇒

f

(

x

₁

)

>

f

(

x

₂

)

Ejemplos:

f

(

x

)

=

x

2 es estrictamente creciente en

[

0

,

+∞

)

y estrictamente decreciente en

(

−

∞

,

0

]

.

f

(

x

)

=

x

3 es estrictamente creciente en todo

R

.

Función acotada.

Sea f :D⊂ R→ R una función real de variable real, y

S

⊂

D

.

f está acotada superiormente en

S

⇔

:

∃M∈R/ f(x)≤M ∀x∈S , es decir, si el conjunto imagen

f

(

S

)

=

{

f

(

x

)

/

x

∈

S

}

es un conjunto acotado superiormente.

f está acotada inferiormente en

S

⇔

:

∃m∈R/ f(x)≥m ∀x∈S , es decir, si el conjunto imagen

f

(

S

)

=

{

f

(

x

)

/

x

∈

S

}

es un conjunto acotado inferiormente.

f está acotada en

S

⇔

: f está acotada superiormente e inferiormente en

S

⇔

S

x

)

(

/

≤

∀

∈

∈

∃

+

K

x

f

R

K

, es decir, si el conjunto imagen

f

(

S

)

=

{

f

(

x

)

/

x

∈

S

}

es un conjunto acotado.

Ejemplos:

f

(

x

)

=

x

2 está acotada inferiormente en R y no está acotada superiormente en R ya que

[

+∞

)

= ,

0

Im f

. Por tanto inf f(x) 0 min f(x)

R x R

x∈ = = ∈ ;

sup

_x∈R

f

(

x

)

y maxx∈R f(x) no existen.

f

(

x

)

=

x

2 está acotada en el intervalo

[

−

5

,

9

]

ya que

Im

f

=

[

0

,

81

]

. Por tanto [ ]

(

)

0

min

[ ]

(

)

inf

9 , 5 9 , 5

f

x

x

f

x

x∈−

=

=

∈− ; _x∈sup[_−5,9] f(x)=81= xmax∈[−5,9] f(x)

f

(

x

)

=

x

2 está acotada en el intervalo

(

−

5

,

9

)

ya que

Im

f

=

[

0

,

81

)

. Por tanto ( )

(

)

0

min

( )

(

)

inf

9 , 5 9 , 5

f

x

x

f

x

x∈−

=

=

∈− ; _x∈

sup

(_−5,9)

f

(

x

)

=

81

, x

max

∈(−5,9)

f

(

x

)

no existe.

Ejercicio. Sea

2

16

1

)

(

2

−

−

=

x

x

f

Obtener el dominio y la imagen de f ¿Es f acotada en su dominio? Determinar, si existen, el supremo, máximo, ínfimo y mínimo de f en su dominio

Función par e impar: Simetrías.

Sea f :D⊂R→ R tal que

−

x

∈

D

si

x

∈

D

f es par

⇔

:

f(−x)= f(x) ∀x∈D

La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje de ordenadas y la grafica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.

Ejemplos:

f

(

x

)

=

x

4 es par ;

f

(

x

)

=

x

7 es impar

Función periódica.

Sea f :D⊂R→ R una función real de variable real.

f es periódica

⇔

:

existe h∈ R+ tal que f(x)= f(x+h)

∀

x

∈

D

El período p de una función periódica es el valor más pequeño de

h

que verifica la igualdad anterior.

Ejercicio:

Sea

f

(

x

)

=

[ ]

x

función parte entera de

x

, es decir, la función que a cada número real le asigna el mayor entero que sea menor o igual a él (función floor en Matlab). Comprobar que la función

g

(

x

)

=

x

−

f

(

x

)

=

x

−

[ ]

x

es periódica de período uno.

Operaciones con funciones.

