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Capítulo 1 Aplicaciones y Más Algebra

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Academic year: 2021

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CAPÍTULO

CAPÍTULO 1

1

APLICACIONES

APLICACIONES Y

Y MÁS

MÁS ALGEBRA

ALGEBRA

1.1

1.1 Aplicaciones de Aplicaciones de ecuacionesecuaciones Problemas 1.1 Páginas: 51- 52

Problemas 1.1 Páginas: 51- 52 – – 53 53Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41Ejercicios 1, 5, 7, 9, 16, 31, 35, 41

1.

1. Cercado. Se colocará una Cercado. Se colocará una cerca alrededor de un tercerca alrededor de un terreno rectangular de modo reno rectangular de modo que el áreaque el área cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. cercada sea de 800 pies cuadrados y el largo del terreno sea el doble de su ancho. ¿Cuántos pies de cerca se utilizarán?

¿Cuántos pies de cerca se utilizarán?

ÁÁ == 880000

ℎ==

ℎ==

==2

==2

Á=∗ℎ=2

Á=∗ℎ=2(()) == 2

2



800=2

800=2









== 







=400

=400

√

√



== √ 

√ 400

400

 == 220

0

∨  == 2200

Luego, las dimensiones son:

Luego, las dimensiones son:

 == 2200

 == 4400

íí == 22  22 == 4400  8800 == 11220

0 

5.

5. Acabado de Acabado de muebles. De muebles. De acuerdo con acuerdo con TheTheConsumer’s Hand book [Paul Fargis, ed. (NuevaConsumer’s Hand book [Paul Fargis, ed. (Nueva

York: Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene York: Hawthoun, 1974)], un buen aceite para el acabado de muebles de madera contiene dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una dos partes de aceite de linaza hervido y una parte de aguarrás. Si debe prepararse una pinta (16 onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se pinta (16 onzas líquidas) de este producto. ¿Cuántas onzas líquidas de aguarrás se necesitan? necesitan? Cantidad de Aguarrás: Cantidad de Aguarrás:



Cantidad de Linaza: Cantidad de Linaza:

2

2

Contenido de una pinta:

Contenido de una pinta:

2    = 1 6

2    = 1 6 ⟹

3=16

3=16

 ==







7.

7. Vereda de jardín. Se va usar un terreno Vereda de jardín. Se va usar un terreno rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardín.rectangular de 4m. por 8m. para plantar un jardín. Se decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 Se decide construir un corredor pavimentado en todo el borde, de manera que queden 12 metros cuadrados del terreno para cultivar flores. ¿Cuál debe

metros cuadrados del terreno para cultivar flores. ¿Cuál debe ser el ancho del corredor?ser el ancho del corredor?

 

  == .. 

12=(82)(42)

12=(82)(42)

1122 == 3322  1166  88 

  44



4

4



243212 =0

243212 =0

4

4



2420 =0

2420 =0

4

4



65 =0

65 =0

((  55))((  11) ) == 0 ⟹

0 ⟹  == 55 ∨∨  == 11

El ancho del corredor debe ser

El ancho del corredor debe ser

 = 1 

 = 1 

 . El valor . El valor

 == 55

 se descarta debido a que el ancho se descarta debido a que el ancho del terreno es apenas de 4

del terreno es apenas de 4 metros.metros.

9.

9. Utilidad. Utilidad. Una compañía dUna compañía de refinación de refinación de maíz prode maíz produce gluten puce gluten para alimento ara alimento de ganado,de ganado, con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el con un costo variable de $82 por tonelada. Si los costos fijos son $120 000 al mes y el

(2)

alimento se vende a $ 134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para alimento se vende a $ 134 la tonelada, ¿cuántas toneladas deben venderse al mes para que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000?

que la compañía obtenga una utilidad mensual de $560000?

Sea : Sea :

Costo por tonelada:

Costo por tonelada:

=82

=82

Costos Fijos: Costos Fijos:

 == 12

120000

0000

Precio de venta: Precio de venta:

=134

=134

Utilidad: Utilidad:

 == 556600000000

Número de toneladas: Número de toneladas:

 =?

=?

Costo total: Costo total:





Costo de venta: Costo de venta:

  =   ∙ 

  =   ∙ 

 =

=   – 

– 

 =

= . – (

. – (  

 )

)

 =

= .

. – (

– (   

 ..)

)

56

5600

0000

00 =

= 13

134

4 – (12

– (1200

0000

00  82

82..)

)

560

560000

000 =

= 134

134 –

 –120

120000

000 – – 82

82

56

5600

0000

00 

 12

1200

0000

00 =

= 13

134

4––82

82

68

68000

0000 =

0 = 52

52

680000

680000

52

52 =

= 

⟹  == 1133007766..99

 = 1

= 130

3077

77 









16.

