La derivada
La derivada
Habilidades a desarrollar :
Al terminar el presente tema, usted estará en la
capacidad de:
1) Aplicar las reglas de derivación para derivar
diferentes funciones.
La derivada
Problema motivador
Determine la pendiente y la ecuación de la recta
tangente a la curva
La derivada
Razón de cambio promedio
Se define como razón de cambio promedio al cociente de las diferencias. Es decir
La razón de cambio promedio de la función en el intervalo es
Nota: Las unidades de la razón de cambio promedio son
La derivada
Ejemplo.
Considere
Calcule la razón de cambio promedio de si
Resolución
Se identifica que ,
Con ello
La razón de cambio promedio es ∆ 𝑓
∆ 𝑥 =
𝑓 (𝑏)− 𝑓 (𝑎)
𝑏−𝑎
¿ 𝑓 (5)− 𝑓 (2)
5−2
¿ (5
2−5 +1)−
(22 −2+1) 3
¿ 21− 3
3
¿ 18
3
La derivada
Definición de la derivada
La derivada de una función con respecto a la variable esta definida por
siempre que el límite exista.
Nota: es una función definida en un intervalo abierto que incluye a .
La derivada
Reglas de derivación
Regla 1. Si en donde es una constante real, entonces
Osea, la derivada de una función constante es cero.
Ejemplos
Si entonces .
Si entonces .
Si entonces .
La derivada
Reglas de derivación
Regla 2. Si en donde es un número real, entonces
Ejemplos
Si entonces .
Si entonces .
Si entonces .
La derivada
Reglas de derivación
Regla 3. Si en donde es un número real y es diferenciable, entonces
Ejemplos
Si entonces .
Si entonces .
Si entonces
.
La derivada
Reglas de derivación
Regla 4. Si donde y son diferenciables, entonces
Ejemplos
Si entonces .
La derivada
Reglas de derivación
Regla 5. Si donde y son diferenciables, entonces
Ejemplos
Si entonces .
La derivada
Reglas de derivación
Regla 6. Si donde y es diferenciable, entonces
Ejemplos
Si entonces
.
La derivada
Reglas de derivación
Regla 7. Si donde y son funciones diferenciables, entonces
Ejemplos
Si entonces
.
La derivada
Reglas de derivación
Regla 8. Si donde es diferenciable, entonces
Ejemplos
Si entonces
.
La derivada
Reglas de derivación
Regla 9. Si donde es diferenciable, entonces
Ejemplos
Si () entonces
La derivada
Reglas de derivación
Regla 10. Si donde es diferenciable, entonces
Ejemplos
Si entonces
Si entonces
La derivada
La recta tangente
La recta tangente a la grafica de la función en el punto es la recta que pasa por cuya pendiente es , y su ecuación esta dada por:
Ejemplo
Determine la pendiente y la ecuación de la recta tangente a la curva para
Solución
Derivamos la función
Evaluando
Evaluando
La derivada
Conclusiones
1) La derivada de se calcular como
siempre que dicho límite exista.
Ingrese el tema
Bibliografía
• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson.
• [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y
