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Objetivo específico
Presentar las posibilidades que ofrece la realimentación para la linealización exacta de algunos sistemas no lineales y posterior aplicación de métodos de control lineal
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Linealización por realimentación
Temas
1. Diseño de sistemas de control no lineal 2. Realimentación lineal del estado
3. Ejemplo introductorio a la linealización por realimentación
4. Generalización del método 5. Ejemplos
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Problemas de control no lineal
Problema de estabilización asintótica: encontrar una acción de control tal que iniciando desde un estado inicial en una región dada, el estado tiende a 0 cuando t → ∞. Tipos de control:
Control estático
Control dinámico
Problema de seguimiento: encontrar una acción de control tal que dada una trayectoria deseada yd e iniciando desde un estado inicial en una región dada, los errores y(t) – yd(t) tienden a cero mientras que el estado x permanece acotado
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Diseño de sistemas de control no lineal
Características deseadas
Estabilidad: especificar la región de estabilidad para el modelo nominal
Exactitud y velocidad de respuesta Robustez
Costo: número y tipo del equipo utilizado
Métodos de diseño de controladores no lineales
Tanteo
Linealización por realimentación Control adaptativo
Ganancia planificable Control robusto
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Linealización por realimentación
Algunos sistemas no lineales se pueden transformar en lineales por medio de una realimentación y un cambio de variables
La acción de control comprende dos términos:
Compensación de alinealidades
Ley de control lineal
Es un método exacto
Debido a que es imposible la compensación perfecta, es importante analizar la robustez del sistema
Al linealizar son más claros los objetivos de control No siempre la linealización por realimentación es
adecuada, ya que se pueden cancelar términos que proporcionan, por ejemplo, amortiguamiento
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Realimentación lineal del estado
Generalidades
Un sistema no lineal puede linealizarse alrededor de un p.e. y controlarlo por realimentación lineal del estado. Es un método aproximado y local
A más información mejor control
Máxima información: variables de estado
Si se miden todas las variables de estado el sistema no tendrá ceros
Requerimiento: controlabilidad del sistema
Generalmente la medición de todos los estados es costoso o impracticable. En este caso se deben estimar algunas variables de estado. Requerimiento: observabilidad del sistema
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Generalidades
El esfuerzo de control aumenta con un movimiento más drástico de los polos
El diseño por realimentación del estado puede dividirse en dos etapas ("principio de separación"):
1. Diseño con todas las variables de estado disponibles
2. Estimación de las variables de estado no medidas
Formas del controlador de realimentación del estado: Regulador estático: u(kT) = − Kx(kT), K ∈\1×n
Regulador dinámico
Métodos para la estimación de las variables de estado no medibles:
Observadores de estado (Luenberguer, 1966) Filtro de Kalman (Kalman, 1960)
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Realimentación lineal del estado
Ejemplo 1 - Método de sustitución (caso SISO)
Modelo discreto de la planta
[
]
0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎢⎡− ⎥⎤ k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x Regulador de ubicación de polos por realimentación del estado
[
]
1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x k u k k k k x k ⎡ ⎤ = − = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Kx Polos de la planta: 0.2, -0.5 Polos deseados: 0.1, 0.1© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
Ejemplo 1 (cont.)