16. Negocio. Una compañía dNegocio. Una compañía determina que si produetermina que si produce y vende q unidce y vende q unidades de un productoades de un producto,, el ingreso total por las ventas, en dólares, será 100

el ingreso total por las ventas, en dólares, será 100

 

 

. Si el costo variable por unidad. Si el costo variable por unidad es de $2 y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que

es de $2 y el costo fijo de $1200, encuentre los valores de q para los que ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo

ingreso total por ventas = costo variable + costo fijo

  = 2

  = 2

=1200

=1200





 == 



 





 

 



 



100

100  

 =21200

=21200

(100

(100  

 )

)



=(21200)

=(21200)



1100

00000

0 == 4

4



48001440000

48001440000

4

4



4800100001440000=0

4800100001440000=0

4

4



52001440000

52001440000

00 == 



1300360000

1300360000

 == 1300±

1300±  

 (1300)

(1300)

2(1)

2(1)



4(1)(360000)

4(1)(360000)

⟹  == 1300±

1300± √ 

√ 16900001440000

16900001440000

22

 == 1300±

1300± √ 

√ 250000

22

250000

⟹  == 1300±500

1300±500

22





== 1300500

1300500

22

⟹ 



== 1800

1800

22 ⟹

⟹ 



=900

=900





== 1300500

1300500

22

⟹ 



== 800

800

22 ⟹

⟹ 



=400

=400

ó: 

ó: 



=900

=900



=400

=400

31.

31. Ingreso. El Ingreso. El ingreso mensual ingreso mensual de cierta de cierta compañía está compañía está dado pordado porRR=800=800 p p-7-7 p p22, donde, donde p p es el es el

precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será precio en dólares del producto que fabrica esa compañía. ¿A qué precio el ingreso será de $10000, si el precio debe ser mayor de $50?

de $10000, si el precio debe ser mayor de $50?

Ingreso mensual:

Ingreso mensual:

=8007

=8007



   Condición:Condición:

=10000

=10000

sisi

 > 5 0

 > 5 0

 =?

=?

De los datos se tiene:

De los datos se tiene:

10000=8007

10000=8007



7

7



80010000=0

80010000=0

Resolviendo la ecuación cuadrática

Resolviendo la ecuación cuadrática tenemos:tenemos:

(−)(−)

(−)(−)

(3)

(−)(−)

(−)(−)



== 00

 

  110000 == 00 ⟹

⟹  == 110000 7   1 0 0 = 0 ⟹  =

7   1 0 0 = 0 ⟹  =







≈≈

14.3

14.3

El ingreso mayor que 50 es

El ingreso mayor que 50 es

 =

= 110000

35. Cerca de

35. Cerca de seguridad. seguridad. Por razonPor razones de es de seguridad, seguridad, una compañía una compañía cercará ucercará un n áreaárea rectangular de 11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estará rectangular de 11200 pies cuadrados en la parte posterior de su planta. Un lado estará delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a delimitado por el edificio y los otros tres lados por la barda (vea la figura 1.4). Si se van a utilizar 300 pies de cerca, ¿cuáles serán las dimensiones del área rectangular?

utilizar 300 pies de cerca, ¿cuáles serán las dimensiones del área rectangular?

 

  ==  ==  ∙∙  == 11200

11200

í=300=2

í=300=2

Del área se obtiene: Del área se obtiene:

 == 11200

11200



Reemplazando en la fórmula del perímetro Reemplazando en la fórmula del perímetro tenemos: tenemos:

300=

300= 11200

11200

  2  =

 2  = 112002

112002





300=112002

300=112002







1505600=0

1505600=0

(80)(70)=0

(80)(70)=0

=80; =70

=80; =70

41.

41. Bienes raíces. Una Bienes raíces. Una compañía fraccionadora comprcompañía fraccionadora compra un terreno ea un terreno en $ 7200. Después den $ 7200. Después de vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, vender todo, excepto 20 acres, con una ganancia de $30 por acre sobre su costo original, recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?.

recuperó el costo total de la parcela. ¿Cuántos acres se vendieron?.