Sean f y g dos funciones reales de variable real tales que Dom f =Domg =D. Definimos la función suma de la forma siguiente:

f +g: D⊂ R→ R tal que (f +g)(x)=: f(x)+g(x)

∀

x

∈

D

La función nula 0_f

:

R

→

R

tal que 0_f(x)=0

∀

x

∈

R

verifica f + 0_f = f

La función opuesta de f , − f : D⊂R → R tal que (−f)(x)=: − f(x)

∀

x

∈

D

verifica f +(−f)=0f

Definimos la función producto fg: D⊂R→ R tal que

(fg)(x)=: f(x)g(x)

∀

x

∈

D

La función unidad 1_f :R → R tal que 1_f(x)=1

∀

x

∈

R

verifica f 1_f = f

La función reciproca de f ,

D

R

R

f

:

1

1

⊂

→

tal que

⎟⎟

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

)

(

1

x

f

:

(

)

1

x

f

∀

x

∈

D

1 siendo

D

₁

=

{

x

∈

D

/

f

(

x

)

≠

0

}

, verifica f

f

f

1

=

1

.

Definimos la función cociente

R

R

g

f

D

:

₂

⊂

→

tal que

_⎟⎟

=

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

)

(

x

g

f

:

)

(

)

(

x

g

x

f

∀

x

∈

D

₂ siendo

D

₂

=

{

x

∈

D

/

g

(

x

)

≠

0

}

.

Nota: Si Dom f ≠Dom g con Dom f ∩ Domg≠ conjunto vacio, entonces: Dom(f +g)= Dom(fg)=Dom f ∩Dom g

Dom

(

f

/

g

)

=

(

Dom

f

∩

Dom

g

)

-

{

x

/

g

(

x

)

=

0

}

Ejemplos: *

f

(

x

)

=

x

2 1 ) ( − = x x x g Dom f =R

Dom

g

= R

−

{}

1

1

1

)

)(

(

2 3 2

−

+

−

=

−

+

=

+

x

x

x

x

x

x

x

x

g

f

Dom

(

f

+

g

)

=

R

−

{}

1

1

)

)

(

3

−

=

x

x

x

fg

Dom

(

fg

)

= R

−

{}

1

*

⎩

⎨

⎧

>

−

≤

=

0

si

1

0

si

)

(

x

x

x

x

f

⎩

⎨

⎧

≥

<

−

=

1

si

1

si

)

(

₂

x

x

x

x

x

g

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

+

−

<

<

−

−

≤

=

+

1

si

1

1

0

si

1

0

si

0

)

)(

(

2

x

x

x

x

x

x

g

f

⎩

⎨

⎧

≥

≤

−

<

<

=

1

ó

0

si

1

0

si

)

)(

(

₂

x

x

x

x

x

x

fg

Composición de funciones y función inversa.

Sean dos funciones f y g tales que Img∩Dom f

≠

conjunto vacio. Definimos la función “ g compuesta con f ” y se denota f _og de la siguiente forma:

(

f

_o

g

)

(

x

)

=

:

f

(

g

(

x

)

)

∀x∈Domg / g(x)∈Dom f

Análogamente, si Im f ∩Dom g

≠

conjunto vacio, se define la función “ f compuesta cong” y se denota g_o f de la siguiente forma:

(

g

o

f

)

(

x

)

=

:

g

(

f

(

x

)

)

∀x∈Dom f / f(x)∈Domg

La composición de funciones verifica la propiedad asociativa, es decir,

(

f

_o

g

)

_o

h

=

f

_o

(

g

_o

h

)

. No verifica, en general, la propiedad conmutativa, es decir,

f g g

f _{o ≠ o} . El elemento neutro de la composición es la función identidad I , es decir,

f I

Ejemplo:

f

(

x

)

=

x

2

+

x

3 ) (x x g = Dom f =Domg =R

(

f _og

)

(x)= f

(

g(x)

)

= f

( ) ( )

3 x = 3 x 2 +3 x

(

g

_o

f

)

(

x

)

=

g

(

f

(

x

)

)

=

g

(

x

2

+

x

)

=

3

x

2

+

x

Ejercicio.

