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Linealización por realimentación. Linealización por realimentación

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Academic year: 2021

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(1)

© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT

Objetivo específico

Presentar las posibilidades que ofrece la realimentación para la linealización exacta de algunos sistemas no lineales y posterior aplicación de métodos de control lineal

© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT

2

Linealización por realimentación

Temas

1. Diseño de sistemas de control no lineal 2. Realimentación lineal del estado

3. Ejemplo introductorio a la linealización por realimentación

4. Generalización del método 5. Ejemplos

(2)

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Problemas de control no lineal

† Problema de estabilización asintótica: encontrar una acción de control tal que iniciando desde un estado inicial en una región dada, el estado tiende a 0 cuando t → ∞. Tipos de control:

„ Control estático

„ Control dinámico

† Problema de seguimiento: encontrar una acción de control tal que dada una trayectoria deseada yd e iniciando desde un estado inicial en una región dada, los errores y(t) – yd(t) tienden a cero mientras que el estado x permanece acotado

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4

Diseño de sistemas de control no lineal

Características deseadas

† Estabilidad: especificar la región de estabilidad para el modelo nominal

† Exactitud y velocidad de respuesta † Robustez

† Costo: número y tipo del equipo utilizado

Métodos de diseño de controladores no lineales

† Tanteo

† Linealización por realimentación † Control adaptativo

† Ganancia planificable † Control robusto

(3)

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Linealización por realimentación

† Algunos sistemas no lineales se pueden transformar en lineales por medio de una realimentación y un cambio de variables

† La acción de control comprende dos términos:

„ Compensación de alinealidades

„ Ley de control lineal

† Es un método exacto

† Debido a que es imposible la compensación perfecta, es importante analizar la robustez del sistema

† Al linealizar son más claros los objetivos de control † No siempre la linealización por realimentación es

adecuada, ya que se pueden cancelar términos que proporcionan, por ejemplo, amortiguamiento

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Realimentación lineal del estado

Generalidades

† Un sistema no lineal puede linealizarse alrededor de un p.e. y controlarlo por realimentación lineal del estado. Es un método aproximado y local

† A más información mejor control

† Máxima información: variables de estado

† Si se miden todas las variables de estado el sistema no tendrá ceros

† Requerimiento: controlabilidad del sistema

† Generalmente la medición de todos los estados es costoso o impracticable. En este caso se deben estimar algunas variables de estado. Requerimiento: observabilidad del sistema

(4)

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Generalidades

† El esfuerzo de control aumenta con un movimiento más drástico de los polos

† El diseño por realimentación del estado puede dividirse en dos etapas ("principio de separación"):

1. Diseño con todas las variables de estado disponibles

2. Estimación de las variables de estado no medidas

† Formas del controlador de realimentación del estado: „ Regulador estático: u(kT) = − Kx(kT), K ∈\1×n

„ Regulador dinámico

† Métodos para la estimación de las variables de estado no medibles:

„ Observadores de estado (Luenberguer, 1966) „ Filtro de Kalman (Kalman, 1960)

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8

Realimentación lineal del estado

Ejemplo 1 - Método de sustitución (caso SISO)

† Modelo discreto de la planta

[

]

0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎡− k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x

† Regulador de ubicación de polos por realimentación del estado

[

]

1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x k u k k k k x k ⎡ ⎤ = − = − ⎣ ⎦ Kx † Polos de la planta: 0.2, -0.5 † Polos deseados: 0.1, 0.1

(5)

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Ejemplo 1 (cont.)