Modelo en lazo cerrado
1 2 ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ), ( 1) ( ) ( ) 0.3 0.2 ( 1) ( ) 0.5 0 k k u k u k k k k k k k k + = + = − + = − − − ⎡ ⎤ + = ⎢⎣ ⎥⎦ x Ax B Kx x A - BK x x x
Ecuación característica en lazo cerrado
Ecuación característica deseada:
2 1 2 0, ( 0.3) 0.5 0.1 0 zI A− = z + k + z+ k − = 2 (z−0.1)(z−0.1)=z −0.2z+0.01
Solución al problema de ubicación de polos:
1 0.5, 2 0.22
k = − k =
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Realimentación lineal del estado
Ejemplo 1 (cont.) Scope K -K y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) (A, B) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t (seg) x ( t) Diagrama de simulación Resultados de la simulación
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Método de Ackermann (sistemas SISO)
Modelo del sistema: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
Forma canónica controlable del modelo del sistema
* * * * * * 1 * 1 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 c c n n n k k u k t t a a a a − − − − + = + = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − − ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ * x A x B x Tx T = M M A TAT B = TB " " # # # # " "
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Realimentación lineal del estado
Modelo en lazo cerrado
* * * * ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) k k u k u k k k k + = + = − + = − * * * * * * * x A x B K x x A B K x * * * 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 n n n n n k k k a a− a p p− p ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢− − − ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ " " " " # # " # " "
Método de Ackermann (sistemas SISO)
Polinomio característico deseado
1
1 1
( ) n n
n n
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La expresión anterior puede llevarse a una forma más simple:
[
]
[
]
* 1 1 1 1 * 1 1 1 1 n n n n n n n n c p a p a p a u p a p a p a − − − − = − − − = − − − = − − − * * * * K K x = K Tx = Kx K = K T M M " "[
]
1 1 1 1 0 0 1 ( ) ( ) c n n n n p p p − − − = + + + + K = M P A P A A A A I " " Se observa que el sistema debe ser controlable MATLAB: acker ó place
Método de Ackermann (sistemas SISO)
Solución de la ecuación anterior
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14
Realimentación lineal del estado
Ejemplo 2 - Método de Ackermann
[
]
0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎢⎡− ⎥⎤ k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x 2 2 1 0.3 , ( ) ( 0.1)( 0.1) 0.2 0.01 0 0.5 0.26 0.1 ( ) 0.2 0.01 0.25 0.11 c P z z z z z − ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ = − − = − + ⎣ ⎦ − ⎡ ⎤ = − + = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ M P A A A I[
0 1]
1 ( )[
0 1]
1 0.3 1 0.26 0.1[
0.5 0.22]
0 0.5 0.25 0.11 c − − = ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤= − ⎢ ⎥ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K = M P A© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
Ubicación de polos con señal de referencia
Los resultados anteriores pueden adaptarse a un sistema con referencia. En este caso se tiene
1 ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) k k u k u k hr k k k k hr k G z z − h + = + = − + = − + = − x Ax B Kx x A BK x B C I A + BK B z hR − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ − ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ I A B X 0 C 0 KX Y
Cálculo de los ceros
La referencia no afecta la ubicación de los polos El parámetro h afecta la amplitud de la respuesta Los ceros no varían (son los mismos del proceso) El control multifrecuencia permite ubicar los ceros
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16
Realimentación lineal del estado
Ejemplo 3 – Ubicación de polos con referencia
[
]
0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎢⎡− ⎥⎤ k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x[
]
2 1 0.5 0.22 ( 0.2) ( ) 0.2 0.01 lim( 1) ( ) 0.9877 , 1.0125 1 cl ss z z h G z z z Rz y z G z Rh R h z → = − − = − + = − = = = − K© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral
Se adiciona un integrador a la planta y se realiza el diseño sobre el nuevo modelo
