UNIDAD
4
Pruebas de Hipótesis
OBJETIVO EDUCACIONAL
Al término de esta unidad el alumno:
Aplicará la metodología de la prueba de hipótesis para inferir el comportamiento de alguna característica de la población o de un proceso para la toma de decisiones.
4.1 Introducción
Hipótesis Estadística. Es una afirmación o conjetura respecto a una o más poblaciones.
Hipótesis Nula. Establece que no hay diferencia significativa entre el valor supuesto y el valor
verdadero del parámetro, se representa por H0 : 0.
Hipótesis Alternativa. El rechazo de la hipótesis nula da como resultado la aceptación de una
hipótesis alternativa, que se representa por H1 y que admite la posibilidad de que el verdadero valor del parámetro sea diferente, mayor que o menor que el valor supuesto 0 .
Error tipo I. Consiste en rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera. P(Error Tipo I ) = Error Tipo II. Consiste en aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa. P(Error Tipo II ) = Procedimiento general Para Pruebas de Hipótesis
1. Establecer las Hipótesis Nula y Alternativa. 2. Seleccionar el Estadístico de Prueba adecuado.
3. Establecer la Regla de Decisión para el nivel de significancia seleccionado ( ). 4. Evaluar el estadístico de prueba para los valores observados en la muestra. 5. Tomar una Decisión: Rechazar o No rechazar la hipótesis Nula.
hipótesis nula.
Pruebas Bilaterales y Unilaterales
i) Pruebas de dos Extremos: 0 1
0
0 vs H
H : :
Región de Región de Aceptación Región de
rechazo rechazo
Regla de Decisión Rechazar H
ii) Pruebas de Extremo Izquierdo: 0 1
0
0 vs H
H : :
Región de Región de Aceptación
rechazo
Regla de Decisión Rechazar H
iii) Pruebas de Extremo derecho: 0 1
0
0 vs H
H : :
Región de Aceptación Región de rechazo Mean,Std. dev. 0,1 Normal Distribution x
de
ns
ity
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 1 - / 2 / 2 C1 0 C2 Regla de decisión: 2 1 0 C x ó C x si H Rechazar 1 - Mean,Std. dev. 0,1 Normal Distribution xde
ns
ity
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 1 - C1 0 Regla de decisión: 1 0 si x C H Rechazar 1 - Mean,Std. dev. 0,1 Normal Distribution 0.4Errores Tipo I y II
Ejemplo 4.1 Se desarrolla una nueva cura para cierto tipo de concreto que tiene como resultado
un coeficiente de compresión de 5000 kg / cm2 y una desviación estándar de 120 kg / cm2. Para
probar la hipótesis de que 5000 contra la alternativa de que 5000, se prueba una
muestra aleatoria de 50 piezas de concreto y se rechaza la hipótesis nula si x 4970. Evaluar: a) el riesgo de cometer error tipo I cuando H0 es verdadera
b) el riesgo de cometer error tipo II para la alternativa 4960
Solución a) % . . ) . ( / ) ) ( 84 3 0384 0 77 1 z F 50 120 5000 4970 z F 5000 4970 x P( H P(rechazar I) tipo error P 0 0
el 3.84% de las muestras de tamaño 50, obtenidas de la población con media de 5000 tendrán una media menor de 4970, por lo que se cometerá el error de rechazar la hipótesis de que
5000 siendo verdadera.
b)
% . . . ) . ( / ) ) ( 76 27 2776 0 7224 0 1 59 0 z F 1 50 120 4960 4970 z F 1 4960 4970 x P( H P(aceptar I) I tipo error P 0 0 el 27.76% de las muestras de tamaño 50, obtenidas de la población con media de 4960 tendrán una media mayor de 4970, por lo que se cometerá el error de aceptar la hipótesis de que
5000
siendo falsa.
1. Suponga que un alergólogo desea probar la hipótesis de que al menos 30% del público es alérgico a algunos productos de queso. Explique cómo el alergólogo podría cometer
a) un error tipo I b) un error tipo II
2. Una socióloga se interesa en la eficacia de un curso de entrenamiento diseñado para lograr que más conductores utilicen los cinturones de seguridad en los automóviles. a) ¿Qué hipótesis prueba si comete un error
del tipo I al concluir de forma errónea que el curso de entrenamiento no es efectivo?
b) ¿Qué hipótesis prueba si comete un error del tipo II al concluir de forma errónea que el curso de entrenamiento es efectivo?
3. Se acusa a una empresa de discriminación en sus prácticas de contratación
a) ¿Qué hipótesis se está probando si un jurado comete un error tipo I al encontrar que la compañía es culpable? b) ¿Qué hipótesis se está probando si un
jurado comete un error tipo II al encontrar culpable a la empresa?
4. Se estima que la proporción de adultos que viven en un pequeño pueblo y que son egresados universitarios es p = 0.3. Para probar esta hipótesis, se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos. Si el número de graduados en la muestra es una cantidad cualquiera entre 2 y 1, se aceptará la hipótesis nula de que p =0.3; de otra forma, se concluirá que p 0.3.
a) Evalúe suponiendo que p = 0.3.
5. Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y se define que la región de aceptación es 48 x 72, donde x es el
número de egresados universitarios en la muestra.
6. La proporción de familias que compra leche de la compañía A en una ciudad se cree que es p = 0.6. Si una muestra aleatoria de 10 familias indica que 3 o menos compran leche de la compañía A, se rechazará la hipótesis de que p = 0.6 en favor de la alternativa p < 0.6.
a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo 1 si la proporción verdadera es p = 0.6.
b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II para las alternativas p = 0.3,
p = 0.4 y p = 0.5.
7. Repita el ejercicio 6 cuando se seleccionan
50 familias y se determina que la región
crítica es x 24. donde x es el número de
familias de la muestra que compran leche de la compañía A.