Obtener f _og, g_o f y sus dominios respectivos en los casos siguientes: a)

f

(

x

)

= x

2

+

1

, g(x)= x b) f(x)= x−3 ,

g

(

x

)

= x

2

+

1

f :D⊂R→ R es inyectiva

⇔

:

∀

x

₁

,

x

₂

∈

D

/

f

( )

x

₁

=

f

( )

x

₂

⇒

x

₁

=

x

₂ Ejemplos: f(x)= xx( −1) no es inyectiva en R ya que f(0)= f(1)

f

(

x

)

=

x

3 es inyectiva.

f

(

x

)

=

x

2 no es inyectiva en R . Lo es en

[

0

,

+∞

)

y en

(

−

∞

,

0

]

Si

f

es una función inyectiva (en cierto dominio) entonces existe una única función

g

definida sobre la imagen de

f

, es decir,

g :Im f → R

tal que

f

(

g

(

x

)

)

=

x

g Dom f

x∈Im =

∀

. Así pues,

Img =Dom f

. A esta función

g

se le llama inversa de la

función

f

y se denota por

f

−1

. Por tanto

f

(

f

−1

(

x

)

)

=

x

∀x∈Im f

, es decir,

f

_o

f

−1

=

I

Se verifica también que

f

−1

(

f

(

x

)

)

=

x

∀x∈Dom f

, es decir,

f

−1

_o

f

=

I

Ejemplos:

f(x)=x

f

−1

(

x

)

=

x

x x f( )= 1

x x f −1( )= 1

3 ) (x x f =

f

−1

(

x

)

=

x

3

f(x)=1−

(

x−.2

)

1/3

f−1(x)=

(

1−x

)

3 +2

Veamos esto último,

f

(

f

−1

(

x

)

)

=

x

⇔

1

−

(

f

−1

(

x

)

−

2

)

1/3

=

x

⇔

(

f

−1

(

x

)

−

2

)

1/3

=

1

−

x

⇔

f −1(x)=

(

1−x

)

3+2

Ejercicio.

Funciones elementales.

Función potencial entera

f

(

x

)

=

x

n

,

n

∈ N

∪

{ }

0

Dom f =R

,

Im f = R

si

n es impar ,

[

0

,

+∞

)

si

n >0 es par ,

{}

1 si

n =0

Si

n es impar entonces

f

es estrictamente creciente en

R

.

Función polinomica.

f(x)=a +a x+a x +...+anxn 2 2 1 0

n

∈ N

∪

{ }

0

a

n

≠

0

Dom f =R . Si

n

=

1

recta ; si

n

=

2

parábola, ...

Función racional.

Es cociente de dos funciones polinomicas.

_m m n n

x

b

x

b

x

b

b

x

a

x

a

x

a

a

x

f

+

+

+

+

+

+

+

+

=

...

...

)

(

₂ 2 1 0 2 2 1 0

=

)

(

)

(

x

Q

x

P

;

Dom

f

=

{

x

∈

R

/

Q

(

x

)

≠

0

}

Ejemplo:

)

1

)(

1

)(

1

(

1

5

2

)

(

₂ 2 3

+

+

−

−

+

−

=

x

x

x

x

x

x

x

f

;

Dom

f

= R

−

{

−

1

,

1

}

Funciones circulares y sus inversas.

f(x)=sen(x) Dom f =R

Im

f

=

[

−

1

,

1

]

f(x)=arcsen(x)

Para definir la función inversa nos restringimos a un dominio donde la función seno sea inyectiva, R 2 , 2 ⎥⎦ → ⎤ ⎢⎣ ⎡−

π

π

Para cada

x

∈

[

−

1

,

1

]

se define arcsen(x) como el único ∈_⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤

2 , 2

π

π

y tal que x y sen( )=

Dom

=

[

−

1

,

1

]

