WAVELETS CONCEPTO Y APLICACIONES PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES

WAVELETS

CONCEPTO Y APLICACIONES

PARA EL ANÁLISIS DE SEÑALES

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA (I)

• 1807 (1822) –

Joseph Fourier indica que toda función

periódica puede ser expresada como una suma infinita de

senos y cosenos de distintas frecuencias.

• 1909 –

El matemático húngaro Alfred Haar descubre una

base de funciones que con el tiempo demostrarán ser los

primeros wavelets.

• 1946 –

El físico Dennis Gabor descompone una señal en

paquetes de frecuencia-tiempo.

• 1981 –

El ingeniero Jean Morlet encuentra el modo de

descomponer una señal sísmica en cierto tipo de “wavelets”

de forma constante.

• 1984 -

Con la ayuda del físico cuántico Alex Grossman,

Morlet desarrolla su modelo. El término wavelet aparece por

primera vez.

INTRODUCCIÓN HISTÓRICA (II)

• 1985 –

Ives Meyer descubre el primer wavelet ortogonal

suave.

• 1986 –

Stéphane Mallat muestra que los métodos de Haar,

Gabor, Morlet...están relacionados por el mismo algoritmo de

wavelets.

• 1987 –

Ingrid Daubechies construye el primer wavelet

ortogonal con soporte compacto. Los wavelets pasan a ser

una importante herramienta práctica de cálculo.

• 1990 –

David Donoho y Johnstone usan los wavelets para

eliminar el ruido de una señal.

• 1992 –

El FBI usa los wavelets para comprimir su base de

datos de huellas dactilares.

• 2004 –

Una vez superada la gran revolución de los años 90, se

ve que no todo se puede hacer con wavelets, pero que sí

suponen una nueva herramienta útil de cálculo y análisis.

Es una técnica matemática para transformar nuestra visión de la señal de una base temporal a una base de frecuencias.

Transformada de Fourier

Para muchas señales, el análisis de Fourier es muy útil, debido al contenido de frecuencias en la señal. Entonces, para qué otra técnica como wavelets.

Porque, al transformar al dominio de frecuencias, la información temporal se pierde. Es decir, es imposible decir cuándo ocurrió un evento particular.

Ahora bien, si las propiedades de la señal no cambian mucho con el tiempo, esto es, si la señal es estacionaria, no importa mucho. Sin embargo, las señales más interesantes son no

estacionarias, pues presentan tendencias, cambios bruscos, y comienzos y terminaciones de eventos, para los cuales el análisis de Fourier NO es adecuado.

• El análisis de Fourier de una señal (supongamos temporal) permite determinar sus frecuencias, pero a costa de perder la información de tipo temporal sobre la señal (no dice cuando aparece cada frecuencia).

• Lo que se puede hacer es subdividir la pieza en trozos, y analizar cada trozo. Esto nos da una información rudimentaria sobre el orden temporal en el que se dan las frecuencias. Este tipo de análisis se conoce como la transformada

de Gabor (aplicar una ventana a los datos). Sin embargo, este tipo de análisis

es imperfecto.

• Recordemos que la resolución temporal y la resolución en frecuencias de una señal están

acopladas [Existe un principio de incertidumbre similar al de Heisenberg: Dt

.Dw ≥ p]. Existen métodos de análisis que alcanzan este máximo. Fourier es uno de ellos pero alcanza la máxima resolución espectral sacrificando la resolución temporal. Los wavelets sí dan información simultánea de t y w.

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Motivación

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Análisis funcional (I)

Consideremos la transformación lineal y continua de una

función s(t) dada por:

 

*



  

a

S a,

t

s t

dt

 

t  



 t 



a

(t

)



 t

i t / a

e

 i t / a

e





w(t

 t

)

1 t a a  t   _ _

FOURIER

GABOR

WAVELETS

[* indica complejo conjugado]

w es una función de peso (ventana) generalmente gaussiana. El coeficiente 1/a es un factor de normalización.

El análisis con Wavelets presenta interesantes diferencias frente al análisis clásico de Fourier.

Este problema, que se soluciona parcialmente mediante la introducción de una ventana, no es suficiente, a menos que sea variable, tal como es el caso de

wavelets

.

