Inecuaciones

(1)

JUAN CARLOS MURILLO RIVAS

LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA LIC. MATEMÁTICAS Y FÍSICA TL. EN ADMÓN. DE REDES DE

TL. EN ADMÓN. DE REDES DE COMPUTADORCOMPUTADORES ES

Luego, surgió el conjunto de los números Luego, surgió el conjunto de los números enteros

enteros

(ℤ)

como solución a las deudas. como solución a las deudas. Posteriormente, aparecieron los números Posteriormente, aparecieron los números racionales

racionales

(ℚ)

para solucionar el problema de para solucionar el problema de fracciones.

fracciones.

Ante una dificultad c

Ante una dificultad con expresiones on expresiones decimalesdecimales infinitas no periódicas surgen los números infinitas no periódicas surgen los números irracionales (I) algunos ejemplos son:

irracionales (I) algunos ejemplos son:

√

√ 2,2, √

√ 3,3,



..

Finalmente, el conjunto de números reales Finalmente, el conjunto de números reales

(ℝ)

está formado por la unión de los está formado por la unión de los RacioneRacioness y los Irracionales.

y los Irracionales.

El conjunto de los números reales

(ℝ)

eses ordenado. Entre dos números reales a y b se ordenado. Entre dos números reales a y b se cumple solo una de las siguientes relaciones: cumple solo una de las siguientes relaciones:

  <

< 

  =

= 

  >

> 

Propiedades de las desigualdades

1. Si

  < 

< 

y y

  <

< 

entonces entonces

  <

< 

..

2. Si se suma o se resta un mismo número en 2. Si se suma o se resta un mismo número en los dos miembros de la desigualdad el sentido los dos miembros de la desigualdad el sentido se conserva. Es decir

se conserva. Es decir

 <  →  ±

 <  →  ±  <  ±

 <  ±



..

3. Si se multiplica o divide los dos miembros 3. Si se multiplica o divide los dos miembros por de la desigualdad por un mismo número por de la desigualdad por un mismo número positivo el sentido de la desigualdad se positivo el sentido de la desigualdad se conserva

conserva

 <    > 0 →  < 

..

4. Si se multiplica o divide los dos miembros 4. Si se multiplica o divide los dos miembros por de la desigualdad por un mismo número por de la desigualdad por un mismo número negativo el sentido de la desigualdad cambia negativo el sentido de la desigualdad cambia

 <    < 0 →  > 

..

Las desigualdades se pueden representar en Las desigualdades se pueden representar en intervalos.

intervalos.

Intervalo

: es un subconjunto no vacío de: es un subconjunto no vacío de números reales. Las clases de intervalos se números reales. Las clases de intervalos se muestran a continuación.

(2)

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(3)

MATEMÁTICAS 11

Números Reales y Desigualdades

Abierto Abierto

((,, )) =

= { { ∈ ℝ/ <  < 

 ∈ ℝ/ <  < }}

Cerrado Cerrado

[[,, ]] =

= { { ∈ ℝ/ ≤  ≤ 

 ∈ ℝ/ ≤  ≤ }}

Semiabierto Semiabierto

[[,,)

) == { { ∈ ℝ/ ≤  < 

 ∈ ℝ/ ≤  < }}

(,

(,]] =

= { { ∈ ℝ/ <  ≤ 

 ∈ ℝ/ <  ≤ }}

Infinito Infinito

(

(,, ∞) =

∞) = { { ∈ ℝ/ > 

 ∈ ℝ/ > }}

[[,,∞)

∞) == { { ∈ ℝ/ ≥ 

 ∈ ℝ/ ≥ }}

(∞,

(∞,]] =

= { { ∈ ℝ/ ≤ 

 ∈ ℝ/ ≤ }}

INECUACIONES

Una desigualdad en la que intervienen una o Una desigualdad en la que intervienen una o más variables se denomina inecuación.

más variables se denomina inecuación.

Resolver una inecuación consiste en hallar los Resolver una inecuación consiste en hallar los valores que hacen verdadera la desigualdad. valores que hacen verdadera la desigualdad. Por ejemplo, la desigualdad

Por ejemplo, la desigualdad

  ++ 5 <

5 < 22

es una es una inecuación, al realizar operaciones y resolver inecuación, al realizar operaciones y resolver se obtiene

se obtiene

 < 3

, esto se puede expresar, esto se puede expresar en forma de conjunto como

en forma de conjunto como

  == { { ∈ / <

 ∈ / <

3

3}}

, en forma de intervalo, en forma de intervalo

((∞,3

∞,3))

y en y en forma grafica

forma grafica

Ejemplo Ejemplo

Determina el conjunto solución de las Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. siguientes inecuaciones. a. a.

 +

 + 20

20 < 10

< 10

solución solución

 +

 + 20

20 < 10

< 10

 + 2

 + 20 

0 20 < 10

20 < 10  20

20

Restamos Restamos _{ambos miembros}_{ambos miembros}20 20 aa

 < 10

(4)

Cancel Anytime.

MATEMÁTICAS 11

Números Reales y Desigualdades

b. b.





>

> 55

solución solución





> 5





∗∗ 3

3 >

> 5

5 ∗∗ 33

Se multiplica por 3Se multiplica por 3_{en ambos miembros}_{en ambos miembros}





>>





Dividimos entre 2 aDividimos entre 2 a_{ambos miembros}_{ambos miembros}

  >>



_

El conjunto estará formado por El conjunto estará formado por







,,∞

∞

ACTIVIDAD

1. Ubica los siguientes intervalos en le recta 1. Ubica los siguientes intervalos en le recta real. real. a. a.

(1,8)

b. b.

(7,1

(7,1]]

c. c.

[[8, 8)

8, 8)

d. d.