† Modelo en lazo cerrado

1 2 ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ), ( 1) ( ) ( ) 0.3 0.2 ( 1) ( ) 0.5 0 k k u k u k k k k k k k k + = + = − + = − − − ⎡ ⎤ + = ⎢ x Ax B Kx x A - BK x x x

† Ecuación característica en lazo cerrado

† Ecuación característica deseada:

2 1 2 0, ( 0.3) 0.5 0.1 0 zI A− = z + k + z+ k − = 2 (z−0.1)(z−0.1)=z −0.2z+0.01

† Solución al problema de ubicación de polos:

1 0.5, 2 0.22

k = − k =

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10

Realimentación lineal del estado

Ejemplo 1 (cont.) Scope K -K y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) (A, B) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 t (seg) x ( t) Diagrama de simulación Resultados de la simulación

(6)

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Método de Ackermann (sistemas SISO)

† Modelo del sistema: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)

† Forma canónica controlable del modelo del sistema

* * * * * * 1 * 1 1 2 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 c c n n n k k u k t t a a a a − − − − + = + = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ * x A x B x Tx T = M M A TAT B = TB " " # # # # " "

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12

Realimentación lineal del estado

† Modelo en lazo cerrado

* * * * ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) k k u k u k k k k + = + = − + = − * * * * * * * x A x B K x x A B K x * * * 1 2 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 n n n n n k k k a aa p pp ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢− − − ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢− − − ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ " " " " # # " # " "

Método de Ackermann (sistemas SISO)

† Polinomio característico deseado

1

1 1

( ) n n

n n

(7)

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† La expresión anterior puede llevarse a una forma más simple:

[

]

[

]

* 1 1 1 1 * 1 1 1 1 n n n n n n n n c p a p a p a u p a p a p a − − − − = − − − = − − − = − − − * * * * K K x = K Tx = Kx K = K T M M " "

[

]

1 1 1 1 0 0 1 ( ) ( ) c n n n n p p p − − − = + + + + K = M P A P A A A A I " "

† Se observa que el sistema debe ser controlable † MATLAB: acker ó place

Método de Ackermann (sistemas SISO)

† Solución de la ecuación anterior

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14

Realimentación lineal del estado

Ejemplo 2 - Método de Ackermann

[

]

0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎡− k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x 2 2 1 0.3 , ( ) ( 0.1)( 0.1) 0.2 0.01 0 0.5 0.26 0.1 ( ) 0.2 0.01 0.25 0.11 c P z z z z z − ⎡ ⎤ = = − − = − + ⎣ ⎦ − ⎡ ⎤ = − + = ⎢ − ⎣ ⎦ M P A A A I

[

0 1

]

1 ( )

[

0 1

]

1 0.3 1 0.26 0.1

[

0.5 0.22

]

0 0.5 0.25 0.11 c − − = ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤= − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K = M P A

(8)

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Ubicación de polos con señal de referencia

† Los resultados anteriores pueden adaptarse a un sistema con referencia. En este caso se tiene

1 ( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) k k u k u k hr k k k k hr k G z zh + = + = − + = − + = − x Ax B Kx x A BK x B C I A + BK B z hR − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ I A B X 0 C 0 KX Y

† Cálculo de los ceros

† La referencia no afecta la ubicación de los polos † El parámetro h afecta la amplitud de la respuesta † Los ceros no varían (son los mismos del proceso) † El control multifrecuencia permite ubicar los ceros

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Realimentación lineal del estado

Ejemplo 3 – Ubicación de polos con referencia

[

]

0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎡− k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T= ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x

[

]

2 1 0.5 0.22 ( 0.2) ( ) 0.2 0.01 lim( 1) ( ) 0.9877 , 1.0125 1 cl ss z z h G z z z Rz y z G z Rh R h z → = − − = − + = − = = = − K

(9)

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Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral

† Se adiciona un integrador a la planta y se realiza el diseño sobre el nuevo modelo

† El integrador se incluye luego en el regulador † El modelo de la planta con el integrador es:

( ) 1 , ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( 1) 1 ( ) 0 1 V z zV z V z E z e k r k y k E z z v k v k r k y k v k r k k k k u k r k v k v k = = + = − − + = + − = + − + ⎡ ⎤ ⎡= ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ +⎡ ⎤ ⎢ + ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Cx x A 0 x B 0 C

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Realimentación lineal del estado

Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral

† Ley de control , ( )u k hr k( ) ( )k lv k( ) l ⎡ ⎤ ′ =⎢ ⎥ = − + − ⎣ ⎦ K K Kx

r(k) e(k) v(k) u(k) x(k) y(k)

h l K 1 z -1 Integrador Planta C Planta (A,B) † Estructura de control Regulador

(10)

