Universidad Nacional de Ingeniería - Facultad de Ingeniería Mecánica Departamento Académico de Ingeniería Aplicada

(1)

Departamento Acad´emico de Ingenier´ıa Aplicada

CONTROL MODERNO Y ´

OPTIMO (MT 227C)

Clase05-01 Elizabeth Villota Cerna

Semestre_{2010I - UNI} _30/04/2010

En esta parte discutiremos tres tipos de modelos de sistemas dinámicos lineales que presentan formas especiales de sus correspondientes (A, B y C). Estas formas se obtienen mediante un cambio de variable, el cual finalmente revela ciertas propiedades estructurales del modelo. Estas formas serán de utilidad en las siguientes secciones cuando se construyan algoritmos para la ubicación de polos. Estos algoritmos de ubicación de polos serán usados para diseñar controladores por realimentación de estados, asi como estimadores de estado.

1. Definiciones

1.1. Invariancia de coordenadas

La forma general del sistema lineal en la forma de espacio de estados, con correspondiente ecuaci´on de salida, es:

dx

dt = Ax + Bu, y= Cx + Du, (1)

donde A ∈ Rn×n_{, B ∈ R}n×m_{, C ∈ R}p×n _{y D ∈ R}p×m_{. Los componentes del vector de entrada u y el vector}

de salida y son dados por las entradas y salidas de un modelo, mientras que las variables de estado dependen del sistema coordenado usado para representar los estados. La elección de coordenadas afecta los valores de las matrices A, B y C (D no está afecta dado que mapea entradas a salidas). A continuación investigaremos las consecuencias de cambiar el sistema coordenado.

Si elegimos el conjunto de coordenadas z = T x, donde T es una matriz invertible. De (1) se tiene: dz dt = T dx dt = T (Ax + Bu) = T Ax + T Bu = T AT −1_z_{+ T Bu = ˜}_Az_{+ ˜}_Bu, y= Cx + Du = CT−1_z_{+ Du = ˜}_Cz_{+ Du.} (2)

El sistema transformado tiene la misma forma que (1) pero con matrices A, B y C diferentes: ˜

A= T AT−1_, _B_˜_{= T B,} _C_˜_{= CT}−1 ₍₃₎

Existen sistemas de coordenadas que permiten visualizar una propiedad particular del sistema, luego las transformacions de coordenadas se pueden usar para ganar nuevo entendimiento de la din´amica del sistema. Es posible comparar las soluciones del sistema en las coordenadas transformadas y en las coordenadas originales usando la siguiente propiedad del mapeamiento exponencial:

eT ST−1

= T eS_T−1_. ₍₄₎

Esta propiedad se puede verificar usando la definici´on de exponencial de matrices. As´ı se puede mostrar que: x(t) = T−1_z_{= T}−1_eAt˜_{T x(0) + T}−1Z t

0

eA(t−τ )˜ Bu(τ )dτ.˜ (5) El transformar A a Ães factible, siendo que el exponencial de matrice con Ãpuede ser más fácil de calcular.

1.1.1. Ejemplo: Sistema masa-resorte acoplado

Considere el sistema mostrado en la Fig. 1. La entrada al sistema es del tipo senoidal y es aplicada en el resorte que se ubica en el extremo derecho, y la salida es la posici´on de cada masa, q1 y q2. Las ecuaciones

de movimiento est´an dadas por:

(2)

m m k k u(t) = sin ωt k c c q1 q2

Figura 1: Sistema masa resorte acoplado.

En la forma de espacio de estados, definiendo el estado x = (q1, q2,˙q1,˙q2), se puede escribir la ecuaci´on

como: dx dt =     0 0 1 0 0 0 0 1 −2k_m k m − c m 0 k m − 2k m 0 − c m    x+     0 0 0 k m    u.

Este es un sistema acoplado de 4 ecuaciones diferenciales y es bastante complicado resolverlo en la forma anal´ıtica.