El integrador se incluye luego en el regulador El modelo de la planta con el integrador es:
( ) 1 , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) 0 1 V z zV z V z E z e k r k y k E z z v k v k r k y k v k r k k k k u k r k v k v k = = + = − − + = + − = + − + ⎡ ⎤ ⎡= ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎢ + ⎥ ⎢− ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Cx x A 0 x B 0 C
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Realimentación lineal del estado
Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral
Ley de control , ( )u k hr k( ) ( )k lv k( ) l ⎡ ⎤ ′ =⎢ ⎥ = − + − ⎣ ⎦ K K Kx
r(k) e(k) v(k) u(k) x(k) y(k)
h l K 1 z -1 Integrador Planta C Planta (A,B) Estructura de control Regulador
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Ejemplo 4 - Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral
[
]
0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎢⎡− ⎥⎤ k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x 2 ( ) ( 0.1)( 0.1) 0.2 0.01 P z = z− z− =z − z+ 1 1 2 2 ( 1) 0.3 0.2 0 ( ) 1 0 ( 1) 0.5 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 1) 1 0.4 1 ( ) 0 1 x k x k x k x k u k r k v k v k + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ + ⎥ ⎢= ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Adicionando un integrador 3 3 2 ( ) ( 0.1) 0.3 0.03 0.001 P z = z− =z − z + z− » S=ss([-0.3 0.2;0.5 0],[1;0],[1 -0.4],0,'Ts',1); » Sa=ss([S.A [0;0];-S.C 1],[S.B;0],[1 0 0],0,'Ts',1); » K=acker(Sa.A,Sa.B,[0.1,0.1,0.1]) 0.4 0.1625 0.9112 l ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ′ =⎢ ⎥ ⎢= − ⎥ − ⎣ ⎦ ⎢− ⎥ ⎣ ⎦ K K© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
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Realimentación lineal del estado
Ejemplo 4 (cont.) 0.911 l Scope 1 Referencia K K 1 z-1 Integrador K C y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) (A,B) t (seg) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Respuesta temporal y ( t) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Acción de control t (seg) u ( t)
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Caso de múltiples entradas
Cálculos más complejos y solución no única
Existen varios métodos de solución que se enfrentan a problemas de confiabilidad y sensibilidad numérica Condición necesaria y suficiente: sistema controlable Ya que existen más grados de libertad en la selección
de la matriz de realimentación, es posible satisfacer otros requerimientos de diseño: asignación de vectores propios y minimización de la sensibilidad La respuesta mejora, ya que hay más libertad para
seleccionar las acciones de control
Formulación del problema. Encontrar la matriz
K
de manera queA
cl= A – BK
tenga los valores propios deseados© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
22
Realimentación lineal del estado
Caso de múltiples entradas
Caso más general: Ubicación de polos por
realimentación de la salida. Los algoritmos son aún más complejos. Formulación: Acl= A – BKC
MATLAB
Ubicación de polos por realimentación del estado: place.
Restricción: la multiplicidad de un polo no debe ser mayor que el número de entradas
Ubicación de polos por realimentación de la salida:
mevao del POLEPACK TOOLBOX. Se ubican min{n, m+p-1}
polos
Tópico de considerable interés en control
El control multifrecuencia permite (con el método del "lifting") ampliar el número de entradas, con lo que se alcanza la condición antes mencionada
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Ejemplo 5 – Caso de múltiples entradas
[
]
0 1 0 0 1 ( 1) 0 0 1 ( ) 0 0 ( ), 1 seg 0.25 0 0.5 1 0 0, 0, 0 k k k T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + =⎢ ⎥ +⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x u Polos deseados: 0.25 0 0.5 0 1 0 − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ K MATLAB: S=ss([0 1 0;0 0 1;-0.25 0 0.5],[0 1;0 0;1 0],[1 0 0;0 1 0;0 0 1],[0 0;0 0;0 0]); K=place(S.A,S.B,[0,0,0.000001])© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
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Realimentación lineal del estado
Ejemplo 5 (cont.) Scope K - K y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) (A,B) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Variables de estado t (seg) x ( t) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Acciones de control t (seg) u ( t)