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Ejemplo 4 - Eliminación del error en estado estacionario con una acción integral

[

]

0.3 0.2 1 ( 1) ( ) ( ), ( ) 1 0.4 ( ), 1seg 0.5 0 0 k+ =⎡− k +⎡ ⎤⎢ ⎥u k y k = − k T = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x x 2 ( ) ( 0.1)( 0.1) 0.2 0.01 P z = zz− =zz+ 1 1 2 2 ( 1) 0.3 0.2 0 ( ) 1 0 ( 1) 0.5 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( 1) 1 0.4 1 ( ) 0 1 x k x k x k x k u k r k v k v k + − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ + ⎥ ⎢= ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Adicionando un integrador 3 3 2 ( ) ( 0.1) 0.3 0.03 0.001 P z = z− =zz + z− » S=ss([-0.3 0.2;0.5 0],[1;0],[1 -0.4],0,'Ts',1); » Sa=ss([S.A [0;0];-S.C 1],[S.B;0],[1 0 0],0,'Ts',1); » K=acker(Sa.A,Sa.B,[0.1,0.1,0.1]) 0.4 0.1625 0.9112 l ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ′ =⎢ ⎥ ⎢= − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ K K

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Realimentación lineal del estado

Ejemplo 4 (cont.) 0.911 l Scope 1 Referencia K K 1 z-1 Integrador K C y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) (A,B) t (seg) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Respuesta temporal y ( t) 0 1 2 3 4 5 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Acción de control t (seg) u ( t)

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Caso de múltiples entradas

† Cálculos más complejos y solución no única

† Existen varios métodos de solución que se enfrentan a problemas de confiabilidad y sensibilidad numérica † Condición necesaria y suficiente: sistema controlable † Ya que existen más grados de libertad en la selección

de la matriz de realimentación, es posible satisfacer otros requerimientos de diseño: asignación de vectores propios y minimización de la sensibilidad † La respuesta mejora, ya que hay más libertad para

seleccionar las acciones de control

† Formulación del problema. Encontrar la matriz

K

de manera que

A

cl

= A – BK

tenga los valores propios deseados

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Realimentación lineal del estado

Caso de múltiples entradas

† Caso más general: Ubicación de polos por

realimentación de la salida. Los algoritmos son aún más complejos. Formulación: Acl= A – BKC

† MATLAB

„ Ubicación de polos por realimentación del estado: place.

Restricción: la multiplicidad de un polo no debe ser mayor que el número de entradas

„ Ubicación de polos por realimentación de la salida:

mevao del POLEPACK TOOLBOX. Se ubican min{n, m+p-1}

polos

† Tópico de considerable interés en control

† El control multifrecuencia permite (con el método del "lifting") ampliar el número de entradas, con lo que se alcanza la condición antes mencionada

(12)

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Ejemplo 5 – Caso de múltiples entradas

[

]

0 1 0 0 1 ( 1) 0 0 1 ( ) 0 0 ( ), 1 seg 0.25 0 0.5 1 0 0, 0, 0 k k k T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = + = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x u Polos deseados: 0.25 0 0.5 0 1 0 − ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ K MATLAB: S=ss([0 1 0;0 0 1;-0.25 0 0.5],[0 1;0 0;1 0],[1 0 0;0 1 0;0 0 1],[0 0;0 0;0 0]); K=place(S.A,S.B,[0,0,0.000001])

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Realimentación lineal del estado

Ejemplo 5 (cont.) Scope K - K y(n)=Cx(n)+Du(n) x(n+1)=Ax(n)+Bu(n) (A,B) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Variables de estado t (seg) x ( t) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 Acciones de control t (seg) u ( t)

(13)

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Caso de múltiples entradas. Reducción a un sistema con una entrada

† Un sistema controlable con múltiples entradas siempre puede ser transformado, por medio de una realimentación del estado, a un sistema controlable con una sola entrada

† Lema 1. Dado el sistema (A,B) controlable, para toda

matriz y casi toda matriz , el sistema en lazo abierto resultante con entrada

escalar ν: , es controlable y tiene

valores propios distintos

1 0 m× Γ ∈\ ≠ κ∈ \m n×

(

)