Usando la transformaci´on z = T x pondremos al sistema en una forma m´as simple. Sea z1= 1₂(q1+ q2),

z2= ˙z1, z3= 1₂(q1− q2) y z4= ˙z3, tal que: z= T x =1 2     1 1 0 0 0 0 1 1 1 −1 0 0 0 0 1 −1    x.

Y en el nuevo sistema coordenado, la din´amica es:

dz dt =     0 1 0 0 −k m − c m 0 0 0 0 0 1 0 0 −3k_m −_mc    z+     0 k 2m 0 −_2mk    u.

Nótese que la matriz resultante es diagonal por bloques y, como consecuencia, desacoplada. Luego las solucio-nes pueden ser calculadas mediante solución de dos sistemas de segunda orden representados por los estados (z1, z2) y (z3, z4). De hecho, la forma de cada grupo de ecuaciones es idéntica al de un sistema masa-resorte

individual.

Una vez resueltos los grupos de ecuaciones, se puede recuperar la dinámica del sistema en las coordenadas originales mediante inversión de la transformación de estados y escribiendo x = T−1_z.

1.2. Autovalores/autovectores de una matriz y modos

Los autovalores y autovectores de un sistema proveen una descripción del tipo de comportamiento que exhibe un sistema. Para sistemas oscilatorios, el término modo se usa a menudo para definir ciertas configu-raciones de vibración que pueden ocurrir, ver Figs. 2 y 3.

(a) Mode 1

Figura 2: Sistema de masa conectadas por un resorte. Las masas se mueven hacia la derecha sincronizadas. La respuesta a las condiciones iniciales de un sistema lineal se puede escribir en t´erminos del exponencial de una matriz, la denominada matriz de estados A. Luego, las propiedades de la matriz A determinan el comportamiento del sistema. Si A ∈ Rn×n_{, asumamos que existen n vectores linealmente independientes}

(autovectores) vi y n escalares λi (autovalores) que satisfacen:

(3)

(b) Mode 2

Figura 3: Sistema de masa conectadas por un resorte. Las masas se mueven en direcciones separadas.

Escribiendo los vectores vi como una matriz:

M ≡ v1 v2 ... vn

, y definiendo la matriz Λ de acuerdo a:

Λ ≡        λ1 0 ... ... 0 0 λ2 0 ... 0 .. . 0 ... 0 λn−1 0 0 ... ... 0 λn        , tenemos que: AM = M Λ. Luego se tiene que:

I = M M−1 A = M ΛM−1 A2 _{= M ΛM}−1_M_ΛM−1 = M Λ2M−1 .. . ... An _{= M Λ}n_M−1

Si consideramos el exponencial de matrices eAt_{, asumiendo que A tiene n vectores independientes:}

eAt _{= I + At +}A2t2 2 + ... + An_tn n! + ... = M M−1_{+ M ΛtM}−1₊MΛ2t2M −1 2! + ... = M eΛt_M−1 = M        eλ1t ₀ _... _... ₀ 0 eλ2t ₀ _... ₀ .. . 0 ... 0 eλn₋₁t ₀ 0 ... ... 0 eλnt        M−1

1.3. Casos autovalores/autovectores de una matriz

Suponiendo primero que v y λ son autovector y autovalor de valor real. Luego, observamos que la solución de la ecuación diferencial para x(0) = v, de la definición de exponencial de matrices arriba:

eAtv= M eΛtM−1_v_{= e}λt_v.

Entonces, el autovalor describe como la solución var´ıa en el tiempo, esta solución a menudo se denomina modo. El autovector define la forma de la solución y a menudo se denomina forma del modo del sistema (ver Fig. 4). El autovalor a menudo se denomina como frecuencia modal.