Sea

Sea



 el número de acres comprados, el número de acres comprados,



 el precio por acre comprado, entonces: el precio por acre comprado, entonces: Compra de

Compra de



 acres al precio acres al precio



::

11) 7

) 72200

00 == 

 ⟹

 ==







Venta de

Venta de

(20)

(20)

acres:acres:

22) ) 77220000 == ((  2200))((  3300))

1) 1) en 2)en 2)

7200=(20)

7200=(20)







30

30

7200=720030

7200=720030







600

600

600=

600=







−

−



660000 == 3300



144000

144000

30

30



600144000=0

600144000=0





 220

0   44880000 == 00

((80

80)()(60

60)) == 00

=80 ∨

=80 ∨ =60

=60

El número de acres debe ser un valor positivo, por lo tato: El número de acres debe ser un valor positivo, por lo tato:

Número de acres comprados:

Número de acres comprados:

 = 8 0

 = 8 0

 acres. acres. Número de acres vendidos:

(4)

1.2

1.2

Desigualdades

Desigualdades lineales

lineales

Problemas 1.2 página 58

Problemas 1.2 página 58 Ejercicios 7, 19, 21,35, 38Ejercicios 7, 19, 21,35, 38

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de los números reales 7. 7.

    > 3

    > 3

5  7 s > 3

5  7 s > 3

7>2

7>2

 << 2277

Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de Resuelva las desigualdades de los problemas 1 a 34. Dé su respuesta en notación de intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de lo s números reales: intervalo y represéntela en forma geométrica sobre la recta de lo s números reales: 19. 19.





 < 4 0

 < 4 0

55

66 < 4 0

 < 4 0

5<240

5<240

 < 4 8

 < 4 8

21. 21.

+

+



≤    

≤    

91

91

44 ≤ 2   1

≤ 2   1

9   1 ≤ 8   4

9   1 ≤ 8   4

 ≤  5

 ≤  5

(∞.5

(∞.5]]

35.

35. Ahorros: Ahorros: Cada mes del año pasado, Brittany ahorro más de $50 pero menos de $150. Si S Cada mes del año pasado, Brittany ahorro más de $50 pero menos de $150. Si S

representa sus ahorros totales del año, describa S con el uso de desigualdades. representa sus ahorros totales del año, describa S con el uso de desigualdades.

12

12((50

50)) <  < 1 2

<  < 1 2((150

150))

600<<1800

600<<1800

(5)

38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para

38. Gasto. Una estudiante tiene $360 para gastar en un sistema estereofónico y algunosgastar en un sistema estereofónico y algunos discos compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 discos compactos. Si compra un estéreo que cuesta $219 y el costo de los discos es de $18,95 cada uno, determine el mayor número de

cada uno, determine el mayor número de discos que puede comprar.discos que puede comprar.

Sea

Sea



 el núm el número de discos ero de discos entonces:entonces:

21

2199  18

18,9,95 ≤

5 ≤ 36

3600

1188,,9955 ≤≤ 336600  221199 ⟹

⟹ 18,

18,95

95 ≤≤ 141

141

⟹  ≤≤

,

,





⟹ ≤7,44

≤7,44

Luego

Luego

 ≈≈ 77

 discos discos

1.3

1.3 Aplicaciones de Aplicaciones de las las desigualdadesdesigualdades Problemas 1.3 páginas 60

Problemas 1.3 páginas 60 – – 61 61 Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11Ejercicios 1, 3, 5, 8, 11

1 .

1 . La compañía Davis fabrica un proLa compañía Davis fabrica un producto que tiene un prducto que tiene un precio unitario de venta de $20 y unecio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número de unidades costo unitario de $15. Si los costos fijos son de $600000, determine el número de unidades que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

que deben venderse para que la empresa tenga utilidades.

Número de unidades: Número de unidades:



Ingresos: Ingresos:

=20

=20

Costo de producción: Costo de producción:

=15

=15

Costos fijos: Costos fijos:

 == 60

600000

0000

Utilidad: Utilidad:

 ==    == 2200  ((15600000

15600000)) =5600000

=5600000

Existen utilidades cuando

Existen utilidades cuando

 >> 00

, entonces:, entonces:

5600000>0

5600000>0

 >> 1122000000

.. Luego, el número de unidades que

Luego, el número de unidades que deben venderse es 12001 o másdeben venderse es 12001 o más

3. Arrendamiento versus compra. Una mujer

3. Arrendamiento versus compra. Una mujer de negocios quiere determinar la diferenciade negocios quiere determinar la diferencia entre el costo de comprar un au

entre el costo de comprar un automóvil tomóvil y el de arrendarlo con opción y el de arrendarlo con opción a compra. Puedea compra. Puede rentar un automóvil por

rentar un automóvil por $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el $420 al mes (cotizado anualmente). Bajo este plan el costo porcosto por milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería $4700, y milla (gasolina y aceite) es $0.06. Si comprara el automóvil, el gasto fijo anual sería $4700, y los otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que los otros costos ascenderían a $0.08 por milla. ¿Cuál es el mínimo de millas que tendría que conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra?

conducir por año para que el arrendamiento no fuese más caro que la compra?