= κ + Γν x A + B x B

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26

Realimentación lineal del estado

Caso de múltiples entradas. Reducción a un sistema con una entrada

† Al sistema con una entrada se le puede aplicar la fórmula de Ackermann para obtener la matriz de realimentación F. Luego, la matriz de realimentación del sistema de varias entradas es: K = ΓF - κ

( )

cl = κ − Γ = − Γ − κ

A A + B B F A B F

Por tanto, para el sistema MIMO se tiene

(14)

© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Ejemplo 6 1 2 3 1 1 3 2 4 κ =⎡ Γ =⎡ ⎤⎢ ⎥ − − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Se seleccionan arbitrariamente las siguientes matrices

(

)

(

)

1 2 2 4 0 0 1 0 0.75 2 3.5 1 eig [ 1.6231, 0.0734, 4.1965] − − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = κ + Γν = +⎢ ⎥ν ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ κ = − − x A + B x B x A + B 

[

]

0 1 0 0 1 ( 1) 0 0 1 ( ) 0 0 ( ), 1 seg 0.25 0 0.5 1 0 0, 0, 0 k k k T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + = + = − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x x u Polos deseados:

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28

Realimentación lineal del estado

Ejemplo 6 (cont.)

† Se aplica la fórmula de Ackermann para obtener

[

0.1225 0.4314 2.0098

]

= F 0.8775 1.5686 0.9902 1.4902 4.7255 6.0392 − − − ⎡ ⎤ = Γ − κ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ K F

[

]

5 eig(A - BK)= 0.49 0.85 , 0.98 10± i − × −

(15)

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Caso de múltiples entradas. Caso particular

† Planteamiento del problema

( 1) ( ) ( ), ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) n m k k k k k k k × + = + ∈ = − + = − x Ax Bu u u Kx x A BK x \

† Con un esquema de muestreo multifrecuencia se pueden obtener matrices cuadradas

1 , ( ) cl cl m n − − = = = − A BK A K B A A Si

† Si Acl es la matriz deseada en lazo cerrado (se puede expresar en la forma de Jordan, donde sus valores propios son los polos deseados) se tiene

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30

Ejemplo introductorio

Pasos

Sistema no lineal:

„ Transformación del estado a una forma con las alinealidades en la última ecuación

1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 sen sen 2 p.e.=(0,0) 2 cos cos sen cos 2

z x x z z x x x z z z z z z z z z z u z = = ⎧ ⎧ ⎨ = += ⎩ ⎩ = − + ⎧ ⎨ = − + + ⎩   1 1 2 1 2 2 1 1 2 sen p.e.=(0,0) cos cos 2 x x x x x x x u x = − + + ⎧ ⎨ = − + ⎩  

(16)

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Pasos

2. Transformación de la entrada que convierte el sistema no lineal en un sistema lineal

3. Comprobación de la controlabilidad y diseño del control lineal

(

1 1 1 1

)

1 1 1 1 2 2 1 3 5

cos sen 2 cos , , ,...

cos 2 4 4 4 2 u v z z z z z z z z z z v π π π ⎛ ⎞ = − + ≠ ± ± ± ⎝ ⎠ = − + ⎧ ⎨ = ⎩   1 1 2 2 2 2 v= −k zk z = − z

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32

Ejemplo introductorio

Pasos

4. Implementación de la acción de control en las variables de estado originales:

(

1 1 1 1

)

1

1

1

cos sen 2 cos , 0,1, 2,...

cos 2 4 2 k u v x x x x x k x π π ⎛ ⎞ = − + ≠ ± = ⎝ ⎠

(17)

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Simulación con Matlab/Simulink

† Diagrama completo de control y parámetros perturbados en un 20%, incluyendo el control y la transformación de estados z=z(x) x --> z x x´=f(x,u) Nonl inear system u=u(x,v) Nonli near control v=-kz Linear control (v,u)

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Ejemplo introductorio

Simulación con Matlab/Simulink (cont.)

