TEMA 4.-EVALUACIÓN DE PROYECTOS
DE INVERSIÓN EN AMBIENTE DE
CERTEZA (III)
1.- Inversiones simples y no simples. El problema de la existencia de inversiones con tipos de rendimiento interno (TIR) múltiples o sin ninguno real.
2.-Inversiones puras e inversiones mixtas.
3.-La relación funcional entre el tipo de rendimiento de la inversión y el coste de la financiación.
4.-Cálculo de la TIR modificada.
1.- Inversiones simples y no simples. El problema de la existencia de inversiones con tipos de rendimiento
interno (TIR) múltiples o sin ninguna real.
Inversión simple -> una única TIR real
Inversiones no simples -> varias TIR reales y positivas -> ninguna TIR real
1.- Inversiones simples y no simples. El problema de la existencia de inversiones con tipos de rendimiento interno
(TIR) múltiples o sin ninguna real. A: -2000/12.500/-12.500
r1=0,25 r2=4
2.-Inversiones puras e inversiones mixtas.
2.1.- El concepto de saldo de un proyecto de inversión
Definición: Saldo en el momento t es la
suma capitalizada de los flujos netos de
caja derivados del proyecto hasta el
2.1.- El concepto de saldo de un proyecto de inversión
1 1
( ) (1 )t (1 )t ...
t t t
2.1.- El concepto de saldo de un proyecto
de inversión
0 1 2 …. t n
Q1 Q2 Qt
A
1 1
( ) (1 )t (1 )t ...
t t t
Utilidad del concepto de saldo en la
práctica
El concepto de saldo nos va a permitir poner de manifiesto:
• Si una inversión es pura o mixta.
• Que en todas las inversiones puras la expresión de la TIR es consistente, es decir, tiene sentido económico.
Significado de los saldos
A. St(r)<0 El proyecto está endeudado con la empresa. Ha generado hasta el
momento una rentabilidad inferior a la esperada.
B. St(r)>0 La empresa está endeudada con el proyecto, pues ha generado
hasta el momento t más
rentabilidad de la esperada.
Demostración de que el saldo terminal
(en el momento n) es siempre igual a 0
1 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2
( ) (1 ) (1 ) ...
Dividimos (1 )
...
(1 ) (1 ) (1 )
:
( )
...
(1 ) (1 ) (1 ) (1 )
( ) ... (1 )
(1 ) (1 ) (1 )
n n n n n n n n n n n n n n n
S r A r Q r Q
r
Q Q Q
A
r r r
Luego
S r Q Q Q
A
r r r r
Q Q Q
S r A r
r r r
2.-Inversiones puras e inversiones
mixtas.
• Inversión pura: Cuando todos
• Inversión mixta: No se verifica la condición anterior:
Algún saldo es positivo
t
S (r) 0 t
t
2.-Inversiones puras e inversiones
mixtas.
• Inversión mixta: No se verifica la condición anterior:
Algún saldo es positivo
La empresa se encuentra en algún momento
intermedio de la vida del proyecto endeudado con el mismo, y en ese momento no cabe
hablar de proyecto de inversión sino de financiación.
Proyectos mixtos de inversión y financiación
t
En relación a la negatividad de los saldos
Al ser el primer término negativo, podemos hacer que cualquier saldo de una inversión satisfaga la
condición St(r)≤0, sin más que elevar el valor de la tasa que utilizamos para calcular el saldo, aunque todos los Qj sean positivos.
1 1
( ) (1 )t (1 )t ...
t t t
S r S A r Q r Q
1 1 1 2 2 1 2 2 (1 ) (1 ) ... Dividimos entre (1 )
...
(1 ) (1 ) (1 )
... 0
(1 ) (1 ) (1 ) 0 ( ) 0
t t t t t t t t t
A r Q r Q
r
Q Q Q
A
r r r
Q Q Q
Si r
r r r
Si r A S r
En relación a la negatividad de los
saldos
Cuanto más grande hacemos la tasa r
aumentamos la negatividad de los saldos.