C es la suma sobre toda la señal multiplicada por versiones móviles,

escaladas, de la función

wavelet

ψ

. La C se llama transformada

continua de

wavelet

(CWT). Nótese que el análisis de

wavelet

no utiliza una región de frecuencia, sino una de

tiempo-escala.

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Análisis funcional (I)

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Presentación

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.

Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Presentación

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.

Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

Wavelet de Daubechie

(orden 4) (1987)

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Presentación

Antes de continuar, convendría hacer unas presentaciones.

Ante ustedes algunos de los wavelets más “antiguos”...

Wavelet con

Spline lineal

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Presentación

El número de wavelets existentes es enorme. En general conviene

usar aquel cuya forma se adecúe mejor al tipo de señal con la que se

trabaja. Hay wavelets contínuos/discretos, con/sin soporte

compacto, suaves/con discontinuidades, ortogonales/biortogonales..

Algunos wavelets tienen expresiones analíticas. Por ejemplo:

[Wavelet de Morlet]:

[Sombrero mexicano]:

(2ªderivada de una gaussiana)

Otros en cambio se obtienen mediante fórmulas de recurrencia, tal

como veremos más adelante.

 

2 2 0 i t 1/ 4 t / 2 0

t

e

e

w  



   p





 





2 2 t / 2 0

t

1 t

e





 



¿QUÉ ES UN WAVELET?

Representación gráfica de los coeficientes de

la transformada discreta de wavelets

• El análisis de wavelets:

• Nos da información sobre el espectro de frecuencias en función del tiempo. • La resolución espectral de una frecuencia f es: Df  f

• La resolución temporal de esta frecuencia es: Dt  1/f (Dt.Df = cte).

• Realizando una Transformada discreta de Wavelets (Similar a FFT) obtenemos una serie de coeficientes que podemos interpretar gráficamente:

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Análisis funcional (II):

Traslaciones y Dilataciones

Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una

función s(t) viene dada por:

El término t nos da las

traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet.

 

1

*

t

 

S a,

s t

dt

a

a

 

 t





t 



_

_











TRASLACIONES

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Análisis funcional (II):

Traslaciones y Dilataciones

Tal como se ha visto, una transformada de wavelets de una

función s(t) viene dada por:

El término t nos da las

traslaciones y el término “a” las dilataciones del wavelet.

 

1

*

t

 

S a,

s t

dt

a

a

 

 t





t 



_

_











DILATACIONES

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Análisis funcional (III):

Traslaciones y Dilataciones

Es decir, la señal s(t) se muestrea empleando versiones (wavelets)

del wavelet madre (dilatados y trasladados) estudiando punto a

punto para qué dilataciones y traslaciones la señal s(t) y el wavelet

son más similares.

Como es lógico, la frecuencia de la señal s(t) estudiada está

intimamente relacionada con la escala “a” del wavelet.

Por otro lado, el que el análisis sea local, es lo que le da a la

transformada de wavelets sus interesantes propiedades.

 

1

*

t

 

S a,

s t

dt

a

a

 

 t





t 



_

_











¿QUÉ ES UN WAVELET?

Representación gráfica de los coeficientes de

la transformada discreta de wavelets

Tiempo Fr ecuen ci a Dt Df

• Esta forma de descomponer una señal es bastante natural: los eventos de baja frecuencia suelen durar en el tiempo, mientras que los eventos de frecuencia alta suelen ser breves.

¿QUÉ ES UN WAVELET?

Representación gráfica de los coeficientes: EJEMPLO PRÁCTICO

Señal con altas y bajas frecuencias.

-0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 2 4 6 8 200 150 100 50 fre cue nci a tiempo

Resultado del análisis con wavelets:

Es posible seguir las frecuencias

dominantes en el tiempo.

FOURIER vs WAVELETS:

Descomposición de una señal en “ondas”

• Fourier descompone la señal en ondas sinusoidales de diferentes

frecuencias.

• Wavelet divide la señal en un conjunto ondas wavelets con distinta posición

(adelantar o retrasar) y escala (estirar o encoger) del wavelet original.