† Modelo de la planta no lineal

1 x 1 s x2 1 s x1 -u[2]*cos(u[1])+u[3]*cos(2*u[1]) Fcn1 -2*u[1]+u[2]+sin(u[1]) Fcn 1 u

(18)

© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Resultados de la simulación 0 1 2 3 4 5 6 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 t(sec) x1 x 2

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Ejemplo introductorio

Resultados de la simulación 0 1 2 3 4 5 6 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100 t(sec) u ( t) 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 t(sec) v ( t)

(19)

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Introducción

† Un sistema no lineal es linealizable por realimentación si tiene la siguiente forma estándar:

† y existe un cambio de variables z = T(x) (llamado difeomorfismo) que transforma el sistema a la siguiente forma:

† Control linealizante: † Condiciones adicionales:

„ (A,B) es controlable

„ β(x)es no singularpara todo x en cierto dominio D

( ) ( ) = + x f x g x u

[

]

1( ) ( ) z − = + − z Az Bβ u α z ( ) ( )z = + u α z β v

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38

Generalización del método

Difeomorfismo

† Cambio de variables z = T(x) tal que está definido en un dominio D, su transformación inversa x = T-1(z) está definida en Dz= T(D), y ambos T y T−1son

continuamente diferenciables en D y Dz, respectivamente † Ejemplo: 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sen ( ) 2 sen ( ) ( ) 2 sen 2 sen T x x x x x T x x x z T x x z z T x x x x z z z = ⎧ ⎡ ⎤ = − + + = − + + ⎣ ⎦ ⎩ = = = ⎧ ⎧ ⎨ = = − + += + ⎩ ⎩ x T x x x x

(20)

© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Obtención de T(x) † Derivando z = T(x) † De otro lado: † Comparando:

[

( ) ( )

]

∂ ∂ = = + ∂ ∂ T T z x f x g x u x x  

[

]

[

]

1( ) ( ) ( ) 1( ( )) ( ( )) − − = + − = + − z Az Bβ z u α z AT x Bβ T x u α T x 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) − − ∂ ⎧ = ⎪⎪ ∂ ⎨∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ T f x AT x Bβ T x α T x x T g x Bβ T x x

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40

Generalización del método

Obtención de T(x)

† La existencia de (T, α, β, A, B) que satisfacen la ecuaciones diferenciales parciales anteriores es una condición necesaria y suficiente para que el sistema no lineal sea linealizable por

realimentación

† La obtención de T(x) se reduce a la solución de dichas ecuaciones

† La solución puede simplificarse, teniendo en cuenta que T(x) no es única. A continuación se expone un método para un sistema con una entrada

† Si se aplica la transformación lineal z*= Mz se obtiene:

( ) ( ) = + x f x g x u * 1 * 1 1 * 1 * ( ) ( ) − − − = + z MAM z MBβ M z u α M z

(21)

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Obtención de T(x)

† Se conserva la forma de la ecuación, pero con diferentes (T, α, β, A, B)

† Una combinación de M y T transforma el sistema a una forma especial

† Se toma (A, B) en la forma canónica controlable

1 1 2 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 T c c c n n c c a a a a − − = + = − ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = = = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ MAM A B Λ MB B A B Λ " " # # # # # # " "

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42

Generalización del método

Obtención de T(x)

† De esta manera:

† El segundo término puede incluirse en el último:

† De esta manera, puede asumirse que (A, B) corresponde a (Ac, Bc) * * T * 1( )* 1 ( )* c c c c A − − = + + − z z B Λ z B β z u B β α z * * 1( )* *( )* c c A − ⎡ ⎤ = + z z B β z u α z 1 1 ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) c c c − − ∂ ⎧ = ⎪⎪ ∂ ⎨∂ ⎪ = ⎪ ∂ ⎩ T f x A T x B β T x α T x x T g x B β T x x

(22)

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Obtención de T(x)

† Sea

† Las ecuaciones simplificadas son:

† El problema se reduce al cálculo de T1(x). Las

condiciones de existencia de esta función requiere de conceptos de geometría diferencial

