Razonamiento matemático

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(2) CO LECCIÓ N EL POSTULANTE. RAZONAMIENTO MATEMÁTICO. E d i t o r ia l.

(3) RAZONAMIENTO MATEMÁTICO - COLECCIÓN Salvador Timoteo. E l POSTULANTE. © Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Lidia Ramírez Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L.; editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUC 20260100808 E-mail: informes@editorialsanmarcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-11993 ISBN 978-612-302-914-2 Registro de Proyecto Editorial N.” 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita dei autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed ¡n Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-ma¡l\ ventaslibreria@editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Composición, diagramación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344.

(4) INDICE Planteo de ecuaciones.......................................................................................................................................... 9 Edades.................................................................................................................................................................. 17 M óviles....................................... 22. Operadores matemáticos....................................................................................................................................26 Relojes................................................................................................................................................................... 30 Inducción y deducción......................................................................................................................................... 35 Sucesiones y series............................................................................................................................................. 41 Conteo de figuras.................................................................................................................................................46 Razonamiento lógico........................................................................................................................................... 51 Comparación de magnitudes.............................................................................................................................. 60 Porcentajes........................................................................................................................................................... 66 Fracciones.............................................................................................................................................................72 Análisis combinatorio....................................................................................................................................... 80. Razonamiento geométrico................................. 87. Regiones sombreadas......................................................................................................................................... 93 Cripto aritm ética.................................................................................................................................................101.

(5) PRESENTACIÓN Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staffde docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­ dro de Castro, Jorge Solari y Nathali Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos.. -E L EDITOR-.

(6) PLANTEO DE ECUACIONES ECUACIÓN Igualdad entre cantidades del mismo valor donde uno o más valores desconocidos están represen­ tados por variables. Para realizar un correcto planteo de ecuaciones es necesario comprender correctamente e Interpretar el enunciado para luego simbolizarlo, es decir, pa­ sarlo al lenguaje algebraico.. ENUNCIADO. EXPRESIÓN MATEMÁTICA. La edad de Ana es dos veces más que la edad de Bety:. Ana: 3x Bety: x. El exceso de A sobre B es 40:. A-B = 40 A B. A es a B como 2 a 3:. 2 3. PLANTEO DE ECUACIONES. Enunciado. ENUNCIADO. matemático. 1.. EXPRESIÓN MATEMÁTICA. a es dos veces b:. x = 2y. x es dos veces más que y:. x = 3y. El doble, de x más 4:. 2(x + 4). El triple de x, más 7:. 3x + 7. El número de manzanas excede al número de na­ ranjas en 8:. EJERCICIOS RESUELTOS. Lenguaje. R esolución:. Como Inicio a la resolución del problema ve­ mos que el número de conejos y el de gallinas es desconocido, es por ello que le damos a cada uno una variable. Número de conejos = y Número de gallinas = x Ahora planteamos las ecuaciones según los datos, obteniéndose lo siguiente: gallinas + conejos = 30 =» x + y = 30 Con respecto a las patas (conejos: 4 patas; gallinas: 2 patas) 4y + 2x = 100 => 2y + 2(y + x) = 100. M- N=8. La suma de tres números (x)+(x + 2)+(x + 4) impares consecutivos: El número de varones es al número de damas como 5 es a 9:. V D. 5 9. El cubo del doble de x :. (2x)3. El doble del cuadrado de x:. 2(x2). Dos menos tres veces un número:. 2 - 3x. Dos menos de tres veces un número:. 3x - 2. El triple de un número, au­ mentado en 12:. 3x + 12. El triple, de un número au­ mentado en 12:. 3(x + 12). La suma de tres números consecutivos:. (x—1) + x + (x+ 1). La edad de Luis es dos veces la edad de Kike:. Luis: 2x Kike: x. Anita tiene entre conejos y gallinas treinta ani­ males. Si el número de patas en total que ella observa es 100, ¿cuántos conejos tiene?. ~ 6( P 2y + 60 = 100 2.. .-.y = 20. Me falta S/.100 para poder comprar una ca­ misa y me sobraría S/.50 si decido comprar un polo cuyo costo es la mitad de la camisa. ¿Cuánto dinero tengo? R esolución:. Como el precio de la camisa es el doble que el precio del polo por ello uno es 2x y el otro x. SI me falta S/.100 para comprar la camisa, mi dinero es el precio de la camisa menos S/.100, pero si luego de comprar el polo me sobra S/.50, mi dinero es el precio del polo más S/.50. Esto lo expresamos con variables de acuerdo a lo siguiente: Precio de la camisa = 2x; Precio del polo = x Mi dinero: 2x - 100; Mi dinero: x + 50.

(7) 10. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. Planteo la ecuación: 2x - 100 = x + 50 => x = 150. R esolución:. Finalmente mi dinero es: x + 50 = 200 3.. Dentro de un establo hay caballos negros y blancos, el número de caballos negros es tres veces el número de caballos blancos. SI saco del establo 13 caballos negros y los reemplazo por 17 caballos blancos la propor­ ción Inicial entre caballos negros y blancos se invierte. Calcular el número total de caballos ¡nlclalmente.. 3x. X. 3x - 13. x + 17. n.° total de hierba. 60. 25. I + 25C. 40. 45. I+ 4 5 C. X. 75. I + 75C. Hierba consumida en 1 día por una vaca: I + 25C = I + 45C = I + 75C ^ , = 75C 60x25 40x45 75x. Al inicio la relación es de 3 : 1, al final será de 1: 3, lo cual se esquematiza con el siguiente cuadro: Caballos blancos. n.° de días. I: hierba inicial C: crecimiento diario. R esolución:. Caballos negros. n.° de vacas. De donde: x = 30 [ " ejer cicios PROPUESTOS 1 | 1.. 3(3x - 13) = x + 17 => x = 7. En una fiesta habían 76 personas. Se observó que el número de hombres era igual a la raíz cuadrada del número de mujeres adultas. Y el número de niños era la raíz cúbica del número de mujeres adultas. Calcule la diferencia entre el número demujeres y hombres adultos.. Total caballos inicialmente: 4x = 28 4.. Pepe no sabe si comprar 56 tajadores o por el mismo costo 8 lápices y 8 lapiceros. Si deci­ dió comprar el mismo número de artículos de cada tipo, ¿cuántos compró en total?. a) 4 d) 56 2.. R esolución: Tajador. Lápiz. Lapicero. X. y. z. Costo de c/u. Luego según enunciado: 56x = 8y + 8z = n(x + y + z) Resolviendo: n = 7; pero compró en total: 3n = 21 artículos 5.. La hierba crece en el prado con igual rapi­ dez y espesura, se sabe que 60 vacas se la comerían en 25 días y 40 vacas, en 45 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 75 días?. 3.. c) 24. Con las tablas que sirven para construir un área de 40 metros, se desea delimitar un jar­ dín de forma rectangular, donde uno de sus lados sea la pared de la casa y que el área sea,lo más grande posible. ¿Qué dimensio­ nes debe tener dicho jardín? a) 24 m; 8 m c) 25 m; 7,5 m e) 22 m; 9 m. Sea n el número de artículos de cada tipo que compró.. b) 12 e) 36. b) 26 m; 12 m d) 20 m; 10 m. Se tiene un número de 2 cifras donde uno de sus dígitos es k2. Dicho número es igual a la suma de sus cifras multiplicada por M, y cuan­ do se invierte el orden de sus cifras, se obtie­ ne un número igual a la suma de sus cifras multiplicada por: a) k + M d) k - M. b) M- k e) k2+ M + 1. c) 11 - M. El señor Lolo da a uno de sus colaboradores 90 entradas para el circo, a otro le da 96 entra­ das y a otro 78 entradas, para repartirlo entre.

(8) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. los trabajadores de la prensa, de manera que todos den a cada trabajador la misma canti­ dad de entradas. ¿Cuál es la mayor cantidad que podrán dar a cada trabajador y cuántos son los trabajadores beneficiados con las en­ tradas? a) 6 y 44 d) 3 y 52 5.. b) 48 e) 38. b) 30 cm e) 53 cm. c) 41. c) 20 cm. Al contar x bolitas de colores, algunas blancas y otras negras, se encontró que 29 de las pri­ meras 30 eran blancas, de ahí en adelante 7 de cada 10 contadas eran blancas. Si en total 4 de cada 5 bolas contadas eran blancas, cal­ cular x. a) 60 d) 120. b) 90 e) 80. Con dos números enteros y positivos se hicie­ ron las siguientes operaciones: los sumaron, los restaron, el menor del mayor, los multipli­ can y los dividieron, el mayor entre el menor. SI la suma de los 4 resultados fue 243, ¿cuál es el mayor de dichos números? a) 20 d) 24. b) 23 e) 22. c). 21. 10. En un matrimonio masivo participaron 85 pa­ rejas, de ellos 68 damas no usaron anteojos, y hay tantas personas como caballeros que no los usan. ¿Cuántas personas usan anteojos? a) 50 d) 54. b) 53 e) 52. c). 51. c) 3. El día de los enamorados un ratoncito sale de su hueco hacia el hueco de su ratoncita dan­ do alegres saltos de 11 cm, al encontrarla con otro regresa dando tristes saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido 1,23 m se detiene a suici­ darse. ¿Cuánto le faltaba recorrer para llegar a su hueco? a) 26 cm d) 32 cm. 8.. b) 4 e) 6. Con las bolitas que tengo puedo formar dos cuadrados compactos exactamente, tal que los lados de los cuadrados se diferencian en 6 bolitas. Pero si formamos un triángulo equilá­ tero también compacto colocando en su lado una cantidad de bolitas igual a la suma de las bolitas que se colocaron en los lados de los cuadrados, también alcanzaría exactamente. Si formamos un solo cuadrado compacto (el más grande) ¿cuántas bolitas sobran? a) 20 d) 24. 7.. c) 4 y 51. Brenda compra 30 libros de medicina a S/.70 cada uno, en un descuido le robaron unos cuantos, y al vender cada uno de los restan­ tes aumentó tantas veces S/,2,8 como libros le hablan robado, resultando que no hubo pér­ dida ni ganancia ¿Cuántos libros le robaron? a) 2 d) 5. 6.. b) 3 y 41 e) 4 y 53. 9.. 11. c) 70. 11. Se tiene una suma de S sumandos todos ma­ yores que 1. A tres de ellos se les aumenta 25 unidades a cada uno y se vuelve a sumar, si el nuevo resultado es el cuádruple del anterior y se sabe que S es mayor que 6, ¿cuál era el resultado original? a) 10 d) 50. b) 20 e) 25. c). 30. 12. Un asta de metal se rompió en cierto punto quedando con la parte de arriba doblada a manera de gozne y la punta tocando el piso en un punto localizado a 20 m de la base. Se reparó pero se rompió de nuevo. Esta vez en un punto localizado 5 m más abajo que la vez anterior y la punta tocando el piso a 30 m de la base. ¿Qué longitud tenia el asta? a) 43 m d) 50 m. b) 55 m e) 62 m. c). 58 m. 13. Considere los tres menores números natura­ les consecutivos de tres cifras, cuya suma es un cuadrado perfecto. Hallar la menor cifra del mayor de estos tres números. a) 1 d) 4. b) 2 e) 3. c). 0. 14. Max reparte 26 caramelosentre sus 4 sobri­ nos. Comen cada uno de los 4 varios cara­ melos. Al cabo de una hora comprueba que le queda a cada uno el mismo número de cara­ melos. Si el mayor había comido tantos como el tercero, el segundo comió la mitad de su.