FOURIER vs WAVELETS

VENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS

• El análisis de wavelets está especialmente indicado para señales con pulsos o intermitencias: sucesos que ocurren de manera no periódica. Para estas señales, Fourier da muy poca información, al perder casi toda información temporal. • Fourier es “inestable” frente a señales de tipo intermitentes: si añadimos un impulso localizado en el tiempo a una señal, todo el espectro de Fourier se verá afectado, mientras que solo algunos coeficientes de wavelets se modificarán. • Cuando un sistema es lineal y los modos de vibración son modos propios del sistema, el análisis de Fourier proporciona mucha información sobre los mismos. Pero si no es así, la descomposición en modos propios no da información interesante, ya que mezcla la información de los varios modos de oscilación. • Al estudiar sistemas no lineales que no tienen modos propios, ninguna descomposición global en el espíritu del análisis de Fourier tendrá éxito. Uno se debe limitar a una expansión local en modos, que es lo que hace el análisis de wavelets (como un desarollo tipo Taylor).

FOURIER vs WAVELETS

VENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS

• La Transformada Discreta de Wavelets presenta además claras ventajas frente a su contrapartida de Fourier:

- Más rápida desde el punto de vista computacional: O(N) [DWT], frente a O(NlogN) [FFT] para una muestra de N datos.

- En muchos casos proporciona un mejor ajuste a los datos con menos coeficientes.(Permitiendo una mejor compresión de los datos que los métodos basados en Fourier).

- Las técnicas de filtrado de ruido basadas en wavelets dan mejores resultados.

DESVENTAJAS DE LA TRANSFORMADA DE WAVELETS

• Es una técnica reciente. Aunque en las últimos años se ha hecho un gran esfuerzo por darle todo el rigor matemático que tiene la transformada de Fourier y unificar métodos y notaciones, el ritmo de aparición de publicaciones sobre el tema hace que no sea tarea fácil.

• No permite realizar algunos cálculos como los relacionados con la convolución o la modulación de una señal...

FOURIER vs WAVELETS:

Ej: Estudio de discontinuidades en una señal.

¿Qué puede hacer el análisis de

wavelets

?

La más grande ventaja es su habilidad para realizar análisis local—es decir, analizar un área localizada de una señal más grande. Veamos un ejemplo:

Una gráfica de los coeficientes de Fourier muestra sólo un espectro plano con dos picos que representan una sola frecuencia. Sin embargo, una gráfica de los coeficientes de

FOURIER vs WAVELETS:

Ejemplo: Compresión de imágenes

JPG vs JPG-2000

FOURIER vs WAVELETS:

Ej: Filtrado de Ruido en imágenes

FILTRADO EN ESPACIO DE FOURIER: Se eliminan las frecuencias más altas FILTRADO EN ESPACIO DE WAVELETS: Se eliminan los coeficientes menores.

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Partimos de la definición indicada de la transformada:

• El trabajar con transformaciones de wavelets discretas es una práctica habitual. Esto se debe a su eficacia computacional y a que normalmente se trabaja con señales de datos discretos. Lo más común a la hora de discretizar la transformada de Wavelets continua es emplear la rejilla diádica.[Tomar a = 2i _{]. En este caso, la transformada viene dada por:}

• Cada i se denomina octava o escala, y consiste en cada uno de los niveles en los que se descompone la señal. Las escalas bajas tienen en cuenta las frecuencias bajas y las escalas altas, las frecuencias mayores.

 

i *

 

i i 1 t S 2 , s t dt 2 2    t   t    _{ }   



 

1 * t

 

S a, s t dt a a    t   t   _{ }   



DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Cuando se usan wavelets ortonormales (Desde el punto de vista de las funciones de cuadrado integrable L2_{) , lo habitual es usar un procedimiento denominado}

"decimation“ (=diezmar). Consiste en descomponer la señal en un número de coeficientes proporcional a la escala analizada. Esto hace que la señal tenga distinto número de coeficientes en cada escala. Físicamente esto refleja el hecho de que las frecuencias menores de una señal necesitan menos coeficientes para

ser representadas. Una Transformada de Wavelet diezmada es:

• Ahora el paso de obtener la versión Discretizada y Diezmada de la Transformada de Wavelet (DWT) es sencillo:



i i



*

 

i i 1 t S 2 , 2 n n s t dt 2 2         _  _   





i i



*

 

i i k 1 k ˆS 2 ,2 n n s k 2 2       _  _  



DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Definimos la familia de wavelets asociadas a un wavelet madre dado  las obtenidas mediante las siguientes traslaciones y expansiones:

• Con esto, la DWT diezmada queda:

 

i n _i i 1 t t n 2 2      _  _  



i i



i *

   

n k

ˆS 2 ,2 n









k



s k

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Toda transformada de wavelets viene determinada (como mínimo) por dos funciones (o las dos series de coeficientes (filtros) que caracterizan a estas funciones): Una función de escala madre y un wavelet madre.