=_⎢⎣⎡− _⎥⎦⎤ 2 , 2

Im

π

π

es acotada, creciente e impar

f(x)=cos(x) Dom f =R

Im

f

=

[

−

1

,

1

]

f(x)=arccos(x)

Para definir la función inversa nos restringimos a un dominio donde la función coseno sea inyectiva,

[ ]

0

,

π

→

R

Para cada

x

∈

[

−

1

,

1

]

se define arccos(x) como el único

y

∈

[ ]

0

,

π

tal que

x y)= cos(

Dom

=

[

−

1

,

1

]

Im

=

[ ]

0

,

π

es acotada y decreciente

)

cos(

)

(

)

(

)

(

x

x

sen

x

tg

x

f

=

=

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{∈ ≠ − ∈} = x k k Z f Dom , 2 ) 1 2 ( / R x

π

Im f =R

No es acotada en su dominio. Es impar y periódica de periodo

π

Para cada número real

x

se define arctg(x) como el único ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ∈ 2 , 2

π

π

y tal que x y tg( )=

Dom

=

R

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 , 2

)

(

1

)

(

)

cos(

)

(

cot

)

(

x

tg

x

sen

x

x

g

x

f

=

=

=

;

)

cos(

1

)

sec(

)

(

x

x

x

f

=

=

)

(

1

)

(

cos

)

(

x

sen

x

ec

x

f

=

=

Se verifica:

sen

2

(

x

)

+

cos

2

(

x

)

=

1

; sen(2x)=2sen(x)cos(x) ;

cos(

2

x

)

=

cos

2

(

x

)

−

sen

2

(

x

)

2 ) 2 cos( 1 ) ( 2 x x sen = − ; 2 ) 2 cos( 1 ) ( cos2 x = + x

sec

2

(

x

)

=

1

+

tg

2

(

x

)

;

cos

ec

2

(

x

)

=

1

+

cot

g

2

(

x

)

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + =sen x sen x x 2 2 ) cos(

π

π

Función exponencial.

f

(

x

)

=

a

x ,

a

>

0

Dom

=

R

;

Im

=

(

0

,

∞

)

si

a

≠

1

,

Im

=

{}

1

si

a

=

1

Es estrictamente creciente si

a

>

1

y estrictamente decreciente si

0

< a

<

1

a0 =1 ; axay =ax+y ∀ ,x y∈R ; x _x a a− = 1

∀

x

∈

R

Función logarítmica.

Se llama función logarítmica de base

a

>

0

(a≠1),

f

(

x

)

=

log

a

(

x

)

, a la inversa de la

función exponencial.

Dom

= ,

( )

0

∞

; Im= R

Es estrictamente creciente si

a

>

1

y estrictamente decreciente si

0

< a

<

1

.

Si

a

=

e

, el logaritmo se llama neperiano o natural y se representa

log(

x

)

ó

l

n

(

x

)

. Si

a

=

10

se llama decimal. Se verifica:

)

(

)

(

)

(

log

a

l

x

l

x

n n a

=

; ) ( .l a x x _n e

a = ;

log

_a

(

1

)

=

0

; log_a(xn)=n.log_a(x)

log

_a

(

x

.

y

)

=

log

_a

(

x

)

+

log

_a

(

y

)

;

log

_a

(

x

/

y

)

=

log

_a

(

x

)

−

log

_a

(

y

)

1.3: Límites de funciones.

Límite finito en un punto.

Consideremos una función f definida en las “ proximidades ” de un punto

c

, aunque no necesariamente en

c

, es decir, f :D⊂R→ R y

c

punto de acumulación de D. La función f tiene límite

l

∈

R

en el punto

c

si “ f(x) está tan próximo a

l

como queramos siempre que

x

este suficientemente próximo a

c

”. La definición rigurosa es la siguiente: f x l c x→ ( )= lim

⇔

∀

ε

>

0

∃

δ

>

0

/

0

<

x

−

c

<

δ

⇒

f

(

x

)

− l

<

ε

x

∈

D

δ

depende, en general, de

ε

y del punto

c

.