El caso de los autovalores complejos es m´as complicado. Siendo A una matriz con elementos reales, los autovalores y autovectores son complejos conjugados λ = σ ± iω y v = u ± iw, que implica que:

u= v+ v

∗

2 , , w= v − v∗

(4)

−1 −0.5 0 0.5 1 −1 −0.5 0 0.5 1 Fast Slow x₁ x₂ 0 10 20 30 40 50 0 0.5 1 Slow mode 0 10 20 30 40 50 0 0.5 1 Fast mode x1 , x2 x1 , x2 x₁ x₂ Time t

Figura 4: La noci´on de modos para un sistema de segundo orden con autovalores reales. La figura en la izquierda muestra el plano de fase y las de la derecha las respuestas en el tiempo. Ambas figuras muestran los modos correspondientes a soluciones que comienzan en los autovectores.

Usando el exponencial de matrices tenemos que:

eAtv= eλt(u + iw) = eσt((u cos ωt − ω sin ωt) + i(u sin ωt + ω cos ωt)) , luego sigue que:

eAtu= 1 2(e

At_v_{+ e}At_v∗

) = ueσt_{cos ωt − ωe}σt_{sin ωt,}

eAtw= 1 2(e

At_{v − e}At_v∗

) = ueσt_{sin ωt + ωe}σt_{cos ωt.}

Nuevamente llamamos a la soluci´on correspondiente a λ de modo del sistema, y v es la forma del modo. Algunas matrices con autovalores iguales no pueden ser transformadas a una forma diagonal. Ellos, en-tonces, pueden ser transformados a una forma relacionada, denominada forma de Jordan. En este caso, la matriz de estados posee los autovalores en la diagonal. Cuando hay autovalores iguales, pueden haber 1’s apareciendo en la superdiagonal, indicando el acoplamiento entre estados. Espec´ıficamente decimos que una matriz est´a en la forma de Jordan cuando:

       J1 0 .. 0 0 0 J2 0 0 0 .. . . .. ... 0 0 Jk−1 0 0 0 ... 0 Jk        , donde Ji=        λi 1 .. 0 0 0 λi 1 0 0 .. . . .. ... 0 0 λi 1 0 0 ... 0 λ1        , (6)

donde Jies un bloque de Jordan, y λi para ese bloque corresponde al autovalor de J. Un bloque de Jordan

puede ser representado por un sistema que consiste en un integrador con realimentaci´on λ, ver Fig. 5.

R λ x₁ 6 R λ x₁ R λ x₂

Figura 5: Representacion de sistemas lineales donde las matrices din´amicas son bloques de Jordan. Un bloque de Jordan de primer orden se puede representar como un integrador con realimentaci´on λ, como mostrado a la izquierda. Un bloque de Jordan de orden dos es mostrado a la derecha.

Una vez que una matriz est´a en la forma de Jordan, el exponencial de la matriz puede ser calculado en t´erminos de los bloques de Jordan, usando la forma diagonal por bloques de J:

eJ =        eJ1 0 _... 0 0 0 eJ2 0 0 0 .. . . .. ... 0 0 eJk₋₁ ₀ 0 0 ... 0 eJk        . (7)

(5)

Los exponenciales de los bloques de Jordan pueden a su vez ser escritos como: eJit =          1 t t_2!2 ... tn−1 (n−1)! 0 1 t ... tn−2 (n−2)! .. . 1 . .. ... . .. t 0 ... 0 1          eλit . (8)

1.4. Teorema de Cayley-Hamilton

El teorema de Cayley-Hamilton establece que una matriz A satisface su propia ecuación caracter´ıstica. La ecuación caracter´ıstica de una matriz es la ecuación:

α(λ) ≡ det(λI − A) = λn+ ... + a1λ+ aoλ0

El teorema de Cayley-Hamilton establece que:

α(A) = 0. (9)

Probaremos el teorema de Cayley-Hamilton para el caso de A siendo diagonalizable. Considerando α(A), siendo que A se puede escribir como A = M ΛM−1_{, encontramos que:}

α(A) = M α(Λ)M−1.