• La función de escala madre tiene la importante propiedad de:

• Hay que hacer notar que en esta expresión k toma valores discretos k=0,1..N-1, mientras que t es una variable contínua. A partir de esta función madre se puede derivar de manera similar a su familia asociada de funciones de escala:

• Para unos coeficientes h_k dados es relativamente sencillo construir la función de escala madre. Partiendo de una función inicial e iterando según la relación, obtendremos (t).

• NOTA: La familia de funciones de escala forman una base ortonormal de L2

 

N 1 k k 0 t 2 h (2t k)    



  

FUNCIÓN DE ESCALA MADRE

 

i n _i i 1 t t n 2 2      _  _  

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Una vez definida la función de escala madre, el wavelet viene dado por:

• Aunque es bastante evidente no está de más enfatizar que son los coeficientes h_ky g_k (denominados filtros pasa-bajo y filtro pasa-alto) los que determinan la función de escala madre y el wavelet. En muchos casos, "Los filtros discretos son más fundamentales que los propios wavelets”.

• Por tanto, dados unos coeficientes h_k y g_k tendremos ya bien definidos tanto la función madre como los wavelets. A estos coeficientes se les imponen una serie de condiciones que caracterizan las propiedades de los wavelets que se obtendrán. Si se es excesivamente restrictivo, la única solución que se obtiene es la del wavelet de Haar. Según se van relajando condiciones aparece una amplia variedad de wavelets.

 

N 1 k





k 0 t 2 g 2t k    



  

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Para unos coeficientes h_k y g_k podemos crear las funciones de escala y wavelet madre correspondientes. En la práctica como veremos no es necesario y basta con trabajar con los coeficientes (filtros).

• FUNCIÓN DE ESCALA MADRE DE DAUBECHIES DE ORDEN 4: Viene definida por los coeficientes:

• Partimos de una función de escala inicial (por ejemplo, la función escalón) e iterando con la ecuación: iremos obteniendo la nueva función de escala.

• Con la función de escala y g_k , es fácil obtener el wavelet madre:

CREACIÓN DE WAVELETS

1 3 3 3 h(0) ; h(1) 4 2 4 2 3 3 1 3 h(2) ; h(3) 4 2 4 2               N 1 k k 0 t 2 h (2t k)    



     N 1 k   k 0 t 2 g 2t k    



  

0 1 2 3 4 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 DAUBECHIE n=4 FUNCIÓN DE ESCALA MADRE

(t)

FILTRADO DEL RUIDO DE UNA SEÑAL CON

WAVELETS

JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ

WAVELET DE DAUBECHIE DE ORDEN 4

-1 0 1 2 3 4 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

JOAQUÍN LÓPEZ HERRAIZ

DAUBECHIE n=4 WAVELET MADRE (t)  (t) t

[Tras varias

iteraciones]

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

CREACIÓN DE WAVELETS

• Son fractales. Su estructura surge automáticamente a partir de las reglas de escalado y ortonormalidad.

• Las derivadas de este wavelet no son contínuas (es una característica de wavelets de soporte compacto ortonormale).

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Sea una señal f(t) formada por N = 8 puntos. Esto nos lleva a tener M=3 escalas de descomposición de la señal (23 _{= 8 ): Como la función de escala madre forma}

una base de L2_{, podemos hacer el desarrollo:}

• Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, _2ik _y 

2i+1k, se pueden

escribir como la suma de una funcion de escala de nivel k+1 y wavelet de nivel

k+1:

DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN

WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

   

_{ }

7 0 0 i i i 0 f (t) s t  



  y 0 1 0 1 “integrar” “diferenciar”

función de escala wavelet

Ejemplo con el wavelet de Haar (=Daubechies de orden 1).