El límite es independiente de que la función este o no definida en el punto

c

. Ejemplo:

x

c

c x→

=

lim

∀c

>

0

∀

ε

>

0

∃

δ

>

0

/

0

<

x

−

c

<

δ

⇒

x

− c

<

ε

x

≥

0

≤ − <

δ

=

ε

+ − = + − = − c c c x c x c x c x c x c x ;

δ

=

c

.

ε

Límites laterales. f x l c x = − → ( ) lim

⇔

∀

ε

>

0

∃

δ

>

0

/

c

−

δ

<

x

<

c

⇒

f

(

x

)

− l

<

ε

x

∈

D

f x l c x→ + = ) ( lim

⇔

∀

ε

>

0

∃

δ

>

0

/

c

<

x

<

c

+

δ

⇒

f

(

x

)

− l

<

ε

Ejemplos: f(x)=−1 si x>0 , f(x)=1 si x<0 lim ( ) 1 0− = → f x x ; lim ( ) 1 0+ =− → f x z

g(x)= x ; lim ( ) 0 0+ = → g x x No existe lim ( ) 0 f x

x→ en el ejemplo anterior ya que

f x l f x f x l c x c x c x→ ( )= ⇔ lim→ − ( )= lim→ + ( )= lim Límites infinitos.

La función f tiene límite

+

∞

(respectivamente −∞) en el punto

c

si “ f(x) se puede hacer tan grande (resp. tan pequeña) como queramos, siempre que

x

este suficientemente próximo a

c

. Análogamente se definen los límites laterales infinitos.

Ejemplos: =+∞ →₀ 2 1 lim x x ; →0− 2 =−∞ 1 lim x x ; lim→0+log( )=−∞ x x ₋ =−∞ → _x x 1 lim 0 ; ₊ =+∞ → _x x 1 lim 0 ; ₋− =+∞ → 1 lim 0 x x ; ₊ − =−∞ → _x x 1 lim 0

Límite finito en el infinito.

La función f tiene límite

l

cuando la variable

x

tiende a

+

∞

(res. −∞ ) si “ f(x) está tan próximo a

l

como queramos siempre que

x

sea suficientemente grande ( res. pequeño) “. Ejemplos: lim 1 =0 −∞ → _x x ; _x 0 1 lim = +∞ → x ;

0

e

lim

x

=

−∞ → x ;

lim

→+∞

(

0

.

5

)

=

0

x x

Límite infinito en el infinito.

De manera análoga se pueden considerar límites infinitos cuando la variable

x

tiende a

+

∞

ó −∞. Ejemplos:

+∞

=

+∞ → 2

lim x

x ; →−∞

=

+∞

2

lim x

x ; →+∞

=

+∞

x x

lim

e

;

=

+∞

− −∞ → x

Se verifica:

• Si una función tiene límite, finito o infinito, en un punto

c

ó en

±

∞

, entonces dicho límite es único.

• Teorema de la función intermedia. Sean f , g y

h

tres funciones reales definidas en las “ proximidades ” de un punto

c

y supongamos que g(x)≤ f(x)≤h(x) para todo

x

perteneciente a un entorno reducido de

c

, es decir,

∀x

∈

(

c

−

δ

,

c

+

δ

)

−

{ }

c

. Si

l x h x g c x c x→ ( )=lim→ ( )= lim , entonces f x l c x→ ( )=

lim . c y l pueden ser finitos ó infinitos.

• Si lim ( )=0

→c f x

x y g es una función acotada en un entorno reducido de

c

entonces

se verifica que lim ( ) ( )=0

→c f x g x x . Ejemplo. lim . 1 0 0 ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ → xsen _x x ya que limx→0x=0 y

1

1

≤

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

x

sen

∀x

≠

0

• f x l R c x→ ( )= ∈ lim

⇔

lim

(

( )−

)

=0 →c f x l x

⇔

lim

x→c

f

(

x

)

−

l

=

0

Operaciones con límites de funciones.