Podemos hacer que un saldo que inicialmente es positivo se convierta en negativo o nulo sin más que aumentar la tasa a la que los calculo.
Inversión mixta
• Tiene algún saldo intermedio St(r)≥0 • Sn(r)=0, como siempre
• Hay un saldo positivo
Se aumenta la negatividad de los saldos incrementando r
Podemos convertir el saldo en negativo (o nulo) rc>r
Si Sn(r)=0 -> Sn(rc)<0
1 1
( ) (1 )t (1 )t ... 0
t t t
Inversión pura
• Todos los saldos son negativos o nulos • Para r todos los saldos son negativos o
nulos
• Puede suceder que r=rc
• Pero también puede existir una más
pequeña que haga que todos los saldos sean negativos o nulos.
Resumen
• Mixta
• Pura
Algún ( ) 0
( ) 0
( ) 0
t n c n S r S r r r S r
Todos ( ) 0
( ) 0
( ) 0
Ejemplo 4.1
20 /10 / 25 / 5 / 8
Ejemplo 4.1
0
20 /10 / 25 / 5 / 8
20
0
A
S
Ejemplo 4.1
0
1 1
20 /10 / 25 / 5 / 8
20 0
20(1 c) 10 0 c 0, 5
A
S
S r r
Ejemplo 4.1
0
1 1
2
2 2
20 /10 / 25 / 5 / 8
20 0
20(1 ) 10 0 0, 5
20(1 ) 10(1 ) 25 0 0, 396
c c
c c c
A
S
S r r
S r r r
Ejemplo 4.1
0 1 1 2 2 2 2 3 3 320 /10 / 25 / 5 / 8
20 0
20(1 ) 10 0 0, 5
20(1 ) 10(1 ) 25 0 0, 396
20(1 ) 10(1 ) 25(1 ) 5 0 0, 309
c c
c c c
c c c c
A
S
S r r
S r r r
S r r r r
Ejemplo 4.1
• El mayor de esos valores es el único que hace negativos o nulos todos los saldos rc=0,396
3 2
4
( ) 20(1 ) 10(1 ) 25(1 ) 5(1 ) 8
n c c c c c
Ejemplo 4.1
• El mayor de esos valores es el único que hace negativos o nulos todos los saldos rc=0,396
3 2
4
2 3
4
( ) 20(1 ) 10(1 ) 25(1 ) 5(1 ) 8
( ) 20(1, 396) 10(1, 396) 25(1, 396) 5(1, 396) 8 0, 9882 0
n c c c c c
n c
S r r r r r
S r
Pura
2.1.- Relación entre inversiones simples y
no simples, puras y mixtas
• Son clasificaciones que atienden a puntos
de vista diferentes:
– Toda inversión simple es pura, pero no viceversa.
Los proyectos simples son puros
1 1
1 1
Proyecto simple 0
( ) (1 ) (1 ) ... 0 PURO
Si fuera mixto algún saldo 0
( ) ( )(1 )
0 0
El saldo final sería positivo:sumaríamos a una
cantidad positiva (el saldo positivo) cantidades
siempr
t
t t
t t
t t t
Q t
S r A r Q r Q
S r S r r Q
e positivas ( 0)
Luego no puede ser mixto sino puro.
j
Toda inversión mixta es no simple
1 1
Hay algún saldo positivo ( ) 0
( ) ( )(1 )
0 ¿?
Para que ( ) 0 (por definición)
tenemos que sumar a algo positivo (el saldo positivo) algo negativo.
Luego algún Qt<0 No simple (Si hay algún
t
t t t
S r
S r S r r Q
Sn r
3.-La relación funcional entre el tipo de
rendimiento de la inversión y el coste de
la financiación.