La función de escala recoge la infomación “suave” de la función y el wavelet los “detalles” de esa escala.

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Sea una señal f(t) formada por N = 8 puntos. Esto nos lleva a tener M=3 escalas de descomposición de la señal (23 _{= 8 ): Como la función de escala madre forma}

una base de L2_{, podemos hacer el desarrollo:}

• Cada par de funciones de escala de un cierto nivel k, _2ik _y 

2i+1k, se pueden

escribir como la suma de una funcion de escala de nivel k+1 y wavelet de nivel

k+1:

DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN

WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

   

_{ }

7 0 0 i i i 0 f (t) s t  





=

+

_2ik  2i+1k Fik+1 _ik+1

ESCALA 0

ESCALA 1

ESCALA 2

ESCALA 3

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN

WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

   _{ } 7 0 0 i i i 0 f (t) s t     _  _ 



    

_{ }

   

_{ }

3 3 1 1 1 1 i i i i i 0 i 0 f (t) d t s t      y _  _  





   

_{ }

   

_{ }

   

_{ }

3 1 1 1 1 2 2 2 2 i i i i i i i 0 i 0 i 0 f (t) d t d t s t       y  y  _  _  







   

_{ }

   

_{ }

   

_{ }

   

_{ }

3 1 1 1 2 2 3 3 3 3 i i i i 0 0 0 0 i 0 i 0 f (t) d t d t d t s t  

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

DESCOMPOSICIÓN DE UNA SEÑAL EN

WAVELETS Y FUNCIONES DE ESCALA

DWT

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

• Los coeficientes de la transformada a distintas escalas vienen dados por las relaciones (Convolución circular):

• Por supuesto, hay que definir en este proceso a distintas escalas, los valores de la escala inicial. En este caso, debemos saber los valores de s _i [0]_{. Como}

trabajamos con señales discretas s(i) ,, i = 1..N, una posible elección es tomar directamente: s _i[0] _{= s(i).}

• NOTA: La ventaja de usar como valores iniciales directamente los de la función consiste en que no requiere trabajar con la función de escala directamente sino sólo con los coeficientes. , aunque según las definiciones anteriores, habría que hacer:

 

_

_

   

_

_

  2i L 1 j j 1 i k k=2i 2i L 1 j j 1 i k k=2i s h k 2i s d g k 2i s            





 0 _{   } i k s 



  k i s k

Implementación de la transformada:

Convolución circular

  _{ }     _{ }   2i L 1 j j 1 i k k=2i 2i L 1 j j 1 i k k=2i s h k 2i s d g k 2i s            





DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

ESCALA 0

ESCALA 1

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

INVERSA

•

Implementación de la transformada INVERSA: (Convolución circular):  

_

_

   





    i / 2 i / 2 j 1 j j i k k k i L 2 / 2 k i L 2 / 2 s  h i 2k s g i 2k d       



  



 

ESCALA 0

ESCALA 1

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS DISCRETA

CONCLUSIONES

3 3 3 3 2 2 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 3 3 2 0 0 0 2 3 3 1 0 1 3 2 f (x) s (x) d (x) d (x) d (x) d (x) d (x) d (x) d (x) 1 x 1 x 1 x f (x) s ( ) d ( ) d ( ) 8 8 4 8 8 4 1 x 1 x 1 x d ( 1) d ( ) d ( 1) 4 2 2 4 2 2 1 d                                                     3 3 x 1 x ( 2) d ( 3) 2 2 2      2   

• Matemáticamente, el análisis de Fourier se representa por la

transformada de Fourier y divide la señal original en suma de

ondas sinusoidales.

La transformada continua de wavelet se define como la suma

de todo el tiempo de la señal multiplicado por la escala,

cambiando la función wavelet. Da como resultado coeficientes

wavelets, que están en función de la escala y la posición.

DWT

• Escalamiento del wavelet

Escalar un wavelet significa

estirarlo o encogerlo, se le

denomina factor de escala

y se representa por a.

En el seno el factor de

escala es fácil de ver:

DWT

• Desplazar un wavelet significa adelantarlo o retrasarlo al original en el tiempo.