8. Un establecimiento para lavado en seco afirma que un nuevo removedor de manchas eliminará más del 70% de las manchas a las cuales se le aplique. Para verificar esta afirmación, el producto se utilizará en 12 manchas que se escogieron al azar. Si se eliminan menos de 11 manchas, se aceptará la hipótesis nula de que p = 0.7; de lo contrario, se concluirá que p> 0.7.
a) Evalúe suponiendo que p = .7.
b) Evalúe para la alternativa p = 0.9.
9. Repita el ejercicio 8 cuando se tratan de eliminar 100 manchas y se determina que la
Croft afirma que más del 40% de los que padecen de artritis ósea experimentaban cierto alivio con el uso de un ingrediente producido por una especie particular de almeja encontrada en las costas de Nueva Zelanda. Para probar esta afirmación, el extracto de almeja se les administrará a 7 pacientes artríticos. Si 3 o más de ellos tienen un alivio. Se aceptará la hipótesis nula de que p = 0.4; de lo contrario, se con-cluirá que p < 0.4.
a) Evalúe , suponiendo que p = 0.4.
b) Evalúe para la alternativa p = 0.3.
11. Repita el ejercicio 10 cuando a 70 pacientes se les da el extracto de almeja y se define que la región crítica es x < 24, donde x es el número de enfermos de artritis ósea que alcanzan cierta mejoría. 12. A una muestra aleatoria de 400 votantes de
una cierta ciudad se le pregunta si está a favor de un impuesto adicional a la venta de gasolina para proporcionar ingresos necesarios para efectuar trabajos de reparación de calles. Si más de 220 pero menos de 260 están a favor del impuesto, se concluirá que el 60% de los votantes está a favor.
a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes está a favor del nuevo impuesto.
b) ¿Cuál es la probabilidad de cometer un error tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si sólo 48% de los votantes está a favor del nuevo impuesto?
13. Suponga, en el ejercicio 12, que se concluye que el 60% de los votantes está a favor del nuevo impuesto a la gasolina, si más de 214 pero menos de 266 votantes en el ejemplo están a favor. Demuestre que esta nueva región de aceptación resulta en un valor más pequeño para a costa de
incrementar.
14. Un fabricante ha desarrollado un nuevo hilo para pesca. del cual afirma que tiene un coeficiente promedio de ruptura de 15 kg con una desviación estándar de 0.5 Kg. Para probar la hipótesis de que = 15
contra la alternativa de que < 15, se
probará una muestra de 50 hilos de pesca. La región crítica se define como x 14.9. a) Encuentre la probabilidad de cometer un
error tipo I cuando H0 es verdadera.
b) Evalúe para las alternativas = 14.8 y = 14.9 Kg.
15. Una máquina despachadora de refrescos ubicada en Longhorn Steak House se ajusta de tal forma que la cantidad de refresco servida esta distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 200 mil y una desviación estándar de 15ml. Se verifica la máquina periódicamente tomando una muestra de 9 refrescos y calculando su contenido promedio. Si x cae en el intervalo
209 x
191 , se piensa que la máquina está operando de forma satisfactoria; de lo contrario, se concluye que 200 ml.
a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando 200 ml.
b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II cuando 215 ml.
16. Repita el ejercicio 15 para muestras de tamaño n = 25. Utilice la misma región crítica.
17. Se ha desarrollado una nueva preparación para un cierto tipo de cemento que da como resultado un coeficiente de compresión de 5000 Kg / cm2 y una
desviación estándar de 120. Para probar la hipótesis de que 5000 en
contraposición de la alternativa de que
5000
, se verifica una muestra aleatoria de 50 piezas de cemento. Se determina que la región crítica es
4970 x .
a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando H0 es verdadera.
b) Evalúe para las alternativas 4970
y 4960.
18. Si se grafican las probabilidades de aceptar H0 correspondientes a varias
alternativas para (incluyendo el valor especificado por H0) y se dibuja una línea
continua que una todos los puntos, se
obtiene la curva característica de
operación del criterio de prueba o
simplemente la curva OC. Note que la probabilidad de aceptar H0 cuando es verdadera es simplemente 1. Las curvas características de operación son muy utilizadas en aplicaciones industriales para proporcionar una imagen visual de los méritos del criterio de prueba. Con referencia al ejercicio 15, encuentre las probabilidades de aceptar H0 para los
siguientes 9 valores de y grafique la
curva OC: 184, 188, 192, 196, 200, 204,
Procedimientos de Pruebas de Hipótesis de un Parámetro
4.3.1 Pruebas Relacionadas con la Media. Con Conocida
Ejemplo 4.2 Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida
aproximadamente en forma normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que 800 horas en contraposición de la alternativa de que
800
horas, si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04.
Solución 1) Hipótesis H0 : 800 H1 : 800 2) Estadístico de prueba: n / x z 0 0
3) Regla de decisión para 0.04. De la Tabla 1, z/2 2.05 Rechazar H0 si z0 2.05 ó z0 2.05
4) Evaluar el estadístico de prueba: 643 . 1 30 / 40 800 788 n / x z 0 0
5) Tomar una decisión: como z0 1.643 es mayor de 2.05 pero menor que 2.05
NO Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que la duración promedio de los focos producidos por este fabricante es de 800 horas.
4.3.2 Pruebas Relacionadas con la Media. Con Desconocida
Ejemplo 3.3 Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un lubricante
en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2,
9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9. 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y
suponga que: la distribución de los contenidos es normal.