3.1.- El saldo terminal de una inversión
mixta es función de dos tasas: r y k
Los saldos de un proyecto de inversión
pueden ser positivos o negativos.
a) St(r)<0
→
El proyecto está endeudado
con la empresa: tendrá que saldar la
3.1.- El saldo terminal de una inversión
mixta es función de dos tasas: r y k
b) St(r)>0
→
La empresa adeuda al
proyecto dicho saldo, que saldará
pagando al tipo k :
3.1.- El saldo terminal de una inversión
mixta es función de dos tasas: r y k
0
1 2 1 2 3 2 3
3 2 3
2 1 2 3 2 3
3 2 3
(1 ) 1 0 ( , ) (1 ) 0 ( , ) (1 )
0 ( , ) (1 )
0 ( ) (1 ) 0 ( , ) (1 )
0 ( ) (1 )
S A
S A r Q S r k S k Q S r k S k Q
S r k S r Q
S r S r Q S r k S k Q
S r S r Q
Explicación inconsistencia TIR
• No se puede aplicar la expresión clásica
Sn(r)=0 salvo que r=k
• Existe una relación funcional creciente
entre la rentabilidad del proyecto y el
coste de capital.
• Cuánto más elevado es el coste de capital
para la empresa mayor será la
2.2.- Cálculo de la relación
funcional
Ejemplo 4.2: Estudiar la rentabilidad relativa del siguiente proyecto de inversión
Aparentemente un resultado normal
2
A:-500/7000/-5000 k=10%
7000 5000
-500+ 0 0, 245
(1+r) (1 )
12, 25
r r
2.2.- Cálculo de la relación
funcional
¿Pura o mixta? Hay duda porque hay un flujo neto de caja negativo
Vamos a comprobar si es pura o mixta
2.2.- Cálculo de la relación
funcional
0
1
2
( ) 500 0
( ) 500(1 ) 7000 0 para que el saldo final sea 0
( , ) [ 500(1 ) 7000](1 ) 5000 0
S r
S r r
S r k r k
2.2.- Cálculo de la relación
funcional
2( , ) [ 500(1 ) 7000](1 ) 5000 0
( 500 500 7000)(1 ) 5000 0
13 3
1
S r k r k
r k
k r
k
2.2.- Cálculo de la relación
funcional
13 3 1
10% 391%
20% 467%
cuanto mayor es k mayor es la rentabilidad
del proyecto
k r
k
para k r
para k r
Ejemplo 4.3
0
1
2
2
6000 /10000 / 10000
( ) 6000
2
( ) 6000(1 ) 10000 0
3
2 2 2
( ) [ 6000(1 ) 10000](1 ) 10000 10000 0 MIXTA
3 3 3
( , ) [ 6000(1 ) 10000](1 ) 10000 0
4 6
6(1 )
10% 84,85%
S r
S r r r
S r
S r k r k
5.-Cálculo de la TIR modificada.
(TIR rectificada)
1
1
( )(1
)
( )
(1
)
(1
)
n n j j n j j n j M j
Q
k
Q
A
k
r
5.-Cálculo de la TIR modificada.
(tir rectificada)
• Criterio de efectuabilidad
r
M≥
r’
r
M≥
k
• Criterio de jerarquización
A preferible B si r
MVentajas de la TIR modificada.
• La hipótesis de reinversión es más
realista: se reinvierte y financia a k
Ejemplo 4.5
A: -10/50/-20 ¿cuál es su rentabilidad relativa? Procedimiento a seguir en estos casos:
1º Ver si es simple o no simple.
Si es simple calcular la TIR ya que no tendrá problema de inconconsistencia.
2º Si es no simple comprobar si es mixta o no: 2.1 Calcular la tasa crítica
2.2 Calcular saldo terminal a la tasa crítica lo que nos dirá si es pura o mixta.
Si es pura calcular la TIR normal
Ejemplo 4.5
A: -10/50/-20
¿rentabilidad relativa?
2 2
20
50(1,1)
10
1,1
(1
)
0, 44
44%
M
M