Desplazamiento del wavelet

DWT

Cinco pasos para crear una CWT:

1. Tome una

wavelet

y compárela con una sección al inicio de la señal original. 2. Calcule un número, C, que representa

qué tanto se correlaciona la

wavelet

con la sección de la señal. Entre mayor sea C, mayor es la semejanza. Más

precisamente, si la energía de la señal y de la

wavelet

son iguales a uno, C se puede interpretar como el coeficiente de correlación. Hay que hacer notar aquí que los resultados dependen de la forma de la

wavelet

que se elija.

3. Mueva la

wavelet

hacia la derecha y repetir los pasos 1 y 2., hasta cubrir toda la señal.

4. Escale (estire) la

wavelet

y repita los pasos 1 al 3. 5. Repita los pasos 1 al 4

para todas las escalas. Al terminar, se tendrán los coeficientes producidos a diferentes escalas, por las

diferentes secciones de la señal. Los coeficientes constituyen los resultados de una regresión de la señal original obtenida por las

wavelets

.

Las gráficas de los coeficientes de la transformada de

wavelet

son precisamente la representación tiempo-escala de la señal.

Esta aparente desventaja (recordemos que el análisis de Fourier nos da

una representación frecuencia-amplitud), no es tal ya que en realidad es

mucho mas natural, y nos muestra patrones que antes no eran visibles.

Es más, podemos ver que

hay una correspondencia entre la escala de las

wavelets

y

la frecuencia que es manifiesta y proviene directamente del análisis.

CWT

Relación entre escala del wavelet y frecuencia de la señal.

Pequeña escala del wavelet (wavelet comprimido) –> se obtiene la alta frecuencia.

Alta escala del wavelet (wavelet estirado) –> se obtiene la baja frecuencia.

CWT

• Aunque requiere un cálculo más largo (se acaban usando métodos numéricos basados en FFT), tiene la ventaja de poder trabajar de un modo menos restrictivo y más intuitivo. Además, su uso es necesario para el análisis de señales con gran número de discontinuidades (análisis fino que en una discretización podría verse excesivamente afectado) [Por ejemplo, para el estudio del caos]

DWT

TRANSFORMADA WAVELETS CONTÍNUA

WAVELET DE

MORLET

 

1

*

t

 

S a,

s t

dt

a

a

 

 t





t 



_

_











Wavelet.

Aplicaciones de Wavelet.

Aplicaciones de compresión en imágenes médicas:

Reducción del ruido en señales

electrocardiográficas.

compresión en imágenes de mamografía.

Compresión de voz y vídeo.

Eliminar ruido en señales digitales.

Técnicas para la reducción de triangulos basada en

wavelets para mapas cartográficos digitales (Mallado

triangular).



3 3 2 1



1

)

(

n

DWT

cA

cD

cD

cD

x







cA

₃

cD

₃

cD

₂

cD

₁





DWT



x

(

n

)



k=0:159;

sig1=sinc(0.15*(k-40)); sig2=0.6*sinc(0.9*(k-120)); sig=sig1+sig2;

A = wrcoef('a',c,l,'db1',3)

B = wrcoef('d',c,l,'db1',3)

C = wrcoef('d',c,l,'db1',2)

D = wrcoef('d',c,l,'db1',1)

APLICACIONES: EJEMPLOS

APLICACIONES: EJEMPLOS

OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN

FRECUENCIA-TIEMPO

APLICACIONES: EJEMPLOS

OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN

FRECUENCIA-TIEMPO

Análisis 2-D – Banco de Filtros

1 h 0 h 1 h 1 h 0 h 0 h x

_diagonal

vertical

horizontal

approximation

2-D WT

APLICACIONES: EJEMPLOS

OBTENCIÓN DE INFORMACIÓN EN

IMÁGENES

APLICACIONES: EJEMPLOS

FILTRADO DE RUIDO EN SEÑALES

FUNDAMENTOS:

• 1) Pocos coeficientes de wavelets serán distintos de cero si la base es escogida adecuadamente para que tenga en cuenta las características de la

señal.