Pero α(Λ) act´ua separadamente en cada uno de los elementos de la matriz diagonal. Como cada uno de los elementos satisface α(λ) = 0, encontramos que α(Λ) = 0. De aqui concluimos que α(A) = 0. ⋄ Una consecuencia simple del teorema de Cayley-Hamilton es que cualquier potencia de A se puede expresar en t´erminos de I, A, ..., An−1_{. Considerese, por ejemplo, A}n_{. De (9) vemos que:}

An = −(an−1An−1+ ... + a1A+ aoI)

2. Forma can´

onica modal

Considerando un sistema de m´ultiples entradas y salidas, cont´ınuo en el tiempo, representado por: ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t),

y(t) = Cx(t), (10)

donde A ∈ Rn×n_{, B ∈ R}n×m _{y C ∈ R}p×n_{. Observamos que la descomposici´on modal (en modos) de A lleva}

a una representación espacio de estados muy útil. Dado que A = M ΛM−1_{, la transformación de estados se}

puede hacer por medio de z = T x, T = M−1_{, resultando en:}

˙z(t) = Λz(t) + M−1_Bu(t),

y(t) = CM z(t). (11)

Esta representación es denominada de forma canónica modal, dado que los estados son simplemente las ampli-tudes modales. Los estados son desacoplados en Λ pero pueden estar acoplados a través de los mapeamientos de entrada M−1_B _{y salida CM . La forma modal es robusta en cuestiones de cálculo numérico.}

2.1. Ejemplo: Sistema de m´

ultiples entradas y m´

ultiples salidas

Considere el modelo del sistema din´amico como sigue:

˙x =   5 4 2 4 5 2 2 2 2  x+   0 1 1 1 1 0  u, y = 1 4 2 1 1 2 x+ 1 0 0 1 u

(6)

Luego, el calculando los autovalores de A tenemos:

det(A − λI3) = det

  5 − λ 4 2 4 5 − λ 2 2 2 2 − λ   = −λ3_{+ 12λ}2₋_{21λ + 10} = −(λ − 1)2_{(λ − 10)} ,

y vemos que los autovalores asociados de A son λ = 1 y λ = 10. Buscando los autovectores correspondientes:   5 − λ 4 2 4 5 − λ 2 2 2 2 − λ   _λ=1 v=   4 4 2 4 4 2 2 2 1  v= λv = v, entonces: v1=   −1 0 2  , v2=   −1 1 0  , y:   5 − λ 4 2 4 5 − λ 2 2 2 2 − λ   λ=10 v=   −5 4 2 4 −5 2 2 2 −8  v= λv = v, entonces: v3=   2 2 1  .

Con los tres autovectores v1, v2y v3siendo linealmente independientes podemos definir M tal que la matriz

de estados se pueda diagonalizar: M =   −1 −1 2 0 1 2 2 0 1  .Entonces: Λ =   −1 −1 2 0 1 2 2 0 1   −1  5 4 2 4 5 2 2 2 2     −1 −1 2 0 1 2 2 0 1  =   1 0 0 0 1 0 0 0 10  , M−1B =   −1 −1 2 0 1 2 2 0 1   −1  0 1 1 1 1 0   CM = 1 4 2 1 1 2   −1 −1 2 0 1 2 2 0 1  

3. Forma can´

onica controlable

3.1. Caso, sistema de una entrada

Considerando un sistema de una entrada una salida, un sistema cont´ınuo en el tiempo es representado por:

˙x(t) = Ax(t) + bu(t), (12)

donde A ∈ Rn×n _{y b ∈ R}n_{. Si se asume que el sistema es alcanzable, o, equivalentemente, controlable}1_,

significa que:

rango( b Ab ... An−1b ) = n. (13)

y a la matriz Wc=

b Ab ... An−1_b _{se le denomina matriz de controlabilidad.}

(7)

Eligiendo la ´ultima fila de la inversa de la matriz controlabilidad, sea q1 tal fila, definimos la matriz de transformaci´on T como: T =      q1 q1A .. . q1An−1      . (14)

N´otese que T es invertible, dado que:

T b Ab ... An−1_b ₌      0 0 ... 0 1 0 0 ... 1 x .. . ... ... ... 1 x ... x x      . (15)

