NCh42-1953

NORMA CHILENA OFICIAL NCh42.Of53

Control estadístico de calidad

I Preámbulo

1. La presente norma fue estudiada y preparada por la Especialidad de ESTADISTICA. El

Comité estuvo constituido por los señores: Instituto Nacional de Investigaciones

Tecnológicas y Normalización (INDITECNOR) Leonardo Bitrán Escuela de Economía y Comercio Ismael Cárdenas

Sociedad Industrial Pizarreño Juan Cerda

Ing. Jefe del Departamento de Normas

Técnicas del INDITECNOR José Manuel Eguiguren

Manufacturas de Cobre S.A. (MADECO) Antonio Espinoza Compañía de Acero del Pacífico (CAP) Alvaro García

Ferrocarriles del Estado Juan Knockaert

Director del Instituto de Investigación de

Materias Prima de la Universidad de Chile Pablo Krassa Ing. Jefe del Departamento de Investigaciones

del INDITECNOR Carlos Krumm

Corporación de Radio de Chile (RCA) Jorge Párvex Dirección General de Industrias Jesús del Prado

2. El Instituto no ha recibido comentarios sobre la presente norma.

3. En el estudio de la presente norma se han tenido a la vista, entre otros documentos, los

siguientes:

a) AMERICAN STANDARDS ASSOCIATION, Control Chart Method of Controlling Quality During Production - American War Standard - approved April 1942;

b) AMERICAN STANDARDS ASSOCIATION, Guide for Quality Control and Control Chart Method of Analysing Data - American Defense Emergency Standards, Reproduced by courtesy of the American Standards Association, New York, USA, BS 1008: 1942;

c) AMERICAN SOCIETY FOR TESTING MATERIALS, ASTM, Manual on Quality Control of Materials, enero 1951;

d) BRITISH STANDARDS INSTITUTION, British Standard for Fraction Defective Charts for Quality Control, BS 1313-1947;

e) DUDDING, B.P. M.B.E., Ph. D., and W.J. Jennett, B. Sc. (Eng.), Quality Control Charts, Being part 1 of a Revision of BS 600: 1935. The Application of Statistical Methods to Industrial Standardization and Quality Control, BS 600: 1942;

f) KRUMM, CARLOS, Control de calidad en la Industria, Editorial Universitaria S.A., Santiago, 1949;

g) PEARSON, E.S., The Application of Statistical Methods to Industrial Standardization and Quality Control BS 600: 1935;

h) SHEWART. Economic Control of Manufactured Product - D. van Nostrand Company Inc., New York, 1931;

i) SIMON, LESLIE E., An Engineers’ Manual of Statistical Methods, John Wiley, New York, 1941.

4. La presente norma contiene referencias a la siguiente norma NCh5.Of48, Símbolos

matemáticos.

5. Esta norma ha sido revisada y aprobada por el Director del Instituto Nacional de

Investigaciones Tecnológicas y Normalización (INDITECNOR), Ing. Carlos Höerning.

Declarada Norma Oficial de la Republica de Chile, por Decreto Nº 1598 (Ministerio de Obras Públicas), del 25 de agosto de 1953.

II OBSERVACIONES

1. La aplicación de métodos estadísticos en la forma en que se prescribe en esta norma

permite observar, sistemáticamente, durante el curso de la fabricación, las variaciones de la calidad de un producto, fijar límites económicos permisibles de variación y reducir a un mínimo el número de piezas defectuosas. Se pueden así corregir, oportunamente, los defectos que se producen en la manufactura, ya sea por mal ajuste de la máquina, calidad deficiente de los materiales, errores del operador, etc., cada vez que se traspasan los límites fijados. De esta manera se descubren las causas anormales de variabilidad, llamadas asignables, y se las elimina tan pronto como son localizadas.

Cuando una industria usa los métodos estadísticos de control de calidad, tiene la certidumbre de vender un producto cuyas características se mantienen dentro de ciertos límites. Pueden así llegar a suprimirse las pruebas de recepción rutinarias. El fabricante puede exhibir sus gráficos que dan fe de la calidad sin necesidad de ensayos o prueba

NCh42 ulteriores. Donde hay dificultad de producción, los diagramas de control de calidad hacen más difícil a los responsables del proceso ocultar el origen de una falla, ya sea usando argumentos falsos o descargando la responsabilidad en otra persona. Por otra parte, si la manufactura está organizada por secciones y el producto final de una es la materia prima de la siguiente, el uso de los diagramas respectivos de control de calidad deslinda las responsabilidades. Se comprende que esta manera, que podría llamarse automática, de establecer las fallas, conduce a un mejoramiento de las relaciones entre ingenieros, capataces y obreros.

Es posible mantener un control de calidad anotando los resultados en forma tabular, pero es preferible usar la forma gráfica que es fácilmente inteligible para los operarios en los cuales produce un efecto psicológico que los estimula al mejoramiento de la calidad.

La naturaleza del problema no permite establecer normas rígidas para fijar los límites de control a causa de la diversidad de casos que se presentan en la práctica. Sin embargo, es posible dar algunas recomendaciones generales basadas en la experiencia y que pueden aplicarse a numerosos casos en el uso industrial del diagrama de control.

En la práctica se ha encontrado conveniente colocar los límites de control sobre y debajo de la línea central de la estadística que se use (X,

σ

,R,p), a distancias de 3 veces cierto valor calculado. Estos límites se designan con el nombre de “3 sigma”. Si las distribuciones son gaussianas existe un 99,73% de probabilidad de que una observación caiga entre los límites + 3 σ y – 3 σ. En otros términos, la proporción de observaciones que queda fuera de estos límites es sólo de 0,27%. Por otra parte el teorema de Tchebychef y la fórmula de Camp y Meidell indican una probabilidad comprendida entre el 88,9% y el 95% para aquel intervalo aún cuando la distribución no sea gaussiana.

En la presente norma sólo se consideran los límites externos + 3 σ y – 3 σ. Las normas inglesas consideran además límites internos de advertencia (warning limits) situados a la distancia 1,96 σ sobre y debajo de la línea central. Cuando se adoptan estos límites la proporción de observaciones que tienen un valor menor que X - 1,96 σ mayor que X + 1,96 σ es de 2,5%. En la presente norma no se dan tablas para los límites de advertencia.

2. La tabla A proporciona factores auxiliares útiles para el cálculo de elementos de

diagramas de control.

Tabla A

Factores auxiliares para el cálculo de los elementos de diagramas de control de muestras de pequeños y diferentes tamaños, cuando no se da especificación

n 2 1/c 1/d₂ n 1/c₂ 1/d₂ 2 1,7725 0,8865 14 1,0579 0,2935 3 1,3820 0,5907 15 1,0537 0,2880 4 1,2533 0,4857 16 1,0501 0,2831 5 1,1894 0,4299 17 1,0470 0,2787 6 1,1512 0,3946 18 1,0442 0,2747 7 1,1259 0,3698 19 1,0418 0,2711 8 1,1078 0,3512 20 1,0396 0,2677 9 1,0942 0,3367 21 1,0376 0,2647 10 1,0837 0,3249 22 1,0358 0,2618 11 1,0753 0,3152 23 1,0342 0,2592 12 1,0684 0,3069 24 1,0327 0,2567 13 1,0627 0,2998 25 1,0313 0,2544

NORMA CHILENA OFICIAL NCh42.Of53

Control estadístico de calidad

A) DEFINICION DE ESTA NORMA

Artículo 1º

Esta norma establece las fórmulas y diagramas que deben usarse para controlar estadísticamente la calidad de la producción industrial.