Solución 1) Hipótesis
H0: 10 (El contenido promedio de los recipientes es de 10 litros)
H1: 10 (El contenido promedio de los recipientes NO es de 10 litros) 2) Estadístico de prueba: n s x t 0 0 /
con v = n -1 grados de libertad
3) Regla de decisión para 0.01 y v = 10 -1= 9 gl. De la Tabla 3, t0.005,9 3.25
Rechazar H0 si t0 3.25 ó t0 3.25
4) Evaluar el estadístico de prueba para los valores de la muestra: n = 10, x 10.06 y
2458 0 s . 7719 0 10 2458 0 10 06 10 n s x t 0 0 . / . . /
5) Tomar una decisión: como t0 0.7719 No es mayor de 3.25 NO Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que el contenido promedio de los recipientes de este lubricante es de 10 litros.
4.4 Pruebas Relacionadas con la Varianza
Ejemplo 3.3 Se sabe que el contenido de los recipientes de un determinado lubricante tiene
distribución normal con una varianza de 0.03 litros2. Pruebe la hipótesis de que 2 0.03en contraposición a la alternativa de que 2 0.03 litros2, si los contenidos de una muestra
aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9. 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que: la distribución de los contenidos es normal.
Solución
1) Hipótesis
: 2 0.03
0
H (la varianza del contenido de los recipientes es de 0.03 litros2)
: 2 0.03
1
H (la varianza del contenido de los recipientes NO es de 0.03 litros2)
2) Estadístico de prueba: 2 0 2 2 0 S ) 1 n (
con v = n -1 grados de libertad
3) Regla de decisión para 0.01 y v = 10 -1= 9 gl. De la Tabla 2, 0.005,9 1.73 y 59 23 9 995 0. , . Rechazar H0 si 0 1.73 ó 023.59
4) Evaluar el estadístico de prueba para los valores de la muestra: n = 10, y s0.2458 1253 18 03 0 2458 0 9 S 1 n 2 2 0 2 2 0 . . ) . ( * ) (
5) Tomar una decisión: como 0 18.1256 No es mayor de 23.59, Ni menor de 1.73 NO
Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que la varianza del contenido de los recipientes es de 0.03 litros2.
4.5 Pruebas Relacionadas con la Proporción
Ejemplo 3.4 Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favorecía la pena capital. ¿Se
tiene alguna razón para creer que la proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado si, en una muestra aleatoria de 150 adultos, 80 la favorecen? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Solución 2) Hipótesis
H0: P0.40 (40% de todos los adultos favorecía la pena capital)
H1: P0.40 (más del 40% de adultos favorece la pena capital hoy en día)
2) Estadístico de prueba: n ) P 1 ( P P n / x z 0 0 0 0
3) Regla de decisión para 0.05: de la Tabla 1, z0.05 1.645 Rechazar H0 si z0 1.645
4) Evaluar el estadístico de prueba para los valores de la muestra: n = 150, y x = 80
3333
3
150
4
0
1
4
0
40
0
150
80
n
P
1
P
P
n
x
z
0 0 0 0.
)
.
(
*
.
.
)
(
/
5) Tomar una decisión: como z0 3.3333 es mayor de 3.3333 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado, más del 40% de los adultos favorece la pena capital.
EJERCICIOS 4.2
Pruebas relacionadas con la media
1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que está distribuida aproximadamente en forma normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40. Pruebe la hipótesis de que
800
horas en contraposición de la alternativa de que 800horas si una
muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Uti1ice un nivel de significancia de 0.04.
2. Una muestra aleatoria de 36 refrescos de una máquina despachadora automática tiene un contenido promedio de 21.9 decilitros, con una desviación estándar de 1.42 decilitros. Pruebe la hipótesis de que
2 22.
decilitros en contraposición a ]a hipótesis alternativa, 22.2, en el nivel
de significancia 0.05.
3. En un informe de: una investigación de Richard H. Weindruch de la Escuela de Medicina de la UCLA, se afirma que ratones con una vida promedio de 32 meses llegarán hasta casi 40 cuando 40% de las calorías en su alimentación se reemplacen con vitaminas y proteínas. ¿,Hay alguna razón para creer que 40si 64 ratones que se han sujetado a esta dieta tienen una vida promedio de 38 meses con una desviación estándar de 5.8 meses? Utilice un nivel de significancia de 0.025.
4. La estatura promedio de las mujeres en el grupo de primer año de una institución de enseñanza superior es de 162.5 centímetros con una desviación estándar de 6.9 centímetros. ¿Hay alguna razón para creer que existe un cambio en la estatura promedio si una muestra aleatoria de 50 mujeres del grupo actual tiene una estatura promedio de 165.2 centímetros? Utilice un valor de P en su conclusi6n.
5. Se afirma que un automóvil recorre un promedio anual de más de 20 000 kilómetros. Para probar esta afirmación, se le solicita a una muestra aleatoria de 100 propietarios de automóvil que lleve un registro de los kilómetros que recorren. ¿Estaría usted de acuerdo con esta afirmación si en la muestra aleatoria resulta un promedio de 23 500 km y una desviación estándar de 3900 km? Utilice un valor P en su conclusión.
6. El Edison Electric /nstitute ha publicado cifras acerca de las horas anuales de uso de varios aparatos para el hogar. Afirma que un compactador de basura se usa un promedio de 125 horas al año. Si una muestra aleatoria de 49 hogares equipados con compactadores de basura indica un uso promedio anual de 126.9 horas con una desviación estándar de 8.4 horas, ¿sugiere esto que estos aparatos se utilizan, en promedio, más de 125 horas al año? Utilice un valor P en su conclusi6n.
7. Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio en recipientes de un lubricante en particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 recipientes son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9.