Los elementos x en la matriz son elementos que existen pero no son de nuestro inter´es. Considerando la transformaci´on z = T x, en el nuevo sistema coordenado, el modelo del sistema es:

˙z(t) = T AT−1_{x(t) + T bu(t)}

= ˜Az(t) + ˜bu(t). (16)

Las matrices Ã y ˜b tienen estructuras particulares que definiremos a continuación. Analizando primero la estructura de ˜b, con q1 siendo la última fila de la inversa de la matriz de controlabilidad, tenemos:

q1b= q1Ab= ... = q1An−2b= 0, (17) y, q1An−1b= 1. (18) Entonces: ˜b = T b =        q1 q1Ab .. . q1An−2b q1An−1b        =        0 0 .. . 0 1        . (19)

La estructura de ˜Aes revelada considerando la relaci´on T AT−1_{= ˜}_A_{representada por:}

T A= ˜AT. (20)

El lado izquierdo de la matriz est´a dado por:

T A=        q1A q1A2 .. . q1An−1 q1An        . (21)

Por el teorema de Cayley-Hamilton, tenemos:

An= −aoIn− a1A − ... − an−1An−1, (22)

y luego

q1An= −aoq1− a1q1A − ... − an−1q1An−1. (23)

Comparando ambos lados de la ecuación T A = ÃT y usando el teorema de Cayley-Hamilton obtenemos que Adebe ser como descrito a continuación:

˜ A=        0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 .. . ... ... 0 0 0 ... 0 1

−ao −a1 −a2 ... −an−2 −an−1

       . (24)

Nótese que los coeficientes del polinomio caracter´ıstico de A son inmediatamente aparentes inspeccionando la última fila de Ã.

(8)

3.1.1. Ejemplo, sistema de una entrada

Considere el modelo del sistema din´amico como sigue:

˙x =     0 0 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 0 1 −1 0 0    x+     0 0 1 0    u.

La matriz de controlabilidad es: Wc =

b Ab A2_b _A3_b ₌     0 1 0 −2 0 0 0 1 1 0 −2 0 0 0 1 0    , luego el sistema es controlable dado que Wces no singular. Calculando la ´ultima fila de la inversa de la matriz de controlabilidad

encontramos que es 0 1 0 0 . Luego la matriz de transformaci´on T es definida como:

T =     q1 q1A q1A2 q1A3    =     0 1 0 0 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 0 1 −1    .

Las matrices A y b en el nuevo sistema coordenado tienen la forma:

˜ A= T AT−1=     0 1 0 0 0 0 0 1 1 −1 0 0 0 0 1 −1         0 0 1 0 0 0 0 1 −2 1 0 0 1 −1 0 0         1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0    =     0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 −3 0    , y: ˜b = T b =     0 0 0 1    

3.1.2. Caso, sistema de m´ultiples entradas

A continuación, generalizaremos el método que transforma sistemas a su forma canónica controlable para el caso de sistemas de más de una entrada. Sea el sistema dinámico:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), (25)

donde A ∈ Rn×n_{y B ∈ R}n×m_{, m ≤ n, y rango columna(B)=m por simplicidad}2_{. La matriz de controlabilidad}

se puede representar como: Wc=

b1 b2 ... bm Ab1 Ab2 ... Abm ... An−1b1 ... An−1bm

. (26)

donde bi, i = 1, 2, ..., m, es la i-´esima columna de B. Asumiendo que la matriz presentada en (26) es de

rango fila completo (n filas linealmente independientes), luego, podemos seleccionar n columnas linealmente independientes en (26). Elegimos estas columnas de la derecha a la izquierda, luego rearreglando las columnas seleccionadas formarmos la siguiente matriz no singular L:

L= b1 Ab1 ... Ad1−1b1 b2 ... Ad2−1b2 ... bm ... Adm−1bm . (27)

Los m enteros di son denominados ´ındices de controlabilidad y satisfacen: m

X

i=1

di= n. (28)

2_{Esta suposici´}_{on es hecha por conveniencia, para simplificar el c´}_{alculo. Esta suposici´}_{on implica que todas las entradas son} mutualmente independientes, que viene a ser el caso en aplicaciones pr´acticas.