B) CAMPO DE APLICACION

Artículo 2º

1. Las prescripciones de esta norma se aplicarán a la producción en serie de artículos

cuyas características de calidad:

a) Permiten una inspección de 100% de la producción; b) No permiten una inspección del 100% de la producción.

2. Son artículos del grupo a) aquellos cuyas características de calidad pueden ser

estimadas sin ser modificadas, es decir, sin producir inutilización del artículo. Tales características pueden ser, entre otras, las siguientes: Dimensiones, sujetas a la medida de pasa o no pasa; características de rendimiento tales como torque de motores, tiempo de operación de relays; características eléctricas, tales como resistencia, ampliación de audiones; características observables por inspección visual, tales como montaje, terminación, apariencia, defectos materiales, manchas y fallas en tejidos o en el acabado de superficies pintadas o recubiertas con metal.

3. Son artículos del grupo b) aquellos cuyas características de calidad son modificadas al

ser estimadas, es decir, aquellos cuyas características se determinan con pruebas destructoras, inutilizándolos. Tales características pueden ser, entre otras, las siguientes: Pruebas de duración que miden el máximo de vida útil en ampolletas eléctricas y en correas de ventiladores; características de rendimiento que requieran un ensayo destructor tales como poder calorífico, en calorías, de gases, combustibles líquidos y carbón; pruebas eléctricas de conductores revestidos; propiedades físicas tales como resistencia a la tracción de acero y pruebas de ignición de lubricantes.

C) TERMINOLOGIA

Artículo 3º

Los símbolos matemáticos empleados en esta norma se encuentran definidos en NCh5.Of48.

Artículo 4º

En la presente norma designaremos con X cierta característica de un artículo y con n

X X

X₁, ₂,.... _n, valores observados de la característica X, ordenados, de modo que 1 + ≤ i i X X Artículo 5º

1. Muestra. Es una porción del material o un grupo de individuos o ejemplares extraídos

del conjunto (población), que se usan como información respecto a la calidad del conjunto.

2. Muestra al azar. Es una muestra tomada sin preferencia y al acaso, de manera que

cualquier ejemplar tiene igual probabilidad de inclusión.

3. Población, lote o partida. Es un conjunto de ejemplares individuales procedentes de un

mismo origen. En la industria se emplean, más generalmente, los términos lote o partida.

4. Subgrupo. Uno de los grupos en que se subdivide la población, con fines de muestreo. 5. Causa asignable. Factor que contribuye a la variación de la calidad y que es posible

identificar.

6. Frecuencia de una magnitud. Es el número de veces que se presenta determinada

magnitud de una característica en los individuos que componen un lote.

7. Frecuencia relativa de una magnitud. Razón entre la frecuencia de una magnitud y el

NCh42 8. Distribución de la frecuencia. Relación entre la frecuencia y el orden de la magnitud.

Generalmente se expresa por una curva o una ecuación.

9. Distribución normal o gaussiana. Es un tipo de distribución con la siguiente ecuación: 2 2 2 2 1 _σ

π

σ

x e y = − en donde: x = _{X − X ;}

σ

= desviación típica de la característica

X

;

y _{= frecuencia relativa de un valor de X.}

10. Parámetro estadístico. Es una medida estadística representativa de una característica

de calidad de un lote. Son parámetro, entre otros, el promedio, la desviación típica, etc.

11. Nivel de control. El nivel de control especifica cuantitativamente la naturaleza de la

variación estadística a que se encuentra sujeta la calidad de un material o de un artículo manufacturado. Se especifica en términos mensurables tales como el promedio, la desviación típica y la fracción defectuosa. En un artículo manufacturado el nivel de control depende de la maestría del productor en el dominio del proceso técnico, de los factores económicos, etc.

12. a) Promedio aritmético X. Está definido por la relación:

∑

= = + + + = n i i n X n n X X X X 1 2 1 ... 1

b) El promedio aritmético de un parámetro variable se designará por el símbolo respectivo

con una tilde, o con dos tildes cuando se trate de promedio de promedios. Así se tendrá: Promedio de la característica X_i : X

Promedio de las desviaciones típicas

σ

_i :

σ

Promedio de los intervalos R_i : R

Promedio de las fracciones defectuosas p_i : p

13. Intervalo R. Es la diferencia entre los valores extremos X_n − X₁.

14. a) Desviación típica (desviación standard). Está definida por la relación:

∑

= − = − + + − + − = n i i n _{X X} n n X X X X X X 1 2 2 2 2 2 1 ) ( ) ... ( ) 1 _{( )} (

σ

∑

= − = n i i X X n 1 2 2 1

b) La desviación típica de un parámetro variable se designará con el símbolo σ con un sub-índice que indicará el tipo de parámetro que se considere. Así, se tendrá:

Desviación típica de las características Xi :

σ

x (o sólo σ) Desviación típica de los promedios X_i :

σ

_x

Desviación típica de las desviaciones típicas

σ

_i :

σ

_σ

Desviación típica de los intervalos R_i :

σ

_R

Desviación típica de las fracciones defectuosas p_i :

σ

_p, etc.

15. Fracción defectuosa p. La fracción defectuosa es la razón entre el número de

unidades que no cumplen con la especificación requerida y el total de unidades inspeccionadas.

16. Número de defectos p×n. El número de defectos es la cantidad de individuos

defectuosos que se presentan en una muestra o un lote inspeccionado. Es igual al producto de la fracción defectuosa por el número total de individuos inspeccionados.

17. Diagrama de control. El diagrama de control es un gráfico, construido conforme a los

preceptos dados en las especificaciones, que sirve para visualizar, claramente, el comportamiento de la característica observada en las muestras de un lote o de una producción.

18. Línea central, límite superior, límite inferior. La línea central, el límite superior y el

límite inferior son elementos de un diagrama de control, que se representan, respectivamente, con los símbolos: LC , LS y LI .

NCh42

D) PRESCRIPCIONES

I. GENERALIDADES Artículo 6º

El método de análisis de los diagramas se usará con los fines siguientes:

a) Para efectuar un control respecto a una especificación prefijada, o sea, para averiguar si los valores observados de X, R,

σ

,p,etc., en las muestras, difieren de los valores

normales prefijados X´,R´,

σ

´,p´, etc., en una cantidad superior a la atribuible al azar.

b) Para efectuar un control cuando no se da una especificación, o sea, para averiguar si los valores observados de X, R,

σ

,p,etc., para varias muestras varían entre ellas en una

cantidad mayor que la atribuible al azar. Las muestras con las cuales se determinan los valores de los parámetros se denominan “muestras piloto”; los elementos calculados mediante las muestras piloto servirán como datos para el constante control de la calidad del producto. Según cuales sean las características de la producción futura, los elementos ya establecidos podrán ir modificándose a través de nuevas extracciones de muestras piloto.

METODO GENERAL PARA CONSTRUIR LOS DIAGRAMAS Artículo 7º

1. Se dividirá el número total de observaciones en m sub-grupos (muestras) de

m n n

n₁, ₂..., unidades respectivamente. Esta división en sub-grupos, denominada “división

racional”, se efectuará de tal manera que los individuos dentro de cada sub-grupo tengan entre sí cualidades comunes provenientes de una misma etapa o un mismo proceso de la producción (provengan, por ejemplo, de un mismo lote de materia prima, o de una misma máquina, o hayan sido producidos en determinado intervalo de tiempo). Si fuera posible los sub-grupos se harán de igual tamaño y, preferentemente, de n ≥ 4.

2. Para cada estadística X, R,σ,op, que se desee, se construirá un diagrama cuyos

límites de control se fijarán de acuerdo con los artículos 8º, 9º, 10º y cuyas características esenciales serán las indicadas en la figura 1.