(9) 12. | C o le c c ió n. El. P o s t u la n t e. número inicial y el cuarto comió tantos como los otros 3 juntos, ¿cuántos caramelos recibió el menor de los 3 sobrinos?. lo que le da al niño. Un día encontró a los 3 y repartió S/.700 entre ellos. ¿Cuánto le tocó al ciego?. a) 10 d) 8. a) S/.400 d) S/.350. b) 11 e) 15. c) 12. 15. Un comerciante compró cierto número de libros por S/.60, se le extraviaron 3 de ellos y vende los que le queda en S/.2 más de lo que había costado cada uno, ganando en total S/.3. ¿Cuántos le costó cada libro? a) S/.4 d) S/.8. b) S/.10 e) S/.5. c) S/.6. a) 360 d) 405. b) 380 e) 432. c) 460. 17. En la orilla de un río de 100 m de ancho está situada una planta eléctrica y en la otra orilla opuesta a 500 m río arriba, se está constru­ yendo una fábrica. Sabiendo que el río es rec­ tilíneo y que el tendido de cables a lo largo de la orilla cuesta S/.9 cada metro y que el tendi­ do de cable sobre el agua cuesta S/.15 cada metro. ¿Cuál es la longitud del tendido más económico posible entre la planta eléctrica y la fábrica? a) 500 m d) 950 m. b) 420 m e) 550 m. c) 600 m. 18. Luchito gastó $100 en comprar 100 juguetes de 3 clases, cada carrito costó $4, cada motito $2 y cada pelota un tercio de dólar. Si compró al menos uno de cada clase, ¿cuántos objetos de cada clase compró Luchito? (El número de motltos es un número no primo). a) 8; 12; 80 c) 10; 18; 72 e) 5; 29; 66. b) 15; 7; 78 d) 14; 16; 70. 19. El señor Panchito es un hombre muy caritativo y le da limosna a los mendigos de la siguiente manera: cuando encuentra a una mujer pobre y a un ciego, le da a la mujer el doble de lo que le da al ciego.Cuando se encuentra a un ciego y a un niño, le da al ciego el doble de. 21.. c) S/.200. Cuando tú tengas el dinero que él tiene, él tendrá la mitad del dinero que tú y yo tenemos y le será suficiente para comprarse un automóvil de $3600 y aún quedarse con $400. SI tú tienes la cuarta parte de lo que él tendrá en ese entonces, ¿cuánto de dinero tengo? a) $7000 d) $6000. 16. Al número xyz se le resta zyx y en el resultado se observó que la cifra de las unidades era el doble de las cifras de las centenas. SI x + y + z es lo máximo posible, calcular xyz. ,. 20.. b) S/.300 e) S/.500. b) $7500 e) $2500. c) $7600. Se desea cambiar un billete de 10 soles en monedas de 20 céntimos y 50 céntimos. ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer esto, utilizando al menos una moneda de cada tipo? a) 7 d) 11. b) 9 e) 8. c) 10. 22. Bruno, Diego y Federico fueron al supermer­ cado. Bruno pagó con S/.50 y recibió S/.12 de vuelto. Diego y Federico pagaron cada uno con un billete de S/.100. Bruno y Fede­ rico gastaron entre los dos S/.80. SI el vuelto de Diego fue la mitad del vuelto de Federico, ¿cuánto gastó Diego? a) S/.40 d) S/.86. b) S/.80 e) S/.71. c) S/.51. 23. En un aula de un seminario de Razonamiento Matemático hay 86 personas. El profesor ob­ serva que el cuádruple de señoritas, disminui­ do en 15, es mayor que 65 y que el triple de estas disminuido en 2 es menor que el doble de ellas aumentado en 10. ¿Cuántos varones hay en el aula? a) 65 d) 67. b) 69 e) 41. c) 66. 24. Un agricultor tiene cierto número de cabezas de ganado, al vender la cuarta parte quedarán menos de 118 y si la venta fuera la sexta parte quedarían más de 129, ¿cuántas eran las ca­ bezas de ganado que tenía? a) 155 d) 150. b) 154 e) 151. c) 156.

(10) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. 25. Al repartir caramelos entre un grupo de niños se observa que, si se entrega 20 a cada uno sobraría 40, pero si se les entrega 25 a cada uno solo sobraría 10 caramelos, ¿cuántos ca­ ramelos se van a repartir? a) 160 d) 125. b) 165 e) 120. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. c) 130. 26. Gabito le dice a su tío: De los S/.400 que me diste gasté S/.150 más de lo que no gasté. ¿Cuánto gastó Gabito? a) S/.295 d) S/.250. b) S/.225 e) S/.150. c) S/.275. 27. Rosa y Edith son dos niñas que les gusta co­ leccionar chapas de gaseosas; entre las dos tienen 40. Si Rosa le diera a Edith 12 de sus chapas entonces Edith tendría ahora el triple de lo que a Rosa le queda, ¿cuántas chapas tenía Edith al inicio? a) 22 d) 18. b) 30 e) 15. a) 29 d) 35. b) 30 e) 40. 1.. b) S/.11 e) S/.15. 2.. a) 4 d) 5. b) 3 e) 7. 3.. c a e d e c. 19. 20. 21. 22. 23. 24.. c a b e a c. 25. 26. 27. 28. 29. 30.. a c d c b d. 4.. c) 26. b) 30 y 30 e) 32 y 28. c) 44 y 16. b) 10 e) 25. c) 15. En un colegio, se observa la misma cantidad entre niños y niñas. A la salida, vienen a reco­ gerlos sus familiares entre varones y mujeres, contándose con los niños 16 personas en to­ tal. Media hora después se duplica el número de varones adultos, aumenta en 3 veces más el número de mujeres y las niñas se duplican, contándose en total a 38 personas. Calcule el número máximo de mujeres, entre adultas y niñas, que habían. a) 3 d) 9. 5.. b) 18 e) 20. En una ciudad de 240 personas, a 1/4 de la población no le gusta ir al cine ni visitar un museo, a 1/8 de la población le gusta ir al cine y a los 17/24 les gusta visitar un museo. ¿A cuántos les gusta ir solo al cine? a) 8 d) 20. c) S/.21. c) 10. 13. 14. 15. 16. 17. 18.. Con 60 monedas en total, unas de 5 soles y otras de 2 soles, se quiere pagar una deuda de 204 soles. ¿Cuántas monedas de cada clase se tienen respectivamente? a) 28 y 32 d) 40 y 20. c) 36. 30. Joel lanza 3 dados y observa que la suma es 16, ¿cuánto suman los números que están en la parte inferior de cada dado?. e e e c e d. Si tengo que pagar un recibo de luz de S/.100 y pago con monedas de S/.5 y S/.7, ¿cuántas monedas tengo, si hay más monedas de S/.5 que de S/.7? a) 15 d) 16. 29. Entre dos niños tienen S/.20, si uno tiene el triple del otro, ¿cuánto debe dar el que tiene más al otro para que este tenga el cuádruple de lo que tiene él? a) S/.13 d) S/.10. 7. 8. 9. 10. 11. 12.. [^EJERCICIOS PROPUESTOS^. c) 12. 28. Se tienen tres montones de canicas con dife­ rentes números de canicas cada uno; aunque la diferencia entre ellos es la misma. Además entre los tres se cuentan 60 canicas. Si del montón que no es el más grande ni el más pequeño se pasan al montón pequeño dos canicas entonces este tendría la tercera parte de canicas que quedaría en el montón dismi­ nuido, inicialmente, ¿cuánto tenía el montón más grande?. d d c a d c. 13. b) 4 e) 12. c) 8. Si tengo sólidos geométricos entre tetraedros regulares y pirámides de base cuadrada, con­ tándose un total de 46 aristas, calcule la me­ nor cantidad de pirámides..