[

1 2

]

o ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T n T x T x T x = = T x " T x 1 1 2 1 1 2 2 3 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( / ) ( ) 1 ( / ) ( ) ( n n n n n n n n T T T T T T T T T T T T T T β α β β α − − ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = = = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ g x g x g x g x x x x x f x f x f x f x x x x x x f x x g x " " /∂x g x) ( )

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44

Ejemplos

Ejemplo 1

† Forma estándar del modelo no lineal:

† Ecuaciones simplificadas: 1 1 2 1 2 2 1 1 2 sen p.e.=(0,0) cos cos 2 x x x x x x x u x = − + + ⎧ ⎨ = − + ⎩   1 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sen 0 cos cos 2 x x x x u x x x x = + − + + ⎡ ⎤ ⎡= ⎤ ⎡+ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ x f x g x u   1 2 1 2 2 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( / ) ( ) 1 ( / ) ( ) ( / ) ( ) T T T T T x f x T x g x T x g x β α ∂ ∂ ∂ = ≠ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ ∂ g x g x f x x x x

(23)

© Carlos Mario Vélez S. Universidad EAFIT Ejemplo 1 (cont.) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 2 0 ( ) cos 2 0, cos 2 0 ( ) cos 2 0, 0 cos 2 2 sen ( ) o 0 c s T T T T x x x x x T T T T T x x x x x x x x x T T T T T x x x x x T x ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎢ = = ∂ ∂ ∂ ∂ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎢ = ≠ ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ⎥ ⎢ = − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ⎦ g x x g x x f x x

(

1 2 1

)

o 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 sen , ( ) 0 ( ) ( ) 2 sen 0 ( ) 2 sen x x x T x x x x x T x x T x x − + + = = ⎧ =⎡ ⎤ ⎨ = − + + + + ⎥ ⎣ ⎦ ∂ = ⎩ ∂ T x x T x x

Si entonces una posibilidad es, considerando :

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46

Ejemplos

Ejemplo 1 (cont.)

† Las nuevas variables de estado z = T(x) son:

† La ecuación de estado en las nuevas variables es:

† El cálculo de la acción de control no lineal puede hacerse directamente: 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 ( ) ( ) 2 sen 2 sen z T x x z z T x x x x z z z = = = ⎧ ⎧ ⎨ = = − + += + ⎩ ⎩ x x 1 2 2 2 1 1 1 1 1 p.e.=(0,0)

2 2 cos cos sen cos 2

z z z z z z z z u z = ⎧ ⎨ = − − + + ⎩  

(

1 1 1 1

)

1 1

2 cos sen cos

cos 2

u z z z z v

z

(24)

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Ejemplo 1 (cont.)

† Cálculo de la acción de control por las fórmulas

:

[

]

2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0 0 ( ) 2 cos 1 cos 2 cos 2 cos 2 4 2 2sen 2 sen ( )

cos 2 cos sen cos

1 = 1 ( / ) ( ) cos 2 ( / T T T x x x x x x x x x x x x T T T x x x x x x x x T x T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ∂ ∂ = ⎥ ⎢ = − + = ∂ ∂ ∂ − − − − + + ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ∂ = ∂ ∂ = ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ +∂ ∂ ⎦ ⎝ β = ∂ ∂ ∂ ∂ α = − g x x f x x x g x

[

2 1

]

1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1

) ( ) 4 2 2sen 2 cos sen co

1 ( ) ( ) 2 2 cos s s ( / ) ( ) cos 2 en cos cos 2 x x x x x x x u v z z z z T z v z x − − = α + β = + − − + = − ∂ ∂ + x f x x g z x z

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48

Ejemplos

Ejemplo 1 (cont.)

† Modelo lineal

:

† El modelo puede o no contener el término -2z2, pues el control u puede o no eliminarlo

† El modelo lineal es controlable:

1 2 2 2 p.e.=(0,0) 2 z z z z v = ⎧ ⎨ = − + ⎩  

[

]

0 1 0 0 2 1 0 1 rango( ) 2 1 2 c c ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = =⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = = = − ⎣ ⎦ A B M B AB M

Referencias

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