3. En los diagramas de promedios y desviaciones típicas los puntos representativos del

NCh42 4. Cuando se lleve simultáneamente, diagramas de los promedios y de las desviaciones

típicas, este último irá colocado inmediatamente bajo el primero, separados por un pequeño espacio. Las abscisas deberán ser colocadas en la misma escala, (figura 2).

5. En los diagramas de los intervalos, desde cada punto, correspondiente a cada medida,

se bajará, con trazo continuo, una perpendicular al eje de abscisas, (figura 3).

6. Si uno o más de los valores observados de X, R,

σ

,p,en algún sub-grupo (muestra),

cae fuera de los límites de control, se tomará este hecho como una indicación de la presencia de una causa asignable en ese sub-grupo.

II. CALCULO

CONTROL RESPECTO DE UNA ESPECIFICACION Artículo 8º

1. Los elementos de un diagrama de control, cuando existe especificación (es decir, cuando

se han dado previamente los valores de x,

σ

´o p'), se calcularán, para cada parámetro, como se indica en la tabla I. Los valores de las constantes A,c2,B2, B1,d2, D2 y D1 se

encuentran especificados, para cada valor de n, en la tabla II.

2. Los diagramas del intervalo (R), [fórmulas (3), tabla 1], tendrán una precisión y

fidelidad satisfactorias solamente cuando el número de individuos de la muestra es igual o inferior a diez (n ≤10). Para muestras de mayor tamaño no se recomienda el empleo de diagramas de este parámetro, pues la precisión de ellos decrece al aumentar el tamaño n de la muestra.

3. Cuando el tamaño n de la muestra es superior a 25, no se llevarán diagramas de control cuyos elementos se calculan mediante los factores d₂,D₁yD₂.

4. Cuando las muestras tienen tamaños diferentes, los límites del diagrama variarán dentro de él.

NCh42 Tabla I

Elementos principales de un diagrama de control, dados X',σ', p'

Parámetros que se desea controlar

Promedio Desviación _típica Intervalo Fracción defectuosa _p Número de defectos _np Elemento del diagrama X σ R p' > 0,1 p'≤0,1 p' >0,1 p'≤0,1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) LC ' X c₂σ' d₂σ' p' p' p´n p´n LS X + Aσ' B₂σ' D₂σ' n p p p ) ' 1 ( ' 3 ' − + n p p ' 3 '+ p'n+3 p'n(1−p') p'n+3 p'n LI X'−Aσ' _' 1σ B D₁σ' n p p p ) ' 1 ( ' 3 '− − n p p'−3 ' p'n−3 p'n(1−p') p'n+3 p'n

CONTROL CUANDO NO EXISTE ESPECIFICACION

Artículo 9º

1. Los elementos de un diagrama de control, cuando no existe especificación, se calcularán, para cada parámetro, como se indica en la tabla III. Los valores de las constantes A₁, A₂, B₄, B₃, D₄ y D₃ se encuentran especificados, para cada valor de n, en la tabla IV.

2. Los diagramas del intervalo

(R

)

, [fórmulas (II) (3) tabla III], y los diagramas del promedio ( X), construidos empleando los parámetros calculados X y R, [fórmulas (II) (1), tabla III], tendrán una fidelidad y precisión satisfactorias solamente cuando el número de individuos de la muestra es igual o inferior a diez

(

n

≤

10

)

. Para muestras de mayor

tamaño no se recomienda el empleo de estos diagramas, pues, la precisión de ellos, decrece al aumentar el tamaño n de la muestra.

Tabla II

Factores para calcular los elementos de los diagramas de control, cuando se da una especificación

Diagrama

promedios Diagrama para desviaciones típicas Diagrama para intervalos Número de individuos

en la muestra _{Factores para} límites de control Factor para línea central Factores para límites de control Factor para línea central Factores para límites de control n A c₂ B₁ B₂ d₂ D₁ D₂ 2 2,121 0,5642 0 1,843 1,128 0 3,686 3 1,732 0,7236 0 1,858 1,693 0 4,358 4 1,500 0,7979 0 1,808 2,059 0 4,698 5 1,342 0,8407 0 1,756 2,326 0 4,918 6 1,225 0,8686 0,026 1,711 2,534 0 5,078 7 1,134 0,8882 0,105 1,672 2,704 0,205 5,203 8 1,061 0,9027 0,167 1,638 2,847 0,387 5,307 9 1,000 0,9139 0,219 1,609 2,970 0,546 5,394 10 0,949 0,9227 0,262 1,584 3,078 0,687 5,469 11 0,905 0,9300 0,299 1,561 3,173 0,812 5,534 12 0,866 0,9359 0,331 1,541 3,258 0,924 5,592 13 0,832 0,9410 0,359 1,523 3,323 1,026 5,646 14 0,802 0,9453 0,384 1,507 3,407 1,121 5,693 15 0,775 0,9490 0,406 1,492 3,472 1,207 5,737 16 0,750 0,9523 0,427 1,478 3,532 1,285 5,779 17 0,728 0,9551 0,445 1,465 3,588 1,359 5,817 18 0,707 0,9576 0,461 1,454 3,640 1,426 5,854 19 0,688 0,9599 0,477 1,443 3,689 1,490 5,888 20 0,671 0,9619 0,491 1,433 3,735 1,548 5,922 21 0,655 0,9638 0,504 1,424 3,778 1,606 5,950 22 0,640 0,9655 0,516 1,415 3,819 1,659 5,979 23 0,626 0,9670 0,527 1,407 3,858 1,710 6,006 24 0,612 0,9684 0,538 1,399 3,895 1,759 6,031 25 0,600 0,9696 0,548 1,392 3,931 1,804 6,058 más de 25 n 3 1 n 2 3 1− n 2 3 1+

NCh42

Tabla III

Elementos principales de un diagrama de control sin especificación Parámetro que se desea controlar

Promedio Desviación _típica Intervalo Fracción defectuosa Número de defectos

p np Elementos del diagrama _{X σ R} 0,1 > p p <0,1 p>0,1 p<0,1 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) X LC X σ σ _{LS σ} 1 A X+ B₄σ LI (I) σ 1 A X− B₃σ X LC X R LS X+A₂R D₄R R _LI (II) R A X− ₂ D₃R LC p p pn pn LS n p p p +3 (1− ) n p p+3 ) p ( n p n p +3 1− n p n p +3 Parámetro calcu lado p LI (III) n p p p ) 1 ( 3 − − n p p− 3 pn−3 pn(1−p) pn−3 pn

3. Cuando las muestras tienen el mismo tamaño, los parámetros X,

σ

, R y p se calcularán de cuerdo con lo especificado en el artículo 5º, 12.

4. Cuando las muestras tienen tamaños diferentes, los elementos del diagrama variarán dentro de él. El cálculo de X,

σ

, R y p se efectuará de dos maneras distintas: según que el tamaño sea mayor que 25 (muestras grandes) o menor, o igual, que 25 (muestras pequeñas). a) Muestras grandes (n >25).

Se emplearán las fórmulas indicadas a continuación (promedios ponderados).

k k k n n n x n x n x n X + + + + + + = .... ... 2 1 2 2 1 1 k k k n n n n n n + + + + + + = ... ... 2 1 2 2 1 1

σ

σ

σ

σ

k k k n n n R n R n R n R + + + + + + = ... ... 2 1 2 2 1 1 k k k n n n p n p n p n p + + + + + + = ... ... 2 1 2 2 1 1

b) Muestras pequeñas (n<25).