Si f x l R c x→ ( )= ∈ lim y g x m R c x→ ( )= ∈

lim siendo

c

∈

R

ó c=±∞ , se verifica:

[

f x g x

]

l m c x→ ( )+ ( ) = + lim ;

[

f x g x

]

l m c x→ ( )− ( ) = − lim ;

[

a f x

]

al c x . ( ) . lim = →

∀

a

∈

R

[

f x g x

]

lm c x ( ) ( ) . lim = → ; x c

_g

_x

_m

1

)

(

1

lim

=

→ y

_m

l

x

g

x

f

c x→

₍

₎

=

)

(

lim

si

m

≠

0

Si alguno o ambos de los límites

l

y

m

es infinito se verifica un resultado análogo, aunque se pueden presentar indeterminaciones. Veamos esto con más detalle.

Si = =+∞ → → ( ) lim ( ) lim f x g x c x c x

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=limx→c

[

f(x)g(x)

]

=+∞ Si = =−∞ → → ( ) lim ( ) lim f x g x c x c x

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=−∞ y limx→c

[

f(x)g(x)

]

=+∞ Si lim ( )= >0 →c f x l

x y limx→cg(x)=+∞

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=limx→c

[

f(x)g(c)

]

=+∞

+ →

₍

₎

= 0

)

(

lim

x

g

x

f

c x Si lim ( )= <0 →c f x l

x y limx→cg(x)=+∞

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=+∞ , limx→c

[

f(x)g(c)

]

=−∞

− →

₍

₎

= 0

)

(

lim

x

g

x

f

c x

Si lim ( )=0 →c f x x y limx→cg(x)=+∞

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=+∞ y

₍

₎

0

)

(

lim

=

→

_g

_x

x

f

c x Si lim ( )= >0 →c f x l

x y limx→cg(x)=−∞

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=limx→c

[

f(x)g(c)

]

=−∞

− →

₍

₎

= 0

)

(

lim

x

g

x

f

c x Si lim ( )= <0 →c f x l

x y limx→cg(x)=−∞

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=−∞ , limx→c

[

f(x)g(c)

]

=+∞

+ →

₍

₎

= 0

)

(

lim

x

g

x

f

c x Si lim ( )=0 →c f x x y limx→cg(x)=−∞

⇒

limx→c

[

f(x)+g(x)

]

=−∞ y

₍

₎

0

)

(

lim

=

→

_g

_x

x

f

c x Si =+∞ → ( ) lim f x c x y limx→cg(x)=−∞

⇒

limx→c

[

f(x)g(c)

]

=−∞ Si =+∞ → ( ) limf x c x y limx→cg(x)=l<0

⇒

→

₍

₎

=

−∞

)

(

lim

x

g

x

f

c x Si =+∞ → ( ) limf x c x y limx→cg(x)=l >0

⇒

→

₍

₎

=

+∞

)

(

lim

x

g

x

f

c x Si =−∞ → ( ) lim f x c x y limx→cg(x)=l<0

⇒

→

₍

₎

=

+∞

)

(

lim

x

g

x

f

c x Si =−∞ → ( ) lim f x c x y limx→cg(x)=l >0

⇒

→

₍

₎

=

−∞

)

(

lim

x

g

x

f

c x Indeterminaciones. ∞−∞ 0 0 ∞ ∞

0

.