(11) 14. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. a) 1 d) 4 6.. b) 14 e) 21. b) 40 e) 56. b) S/.12 e) S/.18. c). .46. c) S/.8. Sobre un estante se puede colocar 15 libros de Álgebra y 3 libros de Geometría o 9 libros de Geometría y 5 libros de Álgebra. ¿Cuántos libros solo de Álgebra entran en el estante? a) 12 d) 18. b) 15 e) 16. c) 20. 10. Pedro y Juan al llevar 7 y 5 panes, respectivamente, se encuentran con Carlos y comparten con él los 12 panes en partes iguales. SI Carlos pagó S/.12 por su parte, ¿cómo deben repartirse el dinero Pedro y Juan? a) SI. 2 y S/.10 c) S/.9 y SI .3 e) S/.7,5 y S/,4,5. b )S /.7 y S /.5 d) S/.8 y S/.4. 11. Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto tiene 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en el segundo cesto? a) 190 d) 197. b) 188 e) 181. a) 13 y 25 d) 15 y 23. b) 19 y 19 e) 10 y 28. c) 9 y 29. c) 18. Para tener 20 soles me falta tanto como la mitad de lo que me falta para tener 28 soles. ¿Cuánto tengo? a) S/.20 d) S/.16. 9.. han entrado de cada clase, sabiendo que los diámetros de dichas monedas son de 23 y 37 mm.. En una reunión, hay 8 mujeres sentadas y tantas parejas bailando como varones senta­ dos. Luego se observa que todas las mujeres bailan y 8 varones no lo hacen. ¿Cuántas per­ sonas hay en la fiesta? a) 36 d) 54. 8.. c) 3. Si dos números suman 32 y uno es múltiplo de 3 y otro de 7. Halle el mayor de ellos. a) 12 d) 20. 7.. b) 2 e) 5. c) 176. 12. Con 38 monedas de plata de 1 y de 5 pese­ tas, colocadas en contacto, unas a continua­ ción de otras, se ha formado la longitud de un metro. Calcular el número de monedas que. 13. Un padre de familia compró por Navidad una botella de champagne y un panetón; costando éste S/.6 más que la botella; el año siguien­ te compró otra botella de champagne y otro panetón resultando este S/.2 más caro que el del año pasado, y la botella resultó S/.2 más barata que la del año pasado; entonces ahora resultó que el precio del panetón era el doble que el de la botella de champagne. ¿Cuánto costó el segundo panetón? a) S/.20 d) S/.10. b) S/.12 e) S/.15. c) S/.18. 14. Un chofer de combl iba a cobrar S/.2,50 para llevar a un grupo de personas; pero le propo­ nen llevar a dos personas más y por ello co­ bra S/.2 a cada uno. El chofer sacó la cuenta y observó que ganaría S/.1 más por lo que realizó el traslado. ¿Cuántos pasajeros llevó en total? a) 12 d) 6. b) 10 e) 8. c) 11. 15. Un comerciante que llevaba naranjas para vender en el mercado, razonaba de la si­ guiente manera: “SI vendo cada naranja a x soles, me faltarían R soles para comprar una bicicleta. En cambio si vendo cada naranja a y soles, compro la bicicleta y me sobrarían S soles. ¿Cuántas naranjas llevaba el comer­ ciante? a) R + 1 c) (R + S)/(y - x) e )y -x. b) (y —x)/(R + s) d) x + y. 16. En una reunión el número de hombres es al número de damas como 4 es a 5. Si se reti­ ran 8 parejas de esposos, la nueva relación es de 2 a 3. Si se sabe que solo asistieron 2/3 de los Invitados, ¿cuántos Invitados no asistieron? a) 18 d) 25. b) 22 e) 23. c) 24.

(12) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. 17. En un salón de la academia el día de hoy fal­ taron 5 alumnos por problemas de salud. SI los asistentes se sientan 4 alumnos en cada carpeta, faltarían 3 alumnos para que todas las carpetas estén llenas. Pero si se sientan 3 alumnos por carpeta se quedarían 9 alumnos de pie. Halla el número total de alumnos del salón. a) 60 d) 40. b) e). 50 c) 45 55. 18. Con 3 cuadernos se obtiene un libro, con 3 libros una enciclopedia. ¿Cuántas enciclope­ dias se obtendrá con 225 cuadernos? a) 2 d) 27. b) 23 e) 31. c) 25. 19. El exceso de un número sobre 20 es igual al doble del exceso del mismo número sobre 70. Halla el número disminuido en su cuarta parte. a) 120 d) 110. b) 80 e) 98. c) 90. 20. El cuadrado de la suma de dos números con­ secutivos es 81. Halla la diferencia del triple del mayor y el doble del menor. a) 9 d) 12. b) 8 fe) 10. c) 7. 21. La empleada de ta fonoteca no ha parado de trabajar en toda la semana. El lunes recibió varios discos y marcó algunos de ellos. El martes recibió tantos discos nuevos como no había marcado el lunes y marcó 12. El miérco­ les recibió 14 más que el lunes y marcó doble número que el lunes. El jueves recibió el do­ ble número de los discos que había marcado el miércoles y marcó 10. El viernes recibió 4 discos y marcó 14 menos de los que había recibido el miércoles. El sábado marcó los 20 discos que le quedaban. ¿Sabrías decir cuán­ tos discos recibió el lunes? a) 10 d) 13. b) 11 e) 14. c) 12. 22. Tres hombres Luis, Miguel y Antonio, van a la feria con sus hijas, que se llaman Amalia, Lui­. 15. sa y Margarita. Cada una de estas personas compran un determinado número de objetos, pagando por cada uno un cierto número de euros igual al número de objetos que com­ pran. Antonio compra 23 objetos más que Margarita y Miguel 11 más que Luisa. Cada padre gasta 63 euros más que su hija. ¿Cuál es la hija de Antonio? a) Margarita b) Amalia d) Faltan datos e )N .A .. c) Luisa. 23-, Un agricultor desea dividir un terreno de forma rectangular en pequeñas parcelas cuadradas, para ello debe colocar cierto número de es­ tacas en hileras igualmente espaciados tanto a lo largo como a lo ancho y el número de ellas deben estar en relación de 3 a 2. Hace un primer intento y le faltan 174 estacas, se decide entonces colocar 3 menos en el largo y 2 menos en el ancho con lo cual le sobran 96 estacas. Calcular el número de estacas dispo­ nibles. a) 3120 d) 2844. b) 3200 e) 2780. c) 3000. 24. Con todos los alumnos de un aula se formó un cuadrado compacto con n alumnos por lado. Pero si quisieran formar dos triángulos equi­ láteros compactos iguales con n alumnos por lado, harían falta 9 alumnos. ¿Cuántos alum­ nos hay en el salón? a) 64 d) 121. b) 81 e) 144. c) 100. 25. En un lejano planeta de otra galaxia hay dos formas de vida mutuamente hostiles: Los Septicapltas, que tienen 7 cabezas y dos pa­ tas, y los Pentápodos que tienen 2 cabezas y 5 patas. Un día, un número par de Septicapitas se encuentran con un número par de Pentápodos y se organiza un gran tumulto; un observador contó 210, entre cabezas y patas. ¿Cuántos ejemplares de cada clase Intervi­ nieron en la pelea? a) 14 y 12 d) 14 y 16. b) 12 y 16 e) 12 y 20. c) 1 0 y 2 0. 26. Iván cobra en un banco un cheque por S/.2700 y le pide al cajero que le entregue cierta can­ tidad de billetes de S/.10, 20 veces esa can­ tidad en billetes de S/.20 y el resto en billetes.

(13) 16. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. a) 15 d) 19. de S/.50. ¿Cuántos billetes en total le entrega al cajero? a) 105 d) 115 27.. b) 108 e) 118. c) 111. Les preguntan por sus edades a una madre, su hijo e hija responde: - Madre: Nuestras tres edades suman 100 años. - Hijo: Cuando yo tenía la edad que tiene mi hermana nuestras tres edades sumaban 70 años. - Hija: Cuando yo tenga los años que mamá tenía, cuando mi hermano tenía los años que dijo, nuestras tres edades sumarán 160 años. - Mamá: SI yo tuviera los años que tenía, tengo y tendré, tendría 160 años. ¿Qué edad tiene la hija? a) 18 d) 24. b) 20 e) 25. c) 22. 28. Los señores Pérez tienen cinco niños de los más activos: - El lunes van al cine cuatro de ellos cuyas edades suman 38 años. -. El martes van a patinar cuatro cuyas eda­ des suman 35 años.. -. El miércoles van al parque de atracciones cuatro, sumando sus edades 36 años.. -. El jueves salen cuatro a la piscina, sus edades suman 36.. -. El viernes van cuatro a un concierto, sus edades suman 38.. -. El sábado se van al fútbol cuatro y esta vez, sus edades suman 39.. Sabemos que ningún chico sale en seis ocasio­ nes. ¿Sabrías calcular la edad de cada uno? Dar como respuesta la suma de cifras de to­ das las edades.. b) 16 e) 14. c) 18. 29. Matías y Fernando pasaron la noche en los refugios A y B, respectivamente. A la mañana siguiente, Matías camina hacia B y Fernando hacia A; los dos van a velocidad constante, y los dos recorren el mismo sendero que pasa por un bosque. Matías salió de A a las 8:00 h y llegó a B a las 11:00 h; Fernando salió de B a ias 8:30 h y llegó a A a las 11:00 h. Los dos entraron en el bosque a la misma hora (cada uno siguiendo su dirección) y uno de ellos sa­ lió del bosque 3 minutos antes que el otro. ¿A qué hora salió Matías del bosque? a) 7:48 h d) 8:30 h. b) 9:48 h e) 9:30 h. c) 8:48 h. 30. Una tortuga camina 60 metros por hora y una lagartija lo hace a 240 metros por hora. Ambas parten con la misma dirección desde el vértice A de una pista rectangular de 120 metros de largo y 60 metros de ancho, como lo indica la figura. La lagartija tiene por cos­ tumbre avanzar dos lados consecutivos de la . pista, retroceder uno, volver a avanzar dos, volver a retroceder uno y así sucesivamente. ¿Después de cuánto tiempo la tortuga y la lagartija se encuentran por primera vez? a) b) c) d) e). 75 min 1,h 15 min 1 h 20 min 1h 1 h 25 min. A. N tn y > < j ü. 1. 2. 3. 4. 5. 6.. b a b d b c. 7. 8. 9. 10. 11. 12.. e b c c a c. 13. 14. 15. 16. 17. 18.. a e c a b c. 19. 20. 21. 22. 23. 24.. c c c b c b. 25. 26. 27. 28. 29. 30.. a e b d b c. y.