Para X y p se emplearán las fórmulas indicadas en 4 a). Para los otros parámetros, las que se indican a continuación:

e i i c

σ

σ

= ₂ ⋅ e i i d R R = ₂ ⋅ donde: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = k k e c c c k _{22 2} 2 21 1 _... 1

σ

σ

σ

σ

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ + +} = k k e _d R d R d R k R 2 22 2 21 1 _... 1

c) X_i

σ

_i R_i y p_i son el promedio, la desviación típica, el intervalo y la fracción defectuosa, respectivamente, de cada muestra de tamaño n_i

⋅

c_2i y d_2i son las constantes c₂ yd₂ (tabla IV) correspondientes al tamaño n_i, de cada muestra. Para facilitar el cálculo de

σ

_e yR_e se dan, en la tabla A de las observaciones los valores de 1/c₂ y1/d₂.

Tabla IV

Factores para calcular los elementos de los diagramas de control, cuando no se da una especificación

Diagrama de

promedios Diagrama para desviaciones típicas Diagrama para intervalos Número de

individuos en la

muestra Factores para límites de control

Factores para línea

central

Factores para límites de control

Factor para línea

central

Factores para límites de control n A₁ A₂ c₂ B₃ B₄ d₂ D₃ D₄ 2 3,760 1,880 0,5642 0 3,267 1,128 0 3,267 3 2,394 1,023 0,7236 0 2,568 1,693 0 2,575 4 1,880 0,729 0,7979 0 2,266 2,059 0 2,282 5 1,596 0,577 0,8407 0 2,089 2,326 0 2,115 6 1,410 0,483 0,8686 0,030 1,970 2,534 0 2,004 7 1,277 0,419 0,8882 0,118 1,882 2,704 0,076 1,924 8 1,175 0,373 0,9027 0,185 1,815 2,847 0,136 1,864 9 1,094 0,337 0,9193 0,239 1,761 2,970 0,184 1,816 10 1,028 0,308 0,9227 0,284 1,716 3,078 0,223 1,777 (continúa)

NCh42 Tabla IV

Factores para calcular los elementos de los diagramas de control, cuando no se da una especificación

(conclusión)

Diagrama de

promedios Diagrama para desviaciones típicas Diagrama para intervalos Número de

individuos en la

muestra Factores para límites de control

Factores para línea

central

Factores para límites de control

Factor para línea

central

Factores para límites de control n A₁ A₂ c₂ B₃ B₄ d₂ D₃ D₄ 11 0,973 0,285 0,9300 0,321 1,679 3,173 0,256 1,744 12 0,925 0,266 0,9359 0,354 1,646 3,258 0,284 1,716 13 0,884 0,249 0,9410 0,382 1,618 3,336 0,308 1,692 14 0,848 0,235 0,9453 0,406 1,594 3,407 0,329 1,671 15 0,816 0,223 0,9490 0,428 1,572 3,472 0,348 1,652 16 0,788 0,212 0,9523 0,448 1,552 3,532 0,364 1,636 17 0,762 0,203 0,9551 0,466 1,534 3,588 0,379 1,621 18 0,738 0,194 0,9576 0,482 1,518 3,640 0,392 1,608 19 0,717 0,187 0,9599 0,497 1,503 3,689 0,404 1,596 20 0,697 0,180 0,9619 0,510 1,490 3,735 0,414 1,586 21 0,679 0,173 0,9638 0,523 1,477 3,778 0,425 1,575 22 0,662 0,167 0,9655 0,534 1,466 3,819 0,434 1,566 23 0,647 0,162 0,9670 0,545 1,455 3,858 0,443 1,557 24 0,632 0,157 0,9684 0,555 1,445 3,895 0,452 1,548 25 0,619 0,153 0,9696 0,565 1,435 3,931 0,459 1,541 más de 25 n 3 1 n 2 3 1 − n 2 3 1+

5. El número k de muestras (muestras piloto) que se elijan deberá ser suficiente para fijar con determinada certeza, los valores de los parámetros que se considerarán comunes a toda la producción bajo control.

6. Cuando el tamaño de la muestra es superior a 25, no se llevarán diagramas de control cuyos elementos se calculan mediante los factores A₂,d₂, D₃ yD₄.

Artículo 10º

A los elementos de un diagrama, cuyo cálculo conduzca a una cantidad negativa, se les asignará el valor 0.

E) ANEXO

I. CALCULO DE PARAMETROS

1. Promedio aritmético (artículo 3º, 12).

Se han obtenido las siguientes observaciones de una característica: X = 12,0; 12,6; 14,4; 14,9; 15,5; 16,2; 16,7; 17,6; 18,0; 18,3. Su promedio será: X = (12,0 + ... + 18,3) /10 = 15,62.

2. Intervalo (artículo 3º, 13).

Con las cifras de las observaciones anteriores tendremos: R = 18,3 - 12,0 = 6,3.

3. Desviación típica (artículo 3º, 14)

Con las cifras de las observaciones anteriores tendremos:

06 , 2 62 , 15 10 / ) 3 , 18 ... 0 , 12 ( 2+ + 2 − 2 = =

σ

Existen, prácticamente, otras dos formas de cálculo: método del falso cero en población pequeña y método del falso cero en población numerosa.

a) Falso cero en población pequeña:

Se pueden deducir, en un mismo cuadro, el promedio y la desviación típica usando un falso cero, aproximadamente igual al promedio, lo que permite operar con cifras más pequeñas.

El cálculo se dispondrá como se indica en la tabla a.

Promedio respecto del cero verdadero X = 15+0,62 = 0,62 = 15,62

Cuadrado de la desviación típica:

6 251 , 4 3844 , 0 636 , 4 ) 62 , 0 ( 636 , 4 2 2 = − = − =

σ

Desviación típica:

σ

= 4,2516 = 2,06

NCh42

b) Falso cero en población numerosa:

Un ejemplo de este cálculo se encuentra indicado en la tabla b. En caso de muchas observaciones (X₁, X₂, ...X_n), se dividirá el intervalo total de variación en 10 a

20 intervalos menores generalmente iguales ( ... ,

ª

ª X1 Xb X Xn Xp

X − = − = = −

iguales a 0,3 en nuestro ejemplo). Se llevará entonces a una tabla, en la primera columna, los valores medios de cada intervalo

2 ; ; 2 ; 2 a 1 a X Xb X Xn Xp X − ⋅⋅ ⋅ − − y frente a ellos, en una segunda columna, la frecuencia de las observaciones dentro de cada intervalo (a, b − a, ...,n − p). Se elegirá, enseguida, un falso cero (F)

aproximadamente igual al promedio. Generalmente se elige como F el valor que corresponde a una máxima frecuencia (2,8 en nuestra tabla). En la columna 3 de la tabla se anotarán las diferencias a partir de 2,8, en intervalos, o sea, referidos a 0,3. Así por ejemplo para 1,6 se tendrá:

4 3 , 0 2 , 1 3 , 0 8 , 2 6 , 1 − _{=− = −}

En la columna 4 de la tabla se anotarán los productos de los valores de las columnas 2 y 3 con el signo correspondiente y las sumas de las cantidades negativas y positivas.

En la columna 5 se anotarán los productos de los valores de las columnas 3 y 4.

La continuación del cálculo y la obtención de los resultados se consignan, en detalle, a continuación de la tabla b.