Sean: Sean:

 ==

 número de millas recorridas por año número de millas recorridas por año Costo anual por rentar el automóvil:

Costo anual por rentar el automóvil:

=12

=12((420

420))  00..0066 == 55004400  00..0066

Costo anual por comprar el automóvil:

Costo anual por comprar el automóvil:

 == 44770000  00..0088

Condición: Condición:

≤

≤

5504

0400  00..06

06 ≤≤ 447700

00 0.0.008

8

334400 ≤≤ 00..02

02

≥17000

≥17000

(6)

5. El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al 5. El costo unitario de publicación de una revista es de $0.55. Cada revista se vende al distribuidor en $0.60, y la cantidad que

distribuidor en $0.60, y la cantidad que se recibe por publicidad es 10% se recibe por publicidad es 10% de la cantidadde la cantidad recibida por todas las revistas vendidas por a

recibida por todas las revistas vendidas por arriba de las 30000. Encuentre rriba de las 30000. Encuentre el númeroel número mínimo de revistas que pueden publicarse sin

mínimo de revistas que pueden publicarse sin pérdidapérdida –esto es,  –esto es, tal que la tal que la utilidad ≥0utilidad ≥0

--suponiendo que se venderán 90%de los ejemplares. suponiendo que se venderán 90%de los ejemplares.

Utilidad = ingresos

Utilidad = ingresos – – costos ≥0costos ≥0

 Para los ingresos Para los ingresos menores de menores de 30000 unidades30000 unidades

Utilidad= ingresos

Utilidad= ingresos –costos  –costos ≥0≥0

0.6

0.6 ((09

09))0.55≥0

0.55≥0

0.540.55 ≥0

0.540.55 ≥0

0

0.0.011 ≥≥ 00

 ≤≤ 00

 Para los ingresos mayores de 30000Para los ingresos mayores de 30000

Utilidad= ingresos

Utilidad= ingresos –costos ≥ –costos ≥00

0.6

0.6 ((0.9

0.9))0.1

0.1((0.6

0.6)()(0.930,000

0.930,000)) 0.55≥0

0.55≥0

00..559944  11880000  00..5555 ≥≥ 00

0.0441800≥0

0.0441800≥0

0.0.04

044

4 ≥≥ 18

1800

00

 ≥≥ 4400991100

Se deben imprimir más de 40910 revistas para no obtener pérdidas. Se deben imprimir más de 40910 revistas para no obtener pérdidas.

8. Razón de circulante. La razón de circulante de Precisión Machine Products es 3.8. Si sus 8. Razón de circulante. La razón de circulante de Precisión Machine Products es 3.8. Si sus activos circulantes son de $570 000. ¿Cuáles son sus pasivos circulantes? Para elevar sus activos circulantes son de $570 000. ¿Cuáles son sus pasivos circulantes? Para elevar sus fondos de reserva, ¿Cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada a corto plazo si fondos de reserva, ¿Cuál es la cantidad máxima que puede pedir prestada a corto plazo si quiere que su razón de circulante no sea menor que 2.6?

quiere que su razón de circulante no sea menor que 2.6?

Sea L= Pasivo circulante Sea L= Pasivo circulante

R=razón de circulante=3.8 R=razón de circulante=3.8

ó

ó  

  

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 ==  

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 

3.8=

3.8=

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



3.3.8 8  == 57

5700

0000

00

 =

= $1

$1550,0,0000

00

Sea x= la

Sea x= la cantidad de dinero que puede pedir prestado, dondecantidad de dinero que puede pedir prestado, donde

 ≥≥ 00

+

+

+

+

≥2.6

≥2.6 ⟹

⟹57

570000

0000   ≥≥ 3390

9000

0000  2.2.66

112.500≥

112.500≥

    $150,000   á      $112500

    $150,000   á      $112500

11.

11. Sueldo Sueldo por por hora. hora. Con Con frecuencia frecuencia se se paga paga a a los los pintores pintores por por hora, hora, o o bien bien porpor trabajo terminado. El tipo de pago

trabajo terminado. El tipo de pago que reciben puede hacer variar la velocidad a que reciben puede hacer variar la velocidad a la quela que trabajan. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 más $3 trabajan. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $9 la hora, o bien, por $320 más $3 por cada hora trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. por cada hora trabajada por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas.

(7)

Suponga que

Suponga queel trabajo les toma t horas. Si t≥40, resulta claro que el sueldo por hora esel trabajo les toma t horas. Si t≥40, resulta claro que el sueldo por hora es

mejor. Si t<40, ¿para qué valores de t el salario por hora es mejor? mejor. Si t<40, ¿para qué valores de t el salario por hora es mejor?

Sea Sea

 < 4 0

 < 4 0 ⟹

99  >> 332200  3

3 ((4400  )

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9 >4403

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12

12 >

 > 44

4400

 >

 > 36

36.7.7

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