10.4, 10.3 Y 9.8 litros. Utilice un nivel de
significancia de 0.01 y suponga que la distribución de los contenidos es normal. 8. De acuerdo con el Dietary Goals for the
United Sta/es (Metas dietéticas para
Estados Unidos; 1977), la alta ingestión de sodio puede provocar (úlceras, cáncer estomacal y migraña (dolores de cabeza). El requerimiento humano de sal es de sólo 220 miligramos por día, el cual es sobrepasado en la mayoría de las porciones de cereales listos para comerse. Si una muestra aleatoria de 20 porciones similares de Special K tiene un contenido promedio de sodio de 244 mgr y una desviación estándar
de 24.5 mgr, ¿sugiere esto, en el nivel de significancia de 0.05, que el contenido promedio de sodio en platillos de Special K es mayor que 220 mgr? Asuma que la distribución de contenidos de sodio es normal.
9. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de una marca determinada tiene un contenido promedio de nicotina de 4.2 mgr y una desviación estándar de 1.4 mgr. ¿Está esto de acuerdo con la afirmación del fabricante de que el contenido promedio de nicotina no excede de 3.5 miligramos? Utilice un valor P en su conclusión y suponga que la distribución de los contenidos de nicotina es normal.
10. El año pasado, los empleados del Departamento de Sanidad de una ciudad donaron un promedio de $10.00 a la patrulla de voluntarios de rescate. Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia de
0.01, de que la, contribución promedio este
año es aún de $10.00 si una muestra aleatoria de 12 empleados indicó una donación promedio de $10.90 con una desviación estándar de $1.75. Suponga que las donaciones tienen distribución aproximadamente normal.
11. Por experiencias pasadas se ha encontrado que el tiempo para que realicen un examen los estudiantes del último año escolar es una variable aleatoria normal con una media de 35 minutos. Si a una muestra aleatoria de 20 estudiantes del último año le tomó un promedio de 33.1 minutos realizar este examen con una desviación estándar de
4.3 minutos, pruebe la hipótesis en el nivel
de significancia de 0.025 que 35
minutos en contraposición a la alternativa de que 35minutos.
0.03 Iitros2. Pruebe la hipótesis de que
2 = 0.03 en contraposición a la alternativa
de que 2 ≠ 0.03 para la muestra aleatoria
de 10 recipientes del ejercicio 7 de la página 56. Utilice un nivel de significancia de 0.01.
2. Experiencias pasadas indican que el tiempo para que alumnos del último año realicen un examen estandarizado es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de 6 minutos. Pruebe la hipótesis de que = 6 en contraposición a la
alter-nativa de que < 6, si una muestra
aleatoria de 20 estudiantes tiene una desviación estándar s = 4.51 al realizar este examen. Utilice un nivel de significancia de
0.05.
3. Se sabe que el contenido de nicotina de una marca de cigarros tiene distribución aproximadamente normal con una variancia de 1.3 miligramos. Pruebe la hipótesis de que 2 = 1.3, en contraposición a la
alternativa de que 2 ≠ 1.3 si una muestra
aleatoria de 8 de estos cigarros tiene una desviación estándar s = 1.8. Utilice un nivel de significancia de 0.05.
4. Datos pasados indican que la cantidad de dinero con la que contribuyeron los residentes trabajadores de una gran ciudad para un escuadrón de rescate de voluntarios es una variable aleatoria normal con una desviación estándar de $1.40. Se ha sugerido que las contribuciones para el escuadrón de rescate, sólo de los empleados del departamento de sanidad, son mucho más variables. Si las contribuciones de una muestra aleatoria de 12 empleados del departamento de sanidad tuvo una desviación estándar de $1.75. ¿se puede
5. Se afirma que una máquina despachadora de refrescos está fuera de control si la variancia de los contenidos excede 1.15 decilitros. Si una muestra aleatoria de 25 refrescos de esta máquina tiene una variancia de 2.03 decilitros. ¿Indica esto en el nivel de significancia de 0.05 que la máquina está fuera de control? Suponga que los contenidos tienen distribución aproximadamente normal.
Pruebas relacionadas con la proporción
1. Un distribuidor de cigarros asegura que más del 20% de los fumadores en Miami prefiere: los cigarros Kent. Para probar esta afirmación, se seleccionan al azar 200 fumadores de cigarros y se les pregunta qué marca prefieren. Si 60 de los 200 contestan que su marca preferida es Kent, ¿qué conclusión se saca? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
2. Suponga que, en el pasado, 40% de todos los adultos favorecía la pena capital. ¿Se tiene alguna razón para creer que "la proporción de adultos que favorece la pena capital hoy en día ha aumentado si, en una muestra aleatoria de 150 adultos, 80 la favorecen? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
3. Una moneda se lanza 200 veces, obteniéndose 50 águilas. ¿Es esto evidencia suficiente para rechazar la hipótesis de que la moneda esté desbalanceada en favor de que las águilas ocurren menos que el 50% del tiempo? Utilice un valor P.
4. Se cree que al menos 60% de los residentes en una cierta área favorece una demanda de anexión de una ciudad vecina. ¿Qué conclusión sacaría usted si sólo 110 en una muestra de 200 votantes favorecen el acta? Utilice un nivel de significancia de 0.04. 5. Una compañía productora de combustible
asegura que una quinta parte de los hogares en una cierta ciudad se calientan con petróleo. ¿Se tiene alguna razón para dudar
de esta afirmación si, en una muestra aleatoria de 1000 hogares en esta ciudad, se encuentra que 236 se calientan con petróleo? Utilice un nivel de significancia de 0.01.
6. En un colegio se estima que cuando mucho
25% de los estudiantes se traslada a clases
en bicicleta. ¿Parecería esta ser una estimación válida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes, se encuentra que 28 utilizan este transporte? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
7. Se está considerando utilizar un nuevo sistema de radar para un misil de defensa. El sistema está" verificándose mediante la experimentación con un simulador en el cual se fingen las situaciones de muerte o
no muerte. Si en 300 intentos, ocurren 250
muertes, acepte o rechace, en el nivel de significancia de 0.04, la afirmación de que la probabilidad de una muerte con el nuevo sistema no excede la probabilidad de 0.8 del sistema existente.