Tabla a

Cálculo del promedio y de la desviación típica

Valores observados _{(Desviaciones del falso cero)} Diferencias de 15 Cuadrados de las _diferencias

) ( X (X -15) (X -15)2 1 C C₂ C₃ 12,0 - 3,0 9,00 12,6 - 2,4 5,76 14,4 - 0,6 0,36 14,9 - 0,1 0,01 15,5 + 0,5 0,25 16,2 + 1,2 1,44 16,7 + 1,7 2,89 17,6 + 2,6 6,76 18,0 + 3,0 9,00 18,3 + 3,3 10,89 Totales 12,3 - 6,1 = + 6,2 46,36 Promedios ( n = 10) 6,2/10 = 0,62 46,36/10 = 4,636

Tabla b

Cálculo del promedio y de la desviación típica en el caso de observaciones numerosas

Puntos medios de los grupos Número de observaciones en cada grupo Distancia de 2,8 en intervalos 2 3 C C ⋅ C₃ ⋅ C₄ 1 C C₂ C₃ C₄ C₅ 1,0 2 - 6 - 12 72 1,3 29 - 5 - 145 725 1,6 62 - 4 - 248 992 1,9 106 - 3 - 318 954 2,2 153 - 2 - 306 612 2,5 186 - 1 - 186 186 2,8 193 0 - 1 215 0 3,1 188 + 1 188 188 3,4 151 + 2 302 604 3,7 123 + 3 369 1 107 4,0 82 + 4 328 1 312 4,3 48 + 5 240 1 200 4,6 27 + 6 162 972 4,9 14 + 7 98 686 5,2 5 + 8 40 320 5,5 1 + 9 9 81 + 1 736 Totales 1 370 1 736 - 1 215 = + 521 10 011 Promedio

Promedio relativo al falso cero (2,8) = 521/1 370

= 0,38 (en intervalos)

= 0,38 x 0,3 (en unidades reales)

= 0,114

NCh42

Desviación típica

Cuadrado de la desviación típica relativa al

falso cero = 10 011/1 370

= 7,307

Cuadrado de la desviación típica = 7,307 - 0,382

= 7,307 - 0,144 4 = 7,162 6 (en intervalos)

Desviación típica _{= 7,1626}

= 2,676 (en intervalos)

= 2,676 x 0,3 (en unidades reales)

σ

= 0,803

4. Fracción defectuosa y número de defectos (artículo 3º, 15 y 16)

En la tabla c se consigna el método de cálculo y de ordenación para la fracción defectuosa y el número de defectos en el caso de 3 000 observaciones divididas en 5 grupos de 600 cada uno.

Tabla c

Fracción defectuosa y número de defectos

Sub-grupo Número de unidades _{inspeccionadas} Unidades defectuosas _{(número de defectos)} Fracción defectuosa

Nº n n₁ =np n₁/n= p 100 p % 1 600 25 0,042 4,2 2 600 16 0,027 2,7 3 600 19 0,032 3,2 4 600 37 0,062 6,2 5 600 34 0,023 2,3 Total 3 000 111 Promedio 3,7% Promedio 0,037 3,7% 000 3 111 _{= =} = p

La fracción defectuosa se usa en el caso que se consideren los atributos, como por ejemplo, en los casos de piezas calibradas según el sistema de “pasa y no pasa” o bien de defectos tales como manchas, mal acabado u otros defectos inspeccionados visualmente. Se usará de preferencia el diagrama de p cuando n ≥50, o bien, cuando el número de

El diagrama del número de defectos p⋅n, o sea la fracción defectuosa multiplicada por el

tamaño de la muestra, se usará de preferencia cuando todas las muestras son de igual tamaño.

II. EJEMPLOS DE CONTROL RESPECTO DE UNA ESPECIFICACION

1. Ejemplo E₁

Un fabricante desea mantener el promedio y la desviación típica de cierta característica de calidad dentro de los límites aceptables de variación que exigen las prescripciones promedio X´ = 35 kg; desviación típica

σ

' = 4,20 kg.

Con este propósito toma diariamente muestras iguales de 50 individuos (n=50).

Los datos que ha obtenido en 10 días consecutivos están consignados en la tabla d.

Tabla d

Muestra Tamaño de la _muestra Promedio Desviación típica

Nº _n X σ 1 50 35,7 5,35 2 50 34,6 5,03 3 50 32,6 3,43 4 50 35,3 4,55 5 50 33,4 4,10 6 50 35,2 4,30 7 50 33,3 5,18 8 50 33,9 5,30 9 50 32,3 3,09 10 50 33,7 3,67 Σ = 500 340,0 44,00

NCh42

a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla II obtiene: 424 , 0 50 3 3 _{= =} = n A Luego: 35 ' = = X LC 78 , 36 2 , 4 424 , 0 35 ' ' + = + ⋅ = = X A

σ

LS 22 , 33 ' ' − = = X A

σ

LI

Con estos valores traza los elementos del diagrama de promedio

P

₁.

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II obtiene: 7 , 0 2 3 1 ; 3 , 1 100 3 1 2 3 1 ; 1 _{2 1} 2 = = + = + = = − = n B n B c Luego: 2 , 4 ' ' 2 = = = c

σ

σ

LC 46 , 5 2 , 4 3 , 1 ' 2 = ⋅ = = B

σ

LS 94 , 2 2 , 4 7 , 0 ' 1 = ⋅ = = B

σ

LI

c) Diagramas

En el diagrama P1 coloca, uno a uno, los promedios observados y con el diagrama D1,

las desviaciones típicas observadas. Enseguida une los puntos con trazos rectos. (Diagrama I).

d) Conclusiones

Del diagrama de promedios concluye que, en el tercer y noveno días, hubo falta de control o causa asignable de perturbación en algún proceso de la fabricación.

2. Ejemplo E₂

Un industrial desea mantener el promedio y la desviación típica de cierta característica de calidad dentro de los límites aceptables de variación que exigen las prescripciones: promedio X' = 54; desviación típica

σ

'

=

3

,

5

.

NCh42

Con este propósito toma diariamente muestras de tamaño proporcional al de la producción (n=50; 100). Los datos que ha obtenido en 10 días consecutivos de control están consignados en la tabla e.

Se trata, en este caso, de muestras grandes (n>25), desiguales.

a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla (II) obtiene:

para n = 50 : 0,424 50 3 3 _{= =} = n A para n = 100 : 0,300 100 3 3 ' = = = n A Luego: para n = 50 : LC= X' = 54 48 , 55 5 , 3 424 , 0 54 ' + ′ = + ⋅ = = X A

σ

LS 52 , 52 ' − ′ = = X A

σ

LI para n = 100 : LC= X' = 54 05 , 55 5 , 3 300 , 0 54 ' ' + = + ⋅ = = X A

σ

LS 95 , 52 ' ' − = = X A

σ

LI

Con estos valores traza los elementos del diagrama de promedio P₂. Tabla e

Tamaño de la muestra Promedio Desviación típica Día n _X σ 1 50 55,7 4,35 2 50 54,6 4,03 3 100 52,6 2,43 4 50 55,0 3,56 5 50 53,4 3,10 6 50 55,2 3,30 7 100 53,3 4,18 8 100 52,3 4,30 9 50 53,7 2,09 10 50 54,3 2,67

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II obtiene: para n = 50 : c₂ = 1 3 , 1 50 2 3 1 2 3 1 2 = + = +

⋅

= n B 7 , 0 2 3 1 1 = − = n B para n = 100 : c'₂ = 1 212 , 1 212 , 0 1 100 2 3 1 2 3 1 '2 = + = ⋅ + = + = n B 788 , 0 2 3 1 '₁ = − = n B Luego: para n =50 : LC=c₂

σ

'=

σ

'=3,5 55 , 4 5 , 3 3 , 1 ' 2 = ⋅ = =B

σ

LS 45 , 2 5 , 3 7 , 0 ' 1 = ⋅ = =B

σ

LI para n = 100 : LC =c'₂

σ

' =

σ

' = 3,5 24 , 4 5 , 3 212 , 1 ' '₂ = ⋅ = = B

σ

LS 76 , 2 5 , 3 788 , 0 ' '₁ = ⋅ = =B

σ

LI

NCh42

c) Diagramas

En el diagrama

P

2coloca, uno a uno, los promedios observados y en el

D

2, las

desviaciones típicas observadas. Enseguida une los puntos con trazos rectos (Diagrama II).

d) Conclusiones

De ambos diagramas concluye que la calidad de su producción no ha alcanzado los niveles que se había fijado, puesto que repetidas observaciones dan valores que salen fuera de los límites tanto en uno como en otro diagrama. El industrial deberá revisar el proceso de fabricación y verificar si es posible, con los medios de que dispone, llegar a los niveles deseados.