[[4, ∞)

4, ∞)

e. e.







,,







2. Determina el conjunto solución de las 2. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones. siguientes inecuaciones. a. a.

4 ≤ 3

b. b.





+

+ 1 <

1 < 00

c. c.

44 +

 + 3 ≤ 7

3 ≤ 7

d. d.



 5 ≤ 

5 ≤ 10

10

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número



se define se define como la distancia que hay entre cero y

como la distancia que hay entre cero y



en laen la recta numérica. Se simboliza

recta numérica. Se simboliza

||||

y cumple con: y cumple con:

|||| =

= { {   ≥ 0;

   ≥ 0;  

   < 0

  < 0}}

Propiedade

Propiedades de

s de valor absoluto.

valor absoluto.

1. 1.

|||| =  ↔  ≥ 0

=  ↔  ≥ 0,, ⋀,

⋀,  =  ⋁

 =  ⋁  = 

 = 

2. 2.

|||| =

= | ||| ↔  = 

↔  = ,, ⋁, = 

⋁, = 

3. 3.

||

|| =

= | |||

4. 4.

||

|| =

= | |||||||

5. 5.







 =

=

| |||

||||



 ≠ 0

≠ 0

6. 6.

|| +

 + || =

= | ||| +

+ ||||

7. 7.

|||| =

= √

√



Ejemplos Ejemplos

Resolver las siguientes ecuaciones con valor Resolver las siguientes ecuaciones con valor absoluto. absoluto. a. a.

3 

3 





 =

= 55

Solución Solución

3 

 _

 = 5 ⋁

 = 5 ⋁ 33 

 _

 = 5

Se aplica laSe aplica la propiedad 1 propiedad 1

(5)

MATEMÁTICAS 11

Números Reales y Desigualdades

3 = 4

⋁  3 = 16

Se multiplica porSe multiplica por

2 ambos

miembros miembros



 ==

 

_

⋁   = 

1616₃₃ Dividimos entreDividimos entre

3 ambos

miembros miembros

  = 

= 



_

⋁ 

⋁  ==

1616₃₃ Se multiplica porSe multiplica por -1 toda la -1 toda la ecuación.

ecuación. Por lo tanto, el conjunto solución es Por lo tanto, el conjunto solución es







,,







b. b.

||44  ++ 66|| =

= | |22 +

 + 88||

Solución Solución

4

4 ++ 6 = 2

6 = 2 +

 + 8 8 ⋁

⋁ 4

4 ++ 6 = 

6 = 22 

  88

44 

  22 = 8

 = 8  6 6 ⋁

⋁ 44 +

 + 22 = 

 = 8 8  66

2 = 2 ⋁ 6 = 14

  ==

 

_

⋁ 

⋁  ==

−

_

 =

 = 1 ⋁

1 ⋁  =

 = 



_

Inecuac

Inecuaciones con

iones con valor absoluto

valor absoluto

Son inecuación de la forma

|| +

 + || ≤

≤ 

para resolverlas utilizamos las siguientes para resolverlas utilizamos las siguientes propiedades. propiedades. 1. 1.

|||| >  ↔

>  ↔  >  ⋁  < 

 >  ⋁  < 

4. 4.

|||| ≥  ↔ 

≥  ↔  ≥  ⋁

≥  ⋁  ≤ 

 ≤ 

5. 5.

|||| ≤  ↔  ≤  ≤ 

≤  ↔  ≤  ≤ 

Ejemplos Ejemplos

Hallar los valores de x que satisfacen las Hallar los valores de x que satisfacen las inecuaciones. inecuaciones. a. a.

||22 

 66|| ≤

≤ 12

12

Solución Solución

12 ≤ 2

12 ≤ 2 

  6 ≤ 12

6 ≤ 12

Se Se _{propiedad 5}_{propiedad 5}aplica aplica lala

12 + 6 ≤ 2 ≤ 12+ 6

Sumo 6 en laSumo 6 en la

inecuación inecuación

6 ≤ 2 ≤ 18

Divido entre 2Divido entre 2

3 ≤  ≤ 9

Luego, Luego,

[[3,9

3,9]]

b. b.







 +





 >

>







 +





>





⋁⋁





 +





<

< 





4 +3 > 51 ⋁ 4 +3 < 51

4 > 48 ⋁ 4 < 54

 > 12 ⋁  < 13,5

ACTIVIDAD

(6)

Cancel Anytime.

MATEMÁTICAS 11

Números Reales y Desigualdades

a. a.

|| +

 + 55|| =

= 77

b. b.

||3

3|| =

= 21

21

c. c.

|| ÷

 ÷ 2255|| =

= 44

d. d.







 55 =

= 23

23

e. e.







++ 77 =

= 11

11

2. Determina el conjunto solución de las 2. Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades. Expresa la siguientes desigualdades. Expresa la respuesta en una recta numérica.

respuesta en una recta numérica. a. a.

|| 

  77|| <

< 18

18

b. b.

||22  ++ 33|| ≤

≤ 55

c. c.

||55 

  22|| >

> 33

d. d.













 <

<





e. e.

2 

2 





 >

> 55

3. La temperatura en grados centígrados 3. La temperatura en grados centígrados

(°)

necesaria para mantener un medicamento en necesaria para mantener un medicamento en buen estado está dada por:

buen estado está dada por:

||°

°  1155|| ≤

≤ 10

10

.. a. ¿Cuál es el intervalo de temperatura a. ¿Cuál es el intervalo de temperatura necesario para mantener el medicamento en necesario para mantener el medicamento en buen estado?

buen estado?

b. ¿Cuál es la temperatura mínima para b. ¿Cuál es la temperatura mínima para mantener el medicamento?