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Caso de múltiples entradas. Reducción a un sistema con una entrada
Un sistema controlable con múltiples entradas siempre puede ser transformado, por medio de una realimentación del estado, a un sistema controlable con una sola entrada
Lema 1. Dado el sistema (A,B) controlable, para toda
matriz y casi toda matriz , el sistema en lazo abierto resultante con entrada
escalar ν: , es controlable y tiene
valores propios distintos
1 0 m× Γ ∈\ ≠ κ∈ \m n×
(
)
= κ + Γν x A + B x B© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
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Realimentación lineal del estado
Caso de múltiples entradas. Reducción a un sistema con una entrada
Al sistema con una entrada se le puede aplicar la fórmula de Ackermann para obtener la matriz de realimentación F. Luego, la matriz de realimentación del sistema de varias entradas es: K = ΓF - κ
( )
cl = κ − Γ = − Γ − κ
A A + B B F A B F
Por tanto, para el sistema MIMO se tiene
© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Ejemplo 6 1 2 3 1 1 3 2 4 κ =⎡⎢ ⎤⎥ Γ =⎡ ⎤⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Se seleccionan arbitrariamente las siguientes matrices
(
)
(
)
1 2 2 4 0 0 1 0 0.75 2 3.5 1 eig [ 1.6231, 0.0734, 4.1965] − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = κ + Γν =⎢ ⎥ +⎢ ⎥ν ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ κ = − − x A + B x B x A + B[
]
0 1 0 0 1 ( 1) 0 0 1 ( ) 0 0 ( ), 1 seg 0.25 0 0.5 1 0 0, 0, 0 k k k T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + =⎢ ⎥ +⎢ ⎥ = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x u Polos deseados:© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
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Realimentación lineal del estado
Ejemplo 6 (cont.)
Se aplica la fórmula de Ackermann para obtener
[
0.1225 0.4314 2.0098]
= F 0.8775 1.5686 0.9902 1.4902 4.7255 6.0392 − − − ⎡ ⎤ = Γ − κ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ K F[
]
5 eig(A - BK)= 0.49 0.85 , 0.98 10± i − × −© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
Caso de múltiples entradas. Caso particular
Planteamiento del problema
( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) n m k k k k k k k × + = + ∈ = − + = − x Ax Bu u u Kx x A BK x \
Con un esquema de muestreo multifrecuencia se pueden obtener matrices cuadradas
1 , ( ) cl cl m n − − = = = − A BK A K B A A Si
Si Acl es la matriz deseada en lazo cerrado (se puede expresar en la forma de Jordan, donde sus valores propios son los polos deseados) se tiene
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Ejemplo introductorio
Pasos
Sistema no lineal:
Transformación del estado a una forma con las alinealidades en la última ecuación
1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 sen sen 2 p.e.=(0,0) 2 cos cos sen cos 2
z x x z z x x x z z z z z z z z z z u z = = ⎧ ⎧ ⎨ = + ⎨ = − ⎩ ⎩ = − + ⎧ ⎨ = − + + ⎩ 1 1 2 1 2 2 1 1 2 sen p.e.=(0,0) cos cos 2 x x x x x x x u x = − + + ⎧ ⎨ = − + ⎩
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Pasos
2. Transformación de la entrada que convierte el sistema no lineal en un sistema lineal
3. Comprobación de la controlabilidad y diseño del control lineal
(
1 1 1 1)
1 1 1 1 2 2 1 3 5cos sen 2 cos , , ,...
cos 2 4 4 4 2 u v z z z z z z z z z z v π π π ⎛ ⎞ = − + ≠ ±⎜ ± ± ⎟ ⎝ ⎠ = − + ⎧ ⎨ = ⎩ 1 1 2 2 2 2 v= −k z −k z = − z
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32
Ejemplo introductorio
Pasos
4. Implementación de la acción de control en las variables de estado originales:
(
1 1 1 1)
11
1
cos sen 2 cos , 0,1, 2,...
cos 2 4 2 k u v x x x x x k x π π ⎛ ⎞ = − + ≠⎜ ± ⎟ = ⎝ ⎠
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Simulación con Matlab/Simulink
Diagrama completo de control y parámetros perturbados en un 20%, incluyendo el control y la transformación de estados z=z(x) x --> z x x´=f(x,u) Nonl inear system u=u(x,v) Nonli near control v=-kz Linear control (v,u)
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Ejemplo introductorio
Simulación con Matlab/Simulink (cont.)