(9)

Observese que las m columnas de B est´an presentes en L ya que hemos asumido que B es de rango columna completo (m columnas linealmente independientes). Sea:

σk= k

X

i=1

di, for k = 1, 2, ..., m. (29)

N´otese que σ1 = d1, σ2 = d1+ d2, ..., σm = n. Seleccionando las m filas correspondientes de L−1 y

denotandolas por qk, donde qk es la σ-´esima fila de L−1, formamos la siguiente matriz n × n:

T =                       q1 q1A .. . q1Ad1−1 q2 .. . q2Ad2−1 .. . qm .. . qmAdm−1                       . (30)

Se puede probar que T es no singular calculando el producto T L y observando que det(T L) = ±1. Definiendo la transformaci´on de variables de estado z = T x; y usando el mismo argumento que en el caso de un sistema de una entrada, obtenemos que ˜A= T AT−1 _{y ˜}_B _{= T B, donde:}

˜ A=                           0 1 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 . .. .._. .._. .._. .._. x x x ... x x x ... x ... x x ... x 0 0 0 ... 0 0 1 ... 0 ... 0 0 ... 0 .. . ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 1 ... 0 0 ... 0 x x x ... x x x ... x ... x x ... x .. . ... . .. ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 1 ... 0 .. . ... ... . .. ... ... ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 1 x x x ... x x x ... x ... x x ... x                           . (31)

Nótese que los m bloques diagonales en Ãtiene la estructura de la forma canónica controlable para el caso de una entrada. Las dimensiones de cada bloque son di× di, i = 1, 2, ..., m. Los bloques fuera de la diagonal

(10)

calcular conociendo los ´ındices de controlabilidad. La matriz ˜B tiene la forma: ˜ B=                           0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 .. . ... 1 x x x x 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 .. . ... 0 1 x x x .. . ... 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0 0 .. . ... 0 0 0 0 1                           . (32)

3.1.3. Ejemplo, sistema de m´utiples entradas Considere el modelo del sistema din´amico como sigue:

˙x =     −1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 4 0 1 1 −1 2    x+     1 1 2 0 1 0 0 1    u.

Siguiendo el algoritmo para obtener la forma can´onica controlable del sistema, obtenemos que: rango( b1 b2 Ab1 Ab2 A2b1 A2b2 A3b1 A3b2 ) = 4.

Luego, d1= d2= 2. A continuaci´on formamos L:

L= b1 Ab1 b2 Ab2 =     1 1 1 0 2 3 0 1 1 4 0 0 0 2 1 3    , y: L−1=     0,20 0,60 0,40 −0,20 −0,05 −0,15 0,35 0,05 0,85 −0,45 0,05 0,15 −0,25 0,25 −0,25 0,25    . Entonces: q1= −0,05 −0,15 0,35 0,05 , y: q2= −0,25 0,25 −0,25 0,25 .

La matriz de transformaci´on es:

T =     q1 q1A q2 q2A    =     −0,05 −0,15 0,35 0,05 −0,05 −0,15 1,35 0,05 0,85 −0,45 0,05 0,15 −0,25 0,25 −0,25 0,25    .

Las matrices ˜Ay ˜B tienen la siguiente forma:

T AT−1₌     0 1 0 0 −4 5 0 0 0 0 0 1 3 −3 4 1     y T B=     0 0 1 0 0 0 0 1    .

(11)

4. Forma can´

onica observable

En esta parte usaremos el concepto de dualidad y, en base a los algoritmos antes presentados para transformar sistemas alcanzables a su forma controlable, derivaremos resultados an´alogos para sistemas observables.