8. En un experimento controlado de laboratorio, científicos de la Universidad de Minnesota descubrieron que 25% de una camada de ratas sujetas a una dieta de 20% de grano de café desarrollaron tumores cancerosos. ¿Se tendría alguna razón para creer que la proporción de ratas que desarrollan tumores de este tipo cuando se sujetan a esta dieta se ha incrementado, si el experimento se repitiera y 16 de 48 ratas desarrollaran tumores? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
4.6 Procedimientos de Pruebas de Hipótesis de dos Parámetros
4.6.1 Pruebas sobre dos medias
Ejemplo 4.5 (1 y2 conocidas) Un diseñador de productos está interesado en reducir el
tiempo de secado de un pintura tapaporos. Se prueban dos fórmulas de pintura; la fórmula 1 tiene el contenido químico estándar, y la fórmula 2 tienen un nuevo ingrediente secante que debe de reducir el tiempo de secado. De la experiencia se sabe que la desviación estándar del tiempo de secado es 8 minutos, y esta variabilidad inherente no debe verse afectada por la adición del nuevo ingrediente. Se pintan 10 especimenes con la fórmula 1, y otros 10 con la fórmula 2. Los dos tiempos promedio de secado son x1 121min y x2 112 min, respectivamente. ¿A qué conclusiones puede llegar el diseñador del producto sobre la eficacia del nuevo ingrediente, utilizando 0.05? Solución 1) Hipótesis 0 2 1 :
H0 (el tiempo promedio de secado es mismo para las dos fórmulas) H1: 1 2 0 (el nuevo ingrediente disminuye el tiempo promedio de secado)
2) Estadístico de prueba: 2 2 2 1 2 1 0 2 1 0 n n d x x z
3) Regla de decisión para 0.05. De la Tabla 1, z/2 1.645
Rechazar H0 si z0 1.645
4) Evaluar el estadístico de prueba:
52 2 10 8 10 8 0 112 121 z 2 2 0 . ) ( ) (
Ejemplo 4.6 (Observaciones pareadas) Los siguientes datos son las horas-hombre que
semanalmente se pierden en promedio por accidentes en 10 plantas industriales antes y después de que se implantará cierto programa de seguridad. Utilice un nivel de significancia, 0.05 para probar si el programa de seguridad es eficaz.
Planta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Antes 45 73 46 124 33 57 83 34 26 17 Después 36 60 44 119 35 51 77 29 24 11 Diferencia, di 9 13 2 5 -2 6 6 5 2 6 Solución 1) Hipótesis
H0: d 0 (Las horas-hombre que se pierden en promedio por accidentes en plantas industriales antes y después de cierto programa de seguridad son iguales) H1: d 0 (Las horas-hombre que se pierden en promedio por accidentes en plantas
industriales disminuyeron después de cierto programa de seguridad) 2) Estadístico de prueba: n / S d d t d 0 0
3) Regla de decisión para 0.05 y v = 10 – 1 = 9 gl. De la Tabla 3, t0.05,9 1.83
Rechazar H0 si t0 1.83
4) Evaluar el estadístico de prueba para: n = 10, d 5.2 y Sd = 4.0770
0333 4 10 0770 4 0 2 5 n S d d t d 0 0 . / . . /
5) Tomar una decisión: como t0 4.0333 es mayor de 1.83 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de la muestra apoya la hipótesis de que las horas-hombre que se pierden en promedio por accidentes en plantas industriales disminuyeron después de cierto programa de seguridad.
Pruebas para la Diferencia entre dos Proporciones
Ejemplo 4.7 Se evalúan dos tipos diferentes de soluciones para pulir, para su posible uso en una
operación de pulido en la fabricación de lentes intraoculares utilizados en el ojo humano después de una cirugía de cataratas. Se pulen 300 lentes con la primera solución y, de estos, 253 no presentaron defectos inducidos por el pulido. Después se pulen otros 300 lentes con la segunda solución, de los cuales 196 resultan satisfactorios. ¿Existe alguna razón para creer que las dos soluciones son diferentes? Utilice un nivel de significancia, 0.01.
Solución
2) Hipótesis
H0: P1P2 0 (Las dos soluciones para pulir son iguales)
H1: P1P2 0 (Las dos soluciones para pulir son diferentes)
2) Estadístico de prueba: )] n / 1 ( ) n / 1 [( qˆ pˆ d pˆ pˆ z 2 1 0 2 1 0 donde pˆ(x1x2)/(n1n2) y qˆ 1 pˆ
3) Regla de decisión para 0.01. De la Tabla 1, z/2 2.575 Rechazar H0 si z02.575 ó z0 2.575
4) Evaluar el estadístico de prueba para: 07483 300 300 196 253 pˆ . y qˆ10.74830.2517 3619 5 300 1 300 1 2517 0 7483 0 300 196 300 253 z0 . ) . ( .
5) Tomar una decisión: como z0 5.3619 es mayor de 2.575 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de las muestras apoya la hipótesis de que las dos soluciones para pulir son diferentes. La primera solución produce una fracción significativamente
Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por 2 compañías cinematográficas:
Compañía Tiempo (minutos) 1 102 86 98 109 92
2 81 165 97 134 92 87 114 Pruebe la hipótesis de que 2
2 2 1 en contraposición a la alternativa 2 2 2 1 , donde 2 2 2 1 y
son las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10.