(14) EDADES ELEMENTOS EN LOS PROBLEMAS DE EDADES Para resolver los ejercicios de esta parte se requie­ re tener en cuenta los elementos que intervienen en los mismos. Edad: es un intervalo de tiempo, el cual pue­ de variar de acuerdo a la condiciones, sexo, condiciones de vida, clima, temperatura. Por ejemplo se dice que las mujeres en promedio viven seis años más que los hombres, la gen­ te que fuma vive en promedio 10 años menos que los que viven una vida normal, la gente en oriente vive más años que los de occidente, etc. Sujetos: son las personas (o seres vivos) que tienen un tiempo de vida (edad) y con ellos trabajaremos en los problemas. Tiempos: aquí tomaremos la acepción como un momento determinado en la vida de un su­ jeto. Por ejemplo: hace ocho años, dentro de 4 años. Los problemas sobre edades se clasifican de diversas formas, veamos:. 2.. Dentro de 25 años Anita tendrá el triple de la edad que tenía hace 5 años. ¿Qué edad ten­ drá dentro de 10 años? R esolución:. '(30)' Luego: x + 30 = 3x => x = 5 Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos. En este caso suele emplearse una tabla de doble entrada para distribuir mejor los datos y obtener la información necesaria que nos permita resolver el problema. A continuación se presenta un cuadro con algunos datos; vamos a llenar dicho cuadro y obtendremos de él algunas observacio­ nes importantes: Ejemplo:. Hace 5 años Pasado. dentro de. 8 años Futuro. Presente. Ejemplos: 1.. Pasado. Futuro. Lily. 7. 17. 32. 21. 31. 46. Katy. 3. 13. 28. 25 Observaciones:. Hacemos un esquema: 5. Presente. Ana. Tony tenía hace 5 años, 12 años de edad. ¿Qué edad tendrá dentro de 13 años? R esolución:. 15. 10. Cuando interviene la edad de un solo sujeto. 13. “El tiempo transcurre por igual para todos los sujetos”. Así podemos notar en el esquema: Si para Lily transcurre 25 años, entonces para Ana también transcurren 25 años. Lily. Ana. 32 - 7 = 4 6 - 2 1 = 2 5 Nota que las líneas punteadas señalan el re­ sultado de sumas 5 + 13 lo cual da 18. Luego sumando 12 con 18 obtenemos 30 que es la edad que Tony tendrá dentro de 13 años.. “La diferencia de edades se mantiene cons­ tante a través del tiempo". Del esquema comparemos las edades de Ana y Katy..

(15) 18. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. En el pasado 21 - 3 = 18. En el presente 31 - 13 = 18. En el futuro 46 - 2 8 = 18. La diferencia de edades en todos los tiempos es 18. “La suma en aspa de valores ubicados simé­ tricamente en la tabla son iguales’’. Analicemos la suma en aspa de las edades de Lily y Katy en el pasado y en el futuro. 7 + 28 = 32 + 3 = 35 Ejemplos: 1. Dentro de 6 años tu edad será a mi edad como 11 es a 7 y hace 7 años esa relación era de 5 a 2. ¿Cuántos años tengo? R esolución:. Considerando la relación en el pasado (5k, 2k), se construye el cuadro obteniéndose lo siguiente: Hace 7 años. Dentro de. 6 años. Pasado. Presente. Futuro. Yo. 5k. 5k + 7. 5k + 13. Tú. 2k. 2k + 7. 2k + 13. Como en el pasado nuestra relación con res­ pecto a nuestras edades era de 5 a 2 coloca­ mos 5k y 2k. Luego en el presente se tendrá 5k + 7; 2k + 7 y en el futuro 5k + 13; 2k + 13. Además en el futuro la relación de nuestras edades es de 11 a 7 y por ello planteamos:. 2.. Pasado. Presente. Katty. X. 30. Bety. 6. 3x. La suma en aspa debe darnos valores iguales: 30 + 6 = x + 3x ^ x = 9 Nos piden la edad actual de Bety: 3x = 3(9) = 27 años Cuando Intervienen el año de nacim iento y la edad de la persona. En esta parte mostramos el listado realizado hasta 10 de enero del 2004 Nombre. A ño de Nac.. Edad. Resultado. Lolo. 1977. +. 26. 2003. Luis. 1980. +. 23. 2003. Timoteo. 1982. +. 21. 2003. Katy. 1988. +. 16. 2004. Se sabe que Katy cumple años el 5 del mes de enero por ello al sumarle con su año de nacimiento da como resultado 2004 (año actual), en cambio Luis cumple años en octubre, Lolo en julio y Timo­ teo en julio por ello para ellos al sumar sus años de nacimiento con sus edades da como resultado 2003 (un año menos que el actual). Ejemplo:. 5k + 13 = U = 35k + 91 = 22k + 143 2k + 13 7. En el mes de octubre del año 1933 se le pidió a 12 alumnos que sumen los años que tenían a los años en los cuales nacieron luego que sumen to­ dos los resultados obteniéndose al final 23 911. ¿Cuántos alumnos todavía no cumplían años en ese momento?. 13k = 52 =* k = 4. R esolución:. Preguntan cuántos años tengo: 5k + 7 = 5(4) + 7 = 27 años. Podemos suponer que todos los alumnos ya cum­ plieron años en lo que va del año entonces a cada alumno el resultado que obtendría sería 1993 y al sumar todos estos resultados se obtendría:. Katy tiene 30 años, su edad es el quíntuple de la edad que tenía Anlta; cuando Katy tenía la tercera parte de la edad actual de Bety. Hallar la edad actual de Bety. R esolución:. En el enunciado hay dos tiempos: pasado (te­ nia) y presente (actual). Como en el pasado no se conoce la edad, se coloca una va­ riable: x. 1.° 1993. 2.° 1993. 3.° 1993. 4.° ... 12.° 1993 1993. Resultado total 12(1993) = 23 916 SI todos hubieran cumplido ya años se obtendría 23 916, pero según el dato se obtuvo 23 911, ve­ mos que faltan 5 años; es porque aún 5 personas todavía no han cumplido años en lo que va del año..

(16) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. R esolución:. EJERCICIOS RESUELTOS. +5 La edad de Katy es los 3/2 de la edad de Luis. Si Katy hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Katy hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. Hallar la diferencia de edades. Resolución:. Edad de Katy:K; edad K. 3, 2. —L. K 3. L[ K =>= i3x 2 ] L = 2x. 1918. 1923. 1940. Padre. 9x. 9x + 5. 9x + 22. Hijo. X. x + 5. Piden la edad del padre en 1940: => 9x + 22 = 9(5) + 22 = 67. Según enunciado:. 4.. 3x - 5 16í 5 (, 2x + 10. +17. Según enunciado: 9x + 5 = 5(x + 5) 9x + 5 = 5x + 25 => x = 5. de Luis: L. => — = —. 3x + 10 2x - 5. 19. x = 10. Piden la diferencia de edades: 3x - 2x => x = 10. Salvador tiene 30 años, su edad es el triple de la edad que tenía Pítágoras, cuando Salvador tenía la cuarta parte de la edad que tiene Pitágoras. Hallar la edad actual de Pitágoras. Resolución:. Tú tienes la mitad menos 5 años de la edad que yo tendré cuando tú tengas lo que yo te­ nía cuando tú tenías la cuarta parte de la edad que yo tuviese, si tendría 10 años más de los que yo tendré; pero si yo tuviese 10 años más de los que tendré y tú los que te he dicho que tienes, entonces entre ambos tendríamos 110 años. ¿Qué edad tengo? ¡. Pasado. Presente. Salvador. x/4. 30. Pitágoras. 10. X. Se cumple:. + x = 10 + 30. ~ = 40 => x = 32 años 4. Resolución: Tenía Tienes. Tengo Tienes. Tendré Tengas. Tuviese, 10 años más. Yo. y. z. 2x. 2x + 10. Tú. 2x + 10 4. x - 5. y. Según enunciado: 2x + 10 + x - 5 = 110 = *x :. [ ". 1.. 2x + 10. b) Noviembre d) Octubre. + 2x 2.. Como x = 35 => y = 45 Suma en aspa: z + y = x - 5 + 2x Reemplazando: z = 55 3.. !. Consuelo en el mes de diciembre resta los años que tenía de los meses que había vivido y obtuvo 283. Si es mayor que Vianca en 5 meses, ¿en qué mes nació Vianca? a) Diciembre c) Setiembre e) Agosto. 35. Suma en aspa: y + y = — ^ —. e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ". En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuplo de la de su hijo. ¿Cuál fue la edad del padre en 1940?. Cuando yo tenga el doble de la edad que tenía cuando tu tenías la cuarta parte de la edad que tendrás, nuestras edades sumarán 40 años. ¿Qué edad tengo si nuestras edades al sumarse resultan un cuadrado perfecto, y además tu edad es un número entero? a) 20 años d) 24 años. b) 22 años e) 25 años. c) 18 años.