4.1. Caso, sistema de m´

ultiples salidas

Considerando el modelo de un sistema din´amico observable: ˙x(t) = Ax(t)

y(t) = Cu(t), (33)

donde A ∈ Rn×n_{, C ∈ R}p×n_{, p ≤ n, y rango(C)=p. Se omite la entrada u por conveniencia. Considerando el}

modelo del sistema dual asociado con el sistema (33). ˙

w(t) = ATw(t) + CTv(t). (34)

Siendo que el sistema (33) es observable, el sistema dual (34) es alcanzable. Luego podemos transformar el sistem dual (34) en su forma can´onica controlable usando los algoritmos descritos en la secci´on anterior. Finalmente, tomamos el resultado dual para obtener:

˙ˆx(t) = ˆAx(t),ˆ y(t) = ˆCx(t),ˆ (35) donde: ˆ A=      ˆ A11 Aˆ12 ... Aˆ1p ˆ A21 Aˆ22 ... Aˆ2p .. . ... ˆ Ap1 Aˆp2 ... Aˆpp      , (36)

donde cada matriz diagonal ˆAii∈ R ˆ di× ˆdi _{tiene la forma:} ˆ Aii =      0 0 ... 0 x 1 0 ... 0 x .. . . .. ... 0 0 ... 1 x      , (37)

que es justamente la transpuesta de la forma can´onica controlable para el caso de una entrada. Los enteros ˆ

di, i = 1, 2, ..p son los ´ındices de controlabilidad del sistema en (34). Las matrices fuera de la diagonal ˆAji,

j 6= i de ˆAtienen la forma: ˆ Aji=      0 0 ... 0 x 0 0 ... 0 x .. . . .. ... 0 0 ... 0 x      . (38)

La matriz ˆC consiste de p bloques y tiene la forma:

ˆ C=      0 0 ... 1 0 0 ... 0 ... 0 0 ... 0 0 0 ... x 0 0 ... 1 ... 0 0 ... 0 .. . . .. ... ... ... ... 0 0 ... x 0 0 ... x ... 0 0 ... 1      . (39)

Los p ´ındices de controlabilidad de (34) son los llamados ´ındices de observabilidad del sistema en (33). N´otese que: p X i=1 ˆ di= n. (40)

(12)

4.1.1. Ejemplo, sistema de m´ultiples salidas Dado el modelo del sistema observable como sigue:

˙x =     0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 −21 5    x y(t) = 1 0 0 0 0 0 0 1 x .

Trabajando con el sistema dual para obtener la forma controlable: primero formamos la matriz de con-trolabilidad; luego procedemos a seleccionar de izquierda a derecha las primeras 4 columnas linealmente independientes. Ellas tienen la forma:

cT₁, cT₂, ATc₁T,(AT)2cT₁.

Luego, los indices de observabilidad son ˆd1= 3 y ˆd2= 1. Luego, formando L:

L= cT 1 ATcT1 (AT)2cT1 cT2 =     1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 1    , y: L−1=     1 0 0 0 0 −3 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1    .

Entonces los dos vectores necesarios para obtener la transformaci´on deseada son: q1= 0 1 0 0 ,

y:

q2= 0 0 0 1 .

La matriz de transformaci´on es:

ˆ T =     q1 q1A q2 q2A    =     0 1 0 0 0 0 1 0 1 2 3 −21 0 0 0 1    .

Las matrices ˆAy ˆC tienen la siguiente forma:

ˆ A= ˆT−T_{A ˆ}_TT ₌     0 0 1 0 1 0 2 0 0 1 3 0 0 0 −105 5     y ˆ C= C ˆTT = 0 0 1 0 0 0 −21 1 .

5. Representaciones espacio de estados en formas can´

onicas a

par-tir de funciones de transferencia del sistema

En las secciones anteriores se ha descrito la forma de obtener ciertas formas canónicas partiendo de una representación espacio de estados dada, en esta parte nos centraremos en obtener representaciones espacio de estados en sus formas canónicas partiendo de la función de transferencia del sistema.