Solución 1) Hipótesis 2 2 2 1 : 0
H (Las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, son iguales)
2 2 2 1 : 1
H (Las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, son diferentes)
2) Estadístico de prueba: 2 2 2 1 0 S S
f con v1= n1 -1 y v2= n2 -1 grados de libertad
3) Regla de decisión para 0.10. De la Tabla 4,
1623 0 16 6 1 f 1 f 6 95 0 4 v 2 v21 . . . , / , y
f
0f
vv11 2f
640954
53
2, /
,.
.
Rechazar H0 si f0 0.1623 ó f0 4.534) Evaluar el estadístico de prueba para: n1 = 5, S1= 8.8769 y n2 = 7, S2= 30.2214
0863 0 2214 30 8769 8 S S f 2 2 2 2 2 1 0 . ) . ( ) . (
5) Tomar una decisión: como f0 0.0863 es menor de 0.1623 Se Rechaza H0
6) Conclusión: La evidencia de las muestras apoya la hipótesis de que las variancias para los tiempos de duración de las películas producidas por las compañías 1 y 2, son diferentes.
Pruebas sobre dos medias
12. Una muestra aleatoria de tamaño n1 = 25
tomada de una población normal con una desviación estándar de 1 5.2, tiene una media x1 81. Una segunda muestra aleatoria de tamaño n2 = 36, tomada de una
diferente población normal con una des-viación estándar de 2 3.4, tiene una media x2 76. Pruebe la hipótesis de que
2 1 en contraposición a la alternativa 2 1 . Utilice un = 0.05.
13. Un fabricante afirma que la resistencia promedio a la tensión de los tornillos A exceden la de los tomillos B al menos en 12 kg. Para probar esta afirmación, se examinan 50 piezas de cada tipo de tornillo bajo condiciones similares. El tornillo tipo
A tuvo una resistencia promedio a la
tensión de 86.7 kg con una desviación estándar de 6.28 kg, mientras para el tornillo tipo B, estos mismos estadísticos fueron de 77.8 kg y 5.61 kg, respectivamente. Compruebe la afirmación del fabricante utilizando un nivel de significancia de 0.05.
14. Se realizó un estudio para estimar la diferencia de salarios de los profesores de escuela en universidades privadas y públicas; de Carolina del Norte. Una muestra aleatoria de 100 profesores de uni-versidades privadas indicó un salario promedio, durante 9 meses, de $32 000 con una desviación estándar de $1300. Una muestra aleatoria de 200 profesores de universidades estatales mostró un sa1ario promedio de $32 900 con una desviación estándar de $1400. Pruebe la hipótesis de que el salario promedio para profesores trabajando en universidades del estado no
incremento en la concentración de sustrato tiene un efecto apreciable en la velocidad de una reacción química. La reacción se realizó) 5 veces con una concentración de sustrato de 1.5 moles por litro, con una velocidad promedio de 7.5 micromoles por
30 minutos y una desviación estándar de 1.5. Con una concentración de sustrato de 2.0 moles por litro, se corrieron 12 pruebas,
resultando una velocidad promedio de 8.8 micromoles por 30 minutos con una desviación estándar de 1.2. ¿Hay suficiente razón para creer que este incremento en la concentración de sustrato ocasiona un aumento en la velocidad promedio por más de 0.5 micromoles por 30 minutos? Utilice un nivel de significancia de 0.01 Y suponga que las poblaciones tienen distribución aproximadamente normal con variancias iguales.
16. Se realizó un estudio para determinar si el material que se trata en un curso de física se entiende mejor cuando un laboratorio forma parte del curso. Se seleccionaron aleatoriamente estudiantes para participar en, ya sea, un curso de 3 semestres/hora sin laboratorio o un curso de 4 semestres/hora con laboratorio. En la sección con laboratorio 11 estudiantes tuvieron una calificación promedio de 85 con una desviación estándar de 4.7, y en la sección sin laboratorio, 17 tuvieron una calificación promedio de 79, con una desviación estándar de 6.1. ¿Diría usted que el curso con laboratorio incrementa la calificación promedio hasta 8 puntos como máximo? Utilice un valor P en su conclusión y suponga que las poblaciones tienen distribución aproximadamente normal con variancias iguales.
to en que comenzó el experimento son los siguientes:
Con
Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9 Sin Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1
¿En el nivel de significancia 0.05, puede afirmarse que el suero es eficaz? Asuma que las dos distribuciones son normales con variancias iguales.
18. Una gran compañía manufacturera de automóviles está por decidir si comprar una marca A o una marca B de neumáticos para sus nuevos modelos. Para ayudarle a optar por una de ellas, se lleva a cabo un experimento utilizando 12 de cada marca. Los neumáticos se "corren" hasta que se dañan. Los resultados son:
Marca A 37900 x1 Km 5100 s1 Km Marca B 39800 x2 Km 5900 s2 Km
Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia 0.05. de que no hay diferencia en las dos marcas de neumáticos. Asuma que las poblaciones tienen distribución aproximadamente normal.
19. En el ejercicio 8 de la página 37, pruebe la hipótesis de que los minivehículos Volkswagen. en promedio, exceden a los minivehículos Toyota equipados de modo semejante, por 4 kilómetros por litro. Utilice un nivel de significancia de 0.10. 20. Un investigador de la Universidad de
UCLA asegura que la vida promedio de ratones puede extenderse hasta por 8 meses cuando las calorías en sus alimentos se reducen aproximadamente 40% desde el momento en que son destetados. Las dietas restringidas son enriquecidas a niveles normales con vitaminas y proteínas. Suponga que una muestra aleatoria de 10 ratones se alimenta con una dieta normal y vive un promedio de 32.1 meses con una desviación estándar de 3.2 meses, mientras
que una muestra aleatoría de 15 ratones come la dieta restringida y vive un promedio de 37.6 meses con una desviación estándar de 2.8. Pruebe la hipótesis, en el nivel de significancia de 0.05, de que la vida promedio de los ratones bajo esta dieta restringida se incrementa en 8 meses, en contraposición a la alternativa de que el incremento es menor que 8 meses. Suponga que las distribuciones de las vidas para las dietas regular y restringida son aproximadamente normales con variancias iguales.
21. Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por 2 compañías cinemato-gráficas:
Compañía Tiempo (minutos) 1 102 86 98 109 92
2 81 165 97 134 92 87 114 Pruebe la hipótesis de que el tiempo de duración promedio de las películas producidas por la compañía 2 excede al de las de la compañía 1 en 10 minutos, en contraposición a la alternativa unilateral de que la diferencia es superior. Utilice un nivel de significancia de 0.1 y asuma que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con variancias iguales.
22. En el estudio "lnterrelationships Between
Stress, Dietary Intake, and Plasma Ascorbic Acid During Pregnancy" que se
realizó en la Virginia Polytcchnic Institutc and State University, en mayo de 1983. se compararon los niveles de ácido ascórbico en plasma de mujeres embarazadas entre fumadoras y no fumadoras. Para el estudio se seleccionaron treinta y dos mujeres en los últimos tres meses de embarazo, libres de cualquier padecimiento importante y con edades entre 15 y 32 años. Antes de tomarles una muestra de sangre de 20 ml, se les solicitó a las participantes no desayunar, privarse de sus complementos vitamínicas y
evitar alimentos con un alto contenido de ácido ascórbico. De las muestras de sangre, se determinaron los siguientes valores de ácido ascórbico, en gramos por mi1ilitro, en el plasma de cada sujeto:
Valores de ácido ascórbico en plasma No fumadoras Fumadoras 0.97 1.16 0.48 0.72 0.86 0.71 1.00 0.85 0.98 0.81 0.58 0.68 0.62 0.57 1.18 1.32 0.64 1.36 1.24 0.98 0.78 0.99 1.09 1.64 0.90 0.92 0.74 0.78 0.88 1.24 0.94 1.18
¿Existe suficiente evidencia para concluir que hay una diferencia entre los niveles de ácido ascórbico en la sangre de mujeres fumadoras y no fumadoras? Suponga que los dos conjuntos de datos se toman de poblaciones normales con variancias diferentes. Utilice un valor P.
23. Un estudio en el "Nutrienr Reten/ion and
Macroinverlebrale Community Response lO Sewage Stress in a Slream Ecosyslem" se
llevó a cabo, en 1980, en el Departamento de Zoología de la Virginia Polytechnic Institute and State University para determinar si existe una diferencia significativa en la densidad de organismos en dos estaciones diferentes ubicadas en Cedar Run, un segundo ramal localizado en la cuenca del Roanoke River. Las aguas del
mediciones de densidad, en número de organismos por metro cuadrado, de las dos estaciones colectoras:
Cantidad de organismos por metro cuadrado Estaci6n 1 Estación 2 5030 4980 2800 2810 13700 1 t 910 4670 1330 10730 8130 6890 3320 11400 26.850 7720 1230 860 17 660 7030 2130 2200 22800 7330 2190 4250 1130 15040 1690
¿Puede concluirse, en el nivel de significancia de 0.05, que las densidades promedio en las dos estaciones son iguales? Suponga que las observaciones vienen de poblaciones normales con variancias diferentes.
24. Cinco muestras de una sustancia tipo ferrosa se utilizan para determinar si existe una diferencia entre un análisis químico de laboratorio y un análisis de fluorescencia de rayos X. Cada muestra se divide en dos submuestras y se aplican los dos tipos de análisis. Los siguientes son los datos codificados que muestran los análisis de contenido de fierro:
Análisis Muestras
1 2 3 4 5
Rayos X 2.0 2.0 2.3 2.1 2.4 Químico 2.2 1.9 2..5 2.3 2.4 Si se supone que las poblaciones son normales, pruebe, al nivel de
lugar de otros comunes con cinturón mejora la economía del combustible. Se equiparon doce automóviles con neumáticos radiales y recorrieron una trayectoria de prueba prescrita. Sin cambiar de conductores. se equip6 a los mismos vehículos con neumáticos regulares y de nuevo recorrieron el mismo trayecto. Se registró el consumo de gasolina. en kilómetros por litro, como sigue:
Kilómetros por litro Auto- Neumáticos Neumáticos móvil radiales normales
I 4.2 4.1 2 4.7 4.9 3 6.6 6.2 4 7.0 6.9 S .6.7 6.8 6 4.5 4.4 1 5.7 S.7 8 6.0 5.8 9 7.4 6.9 10 4.9 4.7 11 6.1 6.0 12 5.2 4.9 En el nivel de significancia de 0.025. ¿puede concluirse que los vehículos equipados con neumáticos radiales dan una mejor economía de combustible que aquellos equipados con neumáticos normales? Suponga que las poblaciones están normalmente distribuidas.
26. Utilice la distribución t para probar la hipótesis de que la dieta reduce el peso de una persona en 4.5 kilogramos en promedio, en contraposición a la hipótesis alternativa de que la diferencia promedio de peso es menor que 4.5 kilogramos. Si los
pesos de siete mujeres que siguieron esta dieta se registraron antes y después de un periodo de dos semanas. Utilice un valor P.