Modelo de la planta no lineal
1 x 1 s x2 1 s x1 -u[2]*cos(u[1])+u[3]*cos(2*u[1]) Fcn1 -2*u[1]+u[2]+sin(u[1]) Fcn 1 u
© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Resultados de la simulación 0 1 2 3 4 5 6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 t(sec) x1 x 2
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Ejemplo introductorio
Resultados de la simulación 0 1 2 3 4 5 6 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 t(sec) u ( t) 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 t(sec) v ( t)© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
Introducción
Un sistema no lineal es linealizable por realimentación si tiene la siguiente forma estándar:
y existe un cambio de variables z = T(x) (llamado difeomorfismo) que transforma el sistema a la siguiente forma:
Control linealizante: Condiciones adicionales:
(A,B) es controlable
β(x)es no singularpara todo x en cierto dominio D
( ) ( ) = + x f x g x u
[
]
1( ) ( ) z − = + − z Az Bβ u α z ( ) ( )z = + u α z β v© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
38
Generalización del método
Difeomorfismo
Cambio de variables z = T(x) tal que está definido en un dominio D, su transformación inversa x = T-1(z) está definida en Dz= T(D), y ambos T y T−1son
continuamente diferenciables en D y Dz, respectivamente Ejemplo: 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sen ( ) 2 sen ( ) ( ) 2 sen 2 sen T x x x x x T x x x z T x x z z T x x x x z z z = ⎧ ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎨ − + + = − + + ⎣ ⎦ ⎩ = = = ⎧ ⎧ ⎨ = = − + + ⎨ = + − ⎩ ⎩ x T x x x x
© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Obtención de T(x) Derivando z = T(x) De otro lado: Comparando:
[
( ) ( )]
∂ ∂ = = + ∂ ∂ T T z x f x g x u x x[
]
[
]
1( ) ( ) ( ) 1( ( )) ( ( )) − − = + − = + − z Az Bβ z u α z AT x Bβ T x u α T x 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) − − ∂ ⎧ = − ⎪⎪ ∂ ⎨∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ T f x AT x Bβ T x α T x x T g x Bβ T x x© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
40
Generalización del método
Obtención de T(x)
La existencia de (T, α, β, A, B) que satisfacen la ecuaciones diferenciales parciales anteriores es una condición necesaria y suficiente para que el sistema no lineal sea linealizable por
realimentación
La obtención de T(x) se reduce a la solución de dichas ecuaciones
La solución puede simplificarse, teniendo en cuenta que T(x) no es única. A continuación se expone un método para un sistema con una entrada
Si se aplica la transformación lineal z*= Mz se obtiene:
( ) ( ) = + x f x g x u * 1 * 1 1 * 1 * ( ) ( ) − − − ⎡ − ⎤ = + ⎣ − ⎦ z MAM z MBβ M z u α M z
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Obtención de T(x)
Se conserva la forma de la ecuación, pero con diferentes (T, α, β, A, B)
Una combinación de M y T transforma el sistema a una forma especial
Se toma (A, B) en la forma canónica controlable
1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 T c c c n n c c a a a a − − = + = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ MAM A B Λ MB B A B Λ " " # # # # # # " "
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42
Generalización del método
Obtención de T(x)
De esta manera:
El segundo término puede incluirse en el último:
De esta manera, puede asumirse que (A, B) corresponde a (Ac, Bc) * * T * 1( )* 1 ( )* c c c c A − − = + + − z z B Λ z B β z u B β α z * * 1( )* *( )* c c A − ⎡ ⎤ = + ⎣ − ⎦ z z B β z u α z 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) c c c − − ∂ ⎧ = − ⎪⎪ ∂ ⎨∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ T f x A T x B β T x α T x x T g x B β T x x