(17) 20. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. Mario tiene 40 años; su edad es el doble de la edad que tenía Juan, cuando Mario tenía la tercera parte de la edad que tiene Juan. ¿Qué edad tiene Juan? a) 30 años d) 45 años 4.. b) 25 años e) 55 años. c) 40 años. Hace 5 años la edad de un hijo se diferen­ ciaba en el doble de su edad con la edad de su padre, y se diferenciaba en la mitad de su edad con la de su hermano menor. Si dentro de 7 años el menor tendrá la edad que tiene su hermano mayor, calcular la edad que tuvo el padre cuando nació su primer hijo. a) 21 años d) 25 años. b) 28 años e) 30 años. c) 32 años. En el mes de mayo, un estudiante sumó a los años que tiene todos los meses que ha vivi­ do, obteniendo como resultado 232. ¿En qué mes nació? a) Abril d) Julio. b) Mayo e) Marzo. c) Junio. Hace 12 años las edades de dos hermanos estaban en relación de 4 a 5; actualmen­ te sus edades suman 59 años. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 a 7? a) 6 d) 9 7.. b) 7 e) 10. c) 8. Al ser preguntado Salvador por su edad, con­ testó de la siguiente manera: “SI al año en el que cumplí 15 años le suman el año en el que cumplí los 20, y si a este resultado le restan ustedes la suma del año en que nací con el año actual, obtendrán 7”. ¿Qué edad tiene Salvador? a) 30 años d) 32 años. b) 26 años e) 24 años. c) 28 años. Cuando entre los tres teníamos 180 años, tú tenías lo que yo tengo, yo lo que Carlos tiene y él la tercera parte de lo que tú tendrás, cuan­ do entre los tres tengamos 300 años y yo ten­ ga lo que tú tienes y Carlos lo que yo tengo. Si yo tuviese lo que tengo, tenía y tendré, tendría 240 años, ¿cuántos años tengo ahora?. a) 80 d) 85 9.. b) 75 e) 65. c) 70. Se sabe que si una pareja de esposos, donde el marido es mayor, tuviese un hijo ahora; al cabo de cierto tiempo la suma de las edades de los 3 sería 66 años y que el triple de di­ cho tiempo es justamente la diferencia de las edades de los esposos. Hallar la suma de las cifras de la edad del esposo. a) 8 d) 10. b) 4 e) 5. c) 6. 10. Mi tatarabuelo nació en el siglo XIX; tenía X años en el año X2 y 126 años después del año en el que nació, tenía yo tantos años como expresa las dos últimas cifras del año de mi nacimiento. Al poner en conocimiento de mi profesor esta coincidencia, él dijo que con su edad ocurría lo mismo, ¿qué edad tenía mi profesor cuando yo nací? a) 46 años d) 36 años. b) 86 años e) 50 años. c) 56 años. 11. Nancy y Samlr se casaron cuando tenían 18 años, y luego de un año nació Naty. 'Si cuando Naty se casó, su edad era igual a la cuarta parte de la suma de las edades de sus pa­ dres, ¿a qué edad se casó Naty? a) 19 años d) 17 años. b) 18 años e) 23 años. c) 21 años. 1 2 . Antonio le dice a Jorge: “Dentro de 4 años mi. edad será 2 veces más que tu edad”. Jorge responde: “Hace 6 años tu edad era 7 veces la que yo tenía”. ¿En qué año la edad de uno de ellos fue el cuádruple del otro? Año actual: 2001.. a) 2000 d) 1996. b) 1999 e) 1992. c) 1998. 13. SI una persona nació en 19ba y en 19ab cum­ ple (a + b) años, ¿en qué año cumplió 2(ab) años? a) 1985 d) 1972. b) 1984 e ) 1970. c) 1980. 14. Pepe cuenta que cuando cumplió años en 1994, descubrió que su edad era igual a la.

(18) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. suma de las cifras del año de su nacimiento. ¿Cuántos años tenía en 1979? a) 12 d) 10. b) 13 e) 11. c) 14. 15. Lina le dice a Katy: “Yo tengo 9 veces la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será de 44 años”. ¿Cuál es la diferencia entre las edades de es­ tas dos mujeres? a) 2 d) 8. b) 10 e) 6. c) 4. 16. Cuando a Mary se le pregunta por la edad de su perrito, ella responde: “Hace dos años tenía la cuarta parte de la edad que tendrá dentro de 22 años”. ¿Dentro de cuántos años tendrá el doble de ¡a edad que tenía hace 5 años? a) 0 d) 4. b) 2 e) 5. c) 3. 17. En junio de 1992, tres amigos Carlos, Raúl y Mario suman sus edades a los años de su na­ cimiento, obteniendo como respuesta 5974. Si Carlos nació en mayo y Raúl en octubre, ¿en qué mes nació Mario? a) Abril d) Marzo. b) Mayo e) Enero. c) Julio. 18. En un aula de 40 alumnos, el tutor suma to­ das las edades con los años de nacimiento de cada uno y obtiene 79 670. SI dicha suma se realiza en 1992, ¿cuántos ya habían cumplido años ese año? a) 10 d) 35. b) 20 e) 25. c) 30. 21. 19. Cuando yo tuve la tercera parte de la edad que tú tienes, tú tuviste la mitad de tu edad actual. En cambio, cuando yo tenía la mitad de la edad que tengo, la suma de nuestras edades era 48 años. ¿Cuál es la edad que tengo? a) 40 años d) 46 años. b) 42 años e) 48 años. c) 44 años. 20. Dentro de 4 años tu edad será a la mía como 3 es a 4, pero hace 14 años eran como 3 es a 7. ¿Qué edad tengo? a) 28 años d) 30 años. b) 26 años e) 32 años. c ) 29 años. 21. Lucas tiene 28 años, su edad es el doble de la que tenía Pedro, cuando Lucas tenía la edad que tiene Pedro. ¿Cuál es la edad de Pedro? a) 20 d) 23. años años. b ) 18 años e) 21 años. c) 22 años. 22. La suma de las edades de un padre y dos hijos es 75 años. Hallar la edad del dre sabiendo que hace 5 años su edad el triple de la suma de las edades de hijos. a) 54 años d) 50 años 1. 2. 3. 4. 5.. c b d b c. 6. 7. 8. 9. 10.. b) 55 años e) 60 años c c a c e. 11. 12. 13. 14. 15.. a a a d d. sus pa­ era sus. c) 45 años. 16. 17. 18. 19. 20.. a c c a a. 21. e 22. d.

(19) MÓVILES. A T A. I e = vt I ... Sabemos que la diferencia de tiempos es 4 s: ti —t2 = 4 => 4k - 3k = k = 4. t = S.. v = ?. V. Luego: t, = 16 s =»d = (6)(16). .-. d = 96m. EJERCICIOS RESUELTOS 3. Un móvil recorrió 200 km con rapidez constan­ te. Si hubiera viajado con una rapidez mayor en 2 km/h hubiera empleado 5 h menos. ¿En qué tiempo recorrerá 240 km? R esolución: 200. R esolución:. Vamos a recurrir a un gráfico para observar las condiciones iniciales y finales de la carre­ ra, además de las distancias recorridas por cada uno.. 200 km. v su pu esto. V. + 2. tSUpUe5í0 ■. 200 v +2. Sea t el tiempo transcurrido: (el tiempo es e! mismo para los tres móviles).. Sabemos, por dato, que el tiempo en el caso supuesto es menor que el tiempo en el caso real, en 5 h; por lo tanto, la diferencia de tiem­ pos sería de 5 h. Es decir: 200 = 5 (v + 2 ). 200. v. La rapidez de A, B y C es de 8; 10 y 6 m/s, respectivamente. Participan en una carrera, donde B les da una ventaja de 40 y 24 metros a C y A, respectivamente. Si la carrera fue ga­ nada por B cuando A le llevaba una ventaja de 14 m a C, ¿en cuánto aventajó B a A en dicho momento?. l km/h J) ' 24 m '. 16 m. '. ' 14 m '. 2(15) —24 + x =* x = 6 c VLata/: ..................................... Resolución:. Como la distancia es constante, entonces la rapidez y el tiempo son inversos: '. i. ,. Tiempo de encuentro tF = -. Íl = ! t2 3. '. Del gráfico: 8t = 16 + 6t + 14 => t = 15 10t = 24 + 8t + x => 2t = 24 + x. Un alumno desea calcular la distancia entre su casa y cierta tienda, observa que caminan­ do a razón de 6 m/s tarda 4 segundos más que si lo hace a razón 8 m/s. ¿Cuál es la dis­ tancia mencionada?. -v2= l 8 < > 74. x. e. V! + V 2. t, = 4k; t2 = 3k. Graficando: v2 = 6 m/s. e y, - v2. t, = 4k e Tienda. Casa y, = 8 m / s ^ ^ _ _ t, = 3k. 4.. Lolo recorre 23 km en 7 horas; los 8 prim e­ ros con una velocidad superior en 1 km a la.

(20) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. 23. R esolución:. velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer tra­ yecto.. 5v Callao. Resolución:. h' * 2. Se tiene que: : .- — — B___________ C P 60 km x 60 km. m. A. Considerando las 3 horas del vapor y según gráfico, su espacio recorrido será: Se sabe que: t = e/v. 15v = 60 + x + 60 => x = 15v - 120. Como emplea 7 horas en realizar todo el reco­ rrido, se tiene: - + - ItL = 7 v v- 1 ti t2. ...(1). Considerando las 5 horas del avión y según gráfico, su espacio recorrido será: 5(5v) = 60 + x + x ...(2). v = 4 km/h. Reemplazando (1) en (2): 5.. Si un recipiente que tiene ab litros de agua, se llena a caudal constante, al cabo de 30 minutos se obtiene ba litros y cumplidos los primeros 60 minutos se tiene aOb litros. Hallar el caudal en litros por hora. R esolución:. En la primera media hora llenó: ba - ab litros. En la segunda media hora llenó: aOb - ba litros y como el caudal es constante: ba - ab = aOb - ba Descomponiendo polinómicamente y efec­ tuando: b = 6a =* a = 1 y b = 6. 25v = 60 + 2(15v - 120) => v = 36 km/h Piden la velocidad del avión: 5v = 5(36) = 180 km/h 7.. Un viajero sale de A y viaja 40 km hacia el norte y llega al punto B. Se dirige hacia el este recorriendo 40 km hacia el punto C. De ahí sigue 30 km al este llegando al punto D, luego se dirige en trayectoria recta hacia el punto E que está a 40 km al sur de C, luego vuelve al punto A. Averiguar cuál fue el recorrido total del viajero. R esolución:. . => En media hora llenó: 61 - 16 = 45 litros En una hora llenará: 90 litros. 6.. Un avión provisto de un radio de 60 km de alcance parte del Callao al encuentro de un vapor cuya velocidad es la quinta parte de la suya (avión). Cuando sus mensajes alcanzan al vapor responde este que llegará al Callao dentro de 15 horas. El avión regresa inmedia­ tamente y puede anunciar la noticia al Callao por medio de su radio cinco horas después de su partida del Callao. Determinar la velocidad del avión.. DE = 50 km; AE = 40 km e: recorrido total e = A B + BC + CD + DE + EA e = 40 + 40 + 30 + 50 + 40 e = 200 km.