3. Ejemplo E₃

Se están produciendo tubos de vidrio para cuyo diámetro interior el fabricante se ha fijado las especificaciones: X'= 6,23 mm,

σ

'= 0,056 mm. Para los efectos del

control, se han tomado siete muestras sucesivas de ocho observaciones cada una, obteniendo los resultados que se consignan en la tabla f.

Tabla f

Muestra Promedio X Desviación típica σ

Nº Tamaño de la muestra n _{mm mm} 1 8 6,234 0,055 2 8 6,235 0,053 3 8 6,219 0,032 4 8 6,219 0,071 5 8 6,204 0,050 6 8 6,259 0,049 7 8 6,215 0,053

Se trata de muestras chicas (n< 25), iguales.

a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla II se obtiene: 061 , 1 = A Luego: 23 , 6 ' = = X LC 056 , 0 061 , 1 23 , 6 ' '+ = + ⋅ = X A

σ

LS 29 , 6 059 , 0 23 , 6 − = = 17 , 6 059 , 0 23 , 6 ' '− = − = = X A

σ

LI (Diagrama P₃)

NCh42

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II se obtiene: 167 , 0 ; 638 , 1 ; 9027 , 0 _{2 1} 2 = B = B = c Luego: 6 050 0 056 0 7 902 0 2 ' , , , c LC=

σ

= ⋅ = 7 091 , 0 056 , 0 638 , 1 ' 2 = ⋅ = = B

σ

LS

3

009

,

0

056

,

0

167

,

0

'

=

⋅

=

=

B

σ

LI

(Diagrama D3)

c) Diagramas Ver diagrama III. d) Conclusiones

De los diagramas se concluye que la producción está bien controlada, en lo que a estas siete muestras respecta.

4. Ejemplo E4

Un industrial desea controlar la resistencia eléctrica, de ciertos artefactos que produce, después de hacerlos trabajar durante 100 h.

NCh42

De cada 10 lotes ha elegido, al azar, una muestra de cinco unidades que somete a la prueba mencionada. Por causas extrañas algunos de los artefactos fallaron, de modo que ciertas muestras quedaron reducidas a tres individuos. Los resultados obtenidos están consignados en la tabla g. El industrial se ha fijado las especificaciones: X' = 150 ohm;

σ

' = 7,5 ohm.

Tabla g

Muestra Tamaño Promedios Desviación típica

Nº n X σ 1 5 154,6 12,20 2 5 143,4 9,75 3 5 136,0 4,32 4 3 152,7 7,43 5 3 147,3 8,65 6 3 161,7 9,23 7 5 151,0 7,24 8 5 156,2 8,92 9 5 153,8 6,85 10 3 138,2 7,38

Se trata, en este caso, de muestras chicas (n<25), desiguales.

a) Promedios [columna (1), tabla I] De la tabla II obtiene: para n = 3 : A= 1,732 para n = 5 :

A

'

=

1

,

342

Luego: para n = 3 : LC= X'=150 0 , 163 5 , 7 732 , 1 150 ' '+ = + ⋅ = =X A

σ

LS 0 , 137 ' '− = = X A

σ

LI para n=5 : LC= X'=150 1 , 160 5 , 7 342 , 1 150 ' ' '+ = + ⋅ = = X A

σ

LS 9 , 139 ' ' '− = = X A

σ

LI (Diagrama P₄)

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla I] De la tabla II obtiene: para n = 3 : c₂ =0,7236 B₂ =1,858 B₁ =0 para n = 5 : c'₂ =0,8407 B'₂ =1,756 B'₁=0 Luego: para n = 3 : LC= c₂

σ

' = 0,7236 ⋅ 7,5 = 5,43 5 , 13 5 , 7 858 , 1 ' 2 = ⋅ = = B

σ

LS 0 ' 1 = =B

σ

LI para n = 5 : LC=c'₂

σ

' = 0,8407 ⋅ 7,5 = 6,31 2 , 13 5 , 7 756 , 1 ' '₂ = ⋅ = =B

σ

LS 0 ' '₂ = = B

σ

LI (Diagrama D₄)

NCh42

c) Diagramas Ver diagrama IV.

d) Conclusiones

Salvo la muestra número tres, que denota perturbación apreciable, la producción se mantiene en un nivel más o menos aceptable. Sin embargo, la cercanía de algunos valores a los límites de control hace pensar en la necesidad de ajustar algo más los métodos productivos, con fines de mayor seguridad.

5. Ejemplo E₅

Un fabricante de golillas galvanizadas desea controlar su producción respecto al acabado de las golillas, al nivel de cuatro defectos por cada 1 000 golillas (p'= 0,004). Los

defectos pueden ser puntos en que el zinc no ha tomado, dejando el acero expuesto, o bien, golillas en las que el galvanizado no es parejo.

Con este objeto toma muestras de 400 golillas cada una, correspondientes a lotes sucesivos. Los resultados obtenidos con 10 lotes están consignados en la tabla h.

Tabla h

Lote Tamaño de la _muestra Número de defectos Fracción defectuosa

Nº _n p ⋅ n _p 1 400 1 0,0025 2 400 3 0,0075 3 400 0 0 4 400 7 0,0175 5 400 2 0,0050 6 400 0 0 7 400 1 0,0025 8 400 0 0 9 400 8 0,0200 10 400 5 0,0125

Se trata de muestras iguales con

p

'

<

0

,

1

. a) Número de defectos [columna (7), tabla I]

6 , 1 400 004 , 0 ' = ⋅ = = np LC 4 , 5 8 , 3 6 , 1 6 , 1 3 6 , 1 ' 3 ' + = + = + = = p n pn LS 0 ) ( ' 3 ' − = = = p n p n negativo LI

NCh42

b) Diagrama

Ver diagrama V. c) Conclusiones

Es evidente la falta de control en los lotes correspondientes a las muestras 4 y 9.

6. Ejemplo E₆

En una fabricación se desea controlar la capacidad de un producto al nivel p' = 0,014,

o sea, 14 defectos por mil.

Debido al carácter de la fabricación, se toman muestras iguales al 10% de la producción diaria, que es variable, y resultan así muestras de diferentes tamaños; en consecuencia, los límites de control resultan distintos según el tamaño de la muestra.

Las observaciones obtenidas en 10 lotes se consignan en la tabla i.

Tabla i

Lote Tamaño de la _muestra Número de defectos Fracción defectuosa

Nº _n p ⋅ n _p 1 580 9 0,0155 2 550 7 0,0127 3 580 3 0,0052 4 640 9 0,0141 5 550 10 0,0182 6 580 12 0,0207 7 580 7 0,0121 8 550 5 0,0091 9 330 4 0,0121 10 330 2 0,0061

Se trata, en este caso, de muestras diferentes, con p' < 0,1.

a) Fracción defectuosa [columna (5), tabla I]

014 , 0 '= = p LC n p p LS = '+3 ' n p p LI = '−3 '

Con estas fórmulas obtenemos:

Muestra

Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

LS 0,029 0,029 0,029 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029 0,033 0,033

NCh42

b) Diagrama

Ver diagrama VI.

c) Conclusiones

De los límites del diagrama y de las observaciones obtenidas deducimos que la producción se encuentra bajo un control satisfactorio.