Considere un sistema definido por: dn_y dtn + an−1 dn−1_y dtn−1 + ... + a1 dy dt + aoy= bn dn_u dtn + bn−1 dn−1_u dtn−1 + ... + b1 du dt + bou (41)

(13)

donde u es la entrada y y es la salida. Esta ecuaci´on tambi´en puede ser escrita como: Y(s) U(s) = g(s) = bnsn+ bn−1sn−1+ ... + b1s+ bo sn_{+ a} n−1sn−1+ ... + a1s+ ao = n(s) d(s) (42)

A continuación se presentarán las representaciones espacio de estados correspondientes en su forma canónica controlable, observable y modal.

5.1. Forma can´

onica controlable

La siguiente representaci´on es la forma can´onica controlable:        ˙x1 ˙x2 .. . ˙xn−1 ˙xn        =        0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 .. . ... ... ... 0 0 0 ... 0 1

−ao −a1 −a2 ... −an−2 −an−1

              x1 x2 .. . xn−1 xn        +        0 0 .. . 0 1        u. (43) y= bo− aobn b1− a1bn ... bn−1− an−1bn        x1 x2 .. . xn−1 xn        + bnu (44)

La forma canónica controlable es importante en el diseño de sistemas de control por ubicación de polos. Las ecuaciones (43) y (44) son derivadas de la siguiente forma. Si bn 6= 0 entonces:

g(s) = bn h sn₊bn₋₁ bn s n−1_{+ ... +} b1 bns+ bo bn i d(s) = bn h sn+bn₋₁ bn s n−1_{+ ... +} b1 bns+ bo bn − d(s) + d(s) i d(s) = bn h sn₊bn₋₁ bn s n−1_{+ ... +} b1 bns+ bo bn − d(s) i d(s) | {z } estrictamente propia +bn

entonces funci´on de transferencia propia = funci´on de transferencia estrictamente propia + constante, en otras palabras, g(s) = h(s) + bn y bn es simplemente la matriz D. Ahora suponiendo que:

h(s) = cn−1s n−1_{+ ... + c} n sn_{+ a} n−1sn−1+ ... + a1s+ ao =cn−1sn−1+ ... + cn 1 d(s) y (43) y (44) siguen por construcci´on.

5.2. Forma can´

onica observable

La siguiente representaci´on es la forma can´onica observable:        ˙x1 ˙x2 .. . ˙xn−1 ˙xn        =        0 0 0 ... 0 −ao 0 0 0 ... 0 −a1 .. . ... ... ... 0 0 0 ... 0 −an−2 0 0 0 ... 1 −an−1               x1 x2 .. . xn−1 xn        +        bo− aobn b1− a1bn .. . 0 bn−1− an−1bn        u. (45) y= 0 0 ... 0 1        x1 x2 .. . xn−1 xn        + bnu (46)

(14)

Notar que la matriz de estados n × n de la ecuaci´on (45) es la transpuesta de la matriz de estados de la ecuaci´on (43).

5.3. Forma can´

onica modal

Considere la funci´on de transferencia definida por (42). Aqui consideramos el caso donde el polinomio del denominador posee raices distintas. Para el caso de raices distintas, (42) puede ser escrita como:

Y(s) U(s) = bnsn+ bn−1sn−1+ ... + b1s+ bo (s + p1)(s + p2)...(s + pn) = bn+ c1 s+ p1+ c2 s+ p2 + ... + cn s+ pn (47)

La forma can´onica diagonal est´a dada por:        ˙x1 ˙x2 .. . ˙xn−1 ˙xn        =        −p1 0 0 ... 0 0 0 −p2 0 ... 0 0 .. . ... ... ... 0 0 0 ... −pn−1 0 0 0 0 ... 0 −pn               x1 x2 .. . xn−1 xn        +        1 1 .. . 1 1        u. (48) y= c1 c2 ... cn−1 cn        x1 x2 .. . xn−1 xn        + bnu (49)

Fuente: Cap´ıtulos 5 y 8 del libro Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers, de Karl J. ˚Astr¨om y Richard M. Murray.

Fuente: Cap´ıtulo 2 del libro Systems and Control de Stanislaw H. Zak (2002).