Mujer Peso Antes Después 1 58.5 60.0 2 60.3 54.9 3 61.7 58.1 4 69.0 62.1 5 64.0 58.5 6 62.6 59.9 7 56.7 54.4
27. De acuerdo con el artículo "Practice and
Fatigue Effecls on Ihe Programming ola Coincident Timing Response", que se
pubHc6 en el Journal of Human Movement
Studies, en 1976, la práctica bajo
condi-ciones de fatiga distorsiona los mecanismos que gobiernan el comportamiento. Se llevó a cabo un experimento con 15 estudiantes hombres, a quienes se les entrenó para realizar un movimiento horizontal continuo del brazo, de derecha a izquierda, desde un microinterruptor hasta una barrera, golpeándola coincidentemente a la llegada de la manecilla de un reloj a la posición de las 6 en punto. Se registró el valor absoluto de la diferencia entre el tiempo, en milisegundos, que toma el golpear la barrera y el momento en el que la manecilla llega a la posición de las 6 en punto (500 milisegundos). Cada participante realizó la prueba cinco veces bajo condiciones de no fatiga y con fatiga, y las sumas de las diferencias absolutas de los cinco intentos se registró como sigue:
Diferencias absolutas de tiempo (mseg) Sujeto Sin fatiga Con fatiga
2 92 59 3 65 215 4 98 226 5 33 223 6 89 91 7 148 92 8 58 177 9 142 134 10 111 116 11 74 153 12 66 219 13 109 143 14 57 164 15 85 100
Un incremento de la diferencia absoluta de tiempo promedio cuando la tarea se lleva a cabo bajo condiciones de fatiga respaldaría la afirmación de que la práctica bajo condiciones de fatiga distorsiona los mecanismos que gobiernan el comportamiento. Suponga que las poblaciones están normalmente distribuidas y compruebe esta afirmación. 28. En el estudio "Comparison 01 Sorblc Acid
in Count1)' Ham Before and Alter Slorage", que se llevó a cabo en 1983, en el
Department of Human Nutrition and Foods en la Virginia Polytechnic Institute and State University, se registraron los siguientes datos en la comparación de residuos de ácido sórbico. en partes por millón, en jamón inmediatamente después de sumergirlo en la solución ácida y 60 días después de almacenado:
nada almacenarse almacenarse
1 224 116 2 270 96 3 400 239 4 444 329 5 590' 437 6 660 591 7 1400 689 8 680 576
Si se supone que la población tiene distribución normal, ¿se tiene suficiente evidencia, en el nivel de significancia de
0.05, como para afirmar que el periodo de
almacenamiento afecta las concentraciones residuales de ácido sórbico?
29. ¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejercicio 2 si la potencia de la prueba debe ser 0.90 cuando la media verdadera es
21.31 Asuma que 1.42.
30. Si la distribución de los alcances de vida en el ejercicio 3 es aproximadamente normal, ¿qué tan grande se requiere una muestra para que la probabilidad de cometer un error tipo II sea 0.1, cuando la media verdadera es 35.9 meses? Asuma que
8 5.
meses.
31. ¿Qué tan grande se requiere una muestra en el ejercicio 4 si la potencia de la prueba es 0.95, cuando la altura promedio real difiere de 162.5 por 3.1 centímetros? 32. ¿Qué tan grandes deben ser las muestras en
el ejercicio 13 si la potencia de la prueba es 0.95, cuando la diferencia real entre tipos A y B de cuerda de tornillo es de 8 kilogramos?
34. Para probar:
14 H0 : ,
14 H1 :
se está considerando una prueba t de nivel
a = 0.05. ¿Cuál es el tamaño de muestra
necesario con objeto de que la probabilidad de aceptar erróneamente Ho sea 0.1, cuando la media poblacional real difiere de
14 por 0.51? De una muestra preliminar, se
estima que es 1.25.
35. Se llevó a cabo un estudio en el Department of Veterinary Medicine (Departamento de Medicina Veterinaria) en la Virginia Polytechnic Institutc and State University para determinar si la "resisten-cia" de una herida por incisión quirúrgica era afectada por la temperatura del cuchillo. Se utilizaron ocho perros en el experimento. La incisión se hizo en el abdomen de los animales. Se realizó una incisión "caliente" y una "fría" en cada perro y enseguida se midió la resistencia. Los datos resultantes aparecen abajo.
Perro Cuchillo Resistencia 1 Caliente 5 120 1 Frío 8 200 2 Caliente 10 000 2 Frío 8 600 3 Caliente 10 000 3 Frío 9 200 4 Caliente 10 000 4 Frío 6 200 5 Caliente 10 000 5 Frío 10 000 6 Caliente 7 900 6 Frío 5 200 7 Caliente 510 7 Frío 885 8 Caliente 1 020 8 Frío 460
a) Escriba una hipótesis apropiada para determinar si hay una diferencia significativa entre las incisiones calientes y frías.
b) Pruebe la hipótesis utilizando una prueba t pareada. Utilice un valor P en su conclusión.
36. Se utilizan nueve sujetos en un experimento para determinar si una atmósfera que contiene monóxido de carbono tiene impacto en la capacidad de respiración. Los datos los recopila el personal del Health and Physical Education Department de la Virginia Polytechnic Institute and State Universty. Los datos se analizaron en el Statistics Consulting Center de la VPI & SU. Los sujetos fueron colocados en cámaras de respiración, una de las cuales contenía una alta concentración de CO. Se tomaron varias mediciones respiratorias de cada sujeto en cada cámara. Se colocó en las cámaras en secuencia aleatoria. Los siguientes datos dan la frecuencia respiratoria, en número de aspiraciones por minuto.
Sujeto Con CO Sin CO
1 30 30 2 45 40 3 26 25 4 25 23 5 34 30 6 51 49 7 46 41 8 32 35 9 30 28
Realice una prueba de hipótesis unilateral de que la frecuencia respiratoria promedio es la misma para los dos medios ambientes. Utilice = 0.05.
Pruebas para la Diferencia entre dos Proporciones
9. En un estudio para estimar la proporción de residentes de una ciudad y sus suburbios