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Obtención de T(x)
Sea
Las ecuaciones simplificadas son:
El problema se reduce al cálculo de T1(x). Las
condiciones de existencia de esta función requiere de conceptos de geometría diferencial
[
1 2]
o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T n T x T x T x = = T x " T x 1 1 2 1 1 2 2 3 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) 1 ( / ) ( ) ( n n n n n n n n T T T T T T T T T T T T T T β α β β α − − ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ g x g x g x g x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x x g x " " /∂x g x) ( )© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT
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Ejemplos
Ejemplo 1
Forma estándar del modelo no lineal:
Ecuaciones simplificadas: 1 1 2 1 2 2 1 1 2 sen p.e.=(0,0) cos cos 2 x x x x x x x u x = − + + ⎧ ⎨ = − + ⎩ 1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sen 0 cos cos 2 x x x x u x x x x = + − + + ⎡ ⎤ ⎡= ⎤ ⎡+ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x f x g x u 1 2 1 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( / ) ( ) 1 ( / ) ( ) ( / ) ( ) T T T T T x f x T x g x T x g x β α ∂ ∂ ∂ = ≠ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ g x g x f x x x x
© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Ejemplo 1 (cont.) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 0 ( ) cos 2 0, cos 2 0 ( ) cos 2 0, 0 cos 2 2 sen ( ) o 0 c s T T T T x x x x x T T T T T x x x x x x x x x T T T T T x x x x x T x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ∂ ⎣∂ ∂ ⎦⎣ ⎦ ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ≠ ≠ ∂ ⎣∂ ∂ ⎦⎣ ⎦ ∂ ∂ − + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − ∂ ⎣∂ ∂ ⎣ ⎦ ∂ ∂ = ∂ ⎦ g x x g x x f x x
(
1 2 1)
o 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 sen , ( ) 0 ( ) ( ) 2 sen 0 ( ) 2 sen x x x T x x x x x T x x T x x − + + = = ⎧ =⎡ ⎤ ⎨ = − + + ⎢− + + ⎥ ⎣ ⎦ ∂ = ⎩ ∂ T x x T x xSi entonces una posibilidad es, considerando :
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Ejemplos
Ejemplo 1 (cont.)
Las nuevas variables de estado z = T(x) son:
La ecuación de estado en las nuevas variables es:
El cálculo de la acción de control no lineal puede hacerse directamente: 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sen 2 sen z T x x z z T x x x x z z z = = = ⎧ ⎧ ⎨ = = − + + ⎨ = + − ⎩ ⎩ x x 1 2 2 2 1 1 1 1 1 p.e.=(0,0)
2 2 cos cos sen cos 2
z z z z z z z z u z = ⎧ ⎨ = − − + + ⎩
(
1 1 1 1)
1 12 cos sen cos
cos 2
u z z z z v
z
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Ejemplo 1 (cont.)
Cálculo de la acción de control por las fórmulas
:
[
]
2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0 0 ( ) 2 cos 1 cos 2 cos 2 cos 2 4 2 2sen 2 sen ( )cos 2 cos sen cos
1 = 1 ( / ) ( ) cos 2 ( / T T T x x x x x x x x x x x x T T T x x x x x x x x T x T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − + ⎢ ⎥= ∂ ⎣∂ ∂ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − − − − + + ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ = ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ − ⎥ − + ∂ ⎣∂ ∂ ⎦⎣ ⎦ ⎝ ⎠ β = ∂ ∂ ∂ ∂ α = − g x x f x x x g x
[
2 1]
1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1) ( ) 4 2 2sen 2 cos sen co
1 ( ) ( ) 2 2 cos s s ( / ) ( ) cos 2 en cos cos 2 x x x x x x x u v z z z z T z v z x − − = α + β = + − − + = − ∂ ∂ + x f x x g z x z
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Ejemplos
Ejemplo 1 (cont.)
Modelo lineal
:
El modelo puede o no contener el término -2z2, pues el control u puede o no eliminarlo
El modelo lineal es controlable:
1 2 2 2 p.e.=(0,0) 2 z z z z v = ⎧ ⎨ = − + ⎩