∞

00

1

∞

∞

0

Asíntotas.

x

=

a

es una asíntota vertical de la función f si se verifica alguna de las condiciones siguientes: ₋ =+∞ → ( ) lim f x a x ó ₋ =−∞ → ( ) lim f x a x por la izquierda ₊ =+∞ → ( ) lim f x a x ó ₊ =−∞ → ( ) lim f x a x por la derecha

Ejemplo: x x e x f − − = 1 1 1 ) (

Dom

f

= R

−

{ }

0

,

1

− → − − =0 1 lim 0 _x x x

⇒

− − → −

=

1

lim

1 0 x x x

e

⇒

= =+∞ − = _{− +} → − 0 1 1 1 1 ) ( lim 0 f x x + → + − =0 1 lim 0 x x x

⇒

− + → +

=

1

lim

1 0 x x x

e

⇒

= =−∞ − = _{+ −} → + 0 1 1 1 1 ) ( lim 0 x f x

x

=

0

es asíntota vertical por la izquierda y por la derecha

= =+∞ − + →− 0 1 1 lim 1 _x x x

⇒

=

=

+∞

∞ + − →−

e

e

x x x 1 1

lim

⇒

0 1 1 ) ( lim 1− = −∞ = → f x x = =−∞ − − →+ 0 1 1 lim 1 x x x

⇒

lim

1

0

1

=

=

−∞ − →+

e

e

x x x

⇒

1 0 1 1 ) ( lim 1 = − = + → f x x

x

=

1

no es asíntota vertical b

y= es una

asíntota horizontal de la función

f

si

f x b

xlim→+∞ ( )=

y/o

xlim→−∞ f(x)=b

En el caso de que ambos límites sean iguales a “b” la curva y= f(x) se “pega” a la asíntota por los dos lados (en la parte de la derecha y en la de la izquierda).

Ejemplo: x x e x f − − = 1 1 1 ) (

1

1

1

1

1

1

lim

1

lim

=

−

−

=

−

=

−

→+∞ +∞ →

x

x

x

x x

⇒

_{1 1} 1 ) ( lim ₁ − = − = ₋ +∞ → _e e e x f x

Se obtienen los mismos resultados si

x

→

−∞

. 1 − = e e

y es una asíntota horizontal por los dos lados.

y=ax+b,

a

≠

0

, es una asíntota oblicua de la función f si lim

[

( )−( + )

]

=0

+∞

→ f x ax b

x y/o xlim→−∞

[

f(x)−(ax+b)

]

=0

a y b se determinan de la siguiente manera: x x f a x ) ( lim +∞ → = ; b

[

f x ax

]

xlim ( )− . = +∞ →

y/o lo mismo con límite en el −∞ , pero en cualquiera de los casos a,b∈R ,

a

≠

0

. Una función puede tener una asíntota horizontal y una oblicua pero no en el mismo “lado “. Ejemplo: x x e x f − − = 1 1 1 )

( no tiene asíntotas oblicuas

Ejercicio.

Obtener las asíntotas de la función ₂

3

)

1

(

)

(

+

=

x

x

x

f

Infinitésimos e infinitos.

Se dice que la función f es un infinitésimo en el punto

c

∈

R

si lim ( )=0

→c f x x

Se dice que la función f es un infinito en el punto

c

∈

R

si

=

+∞

→

(

)

lim

f

x

c x

Las definiciones anteriores y las que siguen se pueden extender al caso

c

=

+∞

,

c

=

−∞

Dadas dos funciones f y g infinitésimos en el punto

c

se dice que f es de orden superior

a g si

0

)

(

)

(

lim

=

→

_g

_x

x

f

c

x y se dice que f es de orden inferior a g si →

₍

₎

=

+∞

)

(

lim

x

g

x

f

c x Ejemplos:

f

(

x

)

=

x

2 es de orden superior a g(x)= x en

c

=

0

f(x)= x−1 es de orden inferior a

g

(

x

)

= x

2

(

−

1

)

2 en

c

=

1

En el caso de que

)

(

)

(

lim

x

g

x

f

c

x→ sea un número real distinto de cero las dos funciones son

infinitésimos del mismo orden en el punto

c

. Ejemplo:

2xcos(x) es un infinitésimo del mismo orden que

x

cuando

x

→

0

.

Dadas dos funciones f y g infinitésimos en el punto

c

se dice que f y g son

equivalentes, cuando

x

→

c

, y se denota f ≈ g si

1

)

(

)

(

lim

=

→

_g

_x

x

f

c x .