III. EJEMPLOS DE CONTROL SIN ESPECIFICACION

1. Ejemplo E₇

Un industrial desea saber si su producción está controlada y averiguar si hay o no causas extrañas de perturbación. Con tal propósito toma muestras diarias de 50 individuos, durante 10 días consecutivos. Los resultados obtenidos se encuentran consignados en la tabla j. Se trata de muestras grandes (n > 25) e iguales.

a) Promedios [columna (1) línea (I), tabla III]

El industrial ha determinado los valores X = 33,9 y

σ

=4,40 de la tabla j.

De la tabla IV obtiene: 425 , 0 50 3 3 1= = = n A Luego: 9 , 33 = = X LC 8 , 35 9 , 1 9 , 33 40 , 4 425 , 0 9 , 33 1 = + ⋅ = + = + = X A

σ

LS 0 , 32 9 , 1 9 , 33 1 = − = − = X A

σ

LI Ver diagrama P₇. Tabla j

Muestra Tamaño de la _muestra Promedio Desviaciones típicas

Nº _{n X} σ 1 50 34,8 5,35 2 50 35,1 4,00 3 50 33,2 4,55 4 50 35,2 3,73 5 50 35,0 4,73 6 50 31,5 3,77 7 50 32,0 5,30 8 50 33,4 4,30 9 50 33,9 4,98 10 50 34,8 3,29 Totales 500 338,9 44,00 Promedios X = 33,9

σ

= 4,40

NCh42

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla III]

De la tabla IV obtiene: 3 , 1 100 3 1 2 3 1 4 = + = + = n B 7 , 0 2 3 1 3 = − = n B Luego: 40 , 4 = =

σ

LC 72 5 40 4 3 1 4 , , , B LS=

σ

= ⋅ = 08 , 3 40 , 4 7 , 0 3 = ⋅ = =B

σ

LI Ver diagrama D7

c) Diagramas

Ver diagrama VII. d) Conclusiones

Los promedios acusan falta de control en la producción de los días 6º y 7º.

2. Ejemplo E8

Un industrial desea averiguar si existen causas asignables a cierta característica de un artículo que produce. Para ello examina 10 lotes sucesivos de los cuales ha tomado muestras de 50 y 100 individuos.

NCh42

Las observaciones se encuentran consignadas en la tabla k.

Tabla k

Lote Tamaño de la _muestra Promedios Desviación típica

Nº _{n X} σ 1 50 55,0 4,36 2 50 55,2 4,04 3 50 54,4 2,42 4 100 53,3 3,55 5 100 52,3 2,09 6 50 55,6 4,18 7 50 53,4 3,56 8 100 55,7 2,67 9 100 55,3 2,43 10 100 54,5 4,03 Total ∑ n=750 ∑ Xn =40790 ∑nσ =2405 Promedios ponderados 54,4 750 790 40 = = ∑ ∑ = n X n X 3,21 750 405 2 = = ∑ ∑ = n nσ σ

Se trata en este caso de muestras grandes

(

n

>

25

),

de tamaños diferentes. a) Promedios [columna (1), línea (1), tabla III]

Los valores de X y

σ

los calcula de acuerdo con el artículo 9º, inciso 4 a) y obtiene:

4 , 54 = X

σ

=3,21 De la tabla IV obtiene: para n = 50 : 0,425 50 3 3 1= = = n A para n = 100 : 03 100 3 1 , ´ A = = Luego: para n = 50 : LC= X =54,4 8 , 55 4 , 1 4 , 54 1 = + = + = X A

σ

LS 0 , 53 1 = − = X A

σ

LI

para n = 100 : LC= X =54,4 4 , 55 0 , 1 4 , 54 '₁ = + = + = X A

σ

LS 4 , 53 '₁ = − = X A

σ

LI Ver diagrama P8

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla III]

De la tabla IV obtiene: para n = 50 : 1,3 100 3 1 2 3 1 4= + = + = n B 7 , 0 2 3 1 3 = = n B para n = 100 : 1 0,21 1,21 200 3 1 '₄ = + = + = B 79 , 0 21 , 0 1 200 3 1 '₃ = − = − = B Luego: para n = 50 : LC =

σ

=3,21 17 , 4 21 , 3 3 , 1 4 = ⋅ = =B

σ

LS 25 , 2 21 , 3 7 , 0 3 = ⋅ = =B

σ

LI para n = 100 : LC=

σ

=3,21 89 , 3 21 , 3 21 , 1 '₄ = ⋅ = =B

σ

LS 53 , 2 21 , 3 79 , 0 '₃ = ⋅ = =B

σ

LI Ver diagrama D8

NCh42

c) Diagramas

Ver diagrama VIII.

d) Conclusiones

El diagrama VIII muestra que la producción tiene un bajo nivel de control y que existen causas asignables de perturbación.

3. Ejemplo E₉

Un productor de cables de acero ha tomado muestras de cuatro cables, de cada uno de 10 lotes y los ha sometido a ensayos de tracción. El industrial desea controlar su producción respecto del promedio y el intervalo. Los resultados se encuentran consignados en la tabla I.

Tabla I

Ensaye de resistencia a la ruptura de cable de acero

Ensayos Lote Nº 1 x x₂ x₃ x₄ Promedio X Intervalo R 1 3 397,3 3 417,8 3 381,5 3 392,5 3 397,3 36,3 2 2 971,0 2 946,0 2 959,6 2 932,4 2 952,2 38,6 3 3 172,8 3 172,8 3 161,4 3 120,7 3 156,9 52,1 4 3 195,5 3 202,3 3 218,2 3 191,0 3 201,8 27,2 5 3 045,8 3 057,1 3 075,3 3 048,1 3 056,6 29,5 6 2 986,8 3 007,3 3 027,7 3 014,1 3 009,0 40,9 7 2 993,7 2 989,1 2 998,2 3 016,4 2 999,4 27,3 8 3 023,2 3 025,5 3 007,3 3 020,9 3 019,2 18,2 9 2 921,0 2 914,2 2 930,1 2 934,6 2 925,0 20,4 10 3 020,9 3 007,3 2 996,0 3 005,0 3 007,3 24,9 ∑ 30 724,7 315,4 Promedios ∑/10 3 072,5 31,5

Se trata, en este caso, de muestras chicas

(

n

<

25

)

e iguales. Según el artículo 9º, inciso 2, le resulta satisfactorio el control respecto de R, puesto que n <10.

a) Promedios [columna (1), línea (II), tabla III]

Los valores de X y R los obtiene de acuerdo con el artículo 9º, inciso 3 y le resultan:

5 , 072 3 = X R =31,5 De la tabla IV obtiene: 729 , 0 2 = A Luego: 5 , 072 3 = = X LC 5 , 095 3 5 , 31 729 , 0 5 , 072 3 2 = + = + = X A R

⋅

LS 5 , 049 3 2 = − = X A R LI Ver diagrama P9

NCh42

b) Intervalo [columna (3), tabla III]

De la tabla IV obtiene: 282 , 2 4 = D ; D₃ =0 Luego: 5 , 31 = = R LC 72 5 , 31 282 , 2 4 = ⋅ = =D R LS 0 3 = =D R LI Ver diagrama R9

c) Diagramas

Ver diagrama IX.

d) Conclusiones

NCh42 4. Ejemplo E₁₀

En un laboratorio hay 16 máquinas de tensión del tipo horizontal. Se hacen ensayos con alambres de igual diámetro en todas las máquinas y se obtienen los resultados apuntados en la tabla m. Debido a causas externas algunos ensayos han debido eliminarse de modo que resultan muestras de cuatro y de cinco ensayos.