(21) 24. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. [ ". 1.. 100 m/s 115 m/s 119 m/s 120 m/s 125 m/s. 4.. 5.. 6.. b) 25 m/min e) 40 m/min. b) 28 min e) 22 min. b) 58 m e) 70 m. b) 360 m e) 380 m. 8.. c) 60 s. c) 30 m/min. c) 20 min. c) 60 m. Un tren cuya longitud es de 120 m demora 60 s en cruzar un túnel. Hallar la longitud del túnel, si la rapidez del tren es 36 km/h. a) 480 m d) 460 m. 7.. b) 58 s e) 64 s. Un tren tarda 60 s en cruzar un túnel de 120 m de longitud, y en pasar delante de un observa­ dor emplea 20 s. ¿Cuál es la longitud del tren? a) 55 m d) 65 m. a) b) c) d) e). | | c. Una madre y su hija trabajan juntas en la mis­ ma oficina. De su casa a la oficina, la hija em­ plea 30 minutos y la madre, 40 minutos. ¿En cuánto tiempo alcanzará la hija a su mamá, si esta sale 8 minutos antes? a) 24 min d) 18 min. Vg = 50 m/s B. i---------------- 400 m----------------- 1 1,. En una pista circular de 3000 m dos velocistas parten juntos en sentido contrario y se cruzan al cabo de 20 min. Después de 5 min, llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la velocidad del otro? a) 20 m/min d) 35 m/min. vA = 30 m/s A n. Un hombre parado sobre una escalera mecáni­ ca en funcionamiento sube en 60 s; pero si cami­ nara sobre la escalera en movimiento emplearía 20 s. ¿En cuánto tiempo, el hombre bajaría ca­ minando sobre la escalera en funcionamiento? a) 55 s d) 62 s. 3.. ¿En qué tiempo ocurre el encuentro y en qué lado respecto al punto N, que es un punto me­ dio entre A y B?. !. El ruido emitido por el avión en A es escucha­ do por un observador en C. Cuando el avión se encuentra en B, hallar la rapidez del avión. a) b) c) d) e). 2.. e j e r c ic io s p r o p u e s t o s ". c) 420 m. Dos móviles parten al mismo tiempo desde los puntos A y B como se muestra en la figura.. 5s 7s 10 5s 7s. a la derecha de N, a 50 m a la izquierda de N, a 60 m s a la derecha deN, a10 m a la izquierda de N, a50 m a la izquierda de N, a60 m. Un microbús recorre en una hora toda la ave­ nida Venezuela, mientras que; otro microbús lo hace en 35 minutos si el microbús más len­ to parte 15 minutos antes, hallar el tiempo en que el otro lo alcanzará. a) 21 min d) 18 min. 9.. b) 20 min e) 19 min. c) 22 min. Recorrí 2000 km con rapidez constante. Si hubiera viajado con una rapidez mayor en 2 km/h hubiera empleado 5 horas menos. ¿En qué tiempo recorreré 240 km? a) 20 h d) 34 h. b) 30 h e) 36 h. c) 32 h. 10. Un alumno de la academia viajando en ómni­ bus a razón de 40 km/h generalmente llega a tiempo; sin embargo, el día que le tocó Razo­ namiento llegó con un retraso de 10 minutos, debido a que el ómnibus solo pudo desarro­ llar 30 km/h por razones de tránsito. ¿A qué distancia de la academia toma el ómnibus el estudiante? a) 10 km d) 20 km. b )1 5 k m e) 30 km. c) 18 km. 11. Un asaltante después de robar un banco huye con el botín en un auto a una velocidad de 80 km/h. Un policía empieza a perseguirlo después de 15 minutos. ¿A qué velocidad via­ jó el policía si capturó al asaltante después de 50 minutos de persecución? a) 104 km/h d) 110 km/h. b) 78 km/h e) 90 km/h. c) 105 km/h.

(22) R a z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. 12. El barco explorador recibió la orden de hacer el reconocimiento en dirección que llevaba la escuadra; tres horas después la nave de­ bía incorporarse a la escuadra. ¿Al cabo de cuánto tiempo, a partir del momento en que se distancia de la escuadra, debe iniciar el barco explorador el regreso, si su velocidad es de 60 km/h y de la escuadra 40 km/h? a) 3 h d) 2,5 h. b) 0,5 h e) 2 h. c) 1 h. 13. Una persona sale de su casa y llega a su tra­ bajo en 30 minutos a una velocidad constante. Un día que salió normalmente de su casa, en mitad de su trayecto se detiene por un inter­ valo de tiempo de 20 minutos, luego renueva su movimiento duplicando su velocidad hasta llegar a su centro de trabajo. ¿Cuánto tiempo retrasado llega a su trabajo? a ) 1 2 min d) 12,5 min. b ) 1 0 min e) 11,5 min. c) 11 min. 14. Pepe y Miriam separados por una distancia de 2400 m, parten al mismo tiempo al encuen­ tro uno del otro. Justamente con Pepe parte Fido, perro fiel a ambos. Fldo al encontrarse con Miriam regresa nuevamente hacia Pepe y así sucesivamente de Pepe a Miriam y de Miriam a Pepe hata que ellos se encuentan. Se desea saber el espacio total recorrido por el perro, si se sabe que lp velocidad de Pepe es de 373 m/h, de Fido 393 m/h y de Miriam 227 m/h. a) 1572 m d) 1275 m. b) 1472m e) 1742 m. c)1752rri. 15. Si la circunferencia de cada uno de los rodi­ llos de la figura mostrada es de un decímetro, ¿cuánto habrá avanzado la losa cuando los rodillos dan una vuelta? y~Losa. T ü 'tü a ) 1 0 cm d )1 4 c m. b )1 3 c m e )1 8 c m. mente parte en su automóvil con una rapidez constante de 20 m/s hacia la fábrica, llegando un minuto atrasado, ¿a qué distancia de la fá­ brica se hallaba el obrero? a) 3,4 km d) 3,2 km. b) 2,8 km e) 3,8 km. c) 20 cm. 16. En una fábrica se toca la sirena con 2 minu­ tos de anticipación alertando a sus obreros; si uno de ellos al escuchar la sirena Instantánea­. c) 3,6 km. 17. Dos autos van uno al encuentro del otro, par­ tiendo simultáneamente. Uno parte del punto A y el otro de! B, siendo sus velocidades cons­ tantes de 10 m/s y 20 m/s, respectivamente. Si la distancia entre A y B es de 100 m, hallar el tiempo que transcurre, hasta que la distancia que le falta al primer auto para alcanzar el pun­ to B sea el triple de la distancia que le falta al segundo para alcanzar el punto A. a )10s d) 8 s. b )5 s e) 7 s. c )4 s. 18. Una escalera mecánica tiene una longitud de 5 metros. Cuando está detenida, una persona sube empleando 10 segundos. Se pide cal­ cular la velocidad de la escalera cuando está funcionando, si en este estado la persona de­ mora solo 4 segundos en subir. a) 0,75 m/s d) 0,85 m/s. b) 0,80 m/s e) 0,90 m/s. c) 0,60 m/s. 19. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90 m de circunferencia y en el mismo sentido. El pri­ mero que tiene 20 m de adelanto corre a 5 m/s, y el segundo, a 3 m/s; calcular la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro. a) 80 m d) 240 m. b )1 6 0 m e) 280 m. c) 200 m. 20. Un automóvil debe hacer un cierto recorrido en 4 h, una hora después de iniciado el reco­ rrido aumenta su rapidez en 16 km/h, lo que le permite llegar antes. ¿Cuál fue la distancia recorrida? a) 125 km d) 130 km. K f. 25. 1. 2. 3. 4.. c c c a. b) 120 km e) 138 km 5. 6. 7. 8.. c a b a. 9. 10. 11. 12.. b d a d. c) 128 km. 13. 14. 15. 16.. d a c a. 17. 18. 19. 20.. c a e c.