• 2) Si la señal está distribuida de modo gaussiano, los coeficientes de wavelets también estarán distribuidos de modo gaussiano. (Transforma ruido en ruido). Por tanto, si se añade ruido a una señal, éstos generarán coeficientes ruidosos, con el ruido contribuyendo a todos los coeficientes, mientras que la señal sólo lo hará a unos pocos.

i i i i 0 , s s s , s  t     _{ t}   

THRESHOLD METHOD (= HARD THRESHOLDING)

APLICACIONES: EJEMPLOS

i i i i 0 , s s s , s  t     _{ t}   

THRESHOLD METHOD (= HARD THRESHOLDING) 0 100 200 300 400 500 600 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 TRANSFORMADA DE WAVELETS FILTRADA (THRESHOLDING) SEÑAL FINAL FILTRADA SEÑAL INICIAL CON RUIDO TRANSFORMADA DE WAVELETS DE LA SEÑAL S eñ al e n t t

En este ejemplo se tomó como señal la función f(t) = 3*Cos(t/128) + r,, t=1..128, siendo r una variable aleatoria con valores entre 0 y 1 (Ruido gaussiano). Tras realizar una transformada de Wavelets (Con Wavelets de Daubechie de orden 20), se convirtieron en cero aquellos coeficientes por debajo de un valor t=0.5 [Un 87% de los coeficientes]. Al hacer la transformada inversa, se puede observar como se ha filtrado gran parte del ruido, manteniéndose la señal.

APLICACIONES: EJEMPLOS

SOFT THRESHOLDING

Pare el mismo ejemplo anterior, se aplicó este otro método en el que los coeficientes superiores al valor crítico son "comprimidos" según este valor t. Se puede observar que el filtrado de ruido es mejor que en el caso anterior.

 





i i i i i 0 , s s sign s s , s   t      _{  t  t}      0 100 200 300 400 500 600 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 Seña l en t t SEÑAL FINAL FILTRADA TRANSFORMADA DE WAVELETS FILTRADA (THRESHOLDING & SHRINKAGE) TRANSFORMADA DE WAVELETS DE LA SEÑAL SEÑAL INICIAL CON RUIDO

Aplicación de la WT en eliminación

de ruido

imagen

Imagen ruidosa (additive

Gaussian noise)

imagen

Imagen filtrada usando hard

thresholding

Aplicación de la WT en eliminación

de ruido

Aplicación de Wavelet a

la compresión de

Imágenes

• Transformada Discreta de Wavelet

(DWT)

Codificación de Imágenes

Transformada Discreta de Wavelet (DWT)

La compresión de imagenes basadas en

wavelets puede ser como una forma de

codificación subbanda en la cual la imagen es

descompuesta en bandas de frecuencia mediante

un banco de filtros.

Un codificador subbanda es una técnica de

codificación donde la señal de entrada es filtrada y

separada en bandas de frecuencia.

Al aplicar el DWT se obtiene una matriz de

coeficientes wavelets.

Codificación de Imágenes

Cuantificador

Aquí es donde se realiza la compresión realmente,

porque este paso sirve para incrementar el número de

ceros y reducir la magnitud de los coeficientes de

transformación .

Existen esquemas de compresión con pérdidas o sin

perdidas.

Los algoritmos de compresión con perdidas

proporcionan una mayor compresión que los algoritmos

sin perdida. Con esto se obtiene una matriz de

Transformada Discreta de Wavelet (DWT)

Descomposición de la Imagen

La DWT aplicada a imágenes proporciona una matriz de coeficientes conocidos como coeficientes wavelet.

Si a una imagen le aplicamos la DWT obtenemos 4 tipos de coeficientes: aproximaciones, detalles horizontales, detalles verticales y detalles diagonales.

Transformada Discreta de WaveIet (DWT)

Descomposición de la Imagen

La aproximación contiene la mayor parte de energía de la imagen,

es decir , la información más importante

Los detalles tienen valores próximos a cero.

Generalmente la energía de las imágenes se concentra en las

frecuencias bajas. Una imagen tiene un espectro que se reduce con el

incremento de la frecuencia. Estas propiedades de las imágenes

quedan reflejadas en la transformada wavelet discreta de la imagen.

En definitiva para muchas señales la información más importante

se encuentran en la frecuencias bajas, mientras que en las altas se

encuentran los detalles o matices de la señal.