teoria sistemas de ecuaciones lineales

Flavia Buffo

Dos carreteras comunican los sitios A con B y C con D

respectivamente .Se desea conocer la distancia de las ciudades al punto de intersección.

A

D

C

Sistema de dos

ecuaciones

lineales

en dos variables

 Sean números reales, e variables distintas, el sistema



















0

c

y

b

x

a

0

c

y

b

x

a

,

c

,

b

,

a

,

c

,

b

,

a

se llama sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables.

x

y

Observa que cada ecuación del sistema es la ecuación

implícita de una recta

Un par de números reales es solución del

sistema si satisface simultáneamente las dos ecuaciones.

) y , x

( _{0 0}

Desde el punto de vista geométrico significa que el

punto de coordenadas pertenece a ambas rectas. (x₀, y₀) El término variable puede ser reemplazado por el de

son los coeficientes del sistema y son los términos independientes.

El sistema puede tener una, ninguna o infinitas soluciones.

2 2

1

1

,

b

,

a

,

b

a

2 1, c c 



El sistema puede expresarse en forma equivalente:

x 0

y





Si la solución es única el sistema se dice compatible determinado.

1

r 2

r

0

c

y

b

x

a

:

r

0

c

y

b

x

a

:

r

2 2

2 2

1 1

1 1













Esto significa que las rectas y se intersecan en un único punto.

1

Si el sistema tiene infinitas soluciones se dice

compatible indeterminado.

2

r

Las soluciones son los puntos de ambas rectas; y resultan coincidentes.

1

r

r

1

Si el sistema no tiene solución se dice incompatible.

Resumiendo, determinar si el sistema dado tiene

solución es equivalente a analizar si las dos rectas que forman el sistema se intersecan .

1

r

2

r

Esto significa que las rectas y son paralelas

no coincidentes. 1

Ejemplo :

Verificar que es solución del sistema

e interpretar geométricamente.

         , 0 4 y x 2 0 1 y x ) 2 , 1 (

Reemplazando en cada ecuación: (1, 2)

. 0 4 2 1 . 2 0 1 2 1      

Por lo tanto, el punto (1,2) es

solución!!

El sistema dado es equivalente a

















,

4

x

2

y

1

x

y

4 x 2 y   

¿Cómo clasificar un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables sin necesidad de graficar las rectas?



















.

0

c

y

b

x

a

0

c

y

b

x

a

Dado el sistema:

Si el sistema es compatible determinado.

2 1 2 1

_≠

b

b

a

a

El número se llama determinante principal del sistema.

1 2 2

1b a b

Si y además

 el sistema es compatible

indeterminado.

 el sistema es incompatible.

2 1

2 1

2 1

c

c

=

b

b

=

a

a

2 1

2 1

b b = a

a

2 1

2 1

2 1

c

c

≠

b

b

=

a

Métodos de resolución de sistemas de

ecuaciones lineales

El método de igualación consiste en ejecutar los siguientes pasos:

1. Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones. 2. Se igualan las expresiones obtenidas.

3. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.

4. Se reemplaza el valor obtenido de la variable en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra variable.

Ejemplo :

Resolver el sistema

utilizando el método de igualación.

  

 

 

4 y

x 2

1 -y

x

1. Se despeja la variable de cada ecuación .

4 x

2 y

, 1 x

y      (1)

y

.

4

x

2

1

x









3. Se resuelve la ecuación:

1 x

3 x

3

1 4

x 2 x

4 x

2 1

x

 

 



 

 

4. Se halla el valor de reemplazando el valor obtenido de en cualquiera de las dos ecuacionesx

. 2 y 

y

15 Observa que cualquier

satisface esta ecuación lineal en x.

R x

Ejemplo :

Resolver usando el método de igualación el sistema:

  

  

 

2 y

2 x

2

1 -y

x

.

1

x

1

x







2. Si se iguala se obtiene la identidad: 1. Al despejar la variable en cada ecuación del sistema se obtiene la misma ecuación :

. 1 x

y  







x

,

y

R

:

y

x

1



.

S









El conjunto solución es:

¿Cómo se interpreta este resultado?

Los puntos de la recta son las infinitas soluciones

del sistema.

La ecuación es la ecuación explícita

de las rectas dadas en forma implícita en el sistema. 1

x

El método de sustitución puede resumirse en los siguientes pasos:

1. Se despeja una variable en una de las ecuaciones. 2. Se reemplaza esta variable en la otra ecuación.

3. Se resuelve la ecuación lineal en una variable resultante .

4. Esta variable se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones para obtener la otra variable.

Ejemplo :

Resolver usando el método de sustitución el sistema

  

  

 

. 3 y

2 x

3

5 y

x 2

1. Se despeja la variable de la primer ecuación:

. x 2 5 y  

2. Se sustituye ésta en la segunda ecuación:





x

3    

3. Se resuelve la ecuación lineal en una variable

. 1 x

, 7 x

7

, 3 x

4 10

x 3

 

  



4. Se halla el valor de correspondiente 3

1 . 2 5

y   

y

Ejemplo :

Resolver usando el método de sustitución el sistema

          , 0 1 y 2 x 6 0 5 y x 3 . 0 9 , 0 1 ) 5 x 3 ( 2 x 6 , 5 x 3 y          Esto es absurdo!!!

¿Cómo debe interpretarse este resultado? Del resultado se concluye que el sistema no tiene solución.

2 1



5



Si se considera el sistema equivalente y se grafican las rectas, resulta:

















2

1

x

3

y

5

x

3

y

Dos carreteras comunican los sitios A con B y C con D

respectivamente, se desea conocer la distancia de los sitios al punto de intersección.

Ejemplo:

Resolver el problema motivador.

Para formular el problema matemático consideremos:

 un sistema de ejes coordenados cartesianos,

 una unidad de medida, que será igual en ambos ejes,

 el origen de coordenadas en alguno de los sitios, por

km

100

A

B

C

D

) 3 , 1 (

   

 

8 9 , 2 13

) 4 , 6 (

Referencia:

Se obtienen las ecuaciones de las rectas y

r

r

.

1

r

2

, 4 11 x

4 1 y

:

r₁   

, x 3 2 y

:

r₂ 

Resolviendo el sistema se obtiene el punto de intersección

)

2

,

3

(

S



Distancia de un punto a una recta

Problema . Hallar la distancia del punto a la

recta de ecuación x 1.

2 1

y  

) , ( P  2 3

) 3 , 2 ( P 

2



1

Este es un buen ejercicio para repasar las unidades

3 y 4. Suerte!!

Q

.

1

r

1

r

Sugerencia: obtener la recta perpendicular a que pasa por , hallar la intersección entre ambas rectas y finalmente la

distancia entre y

1

r P