(23) OPERADORES MATEMÁTICOS OPERACION MATEMATICA Dada: / x +. Es un procedimiento que transforma una o más cantidades en otra llamada resultado, bajo reglas y/o condiciones convenidas.. = 4x + 6, hallar n en:. /x -^ k = / í - n \ + /£ \. Operador matemático. R esolución:. a 9 b = 2a - b Operación. Por regla: / x + 1 \ = 4x + 6. Regla o definición. x 4; + 2 O perador m atemático. Son símbolos que por sí mismos no tienen significación. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa.. En la condición: 4(p - 6) + 2 = [4(1 - n) + 2] + [4(2) + 2] 4n - 2 4 + 2 = 4 - 4n + 2 + 10 8n = 38 =» n = 19/4. Operadores: {*, #, 0, A, f ( ), a, % ..... } Ejemplos: 1.. 6.. Se define en Z+: [x] = x3(x - 1). Si: / x \ = x2 - 3x + 1, calcular: k k. n. hallar n en: / k. = ( - 3 ) 2 - 3 (-3 ) +1 = 9 + 9 + 1 = 1 9. R esolución:. n - 18 20. Se define: a 0 b = a2 + 2b + 1; calcular: 4 0 5. R esolución:. 4 0 5 = 4 2 + 2 x 5 + 1 - 27 I 1 a b. 4.. SI:. = 3x - 1, hallar n en:. 20. EJERCICIOS RESUELTOS Se define: a lb =. J(a~b) ( - b _a); si a < b (a a)(-b ); si a > b. (5t2) -. halle: M =. Resolución:. R esolución:. En la condición: [3(2n + 3) - 1] + [3(3n - 2) - 1] = 46 6n + 9 - 1 + 9n - 6 - 1 '= 46 15n + 1 = 46 .-. n = 3. 1). -. = 20 => n = 400. (2n + 3 ) + (2 n ~ ^ 2 ) = 46. Por regla: CZ5 = 3x - 1 I J x 3; -1. 23(2. Comparando: — - 1 8 = 2. Dando forma de, la operación: 23 a 10 = 5 x 2 + 3 x 1 0 = 40 l. ■. n - 18 20. Se define: a3 a b = 5a + 3b; calcular: 8 a 10. Resolución:. 18. 20. Resolución:. (r 2[21. Esta definición es condicionada, es decir: I.. Si a < b. II. Si a > b. ^ lb = (a~b)(-b~a) -2 <2. ^2l_2_ = (—2 2X—22); -2 L 2 =. 1. a lb = (a‘ a)(-b ^ b) 2 >-2. 2 ^ 2 =(2"2X -(-2r<-2)). -4 = 1 :2 1 -2 = - x - 4 = -1 4.

(24) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. Nos piden:. Si: (x) = x(x + 1). A. 27. |® | = 56. M = (2 0 2 .) - (—2l_2_) = -1 - 1 = - 2 calcular:. M = -2 2.. R esolución:. 2. lÍ H ; calcule: Q = 1 ^ 3 3. Si:. m. Dado la forma necesaria al 56: ® = x(x + 1). R esolución:. = 7(7 + 1). M. Sea: P = -^ = m = 4p. f x ] = 7 => resultado constante. Ahora, en la regla de definición: 4p - 4n * p - IIn p n — ------- => p * n = -----4pn pn on -----1 Regla de definición. Luego:. m. r n. Trabajamos con esta regla ya que solo hemos acomodado los términos. En lo que nos piden, primero hallamos lo que está entre paréntesis: 1. _1 3 2 9. 1 *1 = 1 3 3. 5.. 1*2 3. R esolución:. De. : x2 -. 1i => l~a~| = a + 1. +1 Ahora: 1 operador. 2 4 *1 5 = 3 49 * 26 = 24 1 8 *2 3 = 2 a5 1 3 0 = 8. =>l 1 l = H 2]. 2 operadores= 0 - 2. =l. 3 operadores = 0 - 2 + 4. |5 + 4|=[9l =l. Para 25 operadores será:. calcule: P = -^1—= ; si: a A b ba * aa. í 2] = | 625. [ = 625 + 1 = 626. Resolución:. 2 4 *1 5 = 2 x 4 1x5 = 3 49 * 26 = 4 x 9 2 x 6 = 24 1 8 *2 3 = 1 x 8 2 x 3 = 2 a5 * 3b = a x 5 3 x b = 8 5a - 3b = 8 1 t 4 4 (No cumple, pues debe ocurrir: a A b). 6.. Si se cumple: -/a * b2 = 2(-/b * a2 ■ab, calcular:. Haciendo: b = /y =» Ib = 4Vy Reemplazando en la regla dada:. P= ^ = 9 9 *7 9 ba * aa 97 * 77. p _ 9 x 9 - 7 x 9 _ 18 9 X7 - 7x 7. *V3 *6 1 *2. Resolución:. 7 9 (Sí cumple) => a = 7 A b = 9 Luego:. = x2 - 1. 25 operadores. 3. Q = — =» Q = 18 2 Si se sabe que:. x2 - 2. Resolver: ... 6 _ 27 5 = 18 _3X6 10 2 5. Ahora: Q = (-■). En el conjunto 1N se define:. 14. x * y = 2 ('Vy * x4) - x2/y p _ 9. => w. * x4 = 2 {4I 7 * v ) - 4/ y 2. •(i).

(25) 28. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. Aly * x4 = 2(x * y) - Jy x2. ...(II). 6.. (II) en (I): (x * y) = 2(2(x * y) - Vy x2) - x2^y. Se define en IR: mAn = m (nAm)2; (mAn) ¿ 0 hallar: 27 A 1 a) 1/2 d) 1/3. (x * y) = 4(x * y) - 2 ¡y x2 - x2 /y. b) 1/4 e) 1/6. c) 1/9. => x * y = x2 /y Luego:. 4V 3*6 1*2. 4/ 3 2-/6 ■= •13x13 = 3 !2V2. [ " e je r c i c io s p ro p u e s to s '. Se define en IN: Si:. 1#(2 # 8). 8.. b) 3 e) 9. Se define en IR: x O y =. 3.. 2 4 * 15 49 * 26 1 8 *2 3 a 5 *3 b. c) 5. (yO x f. c) 504. Se define en IR: Ja * b2 = 2(-/b * a2) - a b Calcular: 3 * 4 a) 4 d) 48. 4.. c) 18. Se define en el conjunto 2Z. nx □ n:x+1. 13 48 14 18. b b *a b b i* ü b) 1/5 e) 9/4. c) 1/8. Si: | x | = 4x - 3; y (x) = 8x + 9. a) 8x - 3 d) 4x + 5. b) 8x + 3 e) x + 1. c) 4x - 5. 11. Si: P (x + 1) = x2 + 3x + 2, calcular y, además: P(P(y)) = 42 b) 6 e) 27. c) 9. Se define en TL.. a) 2 d) 1. b) 3 e) 5. c) 4. 12. Si: x * y = x - xy - 1. = la + b + E ly f i 1 = a2. calcular: A = 8 *(8 *(8 *(8 *...))) a) 1 d) 8. hallar el valor de:. a) 1 d) 25. = = = =. _ vn. calcular: 8 □ 16. 5.. a) 7/9 d) 1/3 10.. c)7. calcular: (fx n b) 9 e) 36. a) 3 d) 18. b) 25 e) 3. Si se sabe que:. calcule: N = b) 2001 e) 2002. c)5. Si: 2ab * 3ba = -Ia2 + b2 , calcular: 128 * 243. calcular: 2001 O 2002 a) 1 d) 4. b) 3 e) 9. a) 5 d) 4 9.. : 231, hallar: x. Si: a # b = 2a - b, calcular: E = (4 # 3 ) # (2#1) a) 2 d) 7/6. [17] = 1 + 2 + 3 + . . . + n. a) 1 d) 7 2.. l. 7.. b) 2 e) 10. c) 7. 13. Sabiendo que: aAb = a2+ 2a, además: (mDn) = (mAn) + 1; calcular: 7D(5D(403)) b) 8 e) 30. c) 5. a) 70 d) 8. b) 64 e) 10. c) 7.

(26) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. 14. Si: x - 1 = x + 1. calcular x en: / 3 \ * 5 = x * / 2 \. 20.. 100 operadores. b) x - 200 d) x - 207. a) x + 200 c) x + 205 e) x + 210. Si: Va * b2 = 2 (Vb * a2) - a b , calcular: b) 3 e) 1,5. a) 2 d) 1. 15. Si: (a) = a(a + 1), además:((x + 2JJ = 156,. 21. SI:. a*b =. b) 11 e) 12. 4V3 * 2. Ve. c) 4. a * b = a + ^ - ,si: a > b a- b. calcular: a) 12 d) 9. c) 5. b) 6 e) 7. a) 4 d) 8. ... x + 5 .... calcular:. 29. a+ b. , si: a < b. además: m * n = 4/7 A n * m = 5/3. c) 10. calcular: m/n b) 23/47 e) 321/451. a) 47/23 d) 35/12. 16. Si: f~x~1 = (x - 2)x + 1. c) 12/35. Q IL 22. Si: P(x) = x2(x - 9) + 27 (x - 1). calcular: A =. ((m. a) 1 d) - 3. b) 3 e) 5. |3 p(25 )]. 17. SI: <x - £> = x + 6 , además:. c) -1. = x + 8,. f 7P(1). calcule:. [...[[[p(27)r(26)]3p<25)]-l. a) P(0) d) P(4). b) P(1) e) P(27). c) P(3). ; 23. Se cumple que: | x ] = | x - 1 + x - 2 calcular: ( a) 10 d) 20. C IO ). además: | 1 | ==3 b) 12 e) 9. Calcule n en:. 18. Si:. calcular: E = 4 * 2 b) 8 e) 64. 19. Si: [~IT*in = 2a + b; / x \ = 2x. c) 9. -----1. a) -1 d) 5. a * b = I a%b l: m%n = m * - -■; [ Y ] = y2 - 1. a) 3 d) 63. | 0 |= 5. c) 16. tí) LJ > < J ü. 1. 2. 3. 4. 5.. + n=. 3 c) 3. b) 1 e) 2 b d c c d. 6. 7. 8. 9. 10.. d d a d a. 11. 12. 13. 14. 15.. a c b c a. 16. 17. 18. 19. 20.. a b d b d. 21. b 22. d 23. c y.