Tabla m

Calibración de máquinas horizontales de tracción

Valores de los ensayos Desviación típica σ

Máquina Nº ensayos Nº de 1 2 3 4 5 Promedio X _{n= 4 n = 5} 1 5 73 73 73 75 75 73,8 0,98 2 5 70 71 71 71 72 71,0 0,63 3 5 74 74 74 74 75 74,2 0,40 4 5 70 70 70 72 73 71,0 1,26 5 5 70 70 70 70 70 70,0 0 6 5 65 65 66 69 70 67,0 2,10 7 4 72 72 74 76 - 73,5 1,66 - 8 5 69 70 71 73 73 71,2 1,60 9 5 71 71 71 71 72 71,2 0,40 10 5 71 71 71 71 72 71,2 0,40 11 5 71 71 72 72 72 71,6 0,49 12 5 70 71 71 72 72 71,2 0,75 13 5 73 74 74 75 75 74,2 0,75 14 5 74 74 75 75 75 74,6 0,49 15 5 72 72 72 73 73 72,4 0,49 16 4 75 75 75 76 - 75,3 0,44 - 78 Sumas 2,10 10,74 Promedio ponderado X 72,03

Se trata, en este caso, de muestras chicas (n < 25), de tamaños diferentes.

a) Promedios [columna (1), línea (I); tabla (II)]

Para el cálculo de X se empleará lo prescrito en el artículo 9º, inciso 4 b) y se obtendrá: X =72,03. Como lo indica el mismo inciso, el cálculo de σ se realizará

de la siguiente manera:

De la tabla IV y la A de Observaciones:

para n = 4 c₂ =0,7979 1/c₂ =1,2533

Puesto que el número de muestras es

k

=

16

tendremos:

[

1,2533 2,10 1,1894 10,74

]

16 1 _{⋅ + ⋅} = e

σ

96 , 0 16 4 , 15 = = e

σ

Luego: para n = 4

σ

=

0

,

79

9

⋅

0

,

96

=

0

,

77

para n = 5

σ

'=0,8407 ⋅ 0,96=0,81

Ahora bien, de la tabla IV obtenemos: para n = 4 : A₁=1,880 para n = 5 : A'₁ =1,596 Luego: para n = 4 : LC= X =72,03 48 , 73 45 , 1 03 , 72 77 , 0 880 , 1 03 , 72 1 = + ⋅ = + = + = X A

σ

LS 58 , 70 1 = − = X A

σ

LI para n = 5 : LC= X =72,03 32 , 73 29 , 1 03 , 72 81 , 0 596 , 1 03 , 72 ' '₁ = + ⋅ = + = + = X A

σ

LS 74 , 70 ' '₁ = − = X A

σ

LI Ver diagrama P10

b) Desviaciones típicas [columna (2), tabla III] De la tabla IX obtenemos:

para n = 4 : B₄ =2,266 B₃ =0

NCh42 Luego: para n = 4 : LC=

σ

=0,77 74 , 1 77 , 0 266 , 2 4 = ⋅ = =B

σ

LS 00 , 0 3 = =B

σ

LI para n = 5 : LC=0,81

69

,

1

81

,

0

089

,

2

'

=

⋅

=

=

B

σ

LS

00 , 0 ' '₃ = =B

σ

LI Ver diagrama D10

c) Diagramas

Ver diagrama X.

d) Conclusiones

De los diagramas se concluye que hay fuertes variaciones de la calidad de las máquinas unas respecto de las otras (Diagrama P10), y, caída de la calidad en la

NCh42 5. Ejemplo E₁₁

En una fábrica de conductores revestidos, se somete el conductor a una prueba de aislación que consiste en dar al alambre una tensión determinada y hacerlo pasar, en forma continua, a través de la máquina de ensaye. Si el revestimiento es defectuoso el conductor se corta en los puntos débiles. Habrá entonces un cierto número de cortaduras por cada longitud que se haya elegido como unidad.

Tabla n - Número de cortaduras en longitudes sucesivas de 3 000 m cada una

Longitudes de 3 000 m c/u

Longitudes de 3 000 m c/u

Longitudes de

3 000 m c/u Longitudes de 3 000 m c/u Nº Número de cortaduras Nº Número de cortaduras Nº Número de cortaduras Nº Número de cortaduras 1 1 9 1 17 1 24 7 2 1 10 1 18 6 25 9 3 3 11 10 19 12 26 2 4 7 12 5 20 4 27 3 5 8 13 0 21 5 28 14 6 1 14 19 22 1 29 6 7 2 15 16 23 8 30 8 8 6 16 20 - - - - TOTALES 30 187

En el caso que tratamos se eligió una longitud de 3 000 m porque se determinó, en ensayos previos, que en longitudes menores el número de defectos era muy pequeño. Los resultados obtenidos en 90 000 m de alambre (30 longitudes de 3 000 m cada una) se consignan en la tabla n.

Se trata entonces de llevar un diagrama del número de defectos (pn), de muestras

iguales (3 000 m).

a) Número de defectos [(columna 7), tabla III]

Elegimos las fórmulas de las columnas c₇ porque; si consideramos la fracción defectuosa, por metro, tendremos:

1 , 0 000 90 187 _< = p

Luego: 2 , 6 23 , 6 30 187 ≈ = = = np LC 7 , 13 5 , 7 2 , 6 23 , 6 3 2 , 6 3 = + = + = + = pn pn LS 0 5 , 7 2 , 6 3 = − = = − = pn pn neg. LI b) Diagramas Ver diagrama XI.

c) Conclusiones

El diagrama muestra causas asignables en las longitudes números 14, 15, 16 y 28. Estos defectos pueden deberse a mala calidad de la aislación, colocación defectuosa de ella, etc.

NCh42 6. Ejemplo E₁₂

Se han examinado 10 lotes de cierto producto en planchas, revestido, y se han encontrado defectos en este revestimiento, según se anota en la tabla p.

Se trata en este caso de muestras de tamaños diferentes, por lo tanto, habrá que llevar control del parámetro fracción defectuosa

(

p

)

.

Tabla p

Lote Tamaño de la muestra Número de piezas _defectuosas Fracción defectuosa

Nº n pn p 1 500 9 0,0180 2 500 10 0,0200 3 800 12 0,0150 4 800 14 0,0175 5 500 8 0,0160 6 880 14 0,0159 7 550 10 0,0182 8 500 12 0,0240 9 880 7 0,0080 10 880 3 0,0034 TOTAL 6 790 99

a) Fracción defectuosa [columna (5), tabla III]

Se han tomado las fórmulas de la columna (5) porque de la tabla p, de datos, obtenemos: 1 , 0 6 014 , 0 790 6 99 _{= <} = p Luego: 6 014 , 0 = = p LC n p p LS = +3 n p p LI = −3

De estas fórmulas se obtienen los valores: Lote Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 LS 0,0308 0,0308 0,0275 0,0275 0,0308 0,0269 0,0302 0,0308 0,0269 0,0269 LI 0 0 0,0017 0,0017 0 0,0023 0 0 0,0023 0,0023 b) Diagramas Ver diagrama XII.

c) Conclusiones

NORMA CHILENA OFICIAL

NCh

42.Of53

I N S T I T U T O N A C I O N A L D E N O R M A L I Z A C I O N z I N N - C H I L E

Control estadístico de calidad

Statistical quality control

Primera edición : 1953 Reimpresión : 2007

Descriptores: control de calidad, control estadístico de la calidad, tablas estadísticas

CIN 03.120.30

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