(27) RELOJES ADELANTOS Y ATRASOS Situaciones donde se encuentran relojes malogra­ dos, debemos considerar: + Atraso total. + Adelanto total. Hora real = Hora adelantada - adelanto Hora real = Hora atrasada + atraso Hora atrasada. x <. 1.. — Adelanto total. - Atraso total. <. Observación:. Hora real. Hora _ Hora adelantada real. Atraso total Adelanto total. RELACION DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO Punto de partida. Recorrido. 1 división horaria O 30° 1 división de minuto 0 6° El reloj tiene 12(5) = 60 divisiones que equi­ valen para el rtiinutero 60 minutos o 360° (1 vuelta) 60 div. < > 6 0 min < > 360° 1 div. = 1 min = 6° (para el minutero) Veamos cuantos grados sexagesimales reco­ rren las agujas cuando transcurre un tiempo determinado en minutos (a partir de las 4 en punto): Tiempo que transcurre (en minutos). Angulo que recorre el minutero. 60’ 30'. 360° ->. 20' 10'. —>. 8’ 3’ 1' c Y lo tw :-. m’. Partíendo las agujas de las 12:00 a las 12:30, el horario ha recorrido, 15°, mientras que el minutero 180°, es decir, el minutero avanzó: 180 15. Ángulo que recorre el horario. . ->. —». 30°. 180°. —>. 15°. 120°. ->. 10°. 60°. —>. 5°. 48°. —>. 4°. 18°. —>. 3 2. 6°. —>. 1 2 ^ D IV 12. m DIV. ANGULO QUE FORMAN EL MINUTERO Y EL HORARIO 1.° caso: cuando el minutero adelanta al horario:. 12 veces lo que avanzó el horario. m antes que H. En general:. m = 12H. Donde: m: recorrido del minutero H: recorrido del horario. 0 = 11 m - 30H. 2.

(28) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o ¡. 31. Luego:. Por ejemplo, si la hora es 3:35: H = 3 y m = 35. | Hora exacta |. « 0 = ^ (35) - 30(3) = 102,5° a. Hace 15'. T. transcurrido*-. 2.° caso: cuando el horario adelanta al minutero:. Dentro de 25’. sL-". a. T. falta. Oh. 24 h. \___________________________ / 2 h < > 120°. H antes que m 0 — 30H —. Entonces: a + 15 + 25 + a = 120 =» a = 40 Hora exacta: 3 p. rr>- + (a + 15)’ =>3 p. m. + 55’. 2. La hora exacta es: 3:55 p. m. 3. Por ejemplo, si la hora es 4:10: H = 4 y m = 10 =» 0 = 30(4 ) - ^ (10) = 65°. Faltan para las 8:00 a. m., la mitad de los mi­ nutos que pasaron desde las 6:00 a. m. de esta mañana, hasta la hora actual. ¿Qué hora indica el reloj? R esolución:. EJER CICIOS RESUELTOS. 1.. Distribuyendo convenientemente los tiempos según los datos, tenemos:. ¿Qué hora es si hace 4 horas faltaba, para acabar el día, el triple del tiempo que faltará para acabar el día, pero dentro de 4 horas?. | Hora exacta | 2(40)’. R esolución:. 6 :0 0. Hora exacta |. V. i. ^. —. 2 h < > 120’ < > 3(40 ). ^ 24 h. (3 x)h '. Hora exacta: 6 h + 80 min = 7 h 20 min. |. Son las 7:20 a. m.. i. 1 día < > 24 horas. 4.. Del gráfico: 4 + 4 + x = 3x =» x = 4 Hora exacta: 24 - (4 + x) = 16. Para retrasarse 1 hora, falta retrasarse: 1 h - 3 min = 57 min. Son las 16 h o 4 p. m. Ya pasaron las 3:00 p. m., pero todavía no son las 4:00 p. m. de esta tarde. Si hubieran pasado 25 minutos más, faltaría, para las 5:00 p. m., los mismos minutos que pasaron desde las 3:00 p. m. Hasta hace 15 minutos; ¿qué hora es? R esolución:. Se deduce que el intervalo de tiempo en el cual trabajaremos es de 3:00 a 5:00 p. m.. Un reloj tiene 3 minutos de retraso y sigue re­ trasándose a razón de 3 segundos por minu­ to. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para tener una hora de retraso? R esolución:. i8 ~". 2.. 8:00. \______________________________ /. Hace 4 h Dentro de 4 h x h r ^ T . fa lta > Oh. 40’. . *^ítra n scu rrid cr''' ^ ffa ita N. En. 1 min — retraso—. 3s. x ----------------► 57 min = 57 x 60 s = 5 7 x 6 0 x 1 min = 1UQ 3 5.. Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en cada caso: •. 4:12. •. 10:44.

(29) 32. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e. R esolución:. Se puede deducir que en ambas horas el mi­ nutero aún no pasa al horario. •. 4:12 0 = 30(4) - 11(12) = 54. •. 10:44 0 = 3 0 (1 0 )-. 6.. 11(44) = 58. .-.0 = 54°. .•.0 = 5 8 ° En cada hora el minutero B adelante 5 min al minutero C o 30°, luego:. Hallar el ángulo formado por las agujas de un reloj en los siguiente casos: •. 4:40. •. Tiem po. Ángulo. 1 h ------------ ► 30°. 2:26. x — —. * 120°. => X=. (1)120° 30. = 4h. Resolución:. Se puede deducir que en ambas horas el mi­ nutero ya pasó al horario. •. 4:40 0 = 11(40) - 30(4) = 100. •. 9.. 0 = 100°. Un reloj se atrasa 3 minutos cada hora y al cabo de 6 horas, luego de sincronizarlo con la hora correcta, marca las 8:17. ¿Cuál será la hora correcta? R esolución: En 1 hora. 2:26 6 = y (26) - 30(2) = 83. En. 6 horas. (. 3 m¡nutos. -Sejatrasará ( x. .'.0 = 8 3 ° x=. 7.. se atrasa. Entre las 5:00 y 6:00, ¿a qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40°?. -!0 = 18 m¡n (atrasototal). =» Hora correcta = 8:17. + 18 = 8:35. R esolución:. La primera vez ocurrirá cuando el horario esté delante del minutero y la segunda vez a la In­ versa, luego aplicaremos:. [^ E J E R C IC IO S PROPUESTOS. ¿Qué hora indican las agujas del reloj?, si: 3a - 0 = 40°. 0 = 30H - l m 2. a) b) c) d) e). 40 = 3 0 (5 )-l l m => m=20 La hora será: 5:20. 8.. Tres relojes A, B y C se sincronizaron simul­ táneamente al mediodía. Si el reloj de A se atrasa 5 minutos por hora, el de B se adelante 5 minutos y el de C señala la hora correcta, ¿dentro de cuánto tiempo los minuteros de los 3 relojes equidistarán entre sí? R esolución:. Sea x la cantidad de horas necesarias para que se cumpla la siguiente situación:. |. 2.. 10:17/9 10:97/8 10:73/11 10:80/11 10:110/9. Un boxeador da 7 golpes en 5 segundos. ¿Cuánto tiempo demorará en dar 49 golpes? a) 35 s d) 40 s. 3.. b) 1 min 20 s e) 60 s. c) 25 s. A las 7:15 p.m. un alumno dela academia le dice a su compañera cuando la suma de cifras de las horas transcurridas sea igual ai doble.

(30) Ra z o n a m ie n t o M a t e m á t ic o |. 4.. de las horas que quedan por transcurrir, será la hora de salida. ¿A qué hora terminan las clases en la academia?. Arturo al observar un campanario nota que da 5 campanadas en 10 segundos. ¿Qué tiempo demorará en dar 25 campanadas?. a) 10 p. m. c) 9:20 p. m. e) 8:30 p. m.. a) 50 s d) 52 s. b) 8 p. m. d) 10:40 p. m.. I.. b). b) 22; 22; 44 d) 21; 21; 44. Se tienen dos relojes sincronizados a las 12 del medio día (hora exacta). Si el primero se adelanta 2’ cada hora y el segundo se atrasa 3’ cada hora, responder: ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán nue­ vamente la hora correcta los 2 relojes si­ multáneamente?. d). 6.. a) 12 a. m. d) 9 p. m. 7.. b )1 0 p . m. e) 11 p. m.. ■Í4r? + 1 2n. a) 16 d) 24. 11 .. b) 2 días; 9 días d) 5 días; 6 días. Un alumno le dice a su amiga: cuando la suma de las cifras de las horas transcurridas sea Igual a las horas por transcurrir, te espero donde ya tú sabes. ¿A qué hora es la cita?. c) 60 s. e). n(n + 2) — s n- 1 n2 + 1 .. b) 18 e) 12. c) 20. Al preguntarle la hora a un profesor de Razo­ namiento Matemático de la academia respon­ dió: “El duplo de las horas que han transcu­ rrido es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir”. ¿Qué hora es? a) 4 p. m. d) 11 a. m.. b) 8 a. m. e) 6 p. m.. n(h - 1). 4n h -1 n ( h - 1). d). 4(n - 1). 4h. c) 3 p. m.. 12. ¿Qué hora es?, si a = (. c) 7 a. m.. El campanario de un reloj indica las horas con igual número de campanadas, para indicar las h horas tarda 4 s. ¿Cuánto tiempo (en horas) habrá transcurrido desde el Instante en el que se empleó n s para Indicar la hora hasta el ins­ tante que empleó 2n s para indicar la hora? a). c) n s. 10. Un anciano al caminar por la calle se da cuen­ ta que da 5 golpes con su bastón en 8 segun­ dos. ¿En cuántos segundos dará 10 golpes?. II. ¿Dentro de cuánto tiempo marcarán la misma hora? a) 3 días; 6 días c) 7 días; 3 días e) 9 días; 3 días. b) 62 s e) 65 s. Un campanario tarda n2x s en tocar tantas campanadas como n veces el tiempo que de­ mora entre campanada y campanada, hallar el tiempo en función a n que demora entre campanada y campanada si es igual a x.. En un día: I. Cuántas veces se superponen el horario y minutero. II. Cuántas veces se encuentran formando 180° III. Cuántas veces aparecen las agujas for­ mando 90°. a) 23; 23; 45 c) 22, 23; 43 e) 23; 23; 48. 5.. 33. c) 10:39^ d) 10:38-). 2n(h - 1) c) 13.. e) 10:39. 11. El reloj de Katy empieza a atrasarse sin que él se dé cuenta, si después de un determinado tiempo a José se le pregunta la hora y respon-.

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